数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.3.2空间向量运算的坐标表示（共19张ppt）
文档属性
| 名称 | 数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.3.2空间向量运算的坐标表示（共19张ppt） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 54.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-09-04 20:07:36 | ||
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文档简介
(共19张PPT)
1.3.2 空间向量运算的坐标表示
第 一 章空间向量与立体几何
人教A版2019选修第一册
学习目标
1．会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算问题．
2．掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直．
3．掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题.
01空间向量的坐标运算
PART ONE
空间向量的坐标运算
探究：有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量的坐标表示并给出证明吗？
空间向量的坐标运算
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)
与平面向量运算的坐标表示一样，我们有：
a+b=（a1+b1,a2+b2,a3+b3）
a—b=（a1—b1,a2—b2,a3—b3）
λa=（λa1,λa2,λa3）,λ∈R
ab=（a1b1,a2b2,a3b3）
空间向量的坐标运算
下面我们来证明空间向量的数量积运算的坐标表示：
设{i, j, k}为空间向量的正交基底，则
a=a1i+a2 j+a3k,b=b1i+b2 j+b3k
∴ab=（a1i+a2 j+a3k）（b1i+b2 j+b3k）
∵ii=j j=k k=1 ij=j k=k i=0
∴ab=（a1b1,a2b2,a3b3）
其他运算的坐标表示可以类似证明，请同学们自己完成。
空间向量的坐标运算
由上述结论可知，空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示是完全一致；
如：一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标
减去起点坐标.
空间向量的坐标运算
类似平面坐标运算的坐标表示，我们还可以得到：
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)
当b≠0时，a∥b a＝λb a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)
a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
空间向量的坐标运算
空间两点间的距离公式
设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，
02空间向量坐标运算的应用
PART ONE
空间向量的坐标运算
1．已知a=(2,-3,5),b=(-3,1,-4),求a+b,a-b,|a|,8a,a·b
空间向量的坐标运算
2.如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，E是棱D1D的中点，P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3 ＝，以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．若PQ⊥AE，求点Q的坐标．
由题可知：A(1,0,0)，E，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，设点P的坐标为(a，a,1)，
因为3 ＝，所以3(a－1，a－1,0)＝(－a，－a,0)，
所以3a－3＝－a，解得a＝，所以点P的坐标为 .
由题意可设点Q的坐标为(b，b,0)，
因为PQ⊥AE，所以 · ＝0，所以 ·＝0，
即－－＝0，解得b＝，所以点Q的坐标为.
空间向量的坐标运算
3.在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H是C1G的中点．
(1)求FH的长；
(2)求EF与C1G所成角的余弦值．
解：如图所示，以DA，DC，DD1为单位正交基底建立空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，E(0,0，)，F(，，0)，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，G(0，，0)．
(1)∵H是C1G的中点，∴H . 又F (，，0)，∴FH＝||＝＝.
(2)∵ ＝，则| |＝. 又||＝，且 ·＝，
∴cos〈，〉＝＝， 即EF与C1G所成角的余弦值为 .
空间向量的坐标运算
方法总结
运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤
(1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系；
(2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标；
(3)论证、计算：结合公式进行论证、计算；
(4)转化：转化为几何结论．
空间向量的坐标运算
3
空间向量的坐标运算
空间向量的坐标运算
04课堂小结
PART ONE
课堂小结
1.3.2 空间向量运算的坐标表示
第 一 章空间向量与立体几何
人教A版2019选修第一册
学习目标
1．会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算问题．
2．掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直．
3．掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题.
01空间向量的坐标运算
PART ONE
空间向量的坐标运算
探究：有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量的坐标表示并给出证明吗？
空间向量的坐标运算
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)
与平面向量运算的坐标表示一样，我们有：
a+b=（a1+b1,a2+b2,a3+b3）
a—b=（a1—b1,a2—b2,a3—b3）
λa=（λa1,λa2,λa3）,λ∈R
ab=（a1b1,a2b2,a3b3）
空间向量的坐标运算
下面我们来证明空间向量的数量积运算的坐标表示：
设{i, j, k}为空间向量的正交基底，则
a=a1i+a2 j+a3k,b=b1i+b2 j+b3k
∴ab=（a1i+a2 j+a3k）（b1i+b2 j+b3k）
∵ii=j j=k k=1 ij=j k=k i=0
∴ab=（a1b1,a2b2,a3b3）
其他运算的坐标表示可以类似证明，请同学们自己完成。
空间向量的坐标运算
由上述结论可知，空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示是完全一致；
如：一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标
减去起点坐标.
空间向量的坐标运算
类似平面坐标运算的坐标表示，我们还可以得到：
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)
当b≠0时，a∥b a＝λb a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)
a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
空间向量的坐标运算
空间两点间的距离公式
设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，
02空间向量坐标运算的应用
PART ONE
空间向量的坐标运算
1．已知a=(2,-3,5),b=(-3,1,-4),求a+b,a-b,|a|,8a,a·b
空间向量的坐标运算
2.如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，E是棱D1D的中点，P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3 ＝，以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．若PQ⊥AE，求点Q的坐标．
由题可知：A(1,0,0)，E，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，设点P的坐标为(a，a,1)，
因为3 ＝，所以3(a－1，a－1,0)＝(－a，－a,0)，
所以3a－3＝－a，解得a＝，所以点P的坐标为 .
由题意可设点Q的坐标为(b，b,0)，
因为PQ⊥AE，所以 · ＝0，所以 ·＝0，
即－－＝0，解得b＝，所以点Q的坐标为.
空间向量的坐标运算
3.在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H是C1G的中点．
(1)求FH的长；
(2)求EF与C1G所成角的余弦值．
解：如图所示，以DA，DC，DD1为单位正交基底建立空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，E(0,0，)，F(，，0)，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，G(0，，0)．
(1)∵H是C1G的中点，∴H . 又F (，，0)，∴FH＝||＝＝.
(2)∵ ＝，则| |＝. 又||＝，且 ·＝，
∴cos〈，〉＝＝， 即EF与C1G所成角的余弦值为 .
空间向量的坐标运算
方法总结
运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤
(1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系；
(2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标；
(3)论证、计算：结合公式进行论证、计算；
(4)转化：转化为几何结论．
空间向量的坐标运算
3
空间向量的坐标运算
空间向量的坐标运算
04课堂小结
PART ONE
课堂小结