2023-2024学年苏科版数学九年级上册 1.3一元二次方程的根与系数的关系讲义

1.3 一元二次方程的根与系数的关系
教学目的 掌握根的判别式； 掌握两个基本的系数关系重点难点根据根和系数的关系求未知参数； 根据根和系数的关系求方程的根
知识梳理
【知识点一】一元二次方程的根的判别式 定义： 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 一元二次方程根的判别式的逆用： 在方程中， （1）方程有两个不相等的实数根﹥0； （2）方程有两个相等的实数根=0； （3）方程没有实数根﹤0. 【知识点二】一元二次方程根与系数的关系 定义： 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用前提条件为a≠0，Δ≥0.
典型例题讲解
【例1】利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： （1）； （2）． 【例2】已知、是方程的两个实数根，则的值是（ ） A．2016 B．2018 C．2022 D．2024 【例3】已知关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若该方程有两个实数根，分别为x1和x2，当x1+x1x2＝4﹣x2时，求k的值． 【例4】关于x的一元二次方程的两根为，且，求m的值．
举一反三
【考点一】利用韦根的判别式，判断根的情况 【变式1】一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．无实数根 C．有一个实数根 D．有两个不等的实数根 【变式2】一元二次方程x2+2x﹣5＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根 【变式3】定义运算：a※b＝a2b+ab﹣1，例如：2※3＝22×3+2×3﹣1＝17，则方程x※1＝0的根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【考点二】利用韦达定理求、 【变式1】已知方程的两个根分别为、，则的值为　　 A．7 B．5 C．3 D．2 【变式2】方程 的根为，，则的值为　　 A． B．1 C． D． 【变式3】 已知关于的方程． （1）不解方程，判断该方程根的情况； （2）设方程的两实数根分别为、，若，试求m的值． 【考点三】已知一元二次方程的一根，利用韦达定理求另一根 【变式1】设 ， 是一元二次方程 的两个根，那么 的值等于（ ） A． B． C． D． 【变式2】已知关于x的方程. （1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根. 【变式3】 已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+3）x+3＝0． （1）求证：无论m为何值，x＝1都是该方程的一个根； （2）若此方程的根都为正整数，求整数m的值． 【考点四】由根与系数的关系求代数式的值 【变式1】如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式的值是（ ） A．19 B．18 C．16 D．15 【变式2】已知m，n是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则m2﹣n+2022的值是（　　） A．2022 B．2024 C．2026 D．2028 【变式3】 若p、q是一元二次方程x2+4x﹣9＝0的两个根，则p2+3p﹣q的值是（　　） A．6 B．9 C．12 D．13
小试牛刀
1．若、是一元二次方程的两根，则的值是（　　） A． B． C． D． 2．设方程的两个根为，，则的值是（ ） A． B． C．2 D．4 3.若关于x的一元二次方程的两个根互为相反数，则m的值为（ ） A．3或 B． C．3 D．2或 4．若关于的一元二次方程的两根互为倒数，则（ ） A．3 B．1 C． D． 5.关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0有一个解为x＝1，则该方程的另一个解为（　　） A．0 B．﹣1 C．2 D．﹣2 6．已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0有一个根是﹣2，则另一个根是（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 7.已知，是方程的两个实数根，则的值为（ ） A． B． C． D．3 8．已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2023＝0的两个实数根，则代数式的值是（　　） A．4047 B．4045 C．2023 D．1 9.已知m、n是一元二次方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根，则代数式m2﹣2m﹣n的值为（　　） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 10.已知a、b是关于x的方程x2+3x﹣2010＝0的两根，则a2﹣a﹣4b的值是（　　） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 11.已知、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 12．已知关于的一元二次方程方程有，两实数根． （1）若，求及的值； （2）是否存在实数，满足？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 13.已知关于x的方程：． (1)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根，，满足，求a的值． 14.已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根x1、x2 （1）求实数m的取值范围； （2）若x1﹣x2=2，求实数m的值． 15.阅读下列材料： 韦达定理：若一元二次方程的两根分别为．则， ． 阅读下面应用韦达定理的过程： 若一元二次方程的两根分别为．求的值． 解：该一元二次方程的判别式， 由韦达定理可得： ，，解答下列问题： (1)设方程的两根分别为，不解方程，利用韦达定理求代数式的值； (2)若关于x的一元二次方程的两实数根分别为，且，利用韦达定理求k的值．