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第6讲 集合与常用逻辑用语检测（基础卷）
一、单选题
1．（2023·高一课时练习）已知关于x的方程的解集只有一个元素，则m的值为（ ）
A．2 B． C． D．不存在
2．（2023秋·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）已知集合，，，则A，B，C之间的关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）已知全集的两个非空真子集满足，则下列关系一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023秋·江苏淮安·高一统考期末）已知，若集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2022秋·云南保山·高一校联考阶段练习）已知命题：，，若命题是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023秋·江苏淮安·高一统考期末）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过淮安方特、龙宫大白鲸世界、西游乐园三个景点时，甲说：我去过的景点比乙多，但没去过淮安方特；乙说：我没去过龙宫大白鲸世界；丙说：我们三个人去过同一个景点．则乙一定去过的景点是（ ）
A．淮安方特 B．龙宫大白鲸世界
C．西游乐园 D．不能确定
7．（2022秋·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）给出四个结论：
①是由4个元素组成的集合；
②集合表示仅由一个“1”组成的集合；
③与是两个不同的集合；
④集合大于3的无理数是一个有限集．
其中正确的是（ ）
A．①④ B．②④ C．②③ D．②
8．（2023秋·高一课时练习）已知集合，，则M与P的关系为（ ）
A．M＝P B．M P
C．P M D．M P
二、多选题
9．（2023秋·高一课时练习）下列命题不正确的是（ ）
A．，
B．，
C．“”的充要条件是“”
D．“，”是“”的充分条件
10．（2023秋·全国·高一随堂练习）若非空集合A，B，C满足，且B不是A的子集，则下列结论不正确的是（ ）
A．“”是“”的充分条件但不是必要条件
B．“”是“”的必要条件但不是充分条件
C．“”是“”的充要条件
D．“”既不是“”的充分条件，也不是“”的必要条件
11．（2023秋·高一课时练习）（多选）设集合，若，则a的值为（ ）
A．0 B．
C．1 D．2
12．（2023秋·高一单元测试）若集合，则能使成立的a的值可能为（ ）
A．2 B．4 C．7 D．9
三、填空题
13．（2023春·天津北辰·高一校考阶段练习）已知，求实数x的值 ．
14．（2023春·江苏苏州·高二校考期中）已知集合，，若，则实数m可能的取值为 .
15．（2023·全国·高一课堂例题）设，，，则的所有元素之和为 ．
16．（2023秋·高一课时练习）下列“若p，则q”形式的命题中，是的必要条件的命题有
（1）若是无理数，则是无理数．
（2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等．
（3）若，则.
（4）若和都是偶数，则是偶数．
四、解答题
17．（2023秋·高一课时练习）下列各题中，p是q的什么条件（指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件）
(1)p：四边形对角线互相平分，q：四边形是矩形；
(2)p：x＝1或x＝2，q：x2－3x＋2＝0；
(3)p：m＞0，q：方程x2＋x－m＝0有实根．
18．（2023秋·高一课时练习）设集合S中的元素全是实数，且满足下面两个条件：
①；②若，则.
(1)求证：若，则；
(2)若，则在S中必含有其他的两个元素，试求出这两个元素．
19．（2023秋·高一课时练习）已知集合，，若，求实数m的取值范围．
20．（2023·江苏·高一假期作业）已知全集，集合．
(1)若b＝4时，存在集合M使得A M B，求出所有这样的集合M；
(2)集合A，B能否满足？若能，求实数b的取值范围；若不能，请说明理由．
21．（2023秋·高一单元测试）已知全集．
(1)求；
(2)若且，求的取值范围．
22．（2023秋·高一课时练习）已知集合，．
(1)若，求实数m的取值范围；
(2)若，求实数m的取值范围．
试卷第4页，共4页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．C
【分析】根据一元二次方程解的个数与判别式的关系求解即可.
【详解】因为关于x的方程的解集只有一个元素，
所以，解得.
故选：C
2．A
【分析】化简各集合，明确各集合表示的数的特点，即可判断各集合的关系，即得答案.
【详解】由题意知，
，
，
由此可知集合表示被3除余1的数再除以6的数的集合，集合C表示被6除余1的数再除以6的数的集合，
故，
故选：A
3．D
【分析】根据给定条件，借助韦恩图判断ABC；结合集合的包含关系推理判断D作答.
【详解】由是全集的两个非空真子集，，得，
如图，当时，，A错误；
观察图形，，BC错误；
由，得，因此，D正确.
故选：D
4．A
【分析】根据题意，分别验证充分性以及必要性即可得到结果.
【详解】若，则，所以，故充分性满足；
若，则或，显然必要性不满足；
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
5．B
【分析】根据原命题为假可知其否定为真，由一元二次方程无根可构造不等式求得结果.
【详解】若命题为假命题，则其否定，为真命题，
，解得：.
故选：B.
6．C
【分析】根据题意分析结合集合的交集思想即可求解.
【详解】先从乙说的出发，可以推出乙可能去过淮安方特或西游乐园，
再由甲说的，可以推出甲去过龙宫大白鲸世界和西游乐园，
则乙只能去过淮安方特和西游乐园中的一个，
再结合丙说的，利用集合交集的思想，即可判断出乙一定去过西游乐园.
故选：C.
7．D
【分析】根据集合元素的特征逐一判断各选项.
【详解】对于①，集合不满足集合元素的互异性，故①错误；
对于②，集合仅有1个元素，故②正确；
对于③，集合与元素相同，是两个相同的集合，故③错误；
对于④，集合大于3的无理数是无限集，故④错误.
故选：D.
8．D
【分析】变化，可知 又可判断时，，则
【详解】①对于任意
∵，∴，
∴，由子集定义知.
②∵，此时，即，
而在时无解，.
综合①②知，M P.
故选：
9．ABC
【分析】利用二次函数的性质可判断A选项；利用特殊值法可判断B选项；利用充分条件、必要条件的定义可判断C选项；利用充分条件的定义可判断D选项.
【详解】对于A选项，，，所以，命题“，”为假命题，A错；
对于B选项，当时，，故命题“，”为假命题，B错；
对于C选项，当时，，则无意义，即“”“”，
另一方面，当时，则有，即，即“”“”，
所以，“”的充分不必要条件是“”，C错；
对于D选项，当，时，，即“，”是“”的充分条件，D对.
故选：ABC.
10．ACD
【分析】由并集的概念，，但，再由充分、必要条件概念可判断选项.
【详解】∵非空集合A，B，C满足，且B不是A的子集，
∴由，
即：“”是“”的必要条件.
由，或.
∵B不是A的子集，∴不一定有，即，
所以“”不是“”的充分条件.即仅有B正确．
故选：ACD.
11．AB
【分析】根据交集的概念分类讨论计算即可.
【详解】,
∵，
∴或.
①当时，则方程无解，此时.
②当时，此时，
∴，得.
综上得或.
故选：AB
12．ABC
【分析】讨论A是否为空集，解相应的不等式，综合可得答案.
【详解】当，即时，；
当，即时，，
要使，须有，解得，即，
综上可知，，结合选项可知a的值可取2，4，7，
故选：ABC
13．
【分析】根据集合元素的互异性，以及元素与集合的关系，建立方程，可得答案.
【详解】由题意可知：，，
令，解得；令，解得或，不符合题意.
故答案为：.
14．0、1、
【分析】分，和三种情况，进行求解，得到答案.
【详解】若时，，满足要求，
若，则，
若，则，解得，
综上：实数m可能的取值为0、1、.
故答案为：0、1、
15．12
【分析】用列举法表示集合，进而得出答案.
【详解】用列举法表示集合，，所以，
所以的所有元素之和为12．
故答案为：12.
16．（1）（2）（4）
【分析】根据必要条件的定义即可逐一求解.
【详解】（1）若是无理数，则是无限不循环小数，所以是无限不循环小数，
所以是无理数，所以，所以是的必要条件．
（2）全等三角形面积相等，所以，所以是的必要条件．
（3）若，则或；
所以，所以是的不必要条件．
（4）两个偶数的乘积仍是偶数．所以，所以是的必要条件．
故答案为：（1）（2）（4）.
17．(1)p是q的必要不充分条件
(2)p是q的充要条件
(3)p是q的充分不必要条件
【分析】（1）根据矩形的定义进行判断即可；
（2）根据一元二次方程的根的情形进行判断即可
（3）根据一元二次方程的根与判别式的关系判断即可.
【详解】（1）∵四边形对角线互相平分四边形是矩形；四边形是矩形四边形对角线互相平分，
∴p是q的必要不充分条件．
（2）∵或，或，
∴p是q的充要条件．
（3）∵方程的，即方程有实根；
方程有实根，即，
∴p是q的充分不必要条件．
18．(1)证明见解析
(2)集合S中必含有两个元素.
【分析】（1）根据集合S中元素的性质，循环迭代即可得出证明；
（2）由可得，由可得，由可得，由此可知会循环出现三个数，所以集合S中必含有两个元素.
【详解】（1）证明：因为，所以，由，则，
可得，即，
故若，则.
（2）由，得；
由，得；
而当时，，…，
因此当时，集合S中必含有两个元素.
19．
【分析】讨论和两种情况，根据子集关系，列不等式，即可求解.
【详解】当时，时，，
即；
当时，，
解得，即，
故实数的取值范围是.
20．(1)；
(2)能，.
【分析】（1）当时，由，得到，求得，结合条件即可求解；
（2）由，得到，分和，两种情况讨论，结合集合的包含关系，即可求解.
【详解】（1）解：当时，可得，
因为，所以，
又由，
又因为A M B，
所以这样的集合M共有如下6个：.
（2）解：能；
由，可得，
若时，此时满足是的一个子集，此时，解得；
若时，由（1）知，
当时，，此时，此时不是的一个子集；
当时，，此时，此时是的一个子集；
当时，，此时，此时是的一个子集，
综上可得，当或时，满足，
此时实数的取值范围为.
21．(1)或
(2)
【分析】（1）先求出集合，再求即可，
（2）先求出，然后由，对和两种情况讨论求解即可.
【详解】（1）因为，
所以或，
因为，
所以或
（2）因为
所以或，
当时，成立，此时，解得，
当时，因为，
所以，或，解得，
综上，的取值范围为
22．(1)
(2)
【分析】利用数轴，根据集合间的关系求参数范围即可.
【详解】（1），，∴，
解得，
∴实数m的取值范围是.
（2）当时，或，解得或，
∴当时，.
∴实数m的取值范围是.
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第6讲 集合与常用逻辑用语检测（基础卷）
一、单选题
1．（2023·高一课时练习）已知关于x的方程的解集只有一个元素，则m的值为（ ）
A．2 B． C． D．不存在
2．（2023秋·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）已知集合，，，则A，B，C之间的关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）已知全集的两个非空真子集满足，则下列关系一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023秋·江苏淮安·高一统考期末）已知，若集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2022秋·云南保山·高一校联考阶段练习）已知命题：，，若命题是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023秋·江苏淮安·高一统考期末）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过淮安方特、龙宫大白鲸世界、西游乐园三个景点时，甲说：我去过的景点比乙多，但没去过淮安方特；乙说：我没去过龙宫大白鲸世界；丙说：我们三个人去过同一个景点．则乙一定去过的景点是（ ）
A．淮安方特 B．龙宫大白鲸世界
C．西游乐园 D．不能确定
7．（2022秋·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）给出四个结论：
①是由4个元素组成的集合；
②集合表示仅由一个“1”组成的集合；
③与是两个不同的集合；
④集合大于3的无理数是一个有限集．
其中正确的是（ ）
A．①④ B．②④ C．②③ D．②
8．（2023秋·高一课时练习）已知集合，，则M与P的关系为（ ）
A．M＝P B．M P
C．P M D．M P
二、多选题
9．（2023秋·高一课时练习）下列命题不正确的是（ ）
A．，
B．，
C．“”的充要条件是“”
D．“，”是“”的充分条件
10．（2023秋·全国·高一随堂练习）若非空集合A，B，C满足，且B不是A的子集，则下列结论不正确的是（ ）
A．“”是“”的充分条件但不是必要条件
B．“”是“”的必要条件但不是充分条件
C．“”是“”的充要条件
D．“”既不是“”的充分条件，也不是“”的必要条件
11．（2023秋·高一课时练习）（多选）设集合，若，则a的值为（ ）
A．0 B．
C．1 D．2
12．（2023秋·高一单元测试）若集合，则能使成立的a的值可能为（ ）
A．2 B．4 C．7 D．9
三、填空题
13．（2023春·天津北辰·高一校考阶段练习）已知，求实数x的值 ．
14．（2023春·江苏苏州·高二校考期中）已知集合，，若，则实数m可能的取值为 .
15．（2023·全国·高一课堂例题）设，，，则的所有元素之和为 ．
16．（2023秋·高一课时练习）下列“若p，则q”形式的命题中，是的必要条件的命题有
（1）若是无理数，则是无理数．
（2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等．
（3）若，则.
（4）若和都是偶数，则是偶数．
四、解答题
17．（2023秋·高一课时练习）下列各题中，p是q的什么条件（指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件）
(1)p：四边形对角线互相平分，q：四边形是矩形；
(2)p：x＝1或x＝2，q：x2－3x＋2＝0；
(3)p：m＞0，q：方程x2＋x－m＝0有实根．
18．（2023秋·高一课时练习）设集合S中的元素全是实数，且满足下面两个条件：
①；②若，则.
(1)求证：若，则；
(2)若，则在S中必含有其他的两个元素，试求出这两个元素．
19．（2023秋·高一课时练习）已知集合，，若，求实数m的取值范围．
20．（2023·江苏·高一假期作业）已知全集，集合．
(1)若b＝4时，存在集合M使得A M B，求出所有这样的集合M；
(2)集合A，B能否满足？若能，求实数b的取值范围；若不能，请说明理由．
21．（2023秋·高一单元测试）已知全集．
(1)求；
(2)若且，求的取值范围．
22．（2023秋·高一课时练习）已知集合，．
(1)若，求实数m的取值范围；
(2)若，求实数m的取值范围．
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