成都七中高2024届高三上入学考试数学试题文科
一、单选题（60分）
1. 设集合A={-1，0，1，2，3}，B={x|x∈A且-x∈A}，则集合B中元素的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 欧拉公式（其中i是虚数单位，e是自然对数的底数）是数学中的一个神奇公式．根据欧拉公式，复数在复平面上所对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 椭圆的焦距是2，则m的值为（ ）
A. 5 B. 3 C. 5或3 D. 20
4. 已知幂函数，下列能成为“是上奇函数”充分条件的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
5. 某几何体正视图与侧视图如图所示：则下列两个图形①②中，可能是其俯视图的是
A. ①②都可能 B. ①可能，②不可能
C. ①不可能，②可能 D. ①②都不可能
6. 若实数满足约束条件，则最大值为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，则移动3次后质点位于1的位置的概率是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知是两个非零向量，设．给出定义：经过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，则称向量，为在上的投影向量．已知，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，圆柱轴截面为矩形ABCD，点M，N分别在上、下底面圆上，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
10. 若，则（ ）
A. B. C. D.
11. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用图明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理图假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车的半径为，筒车转动的角速度为，如图所示，盛水桶视为质点的初始位置距水面的距离为，则后盛水桶到水面的距离近似为（ ）
A. B. C. D.
12. 函数的图像如图所示，已知，则方程在上有（ ）个非负实根.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题（20分）
13. 命题p：“”则为_______________.
14. 已知函数，则______．
15. 在中，内角 的对边长分别为 ，且，，则b的值为______．
16. 如图抛物线的顶点为A，焦点为F，准线为，焦准距为4；抛物线的顶点为B，焦点也为F，准线为，焦准距为6．和交于P、Q两点，分别过P、Q作直线与两准线垂直，垂足分别为M、N、S、T，过F的直线与封闭曲线APBQ交于C、D两点，则下列说法正确的是______
①；②四边形MNST的面积为；③；④的取值范围为.
三、解答题（70分）
17. 新冠状病毒严重威胁着人们身体健康，我国某医疗机构为了调查新冠状病毒对我国公民的感染程度，选了某小区的100位居民调查结果统计如下：
感染 不感染 合计
年龄不大于50岁 80
年龄大于50岁 10
合计 70 100
（1）根据已知数据，把表格数据填写完整；
（2）能否在犯错误的概率不超过5%的前提下认为感染新冠状病与不同年龄有关？
附：，．
0100 0.050 0.025 0.010
k 2.706 3.841 5.024 6.635
18. 已知矩形ABCD中，，，M，N分别为AD，BC中点，O为对角线AC，BD交点，如图1所示．现将和剪去，并将剩下的部分按如下方式折叠：沿MN将折叠，并使OA与OB重合，OC与OD重合，连接MN，得到由平面OAM，OBN，ODM，OCN围成的无盖几何体，如图2所示．
（1）求证：MN⊥平面；
（2）求此多面体体积V的最大值．
19. 记为数列的前n项和，且，已知．
（1）若，求数列的通项公式；
（2）若对任意恒成立，求的取值范围．
20. 已知函数，.
（1）若经过点的直线与函数的图像相切于点，求实数a的值；
（2）设，若有两个极值点为，，且不等式恒成立，求实数的取值范围.
21. 已知双曲线的离心率为，左焦点到双曲线的渐近线的距离为，过点作直线与双曲线的左、右支分别交于点、，过点作直线与双曲线的左、右支分别交于点、，且点、关于原点对称．
（1）求双曲线的方程；
（2）设，试用表示点的横坐标；
（3）求证：直线过定点．
注：22与23是选做题，2选1，均为10分
22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．
（1）求和的直角坐标方程；
（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求．
23. 已知.
（1）求的最小值M；成都七中高2024届高三上入学考试数学试题文科
一、单选题（60分）
1. 设集合A={-1，0，1，2，3}，B={x|x∈A且-x∈A}，则集合B中元素的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合A={-1，0，1，2，3}，B={x|x∈A且-x∈A}，即集合B中的元素有0，1，-1．
【详解】解：由于集合A={-1，0，1，2，3}，B={x|x∈A且-x∈A}，
∵-1∈A且1∈A，0的相反数是0，0∈A∴-1∈B，1∈B，0∈B．
∴B={-1，0，1}
故B中元素个数为3个；
故选C．
【点睛】本题考查了元素与集合的关系，属于基础题．
2. 欧拉公式（其中i是虚数单位，e是自然对数的底数）是数学中的一个神奇公式．根据欧拉公式，复数在复平面上所对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】由复数的几何意义判断.
【详解】由欧拉公式，在复平面内对应点在第一象限．
故选：A．
3. 椭圆的焦距是2，则m的值为（ ）
A. 5 B. 3 C. 5或3 D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得，讨论焦点在轴或轴，根据即可求解.
【详解】因为焦距是，所以，
当焦点轴时，
解得，，
当焦点在轴时，
解得，，
故选：C．
4. 已知幂函数，下列能成为“是上奇函数”充分条件的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据幂函数的定义域、奇偶性的判断方法依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，，的定义域为，
又，是定义在上的奇函数，充分性不成立，A错误；
对于B，，的定义域为，
为非奇非偶函数，充分性不成立，B错误；
对于C，，定义域为，
又，是定义在上的偶函数，充分性不成立，C错误；
对于D，，的定义域为，
又，是定义在上的奇函数，充分性成立，D正确.
故选：D.
5. 某几何体的正视图与侧视图如图所示：则下列两个图形①②中，可能是其俯视图的是
A. ①②都可能 B. ①可能，②不可能
C. ①不可能，②可能 D. ①②都不可能
【答案】A
【解析】
【分析】
由三视图的正视图和侧视图分析，几何体上部、中部、下部的形状，判断，可得出选项．
【详解】若是①，可能是三棱锥；
若是②，可能是棱锥和圆锥的组合；
所以①②都有可能，
故选：A.
【点睛】本题考查简单空间图形的三视图，考查空间想象能力，是基础题．
6. 若实数满足约束条件，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由线性约束条件画出可行域，再将目标函数化为斜截式，结合图形去的最优解，将最优解代入目标函数取得最值.
【详解】由实数满足约束条件作可行域如图:
目标函数可化为，为直线的纵截距的相反数，
令与交点为,则，
由图可知过时直线的纵截距最小，则最大，
最大值为，
故选：B
7. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，则移动3次后质点位于1的位置的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据古典概型求解即可；
【详解】设向右移动一次的事件为，则
因为质点位于1的位置，所以该质点向右移动2次，向左移动1次，
所以
故选: C.
8. 已知是两个非零向量，设．给出定义：经过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，则称向量，为在上的投影向量．已知，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求向量的单位向量，再利用投影向量的求法求解即可.
【详解】设与的夹角为，由，
可得与方向相同的单位向量为，
所以在上的投影向量为：
，
故选：D.
9. 如图，圆柱的轴截面为矩形ABCD，点M，N分别在上、下底面圆上，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作出异面直线与所成角，然后通过解三角形求得所成角的余弦值.
【详解】连接，设，则是的中点，
设是的中点，连接，则，
则是异面直线与所成角或其补角.
由于，，
所以，由于，
而是圆柱底面圆的直径，则，
所以，则，
，而，
在三角形中，由余弦定理得.
故选：B
10. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】对等是进行变形，根据函数的单调性即可得解.
【详解】由题可得：，
函数是定义在的增函数，
，
所以.
故选：A
11. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用图明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理图假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车的半径为，筒车转动的角速度为，如图所示，盛水桶视为质点的初始位置距水面的距离为，则后盛水桶到水面的距离近似为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出初始位置时对应的角，再根据题意求出盛水桶到水面的距离与时间的函数关系式，将代入，即可求解.
【详解】设初始位置时对应的角为，则，则，
因为筒车转到的角速度为，
所以水桶到水面的距离，
当时，可得.
故选：A.
12. 函数的图像如图所示，已知，则方程在上有（ ）个非负实根.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】利用导数研究函数的单调性，结合零点存在性定理判断方程在上的根的个数.
【详解】由图象可得函数在上有3个极值点，不妨设其极值点为，其中，
设，，，
由图象可得，，时，函数单调递增，，又函数的图象由陡峭变为平缓，故逐渐变小，
所以当时，函数单调递减，，
当时，函数单调递减，所以，函数的图象先由平缓变为陡峭，再由陡峭变为平缓，先变大再变小，函数先单调递减再单调递增，所以取值先负后正，所以存在，使得，当，，当，，
当时，函数单调递增，函数的图象由平缓变为陡峭，函数单调递增，所以当时，，
当时，，当时，，
所以当时，，函数在单调递增，
当时，，函数在单调递减，
因为，函数在单调递增，
所以函数在上不存在零点，且，
因为，
因为表示点与点的连线的斜率，表示曲线在点处的切线的斜率，结合图象可得，故，所以函数
在上存在唯一零点，
故方程上有1个非负零点，
故选：B.
二、填空题（20分）
13. 命题p：“”则为_______________.
【答案】
【解析】
【分析】直接根据特称命题的否定为全称命题，即可得答案.
【详解】因为命题p为特称命题，所以命题p：“”的否定为：.
故答案为：.
14. 已知函数，则______．
【答案】8
【解析】
【分析】根据题意代入分段函数计算即可.
【详解】由题意得.
故答案为：8
15. 在中，内角 的对边长分别为 ，且，，则b的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】由可得，即而得，利用正余弦定理化简可得，结合条件，即可求得答案.
【详解】由，可得，
即，即有 ，
即 ，
故，化简得，结合，
可得，解得或0（舍），
故答案为：4．
16. 如图抛物线的顶点为A，焦点为F，准线为，焦准距为4；抛物线的顶点为B，焦点也为F，准线为，焦准距为6．和交于P、Q两点，分别过P、Q作直线与两准线垂直，垂足分别为M、N、S、T，过F的直线与封闭曲线APBQ交于C、D两点，则下列说法正确的是______
①；②四边形MNST的面积为；③；④的取值范围为.
【答案】①②③④
【解析】
【分析】根据抛物线的定义可得判断①，以为原点建立平面直角坐标系，根据条件可得抛物线的方程为，可得，进而判断②，利用抛物线的定义结合条件可得可判断③，利用抛物线的性质结合焦点弦的性质可判断④.
【详解】设直线与直线分别交于由题可知，
所以，，故①正确；
如图以为原点建立平面直角坐标系，则，，
所以抛物线的方程为，
连接，由抛物线的定义可知，又，
所以，代入，可得，
所以，又，故四边形的面积为，故②正确；
连接，因为，所以，
所以，
故，故③正确；
根据抛物线的对称性不妨设点在封闭曲线的上部分，
设在直线上的射影分别为，
当点在抛物线，点在抛物线上时，，
当与重合时，最小，最小值为，
当与重合，点在抛物线上时，因为，
直线，
与抛物线的方程为联立，可得，
设，则，，
所以；
当点在抛物线，点在抛物线上时，设，
与抛物线的方程为联立，可得，
设，则，，
当，即时取等号，故此时；
当点在抛物线，点在抛物线上时，根据抛物线的对称性可知，；
综上，，故④正确.
故答案为：①②③④.
【点睛】构建平面直角坐标系，结合抛物线定义可求解长度和角度问题，判断①②，
根据抛物线的对称性，判断，
从而，从而判断③，
分别讨论的位置，然后判断的取值范围，判断④，是本题的难点.
三、解答题（70分）
17. 新冠状病毒严重威胁着人们的身体健康，我国某医疗机构为了调查新冠状病毒对我国公民的感染程度，选了某小区的100位居民调查结果统计如下：
感染 不感染 合计
年龄不大于50岁 80
年龄大于50岁 10
合计 70 100
（1）根据已知数据，把表格数据填写完整；
（2）能否在犯错误的概率不超过5%的前提下认为感染新冠状病与不同年龄有关？
附：，．
0.100 0.050 0.025 0.010
k 2.706 3.841 5.024 6.635
【答案】（1）列联表见解析
（2）能
【解析】
【分析】(1)根据总数100求解；
(2)根据卡方计算并判断；
【小问1详解】
由于所选居民总人数为100，列联表如下表所示：
感染 不感染 合计
年龄不大于50岁 20 60 80
年龄大于50岁 10 10 20
合计 30 70 100
【小问2详解】，
所以能在犯错误的概率不超过5%的前提下认为感染新冠状病与不同年龄有关；
18. 已知矩形ABCD中，，，M，N分别为AD，BC中点，O为对角线AC，BD交点，如图1所示．现将和剪去，并将剩下的部分按如下方式折叠：沿MN将折叠，并使OA与OB重合，OC与OD重合，连接MN，得到由平面OAM，OBN，ODM，OCN围成的无盖几何体，如图2所示．
（1）求证：MN⊥平面；
（2）求此多面体体积V的最大值．
【答案】（1）证明见解析
（2）1
【解析】
【分析】（1）取中点E，通过证明平面，平面，证得即可得出线面垂直；
（2）由几何体的对称性化为求的最值，即M到面的距离最大，再结合三棱锥体积公式计算即可.
【小问1详解】
在图2中，取的中点E，连，
因为，E为的中点，所以，同理得，，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，平面，所以平面．
【小问2详解】
根据图形的对称性可知，，
因为的面积为，为定值，
所以当点M到平面OCN的距离最大值时，三棱锥体积最大，
此时平面OMC⊥平面ONC，点M到平面OCN的距离等于点M到OC的距离，等于，
所以此多面体体积V的最大值为．
19. 记为数列的前n项和，且，已知．
（1）若，求数列的通项公式；
（2）若对任意恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知得为公差为的等差数列，求得，利用与的关系求得，再利用累乘法即可得到结果.
（2）利用等差数列前项和公式表示出，即可得出，然后利用裂项相消法求得其前项的和，即可得到结论.
【小问1详解】
由题意得为公差为，首项为的等差数列，
则，
即，
两式作差得，
即，
所以，
即，，
因为也适合上式，所以.
【小问2详解】
由（1）知，
由可得，
所以，
则
，
当时，有，
因为，所以恒成立等价于，从而.
20. 已知函数，.
（1）若经过点的直线与函数的图像相切于点，求实数a的值；
（2）设，若有两个极值点为，，且不等式恒成立，求实数取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意，对函数求导，根据导数的几何意义进行求解即可；
（2）将有两个极值点为，，转化为方程在上有两个不同的根，根据根的判别式求出的取值范围，将不等式恒成立，转化为恒成立，通过构造函数，将问题转化为函数极值问题，进而即可求解.
【小问1详解】
的定义域为，
由，得，则，
因为经过点的直线与函数的图像相切于点，
所以，
所以，解得，
【小问2详解】
，则，
因为有两个极值点为，，
所以在上有两个不同的根，
此时方程在上有两个不同的根，
则，且，解得，
若不等式恒成立，则恒成立，
因为
不妨设，
则，
因为，所以，
所以在上递减，所以，
所以，
即实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数几何意义，考查利用导数解决不等式恒成立问题，解题的关键是将极值点问题转化为方程在上有两个不同的根，求出的范围，再将不等式恒成立，则恒成立，然后构造关于的函数，利用导数求出其范围，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.
21. 已知双曲线的离心率为，左焦点到双曲线的渐近线的距离为，过点作直线与双曲线的左、右支分别交于点、，过点作直线与双曲线的左、右支分别交于点、，且点、关于原点对称．
（1）求双曲线的方程；
（2）设，试用表示点的横坐标；
（3）求证：直线过定点．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据已知，利用双曲线的性质建立方程求解.
（2）根据已知，联立直线方程与双曲线方程，再利用韦达定理求解.
（3）根据已知，借助第（2）问的结论，再利用直线的点斜式方程，根据直线方程来确定直线恒过定点.
【小问1详解】
设，由，则，即，
所以渐近线方程为．
又到双曲线的渐近线的距离为，则，
即，．
所以双曲线方程为．
【小问2详解】
设，，直线的方程为，
直线的方程与双曲线联立，
．
又，则
所以，即，.
【小问3详解】
由（2）同理，，
则，
则直线方程为，
令，则，即
所以直线过定点．
注：22与23是选做题，2选1，均为10分
22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．
（1）求和的直角坐标方程；
（2）若曲线截直线所得线段中点坐标为，求．
【答案】（1）；当时，直线的直角坐标方程为，当时，直线的参数方程为．
（2）
【解析】
【分析】（1）利用平方法，结合同角的三角函数关系式进行求解即可；
（2）根据直线参数方程中参数的几何意义进行求解即可.
【小问1详解】
，
，
曲线的直角坐标方程为；
当时，，
当时，可得直线的参数方程为；
【小问2详解】
将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，
整理可得：．①
因为
所以曲线截直线所得线段的中点在椭圆内，
则方程①有两解，设为，
则，
故，解得的倾斜角为．
23. 已知.
（1）求的最小值M；
（2）关于的不等式有解，求实数的取值范围.
【答案】（1）3 （2）
【解析】
【分析】（1）确定，，，相加得到答案.
（2）根据得到，解得答案.
【小问1详解】
，则，，
，
则，所以，
当且仅当时等号成立，的最小值为．
【小问2详解】
，
当且仅当且时取最大值．
的最大值为，
