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物理·必修2（人教版）
第七章 机械能守恒定律
第二节 功
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情 景
切 入
沙和尚做功，而无功
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“你挑着担，我牵着马，迎来日出，送走晚霞……”《西游记》中，沙和尚挑担千里，在竖直方向上却没有对行李做功，而猪八戒扶师父上马却做了功，不必为沙和尚鸣不平，物理学中的做功是有严格定义的．
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1．理解功的概念，掌握功的两个因素．
2．掌握功的公式W＝Flcos α，会用它进行有关计算．
3．理解正功、负功的含义，会求多个力的总功．
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一、功
1．概念：一个物体受到力的作用，并在___________发生了一段位移，这个力就对物体做了功．
2．做功的两个因素．
(1)物体______的作用．
(2)物体在力的方向上发生了______．
3．功的公式．
(1)力F与位移l同向时，W＝________．
(2)力F与位移l夹角为α时，W＝________．
力的方向上
受力
位移
Fl
Flcos α
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其中F、l、α分别为__________、__________和________方向的夹角．
4．功的单位．
在国际单位制中，功的单位是__________，简称__________，符号是__________.1 J等于1 N的力使物体在力的方向上发生1 m的位移时所做的功，即1 J＝1 N·m.
5．功是标量．
功只有大小，没有______．
力的大小 位移的大小
力与位移
焦耳
焦
J
方向
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1．功的正负不表示______，只表示做功的力是阻力还是动力．
2．对公式中 α角的理解．
二、功的正负
α的取值 cos α 功的正负 物理意义
0≤α< cos α>0 W>0，力______) 做功的力是____(选填“动力”或“阻力”，下同)
α＝ cos α＝0 W＝0，力______) 力既不是____，也不是____
<α≤π cos α<0 W<0，力______) 做功的力是____
大小
做正功
动力
不做功
动力
阻力
做负功
阻力
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由合力与分力的等效替代关系知，合力与分力做功也是可以等效替代的，因此计算总功的方法有两种：
1．先求物体所受的合外力，再根据公式W合＝F合lcos α求合外力的功．
2．先根据W＝Flcos α，求每个分力做的功W1，W2，…，Wn，再根据W合＝W1＋W2＋…＋Wn，求合力的功．即合力做的功等于各个分力做功的代数和．
三、总功的两种求解思路
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问 题
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问题一 怎样理解功？
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1．做功需要两个必备因素．
(1)做功具有两个必不可少的因素：
①做功的力；②物体在力的方向上的位移．
(2)力对物体是否做了功，只与这两个因素有关，只有两者都不为零，力才对物体做了功，并且功的大小等于力与物体在力的方向上的位移的乘积．
2．对公式W＝Flcos α的理解．
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(1)各符号的含义．
F表示力的大小，l表示力的作用点相对于地面位移的大小，当力的作用点的位移与物体的位移相同时，也常常说是物体相对于地面的位移大小；α表示力和位移方向间的夹角．
(2)W＝F·lcos α与W＝Fcos α·l的理解．
公式可以表示为W＝F·lcos α，表达的物理意义是功等于力与沿力F方向的位移的乘积；公式也可以表示为W＝Fcos α·l，表达的物理意义是功等于沿位移方向的力与位移的乘积．
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3．做功的实质．
做功的过程是能量转化的过程，功是能量转化的量度．
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尝试应用
1．关于人对物体做功，下列说法中正确的是( )
A．解放军战士用肩扛枪站岗，战士用了力，所以战士对枪做了功
B．人用手拎着小水桶在水平地面上匀速行走，人用了力，所以人做功了
C．人用绳子把一桶水从井中提起，人对这桶水没有做功
D．汽车抛锚时，人用了很大的力，才能使车缓慢移动，人对车做了功
D
答案：
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问题二 怎样理解功的正负？
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1．功是标量．
功是标量，只有量值，没有方向．功的正、负并不表示功的方向，而且也不是数量上的正与负．我们既不能说“正功与负功的方向相反”，也不能说“正功大于负功”，它们仅表示相反的做功效果．
2．正、负功的物理意义．
因为功是描述力在空间位移上累积效果的物理量，是能量转化的量度，能量是标量，相应的功也是标量．功的正、负有如下含义：
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意义 动力学角度 能量角度
正功 力对物体做正功，这个力对物体来说是动力 力对物体做功向物体提供能量，即受力物体获得了能量
负功 力对物体做负功，这个力是阻力，对物体的运动起阻碍作用 物体克服外力做功，向外输出能量(以消耗自身的能量为代价)，即负功表示物体失去了能量
说明 功是标量，不能把正、负功中的正、负号理解为功是矢量．一个力对物体做了负功，往往说成物体克服这个力做了功，这两种说法是等效的
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3.判断正负功的方法．
(1)从力和位移的夹角大小判断：0≤α<90°，做正功；90°<α≤180°，做负功；α＝90°，不做功．
(2)从力和速度的夹角大小判断：0≤θ<90°，做正功；90°<θ≤180°，做负功；θ＝90°，不做功．
(3)根据功能关系判断：物体的能量增加，外力做正功；物体的能量减少，外力做负功．
问 题
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尝试应用
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2.有一根轻绳系一个物体，如图所示，在绳的拉力作用下，物体向下做匀减速运动，则作用在物体上的各力做功的情况是( )
A．重力做正功，拉力做负功，合外力做负功
B．重力做正功，拉力做负功，合外力做正功
C．重力做正功，拉力做正功，合外力做正功
D．重力做负功，拉力做负功，合外力做正功
A
答案：
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1．恒力功的计算．
一个恒力F对物体做功W＝F·lcos α有两种处理方法：一种是W等于力F乘以物体在力F方向上的分位移lcos α，即物体的位移分解为沿F方向上和垂直于F方向上的两个分位移l1和l2，则F做的功W＝F·l1＝Flcos α；一种是W等于力F在位移l方向上的分力Fcos α乘以物体的位移 l，即将力F分解为沿 l方向上和垂直于l方向上的两个分力F1和F2，则F做的功：W＝F1·l＝Fcos α·l.
问题三 如何计算功？
问 题
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功的正、负可直接由力F与位移l的夹角α的大小或力F与物体速度v方向的夹角α的大小判断．
2．总功的计算．
虽然力、位移都是矢量，但功是标量，物体受到多个外力作用时，计算合外力的功，要考虑各个外力共同做功产生的效果，一般有如下两种方法：
(1)先由力的合成与分解法或根据牛顿第二定律求出合力F合，然后由W＝F合lcos α计算．
(2)由W＝Flcosα计算各个力对物体做的功W1，W2，…，Wn，然后将各个力所做的功求代数和，即
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(2)力F在全程中是变力，但在每一个阶段是恒力，这样就可以先计算每个阶段的功，再利用求和的方法计算整个过程中变力做的功．
(3)阻力的功及图象法．
①阻力的功：如果阻力大小不变，方向始终与运动方向相反，可以直接用力的大小乘以路程．如滑动摩擦力、空气阻力做功等．
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②图象法，如图所示，在F－x图象中，如果能求出图线与x轴围成的面积，这个面积值，即为F在这段位移上的功．
(4)利用动能定理或能量守恒定律求变力的功(在后面将要学到)．
名师提示：计算功的基本方法：先画出受力图，然后，找出位移及力和位移方向的夹角，注意：明确“哪个力在哪段过程做的功”，要注意“一个力对物体做功”和“物体对物体做功”的含义不同．
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尝试应用
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A
答案：
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C
答案：
解析：
物体A受三个力的作用，分别为重力、弹力和摩擦力，重力的方向竖直向下，与位移方向垂直不做功．由于物体做匀速运动，合外力为零．故弹力、摩擦力的合力方向竖直向上，也不做功．
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题型1 正功和负功的判断
例1一人乘电梯从1楼到20楼，在此过程中经历了先加速，后匀速，再减速的运动过程，则电梯支持力对人做功情况是( )
A．加速时做正功，匀速时不做功，减速时做负功
B．加速时做正功，匀速和减速时做负功
C．加速和匀速时做正功，减速时做负功
D．始终做正功
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解析：
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答案：
D
力对物体做功的表达式为W＝Flcos α，0°≤α<90°时，F做正功；α＝90°时，F不做功；90°<α≤180°时，F做负功．电梯支持力始终竖直向上，与位移同向，α＝0°，故支持力始终做正功，D正确．
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名师归纳：在本题的三种运动情形中，支持力的方向均与速度方向同向，故都做正功，功的正负与运动状态无关．
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变式应用
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1．(双选)如图，一质量为m的物体以一定的初速度冲上一固定斜面，到达斜面顶端时速度刚好为零，则物体在斜面上上滑时，各力做功的情况的描述正确的是( )
A．重力做正功
B．支持力不做功
C．摩擦力做负功
D．合外力做正功
答案：
BC
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题型2 功的计算
例2如图所示，已知一固定斜面的倾角为θ，斜面的长为L，试求：质量为m的物体从斜面顶端滑至底端重力所做的功．
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方法一 直接用公式，由W＝Flcos α得，如图所示，W＝mgLcos(90°－θ)＝mgLsin θ.
方法二 分解力，如图所示，重力垂直斜面方向的分力不做功，只有沿斜面方向的分力做功．
WG＝mgsin θ·L
＝mgLsin θ.
方法三 分解位移，因为物体在重力方向上的位移为Lsin θ，所以重力的功WG＝mgLsin θ.
mgLsin θ
答案：
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名师归纳：对恒力做功有三种求法，第一种方法是公式法，应用时，应特别注意力和位移方向的夹角．第二种方法是分解力，这也正是推导W＝Flcos α所用的方法，第三种方法是分解位移，找出物体在力的方向上所发生的位移(注意做功不可缺少的因素之一就物体在力和方向上发生的位移)具体用哪种方法，须根据实际题目的已知条件选取．
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如图所示，水平地面上的物体质量为2 kg，在方向与水平面成37°角、大小为10 N的拉力F作用下移动2 m，已知物体与水平地面间的动摩擦因数为0.2.在这一过程中，物体受的各力做功多少？合力做功多少？(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
题型3 总功的计算
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物体受重力、支持力、拉力、摩擦力四个力作用，受力分析如图所示，其中重力和支持力与运动方向垂直，不做功，拉力做正功，摩擦力做负功．
解法一：拉力F对物体做的功为
WF＝F·lcos 37°＝10×2×0.8＝16 (J)．
摩擦力对物体做的功为
WFf＝Fflcos 180°＝－μ(mg－Fsin 37°)l＝
－0.2×(2×10－10×0.6)×2＝－5.6 (J)．
重力和支持力做的功为WG＝WFN＝0.
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合力做功为
W合＝WG＋WFN＋WF＋WFf＝16－5.6＝10.4 (J)．
解法二：物体所受到的合力为
F合＝Fcos 37°－Ff＝10×0.8－2.8＝5.2 (N)．
所以W合＝F合·l＝5.2×2＝10.4 (J)．
WG＝WFN＝0 WF＝16 J WFf＝－5.6 J W合＝10.4 J
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名师归纳：对于总功的计算，常见的求解方法有两种：①先对物体进行受力分析，根据功的计算式求出各个力所做的功，然后求它们的代数和；②先对物体进行受力分析，求出物体所受的合力，然后根据功的计算式求出合力所做的功．
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如图所示，物体受到重力、拉力、斜面的支持力和摩擦力的作用，做单向直线运动，其位移的大小与移动的距离相等．所以重力所做的功为
WG＝mglcos(90°－θ)＝3×10×2×cos 60°＝30 (J)，
拉力所做的功
WF＝Fl＝10×2＝20 (J)．
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支持力与物体运动方向垂直，它所做的功WFN＝0.滑动摩擦力的方向与位移方向相反，做功为
WG＝30 J WF＝20 J WFN＝0 WFf＝－30 J W总＝20 J
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题型4 功与动力学知识综合应用
如图所示，绳的一端固定在天花板上，通过一动滑轮将质量m＝10 kg 的物体由静止开始以2 m/s2的加速度提升．求作用在绳的另一端的拉力F 在3 s内所做的功．(g取10 m/s2，滑轮和绳的质量及摩擦均不计)
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1 080 J
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名师归纳：利用公式W＝Flcos α计算功时，需要确定物体的受力F和物体对地的位移l；当物体处于平衡状态时，可利用平衡条件求力F；当物体做变速运动时，常利用牛顿第二定律求力F.而物体的位移l通常和运动学的知识相联系，所以功的计算问题有时也是一个学科内综合问题．
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3．静止在光滑水平面上的物体质量为2.5 kg，在与水平方向成60°角斜向上的力F作用下运动了10 s，已知F＝10 N．求10 s内力F所做的功．(g取10 m/s2)
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500 J
答案：物理·必修2(人教版)
机械能守恒定律
第二节 功
1．下列说法错误的是( )
A．－10 J的功大于＋5 J的功
B．功是标量，正、负表示外力对物体做功还是物体克服外力做功
C．一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动
D．功是矢量，正、负表示方向
答案：D
2．下列关于做功的说法中，正确的是( )
A．凡是受力作用的物体，一定有力对物体做功
B．凡是发生了位移的物体，一定有力对物体做功
C．只要物体受力的同时又有位移发生，则一定有力对物体做功
D．只要物体受力，又在力的方向上发生了位移，则一定有力对物体做功
答案：D
3．将一质量为m的小球竖直向上抛出，小球 ( http: / / www.21cnjy.com )上升h后又落回地面，在整个过程中受到空气阻力大小始终为f，则关于这个过程中重力与空气阻力所做的功，下列说法正确的是( )
A．重力做的功为2mgh，空气阻力做的功为－2fh
B．重力做的功为0，空气阻力做的功也为0
C．重力做的功为0，空气阻力做的功为－2fh
D．重力做的功为0，空气阻力做的功为0
答案：C
4．如图所示，表示物体在力F作用下在水平面 ( http: / / www.21cnjy.com )上发生一段位移，试分别计算这三种情况下力F对物体所做的功．设在这三种情况下力F和位移l的大小都相同：F＝10 N，l＝1 m，角θ的大小如图所示．
解析：甲图中力F与位移l之间的夹角α1＝30°
W1＝Flcos 30°＝10×1× J＝5 J
乙图中F与l的夹角α2＝150°
W2＝Flcos 150°＝10×1× J＝－5 J
丙图中F与l的夹角α3＝30°
W3＝Flcos 30°＝5 J
答案：5 J －5 J 5 J
一、单项选择题
1．质量为m的物体从高处由静止下落，如不计空气阻力，在第1 s内和第3 s内重力做的功之比为( )
A．1∶1 B．1∶3
C．1∶5 D．1∶8
解析：物体在第1 s内和第3 s内下降的高 ( http: / / www.21cnjy.com )度分别为：x1＝g×12＝g，x2＝g(32－22)＝g.第1 s内和第3 s内重力做的功分别为W1＝mgx1＝mg2，W2＝mgx2＝mg2，所以W1∶W2＝1∶5，C正确．
答案：C
2．以某一初速度竖直向上抛 ( http: / / www.21cnjy.com )出一个质量为m的小球，上升的最大高度是h.如果空气阻力F阻的大小恒定，则从抛出到落回出发点的整个过程中，空气阻力对小球做的功为( )
A．0 B．－F阻h
C．－2mgh D．－2F阻h
解析：整个过程中阻力是变力，分段求功， ( http: / / www.21cnjy.com )上升阶段阻力做的功W1＝－F阻h，下降阶段阻力做的功W2＝－F阻h，总功为W＝W1＋W2＝－2F阻h，D正确．
答案：D
3．如图所示，在加速运动的车厢中，一个人用力沿车前进的方向推车厢，已知人与车厢始终保持相对静止，那么人对车厢做功的情况是( )
A．做正功 B．做负功
C．不做功 D．无法确定
解析：人随车一起向车前进的方向加速运动，表明车对人在水平方向上的合力向前，根据牛顿第三定律，人对车在水平方向的合力与车运动方向相反，由于人对车的压力对车不做功，故人对车做负功，B正确．
答案：B
4．如图，物体A在两个相互垂直的力 ( http: / / www.21cnjy.com )F1、 F2 作用下运动，在一段时间内，F1 对物体A做功3 J，F2对物体A做功4 J，那么合力做功是( )
A．5 J
B．7 J
C．1 J
D．F1、F2大小未知故无法确定
解析：合力做的功等于每个力做的功的代数和，B对．
答案：B
5．如图所示，用恒力F拉着质量为m的物体沿水平面从A移到B的过程中，下列说法正确的是( )
A．有摩擦力时比无摩擦力时F做的功多
B．有摩擦力时比无摩擦力时F做的功少
C．物体加速运动时F做的功比减速运动时F做的功多
D．物体无论是加速、减速还是匀速，力F做的功一样多
解析：力一定，物体的位移一定，无论是否有摩擦，也不管物体做什么运动，力做的功都是一确定的值，D对．
答案：D
6．如图所示．在水平面上，有一弯曲 ( http: / / www.21cnjy.com )的槽道弧AB，槽道由半径分别为和R的两个半圆构成，现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点沿滑槽道拉至B点，若拉力F的方向时时刻刻均与小球运动方向一致，则此过程中拉力所做的功为( )
A．0 B．FR
C.πFR D．2πFR
解析：虽然拉力方向时刻改变，但力与运动方向始 ( http: / / www.21cnjy.com )终一致，用微元法，在很小的一段位移内可以看成恒力，小球的路程为πR＋π，则拉力做的功为πFR，故C正确．
答案：C
二、双项选择题
7．如图所示，B物体在拉力F的作用下向左运动，在运动过程中，A、B之间有相互作用的摩擦力，则这对摩擦力做功的情况，下列说法中正确的是( )
A．A、B都克服摩擦力做功
B．摩擦力对A不做功
C．摩擦力对B做负功
D．摩擦力对A、B都不做功
解析：对A、B受力分析如图 ( http: / / www.21cnjy.com )所示，物体A在Ff2作用下没有位移，所以摩擦力对A不做功，故B正确；对物体B，Ff1与位移夹角为180°，做负功，故C正确，A、D错误．
答案：BC
8．关于力对物体做功，以下说法正确的是( )
A．一对作用力和反作用力，若作用力做正功，则反作用力一定做负功
B．若物体所受合外力不为零，则合外力一定对物体做功
C．静摩擦力可以对物体做正功
D．滑动摩擦力可以对物体做正功
解析：作用力做正功时，反 ( http: / / www.21cnjy.com )作用力可能做正功，也可能做负功，甚至不做功，A错．若合外力始终与运动方向垂直(如匀速圆周运动)，合外力不做功，B错．无论是静摩擦力，还是滑动摩擦力，都是既可以做正功，也可以做负功，甚至不做功，C、D对．
答案：CD
9．下面列举的哪几种情况下所做的功是零( )
A．卫星做匀速圆周运动，地球的引力对卫星做的功
B．小球做平抛运动，重力做的功
C．举重运动员扛着杠铃在头的上方停留10 s，运动员对杠铃做的功
D．木块在粗糙的水平面上滑动，摩擦力做的功
解析：当一个力作用在物体上，物体没有位移，力做的功为零，C对；如果力的方向与速度的方向始终垂直，则力对物体做的功也为零，A对．
答案：AC
10．物体在合外力作用下做直线运动的vt图象如图所示．下列表述中正确的是( )
A．在0～1 s内，合外力做正功
B．在0～2 s内，合外力总是做负功
C．在1 s～2 s内，合外力总是做负功
D．在0～3 s内，合外力总是做正功
解析：在0～1 s内物体做加速运动，力 ( http: / / www.21cnjy.com )的方向与位移的方向相同，做正功，A对，B错；1 s～2 s内物体做匀减速运动，力的方向与位移的方向相反，合外力做负功，C对，D错．
答案：AC
11．一物体在水平面上，受恒定的水平拉力和摩擦力作用沿直线运动，已知在第1秒内合力对物体做的功为45 J，在第1秒末撤去拉力，其vt图象如图所示，g取10 m/s2，则( )
A．物体的质量为10 kg
B．物体与水平面的动摩擦因数为0.2
C．第1秒内摩擦力对物体做的功为－60 J
D．第1秒内拉力对物体做的功为60 J
解析：由图象知1～4 s内的加速度a1＝μg＝1 m/s2，则μ＝0.1，B错，第1秒的加速度a＝3 m/s2，位移s＝1.5 m，合外力做的功W＝mas＝45 J，则m＝＝ kg＝10 kg，A对，摩擦力做的功Wf＝－μmgs＝－0.1×10×10×1.5 J＝－15 J，C错，拉力做的功WF＝F·s＝(μmg＋ma)s＝(0.1×10×10＋10×3)×1.5 J＝60 J，D对．
答案：AD
