数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.2空间向量基本定理（共24张ppt）
文档属性
| 名称 | 数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.2空间向量基本定理（共24张ppt） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 41.7MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-09-04 18:20:15 | ||
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文档简介
(共24张PPT)
1.2 空间向量基本定理
第 一 章空间向量与立体几何
人教A版2019选修第一册
学习目标
1.了解空间向量基本定理及其意义；
2.掌握空间向量的正交分解；
3.能够用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量。
01复习回顾
PART ONE
复习回顾
（1） 向量共线
对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb
（2） 向量共面
三个向量共面的充要条件：向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb
我们所在的教室即是一个三维立体图,如果以教室的一个墙角为始点,沿着三条墙缝作向量可以得到三个空间向量.
思考：这三个空间向量是不共面的,那么如何用这三个向量表示空间中任意的向量呢？
情景导入
02空间向量基本定理
PART ONE
空间向量基本定理
观察右图并回答以下问题，已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为4，在AB，AD，AD1上分别取单位向量e1，e2，e3.
问题1：e1，e2，e3共面吗？
不共面
问题2：试用e1，e2，e3表示
问题3：若，M为A1B1的中点试用e1，e2，e3表示
空间向量基本定理
因此，如果是空间三个两两垂直的向量，那么对于任意一个空间向量p存在唯一有序实数组（x,y,z），使得p= xi+ 。
如图，设是空间中三个两两垂直的向量，且表示他们的有向线段有公共起点O，对于任意一个空间向量设为在所确定的平面上的投影向量，则=+,又向量，共线，因此存在唯一实数z，使得，从而=+ ，
而在所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对（x,y），使得=xi+ .从而，=+ = xi+ .
我们称 xi, 分别为向量p在上的分向量。
空间向量基本定理
如果三个向量,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=x +yb+zc.
空间向量基本定理
基底
我们把定理中的叫做空间的一个基底, ,b,c都叫做基向量.
空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
空间向量基本定理
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底,常用表示.
由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量,均可以分解为三个向量xi,yj,zk,
使a=xi+yj+zk,像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解.
单位正交基底
空间向量基本定理
思考1：基底中能否有零向量？
不能，因为零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面.
思考2：空间向量的基底唯一吗？
不唯一，只要三个向量不共面，这三个向量就可以组成空间的一个基底。
思考3：基底选定后，空间中的所有向量均可由该基底唯一表示吗？不同基底下，同一个向量的表达式都相同吗？
基底选定后，空间中的所有向量均可由该基底唯一表示，不一定相同，不同基底下，同一个向量的表达式也有可能不同.
空间向量基本定理
思考4：基底与基向量的概念有什么不同？
一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量.
二者是相关联的不同概念 .
平移向量a，b，c，p使它们共起点，如图所示，以p为体对角线，
在a，b，c方向上作平行六面体，易知这个平行六面体是唯一的，
因此p在a，b，c方向上的分解是唯一的，即x，y，z是唯一的．
思考5：为什么空间向量基本定理中x，y，z是唯一的？
03空间向量基本定理的应用
PART ONE
基底的辨析
1.判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)空间向量的基底是唯一的.( )
(2)若a,b,c是空间向量的一个基底,则a,b,c均为非零向量.( )
(3)已知A,B,M,N是空间四点,若 , , 不能构成空间的一个基底,则A,B,M,N共面.( )
(4)若{a,b,c}是空间的一个基底,且存在实数x,y,z使得xa+yb+zc=0,则有x=y=z=0.( )
×
√
√
√
基底的辨析
2.已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，则可以和向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是( )
A．a B．b C．a＋2b D．a＋2c
解析：能与p，q构成基底，则与p，q不共面．∵a＝，b＝，a＋2b＝，∴A、B、C都不合题意，由于{a，b，c}构成基底，∴a＋2c与p，q不共面，可构成基底．
答案：D
基底的辨析
3.已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3＝－3e1＋e2＋2e3，
＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底
基底的辨析
判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．
方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．
②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．
方法总结
4.设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底,给出下列向量组:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c}.其中可以作为空间一个基底的向量组有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
基底的辨析
用基底表示向量
1.如图， 在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若 ＝a，＝b，＝c，则 ＝________.
解析：＝－＝(＋)－(＋)＝－＋－＝－a＋b－c.
－a＋b－c
用基底表示向量时，
若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律；
若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求．
方法总结
用基底表示向量
用基底表示向量
用基底表示向量
04课堂小结
PART ONE
课堂小结
1.2 空间向量基本定理
第 一 章空间向量与立体几何
人教A版2019选修第一册
学习目标
1.了解空间向量基本定理及其意义；
2.掌握空间向量的正交分解；
3.能够用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量。
01复习回顾
PART ONE
复习回顾
（1） 向量共线
对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb
（2） 向量共面
三个向量共面的充要条件：向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb
我们所在的教室即是一个三维立体图,如果以教室的一个墙角为始点,沿着三条墙缝作向量可以得到三个空间向量.
思考：这三个空间向量是不共面的,那么如何用这三个向量表示空间中任意的向量呢？
情景导入
02空间向量基本定理
PART ONE
空间向量基本定理
观察右图并回答以下问题，已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为4，在AB，AD，AD1上分别取单位向量e1，e2，e3.
问题1：e1，e2，e3共面吗？
不共面
问题2：试用e1，e2，e3表示
问题3：若，M为A1B1的中点试用e1，e2，e3表示
空间向量基本定理
因此，如果是空间三个两两垂直的向量，那么对于任意一个空间向量p存在唯一有序实数组（x,y,z），使得p= xi+ 。
如图，设是空间中三个两两垂直的向量，且表示他们的有向线段有公共起点O，对于任意一个空间向量设为在所确定的平面上的投影向量，则=+,又向量，共线，因此存在唯一实数z，使得，从而=+ ，
而在所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对（x,y），使得=xi+ .从而，=+ = xi+ .
我们称 xi, 分别为向量p在上的分向量。
空间向量基本定理
如果三个向量,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=x +yb+zc.
空间向量基本定理
基底
我们把定理中的叫做空间的一个基底, ,b,c都叫做基向量.
空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
空间向量基本定理
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底,常用表示.
由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量,均可以分解为三个向量xi,yj,zk,
使a=xi+yj+zk,像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解.
单位正交基底
空间向量基本定理
思考1：基底中能否有零向量？
不能，因为零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面.
思考2：空间向量的基底唯一吗？
不唯一，只要三个向量不共面，这三个向量就可以组成空间的一个基底。
思考3：基底选定后，空间中的所有向量均可由该基底唯一表示吗？不同基底下，同一个向量的表达式都相同吗？
基底选定后，空间中的所有向量均可由该基底唯一表示，不一定相同，不同基底下，同一个向量的表达式也有可能不同.
空间向量基本定理
思考4：基底与基向量的概念有什么不同？
一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量.
二者是相关联的不同概念 .
平移向量a，b，c，p使它们共起点，如图所示，以p为体对角线，
在a，b，c方向上作平行六面体，易知这个平行六面体是唯一的，
因此p在a，b，c方向上的分解是唯一的，即x，y，z是唯一的．
思考5：为什么空间向量基本定理中x，y，z是唯一的？
03空间向量基本定理的应用
PART ONE
基底的辨析
1.判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)空间向量的基底是唯一的.( )
(2)若a,b,c是空间向量的一个基底,则a,b,c均为非零向量.( )
(3)已知A,B,M,N是空间四点,若 , , 不能构成空间的一个基底,则A,B,M,N共面.( )
(4)若{a,b,c}是空间的一个基底,且存在实数x,y,z使得xa+yb+zc=0,则有x=y=z=0.( )
×
√
√
√
基底的辨析
2.已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，则可以和向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是( )
A．a B．b C．a＋2b D．a＋2c
解析：能与p，q构成基底，则与p，q不共面．∵a＝，b＝，a＋2b＝，∴A、B、C都不合题意，由于{a，b，c}构成基底，∴a＋2c与p，q不共面，可构成基底．
答案：D
基底的辨析
3.已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3＝－3e1＋e2＋2e3，
＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底
基底的辨析
判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．
方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．
②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．
方法总结
4.设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底,给出下列向量组:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c}.其中可以作为空间一个基底的向量组有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
基底的辨析
用基底表示向量
1.如图， 在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若 ＝a，＝b，＝c，则 ＝________.
解析：＝－＝(＋)－(＋)＝－＋－＝－a＋b－c.
－a＋b－c
用基底表示向量时，
若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律；
若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求．
方法总结
用基底表示向量
用基底表示向量
用基底表示向量
04课堂小结
PART ONE
课堂小结