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第6讲 集合与常用逻辑用语检测（能力卷）
一、单选题
1．（2023·全国·高一专题练习）已知集合，且，则实数为（ ）
A．2 B．3 C．0或3 D．
2．（2023秋·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）已知集合，，，则A，B，C之间的关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知集合，，若，则实数a的所有可能取值构成的集合为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·内蒙古呼伦贝尔·高一海拉尔第一中学校考期末）命题“存在实数满足”的否定为（ ）
A．任意实数满足 B．任意实数满足
C．任意实数满足 D．存在实数满足
5．（2023秋·江苏苏州·高三苏州中学校考开学考试）“”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2023春·江西南昌·高二南昌市铁路第一中学校考阶段练习）满足条件 的所有集合的个数是（ ）
A．32 B．31 C．16 D．15
7．（2023秋·江苏·高三淮阴中学校联考开学考试）设集合，其中为实数． 令，．若的所有元素和为，则的所有元素之积为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．0或4
8．（2022秋·江苏常州·高一江苏省前黄高级中学校考阶段练习）函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如．那么不等式成立的充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023秋·辽宁锦州·高一统考期末）关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值是（ ）
A． B．0 C．1 D．5
10．（2022秋·江苏盐城·高一统考期中）已知集合，，若，则实数的取值可以是（ ）
A．0 B．1 C． D．
11．（2023秋·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）我们知道，如果集合，那么S的子集A的补集为且，类似地，对于集合A、B我们把集合且，叫做集合A和B的差集，记作，例如：，，则有，，下列解析正确的是（ ）
A．已知，，则
B．如果，那么
C．已知全集、集合A、集合B关系如上图中所示，则
D．已知或，，则或
12．（2022秋·江苏扬州·高一统考阶段练习）下列命题中，真命题的是（ ）
A．若且则至少有一个大于 B．
C．的充要条件是 D．至少有一个实数，使得
三、填空题
13．（2023·全国·高一假期作业）已知命题”的否定为真命题，则实数的取值范围是 .
14．（2023·全国·高一专题练习）已知集合中有8个子集，则的一个值为 .
15．（2023春·湖南岳阳·高一校考阶段练习）若集合，实数的值为
16．（2023·江苏·高一假期作业）已知.若，则实数m的取值范围为 .
四、解答题
17．（2022秋·湖北黄冈·高一校考阶段练习）已知命题，，，
(1)若“”是成立的充分条件，求实数的取值范围；
(2)若命题和有且只有一个为假，求实数．
18．（2023秋·高一课时练习）若，求的取值范围．
19．（2022秋·湖北黄冈·高一校考阶段练习）设全集，集合，集合．
(1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围；
(2)若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围．
20．（2023春·江西新余·高二统考期末）已知全集为实数集，集合，.
(1)若，求图中阴影部分的集合；
(2)若，求实数的取值范围.
21．（2023春·辽宁葫芦岛·高二校联考阶段练习）已知集合或，．
(1)若，求的取值范围；
(2)若，且，求的取值范围．
22．（2023春·湖南岳阳·高一湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）设集合，
(1)若时，求，
(2)若，求的取值范围.
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第6讲 集合与常用逻辑用语检测（能力卷）
一、单选题
1．（2023·全国·高一专题练习）已知集合，且，则实数为（ ）
A．2 B．3 C．0或3 D．
【答案】B
【分析】根据得或，求出后验证集合中元素的互异性可得结果.
【详解】因为且，
所以或，
①若，此时，不满足互异性；
②若，解得或3，
当时不满足互异性，当时，符合题意.
综上所述，.
故选：B
2．（2023秋·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）已知集合，，，则A，B，C之间的关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化简各集合，明确各集合表示的数的特点，即可判断各集合的关系，即得答案.
【详解】由题意知，
，
，
由此可知集合表示被3除余1的数再除以6的数的集合，集合C表示被6除余1的数再除以6的数的集合，
故，
故选：A
3．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知集合，，若，则实数a的所有可能取值构成的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可知，对集合B分等于空集和不等于空集两种情况讨论，分别求出符合题意的a的值即可．
【详解】集合，
∵，∴，
①当时，，符合题意，
②当时，，，
则有或，解得：或，
综上所述，实数a的所有可能的取值组成的集合为
故选：D
4．（2022秋·内蒙古呼伦贝尔·高一海拉尔第一中学校考期末）命题“存在实数满足”的否定为（ ）
A．任意实数满足 B．任意实数满足
C．任意实数满足 D．存在实数满足
【答案】C
【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.
【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“存在实数满足”的否定为“任意实数满足”.
故选：C.
5．（2023秋·江苏苏州·高三苏州中学校考开学考试）“”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据题意，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】当，此时满足，但且不成立，所以充分性不成立；
反之：若且，可得成立，所以必要性成立，
所以“”是“且”必要不充分条件.
故选：B.
6．（2023春·江西南昌·高二南昌市铁路第一中学校考阶段练习）满足条件 的所有集合的个数是（ ）
A．32 B．31 C．16 D．15
【答案】B
【分析】根据已知所给的集合关系将问题转化求集合真子集即可.
【详解】由集合满足条件 ，
所以集合至少含元素1,2，将1,2看成一个整体用来表示，
则上述集合关系式变成： ，
则此时集合为集合的真子集，
问题转化为求集合的真子集的个数即：，
故满足题意的集合有31个.
故选：B.
7．（2023秋·江苏·高三淮阴中学校联考开学考试）设集合，其中为实数． 令，．若的所有元素和为，则的所有元素之积为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．0或4
【答案】A
【分析】根据集合中元素的互异性讨论参数的取值，然后得到并集的结果，根据并集中的元素之和求出参数，然后在求元素之积
【详解】根据集合中元素的互异性，且.由题意，.
情况一：若时
当时，，，，
的所有元素和为，符合题意，此时的所有元素之积为；
当时，，，，
的所有元素和为，不符题意；
情况二：若时，此时，，，
但此时含有唯一的无理数，不可能元素之和为；
情况三：若，，且时，则中只有唯一重复元素，
则，由题意，即，
此时，矛盾.
综上所述，时符合题意，此时的所有元素之积为.
故选：A
8．（2022秋·江苏常州·高一江苏省前黄高级中学校考阶段练习）函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如．那么不等式成立的充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先解不等式，再结合充分条件和必要条件的定义求解即可.
【详解】因为，则，则，
又因为表示不大于的最大整数，
所以不等式的解集为：，
因为所求的时不等式成立的充分不必要条件，
所以只要求出不等式解集的一个非空真子集即可，
选项中只有 .
故选：B.
二、多选题
9．（2023秋·辽宁锦州·高一统考期末）关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值是（ ）
A． B．0 C．1 D．5
【答案】ABD
【分析】由方程有意义可得且，并将方程化为；根据方程解集中仅含有一个元素可分成三种情况，由此可解得所有可能的值.
【详解】由已知方程得：，解得：且；
由得：；
若的解集中只有一个元素，则有以下三种情况：
①方程有且仅有一个不为和的解，，解得：，
此时的解为，满足题意；
②方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为；
由得：，，此时方程另一根为，满足题意；
③方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为；
由得：，，此时方程另一根为，满足题意；
综上所述：或或.
故选：ABD
10．（2022秋·江苏盐城·高一统考期中）已知集合，，若，则实数的取值可以是（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】AC
【分析】分和两种情况讨论集合中的原式，即可求解.
【详解】当时，，满足条件，
当时，若，则，无解，
若，则，无解，
若，则，无解，
若，则，得，
综上可知，或，只有AC符合条件.
故选：AC
11．（2023秋·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）我们知道，如果集合，那么S的子集A的补集为且，类似地，对于集合A、B我们把集合且，叫做集合A和B的差集，记作，例如：，，则有，，下列解析正确的是（ ）
A．已知，，则
B．如果，那么
C．已知全集、集合A、集合B关系如上图中所示，则
D．已知或，，则或
【答案】BD
【分析】根据差集定义逐项判断可得答案.
【详解】对于A：由且，故，故A错误；
对于B：由且，则，故，故B正确；
对于C：由韦恩图知：如下图阴影部分，
所以，故C错误；
对于D：或，则或，故D正确.
故选：BD.
12．（2022秋·江苏扬州·高一统考阶段练习）下列命题中，真命题的是（ ）
A．若且则至少有一个大于 B．
C．的充要条件是 D．至少有一个实数，使得
【答案】ABD
【分析】假设，中没有一个大于得，与矛盾可判断A；可判断B；取时可判断C；取可判断D.
【详解】对于A，假设，中没有一个大于2，即，，则，与矛盾，故A正确；
对于B，由即，则，故在上恒成立，故B正确；
对于C，当时，，推不出，必要性不成立，故C错误；
对于D，当，此时，所以至少有一个实数，
使得，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
13．（2023·全国·高一假期作业）已知命题”的否定为真命题，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】问题等价于有解，即或，解得答案.
【详解】已知问题等价于有解，即或，解得.
故答案为：
14．（2023·全国·高一专题练习）已知集合中有8个子集，则的一个值为 .
【答案】4或9（写出一个即可）
【分析】由题意可知，集合中有三个元素，则有三个因数，即可求出的值.
【详解】集合中有8个子集，
由知，集合中有三个元素，则有三个因数，
因为，，
除1和它本身外，还有1个，所以的值可以为4，9.
故答案为：4或9（写出一个即可）
15．（2023春·湖南岳阳·高一校考阶段练习）若集合，实数的值为
【答案】
【分析】由已知中集合，根据集合相等对应元素分别相等，我们可以分若、、，三种情况进行分类讨论，结合集合元素的性质，即可得到答案．
【详解】令,,，,,，
,,，，，
若，则，则,,，,,，满足要求；
若，则，而中元素，矛盾；
若，则，则,,，,,，满足要求；
故实数的值为.
故答案为：
16．（2023·江苏·高一假期作业）已知.若，则实数m的取值范围为 .
【答案】或.
【分析】根据，分和两种情况讨论求解.
【详解】已知集合，且，
或
当时，，解得，符合题意；
当时，且，
则或，解得，
综上：实数的取值范围为或.
故答案为：或.
四、解答题
17．（2022秋·湖北黄冈·高一校考阶段练习）已知命题，，，
(1)若“”是成立的充分条件，求实数的取值范围；
(2)若命题和有且只有一个为假，求实数．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由命题为真，求出的取值范围，再利用集合的包含关系，列出不等式求解作答.
（2）由命题为真，求出的取值范围，再结合（1）及已知分情况讨论作答.
【详解】（1）因为，，当时，恒成立，即，
当时，不等式对不恒成立，
当时，，解得或，
因此命题为真时，或，而“”是成立的充分条件，
则，
当，即时，，符合题意，于是，
当，即时，或，解得，
所以实数的取值范围.
（2）由（1）知，命题为真，或，命题为真时，，解得或，
而命题和有且只有一个为假，即一真一假，
当真假时，即或并且，解得，
当假真时，即并且或，解得，
所以实数的取值范围是.
18．（2023秋·高一课时练习）若，求的取值范围．
【答案】
【分析】由集合的特性列出不等式组，求解得出的取值范围．
【详解】
，得
综上，且
即的取值范围为
19．（2022秋·湖北黄冈·高一校考阶段练习）设全集，集合，集合．
(1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围；
(2)若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用集合的包含关系列出不等式求解作答.
（2）将问题转化为，再分空集和非空集合讨论求解作答.
【详解】（1）由“”是“”的充分不必要条件，得 ，
又，，
因此或，解得，
所以实数的取值范围为.
（2）命题“，则”是真命题，则有，
当时，，解得，符合题意，因此；
当时，而，
则，无解，
所以实数的取值范围.
20．（2023春·江西新余·高二统考期末）已知全集为实数集，集合，.
(1)若，求图中阴影部分的集合；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题图知，再根据已知及集合的交补运算求集合M即可.
（2）讨论、，根据集合的包含关系列不等式组求参数范围.
【详解】（1）解：时，，由图知，，
因为，所以，
所以.
（2）当时，，解得，此时成立；
当时，，解得，
因为，所以，解得，
所以；
综上可得，实数的取值范围是.
21．（2023春·辽宁葫芦岛·高二校联考阶段练习）已知集合或，．
(1)若，求的取值范围；
(2)若，且，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据并集结果可得，分别讨论和的情况即可求得结果；
（2）由交集结果可知，分别讨论、和，根据可构造不等式求得结果.
【详解】（1）由题意知：；
，；
①当，即时，满足，此时；
②当时，若，则，解得：；
综上所述：的取值范围为.
（2），，，即，解得：，，；
①当，即时，，
，解得：；
②当，即时，，
，解得：；
③当，即时，，不合题意；
综上所述：的取值范围为.
22．（2023春·湖南岳阳·高一湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）设集合，
(1)若时，求，
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)，或
(2)或
【分析】（1）根据交集、补集和并集的概念可求出结果；
（2）由得，再分类讨论是否为空集，根据子集关系列式可求出结果.
【详解】（1）∵，，
∴当时，则，所以，
或，又，
所以或.
（2）∵， ∴，
∴当时，则有，即，满足题意；
当时，则有，即，
可得，解得：.
综上所述，的范围为或.
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