物理·必修2(人教版)
万有引力与航天
章 末 总 结
( http: / / www.21cnjy.com )
专题一 天体运动的问题
分析处理天体运动问题，要抓住“一个模型”，应用“两个思路”区分“三个不同”．
1．一个模型：无论是自然天体(如行星、月 ( http: / / www.21cnjy.com )球、恒星等)，还是人造天体(如人造卫星、宇宙飞船、空间站等)，只要天体运动轨迹为圆形，就可以将其简化为质点的匀速圆周运动．
2．两个思路：(1)做圆周运动天体，万有引 ( http: / / www.21cnjy.com )力提供向心力．因此列方程研究天体运动的关系式即：＝＝mω2r＝mr＝ma；(2)不考虑地球或天体自转影响时，物体在地区或天体表面受到万有引力约等于物体的重力，即＝mg，变形即GM＝gR2，此式通常称为“黄金代换式”．
3．三个不同．
(1)不同公式中r含义不同．在公式F＝中r是两质点(或球心不同)距离；在向心力公式F＝＝mω2r中r是质点运动的轨道半径．当一个天体绕另一个天体做匀速圆周运动时，两式子中r相等．
(2)运行速度，发射速度和宇宙速度含义不同．以下是三种速度的比较.
比较项 概念 大小 影响因素
运行速度 卫星绕中心天体做匀速圆周运动的速度 v＝ 轨道半径r越大，v越小
发射速度 在地面上的发射速度 大于或等于7.9 km/s 发射速度越大，卫星发射得越高
宇宙速度 实现某种效果所需的最小卫星发射速度 v1＝7.9 km/s v2＝11.2 km/s v3＝16.7 km/s 由不同卫星发射要求决定
(3)卫星的向心加速度a，地球(天体)表面的重力加速度g，在地球(天体)表面的物体随地球(天体)自转做匀速圆周运动的向心力速度a含义不同．
①对a有：＝ma得a＝式中r为卫星的轨道半径．
②若不考虑自转：g＝，其中R为地球半径．
③对a′有：a′＝ω2 Rcos θ，其中ω、R分别是地球(天体)自转的角速度和半径，θ是物体所在处的纬度值．
月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度大小为a，设月球表面的重力加速度大小为g1，在月球绕地球运行的轨道上，由地球引力产生的加速度大小g2，则( )
A．g1＝a B．g2＝a
C．g1＋g2＝a D．g2－g1＝a
解析：月球绕地球做匀速圆周 ( http: / / www.21cnjy.com )运动，其所需的向心力由万有引力提供，由牛顿第二定律：＝ma，其中a为向心加速度，在月球绕地球运行的轨道处重力等于万有引力，即＝mg2.
由以上两式子得a＝g2.由＝m′g1则月球表面的重力加速度g1＝G，综上可知B对．
答案：B
?专题训练
1．地球同步卫星位于赤道上方，相对地面 ( http: / / www.21cnjy.com )静止不动．若地球半径为R，自转角速度为ω，地球表面的重力加速度为g.那么同步卫星绕地球运行的速度为( )
A. B.
C. D.
解析：万有引力提供向心力，故有＝mω2r，故卫星的轨道半径r＝，地球表面重力近似等于万有引力，＝mg即GM＝gR2.则同步卫星速度大小v＝ωr＝ω＝，故D对．
答案：D
专题二 双星问题
1．双星：在众多天体中如果有两颗恒星，它们靠得较近，在万有引力作用下绕它们的连线上的某一点共同转动，这样两恒星称为双星．
2．双星问题的特点．
如图所示，质量为m1，m2的两颗相距较近的恒星．它们的距离为L，此双星的特点是：
(1)两星的运行轨道为同心圆，圆心是它们连线上的某一点．
(2)两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供．
(3)两星的运动周期、角速度相等．
(4)两星的轨道半径之和等于它们间的距离L，即r1＋r2＝L.
3．双星问题的处理方法：
双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即G＝m1ω2r1＝m2ω2r2.由此得出：
(1)m1r1＝m2r2，即对其中一恒星的运动半径与其质量成反比．
(2)由于ω＝，则两星质量之和m1＋m2＝
质量为m和M的两星球A和B在万有引力作用下绕连线上的某点O做匀速圆周运动，星球A和B两者中心间的距离为L，已知A、B的中心和O三点始终共线，引力常量为G.
(1)求两点运行的周期．
(2)在地月系统中，若忽略其他星球 ( http: / / www.21cnjy.com )的影响，可将月球和地球看作A和B月球绕其轨道中心运行的周期为T1，但在近似处理中，认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得运行周期为T2.
已知：m＝7.35×1022 kg，M＝5.98×1024 kg.
试求T2与T1两者平方之比．
解析：(1)两星做圆周运动的向心力由万有引力提供，对B：＝mr1①
对月球：G＝mr2②
其中r1＋r2＝L③
由以上三式得：T＝2π
(2)对于地月系统，由(1)可知，地球和月球运行的周期T1＝2π.若认为月球绕地球做匀速圆周运动．
有：＝mL
解得：T2＝
故＝＝1.102
答案：(1)2π (2)1.102
?专题训练
2．(双选)两颗靠得很近的天体称为双星系统，它们绕两者连线上某点做匀速圆周运动，因而不至于万有引力而吸引到一起，以下说法正确的是( )
A．它们做圆周运动的角速度与质量成反比
B．它们做圆周运动的线速度与质量成反比
C．它们做圆周运动的半径与质量成反比
D．它们做圆周运动的半径与质量成正比
答案：BC
专题三 地球同步卫星
相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星叫地球同步卫星，又叫通信卫星．同步卫星有以下几个特点：
1．同步卫星的运行方向与地球自转方向一致．
2．同步卫星的运转周期与地球自转周期相同，且T＝24 h.
3．同步卫星的运行角速度等于地球自转的角速度．
4．要与地球同步，卫星的轨道平面必须与赤道平 ( http: / / www.21cnjy.com )面平行，又由于向心力是万有引力提供的，万有引力必须在轨道平面上，所以同步卫星的轨道平面均在赤道平面上，即所有的同步卫星都在赤道的正上方．
5．同步卫星高度固定不变．
所有同步卫星的周期T、轨道半径r、环绕速度v、角速度ω及向心加速度a的大小均相同．
由＝mr知r＝ .由于T一定，故r不变，而r＝R＋h，h为离地面的高度，h＝ －R.又因GM＝gR2，代入数据T＝24 h＝ s，g取9.8 m/s2，R＝6 400 km，得h＝3.6×104 km.
6．同步卫星的环绕速度大小一定：设其运行速度为v，由于G＝m，则有：
v＝ ＝ ＝ ＝
3．1×103 (m/s)．
(双选)已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，地球同步卫星质量为m，引力常量为G.有关同步卫星，下列表述正确的是( )
A．卫星距地面的高度为
B．卫星的运行速度小于第一宇宙速度
C．卫星运行时受到的向心力大小为G
D．卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度
解析：根据＝meq \s\up12(2)(R＋h)，同步卫星距地面的高度h＝ －R，选项A错误；近地卫星的运行速度等于第一宇宙速度，同步卫星的运行速度小于第一宇宙速度，选项B正确；卫星运行时的向心力大小为F向＝，选项C错误；由G＝mg得地球表面的重力加速度g＝G，而卫星所在处的向心加速度g′＝G，选项D正确．
答案：BD
名师归纳：同步卫星与一般的卫星遵循同样 ( http: / / www.21cnjy.com )的规律，所以解决一般卫星问题的思路、公式均可运用在同步卫星问题的解答中．同步卫星同时又具备自身的特殊性，即有确定的周期、角速度、加速度、线速度、高度、轨道半径、轨道平面．
?
专题训练
3．(双选)我国在2012年5月26日 ( http: / / www.21cnjy.com )成功发射了“中星2A”通信广播地球同步卫星．在某次实验中，飞船在空中飞行了36 h，环绕地球24圈，那么同步卫星与飞船在轨道上正常运转相比较( )
A．同步卫星运转周期比飞船大
B．同步卫星运转速率比飞船大
C．同步卫星运转加速度比飞船大
D．同步卫星离地高度比飞船大
答案：AD
4．(双选)同步卫星离地心距离为r ( http: / / www.21cnjy.com )，运行速度为v1，加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球的半径为R，则下列比值正确的是( )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
解析：设地球质量为M，同步卫星的质量为m ( http: / / www.21cnjy.com )1，地球赤道上的物体质量为m2，在地球表面附近运行的卫星质量为m2′，根据向心加速度和角速度的关系有：a1＝ω12r，a2＝ω22R，ω1＝ω2，故＝，知选项A正确．由万有引力定律有：G＝m1，G＝m2′，由以上两式解得＝ ，知选项D正确，故A、D正确．
答案：AD章末过关检测卷(二)
万有引力与航天
(考试时间：90分钟 分值： 100分)
一、单项选择题(本题共8小题，每题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确．)
1．下列说法中正确的是( )
A．经典力学能够说明微观粒子的规律性
B．经典力学适用于宏观物体的低速运动问题，不适用于高速运动的问题
C．相对论与量子力学的出现，表示经典力学已失去意义
D．对于宏观物体的高速运动问题，经典力学仍能适用
解析：经典力学适用于低速、宏观问题 ( http: / / www.21cnjy.com )，不能说明微观粒子的规律性，不能用于宏观物体的高速运动问题，A、D错误，B正确．相对论与量子力学的出现，并不否定经典力学，只是说经典力学有其适用范围，C错误．
答案：B
2．要使两物体间万有引力减小到原来的，可采取的方法是( )
A．使两物体的质量各减少一半，距离保持不变
B．使两物体间距离变为原来的2倍，其中一个物体质量减为原来的
C．使其中一个物体质量减为原来的，距离不变
D．使两物体质量及它们之间的距离都减为原来的
解析：由F＝G可知两物体的质量各减 ( http: / / www.21cnjy.com )少一半，距离保持不变，两物体间万有引力减小到原来的，A错误；两物体间距离变为原来的2倍，其中一个物体质量减为原来的，两物体间万有引力减小到原来的，B正确；使其中一个物体质量减为原来的，距离不变，两物体间万有引力减小到原来的，C错误；两物体质量及它们之间的距离都减为原来的，两物体间万有引力保持不变，D错误．
答案：B
3．星球上的物体脱离该星球引力所需要的 ( http: / / www.21cnjy.com )最小速度称为第二宇宙速度．星球的第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系是v2＝v1.已知某星球的半径为r，它表面的重力加速度为地球表面重力加速度g的.不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为( )
A. B.
C. D.
解析：该星球的第一宇宙速度： ( http: / / www.21cnjy.com )G＝m，在该星球表面处万有引力等于重力：G＝m，由以上两式得v1＝，则第二宇宙速度v2＝v1＝×＝，故A正确．
答案：A
4．某人造卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球轨道半径的，则此卫星运行的周期大约是( )
A．1天～4天 B．4天～8天
C．8天～16天 D．16天～20天
解析：根据G＝mr得，T＝2π，即＝＝，又T月＝30天，解得T卫≈5.8天，B正确．
答案：B
5．人造地球卫星与地面的距 ( http: / / www.21cnjy.com )离为地球半径的1.5倍，卫星正以角速度ω做匀速圆周运动，地面的重力加速度为g，R、ω、g这三个物理量之间的关系是( )
A．ω＝ B．ω＝
C．ω＝ D．ω＝
解析：由G＝mrω2得ω＝，其中r＝2.5R，再根据黄金代换g＝可得ω＝，故A正确．
答案：A
6．有两个大小一样、由同种材料组成的均匀球 ( http: / / www.21cnjy.com )体紧靠在一起，它们之间的万有引力为F，若用上述材料制成两个半径更小的靠在一起的均匀球体，它们间的万有引力将( )
A．等于F B．小于F
C．大于F D．无法比较
解析：均匀球体看成位于球心的质点，则两质点相距d＝2r，其中r为球体半径，其万有引力F＝G＝G＝ρ2Gπ2r4，由此知当r减小时，它们间的万有引力F减小，B正确．
答案：B
7．2011年11月3日，“神舟八号”飞船与 ( http: / / www.21cnjy.com )“天宫一号”目标飞行器成功实施了首次交会对接．任务完成后“天宫一号”经变轨升到更高的轨道，等待与“神舟九号”交会对接．变轨前和变轨完成后“天宫一号”的运行轨道均可视为圆轨道，对应的轨道半径分别为R1、R2，线速度大小分别为v1、v2.则v1：v2等于( )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
解析：“天宫一号”绕地球做匀速圆周运动，向心 ( http: / / www.21cnjy.com )力由万有引力提供．设地球质量为M，“天宫一号”质量为m，则变轨前：G＝m，变轨后：G＝m，联立以上两式解得：＝，故选项B正确．
答案：B
8．两颗行星绕某恒星做匀速圆周运动，从天文望远镜中观察到它们的运行周期之比是8∶1，两行星的公转速度之比为( )
A．1∶2 B．2∶1 C．1∶4 D．4∶1
解析：由开普勒第三定律得＝＝，故＝，两行星的公转速度之比＝＝·＝，A正确．
答案：A
二、双项选择题(本题共4小题，每题6分，共24分．在每小题给出的四个选项中有两个选项正确，全部选对得6分，漏选得3分，错选或不选得0分．)
9．有一宇宙飞船到了某行星上(该行星没有自转运动)，以速度v接近行星表面匀速飞行，测出运动的周期为T，已知引力常量为G，则可得( )
A．该行星的半径为
B．该行星的平均密度为
C．无法求出该行星的质量
D．该行星表面的重力加速度为
解析：由T＝可得：R＝，A正确；由＝m可得：M＝，C错误；由M＝πR3ρ得：ρ＝，B正确；由G＝mg得：g＝，D错误．
答案：AB
10．2012年6月，“神舟 ( http: / / www.21cnjy.com )九号”与“天宫一号”完美“牵手”，成功实现交会对接．交会对接飞行过程分为远距离导引段、自主控制段、对接段、组合体飞行段和分离撤离段．则下列说法正确的是( )
A．在远距离导引段，“神舟九号”应在距“天宫一号”目标飞行器前下方某处
B．在远距离导引段，“神舟九号”应在距“天宫一号”目标飞行器后下方某处
C．在组合体飞行段，“神舟九号”与“天宫一号”绕地球做匀速圆周运动的速度小于7.9 km/s
D．分离后，“天宫一号”变轨升高至飞行轨道运行时，其速度比在交会对接轨道时大
解析：在远距离导引段，“神舟九号 ( http: / / www.21cnjy.com )”位于“天宫一号”的后下方的低轨道上飞行，通过适当加速，“神舟九号”向高处跃升，并追上“天宫一号”与之完成对接，A错，B对．“神舟九号”与“天宫一号”组合体在地球上空数百公里的轨道上运动，线速度小于第一宇宙速度7.9 km/s，C对．分离后，“天宫一号”上升至较高轨道上运动，线速度变小，D错．
答案：BC
11．关于“亚洲一号”地球同步通讯卫星，下述说法正确的是( )
A．已知它的质量是1.24 t，若将它的质量增加为2.84 t，其同步轨道半径变为原来的2倍
B．它的运行速度小于7.9 km/s，它处于完全失重状态
C．它可以绕过北京的正上方，所以我国能利用其进行电视转播
D．它的周期是24 h，其轨道平面与赤道平面重合且距地面高度一定
解析：所有同步卫星的质量可能不同，但轨道半径一定相同，A错．同步卫星在较高轨道上运行，速度小于7.9 km/s，重力(万有引力)全部提供向心力，处于完全失重状态，B对．同步卫星轨道处于赤道的正上方，不可能在北京正上方，C错．同步卫星的周期与地球自转周期相同，由G＝m(R＋h)知，高度h＝－R，即同步卫星的高度一定，D对．
答案：BD
12．宇宙中两颗相距很近的恒星常常组成一个 ( http: / / www.21cnjy.com )双星系统．它们以相互间的万有引力彼此提供向心力，从而使它们绕着某一共同的圆心做匀速圆周运动．若已知它们的运动周期为T，两星到某一共同圆心的距离分别为R1和R2.那么，双星系统中两颗恒星的质量关系是( )
A．这两颗恒星的质量必定相等
B．这两颗恒星的质量之和为
C．这两颗恒星的质量之比为m1∶m2＝R1∶R2
D．必有一颗恒星的质量为
解析：对于两星有共同的周期T，由牛顿第二定律得G＝m1R1＝m2R2，所以两星的质量之比m1∶m2＝R2∶R1，C错；由上式可得m1＝，m2＝，D正确，A错误；m1＋m2＝ ，B正确．故正确答案为B、D.
答案：BD
三、计算题(本大题共4小题，共44分，要有必要的文字说明和解题步骤，有数值计算的要注明单位)
13．(8分)“东方一号”人造卫星A和 ( http: / / www.21cnjy.com )“华卫二号”人造卫星B，它们的质量之比为mA∶mB＝1∶2，它们的轨道半径之比为2∶1，则卫星A与卫星B的线速度大小之比为多少？
解析：由万有引力定律和牛顿第二定律得G＝m，解得v＝，故＝＝＝.
答案：1∶
14．(10分)某星球的质量约为地 ( http: / / www.21cnjy.com )球质量的9倍，半径为地球半径的一半，若从地球表面高为h处平抛一物体，水平射程为60 m，则在该星球上从同样高度以同样的初速度平抛同一物体，水平射程为多少？
解析：平抛运动水平位移x＝v0t ( http: / / www.21cnjy.com )，竖直位移h＝gt2，解以上两式得x＝v0·，由重力等于万有引力mg＝G得g＝，所以＝＝9×＝36，＝＝，x星＝x地＝10 m.
答案：10 m
15．(12分)发射地球同步卫星时，先 ( http: / / www.21cnjy.com )将卫星发射到距地面高度为h1的近地圆轨道上，在卫星经过A点时点火实施变轨进入椭圆轨道，最后在椭圆轨道的远地点B点再次点火将卫星送入同步轨道，如图所示．已知同步卫星的运动周期为T，地球的半径为R，地球表面重力加速度为g，忽略地球自转的影响．求：
(1)卫星在近地点A的加速度大小；
(2)远地点B距地面的高度．
解析：(1)设地球质量为M，卫星质 ( http: / / www.21cnjy.com )量为m，万有引力常量为G，卫星在A点的加速度为a，由牛顿第二定律得：G＝ma，物体在地球赤道表面上受到的万有引力等于重力，则G＝mg，解以上两式得a＝.
(2)设远地点B距地面高度为h2，卫星受到的万有引力提供向心力得＝m(R＋h2)，解得h2＝－R.
答案：(1) (2)－R
16．(14分)天文学家将相距较近、 ( http: / / www.21cnjy.com )仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星．双星系统在银河系中很普遍．利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量．已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量．(引力常量为G)
解析：设两颗恒星的质量分别为m1、m2，做圆周运动的半径分别为r1、r2，角速度分别是ω1、ω2.根据题意有
ω1＝ω2①
r1＋r2＝r②
根据万有引力定律和牛顿第二定律，有
G＝m1ω12r1③
G＝m2ω22r2④
联立①②③④式解得r1＝⑤
根据角速度与周期的关系知ω1＝ω2＝⑥
联立③⑤⑥式解得m1＋m2＝.
答案：
