(共19张PPT)
1.2.1 矩形的性质与判定（1）
平行四边形的性质：
边
平行四边形的对边平行；
平行四边形的对边相等；
角
平行四边形的对角相等；
平行四边形的邻角互补；
对角线
平行四边形的对角线互相平分；
平行四边形的判定：
边
两组对边分别平行的四边形；
两组对边分别相等的四边形；
角
两组对角分别相等的四边形；
对角线
对角线互相平分的四边形；
一组对边平行且相等的四边形；
平行四边形的判定定理：
与左图相比较，这种平行四边形特殊在哪里？它们有什么共同特征呢？
情景引入
平行四边形
有一个角是直角的平行四边形叫矩形.
矩形
有一个角是直角
下面的图形中有你熟悉的吗？
能举出一些生活中矩形的例子吗？
矩形具有工整,匀称,美观等许多优点,常被人们用在图案设计上.
教室里的黑板，门窗，课桌的桌面，信封明信片等都是矩形的形状。
你是否了解这种几何图形的性质呢？
矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。你能列举一些这样的性质吗？
矩形还具有哪些特殊的性质
边
对边平行；
对边相等；
角
对角相等；
邻角互补；
对角线
对角线互相平分；
矩形是中心对称图形。
矩形的性质的研究：
（1）矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？
做一做
（2）矩形中有还哪些性质呢？
请同学们用矩形纸片折一折，回答下列问题：
D
B
C
A
1、矩形是轴对称图形，
有两条对称轴，
是矩形两组对边的中垂线。
两条对称轴互相垂直。
2、矩形的四个角都是直角，
对角线相等。
结 论
D
B
C
A
1、矩形的四个角都是直角.
已知:如图,四边形ABCD是矩形
证明:
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴∠C=∠A=900, ∠B=∠D
AB∥CD.
求证:∠A=∠B=∠C=∠D=900.
D
B
C
A
矩形的性质
∠A=900.
∴∠C+∠B=1800,
∴∠B=900,
∴∠A=∠B=∠C=∠D=900.
2、矩形的两条对角线相等.
已知:AC,BD是矩形ABCD的两条对角线.
求证: AC=BD.
证明:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=900.
∵BC=CB,
∴△ABC≌△DCB(SAS).
∴AC=DB.
矩形的性质
D
B
C
A
E
边
对角线
角
A
B
C
D
O
矩形对边平行且相等；
矩形的四个角都是直角；
矩形的对角线相等且平分；
2、矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形。
设矩形的对角线AC与BD交于点E,那么,BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段
它与AC有什么大小关系 为什么
D
B
C
A
E
由此可得推论:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
BE是Rt△ABC中斜边AC上的中线.
∵在矩形ABCD中 AC=BD,BE=DE,
议一议:
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
已知：△ABC中，∠ACB=90°，AD = BD
证明：CD = AB
证明：延长CD到E使DE=CD，
连结AE、BE.
A
B
C
D
∵AD = BD ， DE =CD
∴四边形ACBE是平行四边形
E
又∵∠ACB = 90°
∴ ACBE是矩形
∴CE = AB
∵CD= CE， ∴CD = AB
矩形性质的应用
已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条线,AC,BD
相交于点O,∠AOD=1200,AB=2.5，求这个
矩形对角线的长.
解:
∵四边形ABCD是矩形,
∴在Rt△ABD中，BD=2AB=2×2.5=5(cm).
AC=BD,
∴∠DAB=900,
∵∠AOD=1200,
D
B
C
A
O
∴∠ODA=∠OAD =
∴OA=OD,
你还有其他解法吗？
四边形ABCD是矩形
若已知AB=8㎝，AD=6㎝，
则AC＝ ㎝，OB= ㎝
若已知∠CAB=40°，则∠OCB =
∠OBA= ∠AOB= ∠AOD=
若已知AC＝10㎝，BC=6㎝，则矩形的周长＝ ㎝，矩形的面积＝ ㎝2
4 若已知∠DOC=120°，AD＝6㎝，则AC= ㎝
O
D
C
B
A
5
50°
10
100°
40°
12
48
28
80°
练一练
2、已知矩形的一条对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为60°，则矩形的边长为：______________。
3、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，CD=5，则图中有 个等腰三角形，它们是 ；AB=______.
4、直角三角形两直角边分别为3和4.则斜边上的高为____ 斜边上的中线为____.
2.4
2.5
4cm和
两
△DAC和△BDC
10
当堂训练
1. 矩形ABCD的周长是56 cm，它的两条对角线相交于O，△AOB的周长比△BOC的周长短4 cm，则 AB=______BC=______.
12cm
16cm
C
A
B
D
第3题
如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.
证明：在△ABC中,
∵AD=BD=CD,
∴∠DAC=∠DCA，∠DCB=∠DBC
又∵三角形的内角和180°
∴∠DCA+∠DCB=90°
∴∠ACB=90°
已知：在△ABC中，AD=BD=CD
求证：∠ACB=90°
几何表述：
在△ABC中，
∵D是AB的中点
且CD= AB
∴∠ACB=90°
边
对角线
角
矩形对边平行且相等；
矩形的四个角都是直角；
矩形的对角线相等且平分；
矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形。
小 结
1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形.
2、矩形的性质
3、推论(直角三角形性质):直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
6.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，
求证：∠DHO=∠DCO．
选做题
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD=OB，∠COD=90°，
∵DH⊥AB，
∴OH=OB，
∴∠OHB=∠OBH，
又∵AB∥CD，
∴∠OBH=∠ODC，
在Rt△COD中，∠ODC+∠DCO=90°，
在Rt△GHB中，∠DHO+∠OHB=90°，
∴∠DHO=∠DCO．(共16张PPT)
1.2.2 矩形的性质与判定（2）
边
对角线
角
矩形对边平行且相等；
矩形的四个角都是直角；
矩形的对角线相等且平分；
矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形。
复习回顾
1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形.
2、矩形的性质
3、推论(直角三角形性质):直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
情境一
如图，在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在两个相对的顶点上，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生什么变化？
问题（2）:
当两条对角线的长度相等时平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？
问题（1）:
随着 的变化两条对角线的长度将发生 怎样的变化？
对角线相等的平行四边形是矩形.
猜想：
对角线的长度发生变化，平行四边形的形状发生变化
对角线相等的平行四边形是矩形吗？
A
B
C
D
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB = CD，AB∥DC
又∵BC=CB，AC=DB
∴△ABC≌△DCB
∴ ∠ABC=∠DCB
∵AB∥DC
∴∠ABC+∠DCB=1800
∴∠ABC=∠DCB= ×1800=900
∴ ABCD是矩形
在 ABCD中,AC、DB是两条对角线,AC=BD.
已知:
ABCD是矩形.
求证:
ABCD
AC = BD
四边形ABCD是矩形
矩形判定定理一
对角线相等的平行四边形是矩形.
A
B
C
D
情境二
李芳同学用四步画出了一个四边形，她的画法是“边——直角、边——直角、边——直角、边” ，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？为什么？
猜想：
你能证明上述结论吗？
有三个角是直角的四边形是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形吗
证明:
∵∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.
∴AD∥BC,AB∥CD.
求证:四边形ABCD是矩形.
∴四边形ABCD是平行四边形.
已知:如图,在四边形ABCD,∠A=∠B=∠C=90°.
D
B
C
A
∴四边形ABCD是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形
∠A=∠B=∠C=90°
四边形ABCD
是矩形
D
B
C
A
矩形判定定理二
矩形的判定方法:
四边形
矩形
有三个角是直角
平行四边形
一个角是直角
对角线相等
五种判定方法
生活中的数学
给你一根足够长的绳子，你能检查教室的门窗或你的桌子是不是矩形吗？你怎样检查？解释其中的道理。
答：先量两组对边的长度是否相等，若相等，是平行四边形，再量两条对角线是否等长，若等长，确定是矩形。
理由：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
对角线相等的平行四边形是矩形
∴ =AB·BC = 4×4 =16
ABCD
S
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC = 2OA，BD = 2OB。
∵△AOB是等边三角形
∴OA = OB，
∴AC =BD，
在Rt△ABC中，
∵AB = 4cm，AC=2AO=8cm，
例2 已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于O，△AOB是等边三角形，AB = 4，求这个平行四边形的面积.
A
B
C
D
O
∴ ABCD是矩形
例题讲解
∴BC=
练一练
1、下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？
（1）对角线相等的四边形是矩形；（ ）
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形（ ）
（3）有四个角相等的四边形是矩形；（ ）
×
√
√
2、如图，M为平行四边形ABCD边AD边的中点，且MB=MC，
求证：四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
M
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD
又∵M是AD的中点 ∴AM=DM
又BM=CM ∴△ABM≌△DCM
所以∠A=∠D
又∵∠A+∠D=180°
∴∠A=∠D=90°∴ ABCD是矩形
已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，CM∥BD,DM∥AC.
求证:四边形OCMD是矩形.
A
B
C
D
O
M
练一练
有一个角是直角的平行四边形是矩形.（定义）
对角线相等的平行四边形是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形.
矩形的判定方法:
课堂小结
布置作业
课本P16 1,2,3.(共11张PPT)
1.2.3 矩形的性质与判定（3）
学习目标：
1.进一步熟悉矩形的性质及其判定定理。
2.会综合应用矩形的性质及其判定定理进行
相关计算或证明。
有一个角是直角的平行四边形是矩形.（定义）
对角线相等的平行四边形是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形.
矩形的判定方法:
复习回顾
例3 在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE.求AE的长.
解∵ 四边形ABCD矩形，
∴AO=BO=DO= BD，∠BAD=90°
∵ED=3BE，∴BE=OE
又∵ AE⊥BD，∴AB=AO.
∴AB=AO=BO.
即 △ABO是等边三形.∴∠ABO=60°.
∴∠ADB=90°-∠ABO=30°.
在Rt△AED中，∵∠ADB=30°
∴AE= AD= ×6=3.
例题讲解
例4 如图,在△ABC中，AB=AC，AD为∠BAC的平分线，AN为△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.
求证：四边形ADCE是矩形.
在△ABC中，∵AB=AC，AD为∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC. ∴∠ADC=90°.
又∵CE⊥AN，∴∠CEA=90° .
∴四边形ADCE为矩形
证明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM，
∴∠CAD= ∠BAC，∠CAN= ∠CAM.
∴∠DAE=∠CAD+∠CAN
= （∠BAC+∠CAM）
= ×180° = 90°.
自学指导
2.延续完成P18页想一想。
F
自学检测1
1.如图,在矩形ABCD中 ,对角线AC与BD相交于点O, ∠ACB=30°, BD=4 ，矩形ABCD的面积 _________
2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD
相交于点O，过点A作BD的垂线，垂足为E.
已知∠EAD=3∠BAE，求∠EAO的度数.
第1题
第2题
解：∵∠EAD=3∠BAE，∠BAD=90° ∴∠BAE=22.5° ∴∠EAD=∠BAD-∠BAE=67.5° ∵AE⊥BD 即∠AED=90° ∴∠ADE=180-∠AED-∠EAO=22.5° ∵矩形的对角线互相平分 ∴AO=DO ∴∠OAD=∠ODA=22.5° ∴∠EAO=∠BAD-∠BAE-∠OAD=45°
证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴ AE=BD AE//BD 又∵D为BC中点，
∴ BD=CD
∴ AE=CD AE//CD ∴ 四边形ADCE是平行四边形 又在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，
∴ AD⊥BC
∴∠ADC=90° ∴ 四边形ADCE是矩形
2.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，
四边形ABDE是平行四边形.
求证：四边形ADCE是矩形.
练一练
矩形的四个角都是直角.
矩形的两条对角线相等.
推论(直角三角形性质):直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
A
B
C
D
性质：
矩形具有平行四边形的一切性质
矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.
矩形也是中心对称图形，对称中心是两对
角线的交点.
（2）对角线相等的平行四边形是矩形.
判定：
（1）定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形.
（3）有三个角是直角的四边形是矩形.
证明：∵△ABD和△BCD是两个全等的正三角形，∴AD=BD=AB=BC，∠ADB=∠DBC=60°，∴MD∥BN．
又∵M为AD中点，∴MD= AD，MB⊥AD，
∴∠DMB=90°．同理BN= BC，
∴MD=BN，
∴四边形BMDN是平行四边形，
又∵∠DMB=90°，
∴四边形BMDN是矩形．
4.课本P18随堂练习：
已知：如图，四边形ABCD是由两个全等的正三角形
ABD和BCD组成的，点M、N分别为AD、BC的中点．
求证：四边形BMDN是矩形．
5.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F.求PE+PF的值。
（选做题）
课本第19页知识技能第5题。
