黑龙江省哈尔滨市2023年中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．（2023·哈尔滨）的绝对值是（ ）
A． B．10 C． D．
2．（2023·哈尔滨）下列运算一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·哈尔滨）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·哈尔滨）七个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·哈尔滨）如图，是的切线，A为切点，连接﹐点C在上，，连接并延长，交于点D，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·哈尔滨）方程的解为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·哈尔滨）为了改善居民生活环境，云中小区对一块矩形空地进行绿化，这块空地的长比宽多6米，面积为720平方米，设矩形空地的长为x米，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·哈尔滨）将枚黑棋子5枚白棋子装入一个不透明的空盒子里，这些棋子除颜色外无其他差别，从盒子中随机取出一枚棋子，则取出的棋子是黑棋子的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·哈尔滨）如图，，相交于点，，是的中点，，交于点．若，则的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
10．（2023·哈尔滨）一条小船沿直线从码头向码头匀速前进，到达码头后，停留一段时间，然后原路匀速返回码头．在整个过程中，这条小船与码头的距离s（单位：）与所用时间（单位：）之间的关系如图所示，则这条小船从码头到码头的速度和从码头返回码头的速度分别为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．（2023·哈尔滨）船闸是我国劳动人民智慧的结晶，三峡船闸的“人”字闸门是目前世界上最大的巨型闸门，重867000千克，用科学记数法表示为 千克．
12．（2023·哈尔滨）在函数中，自变量x的取值范围是 ．
13．（2023·哈尔滨）已知反比例函数的图象经过点，则a的值为 ．
14．（2023·哈尔滨）计算的结果是 ．
15．（2023·哈尔滨）把多项式分解因式的结果是 ．
16．（2023·哈尔滨）抛物线与y轴的交点坐标 ．
17．（2023·哈尔滨）不等式组的解集是 ．
18．（2023·哈尔滨）一个扇形的圆心角是，弧长是，则扇形的半径是 cm．
19．（2023·哈尔滨）矩形的对角线，相交于点，点在矩形边上，连接．若，，则 ．
20．（2023·哈尔滨）如图在正方形中，点E在上，连接，，F为的中点连接．若，则的长为 ．
三、解答题（共60分）
21．（2023·哈尔滨）先化简，再求代数式的值，其中．
22．（2023·哈尔滨）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为个单位长度，线段和线段的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画出，且为钝角（点在小正方形的顶点上）；
（2）在方格纸中将线段向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度后得到线段（点的对应点是点，点的对应点是点），连接，请直接写出线段的长．
23．（2023·哈尔滨）军乐中学开展以“我最喜欢的劳动实践课”为主题的调查活动，围绕“在园艺课，泥塑课，编织课、烹饪课四门劳动实践课中，你最喜欢哪一门课？（必选且只选一门）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢泥塑课的学生人数占所调查人数的．
请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）若军乐中学共有1200名学生，请你估计该中学最喜欢烹任课的学生共有多少名．
24．（2023·哈尔滨）已知四边形是平行四边形，点在对角线上，点在边上，连接，，．
（1）如图①，求证；
（2）如图②，若，过点作交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中四个角（除外），使写出的每个角都与相等．
25．（2023·哈尔滨）佳衣服装厂给某中学用同样的布料生产，两种不同款式的服装，每套款服装所用布料的米数相同，每套款服装所用布料的米数相同，若套款服装和套款服装需用布料米，套款服装和套款服装需用布料米．
（1）求每套款服装和每套款服装需用布料各多少米；
（2）该中学需要，两款服装共套，所用布料不超过米，那么该服装厂最少需要生产多少套款服装？
26．（2023·哈尔滨）已知内接于，为的直径，N为的中点，连接交于点H．
（1）如图①，求证；
（2）如图②，点D在上，连接，，，交于点E，若，求证；
（3）如图③，在（2）的条件下，点F在上，过点F作，交于点G．，过点F作，垂足为R，连接，，，点T在的延长线上，连接，过点T作，交的延长线于点M，若，求的长．
27．（2023·哈尔滨）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．
（1）求，的值；
（2）如图①，是第二象限抛物线上的一个动点，连接，，设点的横坐标为，的面积为，求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）如图②，在（2）的条件下，当时，连接交轴于点，点在轴负半轴上，连接，点在上，连接，点在线段上（点不与点重合），过点作的垂线与过点且平行于的直线交于点，为的延长线上一点，连接，，使，是轴上一点，且在点的右侧，，过点作，交的延长线于点，点在上，连接，使，若，求直线的解析式．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：.
故答案为：A.
【分析】根据一个负数的绝对值等于其相反数，而只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案.
2．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、（-ab）2=a2b2，故此选项计算错误，不符合题意；
B、a3×a2=a5，故此选项计算错误，不符合题意；
C、（a3）4=a12，故此选项计算错误，不符合题意；
D、b2+b2=2b2，故此选项计算正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此可判断A选项；由同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可判断B选项；由幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断C选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，据此可判断D选项.
3．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、此选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、此选项中的图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、此选项中的图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可一一判断得出答案.
4．【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：该几何体的俯视图有两层，底层有三个小正方形，上层靠右边有两个小正方形.
故答案为：C.
【分析】俯视图就是从上向下看得到的平面图形，弄清层数及每层小正方形的个数是此题的关键.
5．【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：∵AB是圆O的切线，且A为切点，
∴AB⊥OA，
又∵OC⊥OA，
∴AB∥OC，
∴∠OCD=∠B=65°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=65°，
∴∠DOC=180°-∠OCD-∠ODC=50°.
故答案为：B.
【分析】根据圆的切线垂直于经过切点的半径可得AB⊥OA，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得AB∥OC，由二直线平行，同位角相等得∠OCD=∠B=65°，由等边对等角得∠OCD=∠ODC=65°，进而根据三角形的内角和定理可算出∠DOC的度数.
6．【答案】C
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：，
去分母得2（x+1）=3x，
去括号，得2x+2=3x，
移项、合并同类项，得x=2，
检验：当x=2时，x（x+1）≠0，
∴原方程的解为x=2.
故答案为：C.
【分析】根据比例的性质“两内项之积等于两外项之积”将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验可得原方程的解.
7．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解： 设矩形空地的长为x米，则宽为（x-6）米，
由题意得x(x-6)=720.
故答案为：A.
【分析】设矩形空地的长为x米，则宽为（x-6）米，根据矩形的面积等于长×宽建立出方程.
8．【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：将10枚黑棋子5枚白棋子装入一个不透明的空盒子里，这些棋子除颜色外无其他差别，从盒子中随机取出一枚棋子，则取出的棋子是黑棋子的概率是.
故答案为：D.
【分析】用袋子中黑色棋子的数量比上袋子中棋子的总数量可得从盒子中随机取出一枚棋子，则取出的棋子是黑棋子的概率.
9．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴△OAB∽△OCD，
∴，
∴OA=2OC，
∵AC=OC+OA=12，
∴3OC=12，
∴OC=4，
∴OA=8，
∵M为AB的中点，
∴AB=2BM，
∵MN∥AC，
∴△BMN∽△BAO，
∴，
∴OA=2MN，
∴MN=4.
故答案为：B.
【分析】由平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似可得△OAB∽△OCD，由相似三角形对应边成比例可得OA=2OC，结合已知可得OC=4，OA=8，由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似可得△BMN∽△BAO，由相似三角形对应边成比例及中点的定义可求出MN的长.
10．【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解： 这条小船从A码头到B码头的速为：1500÷50=30m/min；
这条小船从B码头到A码头的速度为：1500÷（160-100）=25m/min，
∴A、B、C三个选项都错误，不符合题意；只有D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】由图象提供的信息可得：A、B两码头相距1500m，这条小船从A码头到B码头用时50min， 这条小船从B码头到A码头用时（160-100）min，进而根据速度等于路程除以时间可得答案.
11．【答案】8.67×105
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 867000千克=8.67×105千克.
故答案为：8.67×105.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
12．【答案】x≠8
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意得x-8≠0，
解得x≠8.
故答案为：x≠8.
【分析】根据分式的分母不能为0建立不等式，求解可得答案.
13．【答案】2
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵ 反比例函数的图象经过点（a，7），
∴，
∴a=2.
故答案为：2.
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特点，将点（a，7）代入反比例函数解析式可算出a的值.
14．【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】先根据二次根式的性质将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式可得答案.
15．【答案】m(x-4)(x+4)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：mx2-16m=m(x2-16)=m(x-4)(x+4).
故答案为：m(x-4)(x+4).
【分析】先利用提取公因式法分解因式，再利用平方差公式法分解到每一个因式都不能再分解为止.
16．【答案】(0，2)
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：令抛物线y=-(x+2)2+6中的x=0得y=-（0+2）2+6=2，
∴抛物线y=-(x+2)2+6与y轴交点的坐标为（0，2）.
故答案为：(0，2).
【分析】令抛物线y=-(x+2)2+6中的x=0算出对应的函数值，可得该抛物线与y轴交点的坐标.
17．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解： ，
由①得x＞，
由②得x≥，
∴该不等式组的解集为：x＞.
故答案为：x＞.
【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集.
18．【答案】3
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：设该扇形的半径为r，
则由题意得，
解得r=3.
故答案为：3.
【分析】直接根据扇形的弧长计算公式“”建立方程，求解可得r的值.
19．【答案】46°或106°
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：当F在AB上时，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD=38°，
∴∠AOB=∠ODA+∠OAD=76°，
∵∠BOF=30°，
∴∠AOF=∠AOB-∠BOF=76°-30°=46°；
当F在BC上时，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD=38°，
∴∠AOB=∠ODA+∠OAD=76°，
∵∠BOF=30°，
∴∠AOF=∠AOB+∠BOF=76°+30°=106°，
综上，∠AOF的度数为：46°或106°.
故答案为：46°或106°.
【分析】由矩形的对角线相等且互相平分得OA=OD，由等边对等角得∠ODA=∠OAD=38°，由三角形外角性质得∠AOB=∠ODA+∠OAD=76°，然后分当F在AB上时与当F在BC上时两种情况，分别根据角的和差算出∠AOF的度数可得答案.
20．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠BCD=90°，AD=CD=BC，
在Rt△BCE中，∵点F是斜边BE的中点，且，
∴BE=2CF=，
∵，
∴设DE=3x，EC=2x，则AD=CD=BC=5x，
在Rt△BCE中，由勾股定理得CE2+BC2=BE2，即（2x）2+（5x）2=29，
解得x=1，
∴DE=3，AD=5，
在Rt△ADE中，由勾股定理得.
故答案为：.
【分析】由正方形的性质得∠D=∠BCD=90°，AD=CD=BC，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得BE=2CF=，由已知可设设DE=3x，EC=2x，则AD=CD=BC=5x，在Rt△BCE中，由勾股定理建立方程可求出x的值，从而得出DE、AD的长，最后在Rt△ADE中，由勾股定理可算出AE的长.
21．【答案】解：
，
当时，
原式．
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先将括号内各个分式的分母分别分解因式确定出两个分式的最简公分母，再通分计算括号内异分母分式的减法，同时将除式的分母分解因式，并将分式除法转变为分式乘法，然后约分化为最简形式，进而代入特殊锐角三角函数值求出x的值，最后将x的值代入分式运算化简的结果计算可得答案.
22．【答案】（1）解：解：如图所示，△ABE即为所求；
（2）解：如图所示，MN，EN即为所求；
．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及题目要求作图即可；
（2）利用方格纸的特点及平移的性质，分别作出点C、D向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后的对应点M、N，连接MN、EN，进而根据勾股定理算出EN的长度即可.
23．【答案】（1）解：最喜欢泥塑课的学生人数为10人，占所调查人数的20％，
∴这次调查中，一共抽取了名学生；
（2）解：最喜欢编织课的学生人数为人，
补全统计图如图所示，
（3）解：估计该中学最喜欢烹任课的学生共有名.
【知识点】用样本估计总体；条形统计图
【解析】【分析】（1）用喜欢泥塑课的人数除以其所占的百分比可求出本次调查的总人数；
（2）用本次调查的总人数分别减去喜欢“ 园艺课，泥塑课，烹饪课 ”的学生人数可算出喜欢编织课的学生人数，据此补全条形统计图；
（3）用该校学生的总人数乘以样本中喜欢烹饪课的学生人数所占的百分比可估计该中学最喜欢烹任课的学生人数.
24．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由（）得，
∴，
∵，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）由平行四边形的对边平行且相等得AD=BC，AD∥BC，结合已知可得AD=BE，由二直线平行，内错角相等得∠ADE=EBF，从而由SAS判断出△AED≌△EFB；
（2）∠BEA=∠EFC=∠DCH=∠DHC=∠BAE，理由如下：由一组邻边相等的平行四边形是菱形得四边形ABCD是菱形，由菱形的性质得AB=AD=CD=BC=BE，由等边对等角得∠BEA=∠BAE，由平行四边形对边平行得BC∥AD，AB∥CD，由二直线平行，内错角相等得∠ADE=∠EBF，∠ABE=∠CDH，∠BEA=∠DHC，然后用AAS判断出△ABE≌△CDH，得∠BAE=∠DCH=∠BEA=∠DHC，根据（1）中△AED≌△EFB可得∠AED=∠EFB，由等角的补角相等得∠BEA=∠EFC，综上即可得出结论.
25．【答案】（1）解：每套A款服装用布料a米，每套B款服装需用布料b米，根据题意得，
，
解得：，
答：每套A款服装用布料1.8米，每套B款服装需用布料1.6米；
（2）解：设服装厂需要生产x套B款服装，则生产（100-x）套A款服装，根据题意得，
，
解得：，
∵为正整数，
∴的最小值为60，
答：服装厂需要生产60套B款服装．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）每套A款服装用布料a米，每套B款服装需用布料b米，根据1套A款服装和2套B款服装需用布料5米，3套A款服装和1套B款服装需用布料7米列出方程组，求解即可；
（2）设服装厂需要生产x套B款服装，则生产（100-x）套A款服装，由生产x套B款服装所用的布料+生产（100-x）套A款服装所用布料不超过168米建立不等式，求出其最小整数解即可.
26．【答案】（1）证明：如图，连接OC，
为的中点，
，
，
是△ABC中位线，
；
（2）证明：如图，连接OC，
设，
，，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：连接AD，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形ADFE是平行四边形，
是的直径，
，
四边形ADFE矩形，
，
，
过点A作AS⊥DE垂足为S，
，
，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）连接OC，由垂径定理可得AH=HC，结合OA=OB可得OH是△ABC的中位线，根据三角形的中位线等于第三边的一半可得结论；
（2）连接OC，设∠BDC=2，首先利用SSS判断出△DOB≌△DOC，得∠BDO=∠CDO=，由等边对等角及同弧所对的圆周角相等得∠ACD=∠ABD=，则∠CDO=∠ACD=，由内错角相等，两直线平行得出OD∥AC；
（3）连接AD，首先由ASA判断出△DGF≌△CHE，得DF=CE，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得CE=AE=DF，由等边对等角及三角形外角线段得∠AED=2，则∠AED=∠BDC=2，由内错角相等，两直线平行得DF∥AE，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形ADFE是平行四边形，由直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得四边形ADFE是矩形，得∠EFD=90°，求出，过点A作AS⊥DE垂足为S，由等角的同名三角函数值相等得sin∠FDR=sin∠AES，推出FR=AS，利用AAS证出△CAS≌△TCM，得CT=AC，由∠CTA的正弦函数求出AC，由等角的同名三角函数值相等得，据此可求出BC的长，最后利用勾股定理可算出AB的长.
27．【答案】（1）解：点，在抛物线上，
，
解得：，
，；
（2）解：由（1）知，抛物线的解析式是，
是抛物线与轴的交点，
时，，
，
，
如下图，过点E作EW⊥y轴，垂足为W，
是第二象限抛物线上一点，点的横坐标为，
，
（3）解：如下图，以BM为一边作∠MBT=∠MBN，∠MBT的另一边BT交LM的延长线于点T；作MK⊥BT，垂足为K；作FS⊥BE，垂足为S；作EQ⊥x轴，垂足为Q，
，由（2）知，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
，，，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，轴，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
设，则，，
，
，
，
，
，
又点F在y轴负半轴上，
，
设直线BF的解析式为，
把，代入，得：，
解得：，
直线BF的解析式为
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将A、B两点的坐标分别代入 抛物线 可得关于字母a、b的方程组，求解得出a、b的值；
（2）首先求出点C的坐标得出OC的长，过点E作EW⊥y轴，垂足为W，由点E的横坐标为t可得EW=-t，进而根据三角形的面积计算公式求出S关于t的函数解析式；
（3）以BM为一边作∠MBT=∠MBN，∠MBT的另一边BT交LM的延长线于点T；作MK⊥BT，垂足为K；作FS⊥BE，垂足为S；作EQ⊥x轴，垂足为Q，先求出点E的坐标，然后推出∠EBT=60°，∠T=30°，然后用AAS判断出△MNB≌△MKB，得NB=BK，MN=MK，再利用HL证Rt△NMV≌Rt△KMT，得∠EBF=60°，由建立方程可求出OR的长，进而利用勾股定理算出BR的长，设，则，，由RS+BS=BR建立方程可求出m的值，从而可RF及OF的长，从而得出点F的坐标，最后利用待定系数法可求出直线BF的解析式.
1 / 1黑龙江省哈尔滨市2023年中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．（2023·哈尔滨）的绝对值是（ ）
A． B．10 C． D．
【答案】A
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：.
故答案为：A.
【分析】根据一个负数的绝对值等于其相反数，而只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案.
2．（2023·哈尔滨）下列运算一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、（-ab）2=a2b2，故此选项计算错误，不符合题意；
B、a3×a2=a5，故此选项计算错误，不符合题意；
C、（a3）4=a12，故此选项计算错误，不符合题意；
D、b2+b2=2b2，故此选项计算正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此可判断A选项；由同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可判断B选项；由幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断C选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，据此可判断D选项.
3．（2023·哈尔滨）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、此选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、此选项中的图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、此选项中的图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可一一判断得出答案.
4．（2023·哈尔滨）七个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：该几何体的俯视图有两层，底层有三个小正方形，上层靠右边有两个小正方形.
故答案为：C.
【分析】俯视图就是从上向下看得到的平面图形，弄清层数及每层小正方形的个数是此题的关键.
5．（2023·哈尔滨）如图，是的切线，A为切点，连接﹐点C在上，，连接并延长，交于点D，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：∵AB是圆O的切线，且A为切点，
∴AB⊥OA，
又∵OC⊥OA，
∴AB∥OC，
∴∠OCD=∠B=65°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=65°，
∴∠DOC=180°-∠OCD-∠ODC=50°.
故答案为：B.
【分析】根据圆的切线垂直于经过切点的半径可得AB⊥OA，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得AB∥OC，由二直线平行，同位角相等得∠OCD=∠B=65°，由等边对等角得∠OCD=∠ODC=65°，进而根据三角形的内角和定理可算出∠DOC的度数.
6．（2023·哈尔滨）方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：，
去分母得2（x+1）=3x，
去括号，得2x+2=3x，
移项、合并同类项，得x=2，
检验：当x=2时，x（x+1）≠0，
∴原方程的解为x=2.
故答案为：C.
【分析】根据比例的性质“两内项之积等于两外项之积”将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验可得原方程的解.
7．（2023·哈尔滨）为了改善居民生活环境，云中小区对一块矩形空地进行绿化，这块空地的长比宽多6米，面积为720平方米，设矩形空地的长为x米，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解： 设矩形空地的长为x米，则宽为（x-6）米，
由题意得x(x-6)=720.
故答案为：A.
【分析】设矩形空地的长为x米，则宽为（x-6）米，根据矩形的面积等于长×宽建立出方程.
8．（2023·哈尔滨）将枚黑棋子5枚白棋子装入一个不透明的空盒子里，这些棋子除颜色外无其他差别，从盒子中随机取出一枚棋子，则取出的棋子是黑棋子的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：将10枚黑棋子5枚白棋子装入一个不透明的空盒子里，这些棋子除颜色外无其他差别，从盒子中随机取出一枚棋子，则取出的棋子是黑棋子的概率是.
故答案为：D.
【分析】用袋子中黑色棋子的数量比上袋子中棋子的总数量可得从盒子中随机取出一枚棋子，则取出的棋子是黑棋子的概率.
9．（2023·哈尔滨）如图，，相交于点，，是的中点，，交于点．若，则的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴△OAB∽△OCD，
∴，
∴OA=2OC，
∵AC=OC+OA=12，
∴3OC=12，
∴OC=4，
∴OA=8，
∵M为AB的中点，
∴AB=2BM，
∵MN∥AC，
∴△BMN∽△BAO，
∴，
∴OA=2MN，
∴MN=4.
故答案为：B.
【分析】由平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似可得△OAB∽△OCD，由相似三角形对应边成比例可得OA=2OC，结合已知可得OC=4，OA=8，由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似可得△BMN∽△BAO，由相似三角形对应边成比例及中点的定义可求出MN的长.
10．（2023·哈尔滨）一条小船沿直线从码头向码头匀速前进，到达码头后，停留一段时间，然后原路匀速返回码头．在整个过程中，这条小船与码头的距离s（单位：）与所用时间（单位：）之间的关系如图所示，则这条小船从码头到码头的速度和从码头返回码头的速度分别为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解： 这条小船从A码头到B码头的速为：1500÷50=30m/min；
这条小船从B码头到A码头的速度为：1500÷（160-100）=25m/min，
∴A、B、C三个选项都错误，不符合题意；只有D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】由图象提供的信息可得：A、B两码头相距1500m，这条小船从A码头到B码头用时50min， 这条小船从B码头到A码头用时（160-100）min，进而根据速度等于路程除以时间可得答案.
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．（2023·哈尔滨）船闸是我国劳动人民智慧的结晶，三峡船闸的“人”字闸门是目前世界上最大的巨型闸门，重867000千克，用科学记数法表示为 千克．
【答案】8.67×105
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 867000千克=8.67×105千克.
故答案为：8.67×105.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
12．（2023·哈尔滨）在函数中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】x≠8
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意得x-8≠0，
解得x≠8.
故答案为：x≠8.
【分析】根据分式的分母不能为0建立不等式，求解可得答案.
13．（2023·哈尔滨）已知反比例函数的图象经过点，则a的值为 ．
【答案】2
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵ 反比例函数的图象经过点（a，7），
∴，
∴a=2.
故答案为：2.
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特点，将点（a，7）代入反比例函数解析式可算出a的值.
14．（2023·哈尔滨）计算的结果是 ．
【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】先根据二次根式的性质将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式可得答案.
15．（2023·哈尔滨）把多项式分解因式的结果是 ．
【答案】m(x-4)(x+4)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：mx2-16m=m(x2-16)=m(x-4)(x+4).
故答案为：m(x-4)(x+4).
【分析】先利用提取公因式法分解因式，再利用平方差公式法分解到每一个因式都不能再分解为止.
16．（2023·哈尔滨）抛物线与y轴的交点坐标 ．
【答案】(0，2)
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：令抛物线y=-(x+2)2+6中的x=0得y=-（0+2）2+6=2，
∴抛物线y=-(x+2)2+6与y轴交点的坐标为（0，2）.
故答案为：(0，2).
【分析】令抛物线y=-(x+2)2+6中的x=0算出对应的函数值，可得该抛物线与y轴交点的坐标.
17．（2023·哈尔滨）不等式组的解集是 ．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解： ，
由①得x＞，
由②得x≥，
∴该不等式组的解集为：x＞.
故答案为：x＞.
【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集.
18．（2023·哈尔滨）一个扇形的圆心角是，弧长是，则扇形的半径是 cm．
【答案】3
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：设该扇形的半径为r，
则由题意得，
解得r=3.
故答案为：3.
【分析】直接根据扇形的弧长计算公式“”建立方程，求解可得r的值.
19．（2023·哈尔滨）矩形的对角线，相交于点，点在矩形边上，连接．若，，则 ．
【答案】46°或106°
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：当F在AB上时，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD=38°，
∴∠AOB=∠ODA+∠OAD=76°，
∵∠BOF=30°，
∴∠AOF=∠AOB-∠BOF=76°-30°=46°；
当F在BC上时，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD=38°，
∴∠AOB=∠ODA+∠OAD=76°，
∵∠BOF=30°，
∴∠AOF=∠AOB+∠BOF=76°+30°=106°，
综上，∠AOF的度数为：46°或106°.
故答案为：46°或106°.
【分析】由矩形的对角线相等且互相平分得OA=OD，由等边对等角得∠ODA=∠OAD=38°，由三角形外角性质得∠AOB=∠ODA+∠OAD=76°，然后分当F在AB上时与当F在BC上时两种情况，分别根据角的和差算出∠AOF的度数可得答案.
20．（2023·哈尔滨）如图在正方形中，点E在上，连接，，F为的中点连接．若，则的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠BCD=90°，AD=CD=BC，
在Rt△BCE中，∵点F是斜边BE的中点，且，
∴BE=2CF=，
∵，
∴设DE=3x，EC=2x，则AD=CD=BC=5x，
在Rt△BCE中，由勾股定理得CE2+BC2=BE2，即（2x）2+（5x）2=29，
解得x=1，
∴DE=3，AD=5，
在Rt△ADE中，由勾股定理得.
故答案为：.
【分析】由正方形的性质得∠D=∠BCD=90°，AD=CD=BC，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得BE=2CF=，由已知可设设DE=3x，EC=2x，则AD=CD=BC=5x，在Rt△BCE中，由勾股定理建立方程可求出x的值，从而得出DE、AD的长，最后在Rt△ADE中，由勾股定理可算出AE的长.
三、解答题（共60分）
21．（2023·哈尔滨）先化简，再求代数式的值，其中．
【答案】解：
，
当时，
原式．
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先将括号内各个分式的分母分别分解因式确定出两个分式的最简公分母，再通分计算括号内异分母分式的减法，同时将除式的分母分解因式，并将分式除法转变为分式乘法，然后约分化为最简形式，进而代入特殊锐角三角函数值求出x的值，最后将x的值代入分式运算化简的结果计算可得答案.
22．（2023·哈尔滨）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为个单位长度，线段和线段的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画出，且为钝角（点在小正方形的顶点上）；
（2）在方格纸中将线段向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度后得到线段（点的对应点是点，点的对应点是点），连接，请直接写出线段的长．
【答案】（1）解：解：如图所示，△ABE即为所求；
（2）解：如图所示，MN，EN即为所求；
．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及题目要求作图即可；
（2）利用方格纸的特点及平移的性质，分别作出点C、D向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后的对应点M、N，连接MN、EN，进而根据勾股定理算出EN的长度即可.
23．（2023·哈尔滨）军乐中学开展以“我最喜欢的劳动实践课”为主题的调查活动，围绕“在园艺课，泥塑课，编织课、烹饪课四门劳动实践课中，你最喜欢哪一门课？（必选且只选一门）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢泥塑课的学生人数占所调查人数的．
请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）若军乐中学共有1200名学生，请你估计该中学最喜欢烹任课的学生共有多少名．
【答案】（1）解：最喜欢泥塑课的学生人数为10人，占所调查人数的20％，
∴这次调查中，一共抽取了名学生；
（2）解：最喜欢编织课的学生人数为人，
补全统计图如图所示，
（3）解：估计该中学最喜欢烹任课的学生共有名.
【知识点】用样本估计总体；条形统计图
【解析】【分析】（1）用喜欢泥塑课的人数除以其所占的百分比可求出本次调查的总人数；
（2）用本次调查的总人数分别减去喜欢“ 园艺课，泥塑课，烹饪课 ”的学生人数可算出喜欢编织课的学生人数，据此补全条形统计图；
（3）用该校学生的总人数乘以样本中喜欢烹饪课的学生人数所占的百分比可估计该中学最喜欢烹任课的学生人数.
24．（2023·哈尔滨）已知四边形是平行四边形，点在对角线上，点在边上，连接，，．
（1）如图①，求证；
（2）如图②，若，过点作交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中四个角（除外），使写出的每个角都与相等．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由（）得，
∴，
∵，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）由平行四边形的对边平行且相等得AD=BC，AD∥BC，结合已知可得AD=BE，由二直线平行，内错角相等得∠ADE=EBF，从而由SAS判断出△AED≌△EFB；
（2）∠BEA=∠EFC=∠DCH=∠DHC=∠BAE，理由如下：由一组邻边相等的平行四边形是菱形得四边形ABCD是菱形，由菱形的性质得AB=AD=CD=BC=BE，由等边对等角得∠BEA=∠BAE，由平行四边形对边平行得BC∥AD，AB∥CD，由二直线平行，内错角相等得∠ADE=∠EBF，∠ABE=∠CDH，∠BEA=∠DHC，然后用AAS判断出△ABE≌△CDH，得∠BAE=∠DCH=∠BEA=∠DHC，根据（1）中△AED≌△EFB可得∠AED=∠EFB，由等角的补角相等得∠BEA=∠EFC，综上即可得出结论.
25．（2023·哈尔滨）佳衣服装厂给某中学用同样的布料生产，两种不同款式的服装，每套款服装所用布料的米数相同，每套款服装所用布料的米数相同，若套款服装和套款服装需用布料米，套款服装和套款服装需用布料米．
（1）求每套款服装和每套款服装需用布料各多少米；
（2）该中学需要，两款服装共套，所用布料不超过米，那么该服装厂最少需要生产多少套款服装？
【答案】（1）解：每套A款服装用布料a米，每套B款服装需用布料b米，根据题意得，
，
解得：，
答：每套A款服装用布料1.8米，每套B款服装需用布料1.6米；
（2）解：设服装厂需要生产x套B款服装，则生产（100-x）套A款服装，根据题意得，
，
解得：，
∵为正整数，
∴的最小值为60，
答：服装厂需要生产60套B款服装．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）每套A款服装用布料a米，每套B款服装需用布料b米，根据1套A款服装和2套B款服装需用布料5米，3套A款服装和1套B款服装需用布料7米列出方程组，求解即可；
（2）设服装厂需要生产x套B款服装，则生产（100-x）套A款服装，由生产x套B款服装所用的布料+生产（100-x）套A款服装所用布料不超过168米建立不等式，求出其最小整数解即可.
26．（2023·哈尔滨）已知内接于，为的直径，N为的中点，连接交于点H．
（1）如图①，求证；
（2）如图②，点D在上，连接，，，交于点E，若，求证；
（3）如图③，在（2）的条件下，点F在上，过点F作，交于点G．，过点F作，垂足为R，连接，，，点T在的延长线上，连接，过点T作，交的延长线于点M，若，求的长．
【答案】（1）证明：如图，连接OC，
为的中点，
，
，
是△ABC中位线，
；
（2）证明：如图，连接OC，
设，
，，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：连接AD，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形ADFE是平行四边形，
是的直径，
，
四边形ADFE矩形，
，
，
过点A作AS⊥DE垂足为S，
，
，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）连接OC，由垂径定理可得AH=HC，结合OA=OB可得OH是△ABC的中位线，根据三角形的中位线等于第三边的一半可得结论；
（2）连接OC，设∠BDC=2，首先利用SSS判断出△DOB≌△DOC，得∠BDO=∠CDO=，由等边对等角及同弧所对的圆周角相等得∠ACD=∠ABD=，则∠CDO=∠ACD=，由内错角相等，两直线平行得出OD∥AC；
（3）连接AD，首先由ASA判断出△DGF≌△CHE，得DF=CE，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得CE=AE=DF，由等边对等角及三角形外角线段得∠AED=2，则∠AED=∠BDC=2，由内错角相等，两直线平行得DF∥AE，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形ADFE是平行四边形，由直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得四边形ADFE是矩形，得∠EFD=90°，求出，过点A作AS⊥DE垂足为S，由等角的同名三角函数值相等得sin∠FDR=sin∠AES，推出FR=AS，利用AAS证出△CAS≌△TCM，得CT=AC，由∠CTA的正弦函数求出AC，由等角的同名三角函数值相等得，据此可求出BC的长，最后利用勾股定理可算出AB的长.
27．（2023·哈尔滨）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．
（1）求，的值；
（2）如图①，是第二象限抛物线上的一个动点，连接，，设点的横坐标为，的面积为，求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）如图②，在（2）的条件下，当时，连接交轴于点，点在轴负半轴上，连接，点在上，连接，点在线段上（点不与点重合），过点作的垂线与过点且平行于的直线交于点，为的延长线上一点，连接，，使，是轴上一点，且在点的右侧，，过点作，交的延长线于点，点在上，连接，使，若，求直线的解析式．
【答案】（1）解：点，在抛物线上，
，
解得：，
，；
（2）解：由（1）知，抛物线的解析式是，
是抛物线与轴的交点，
时，，
，
，
如下图，过点E作EW⊥y轴，垂足为W，
是第二象限抛物线上一点，点的横坐标为，
，
（3）解：如下图，以BM为一边作∠MBT=∠MBN，∠MBT的另一边BT交LM的延长线于点T；作MK⊥BT，垂足为K；作FS⊥BE，垂足为S；作EQ⊥x轴，垂足为Q，
，由（2）知，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
，，，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，轴，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
设，则，，
，
，
，
，
，
又点F在y轴负半轴上，
，
设直线BF的解析式为，
把，代入，得：，
解得：，
直线BF的解析式为
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将A、B两点的坐标分别代入 抛物线 可得关于字母a、b的方程组，求解得出a、b的值；
（2）首先求出点C的坐标得出OC的长，过点E作EW⊥y轴，垂足为W，由点E的横坐标为t可得EW=-t，进而根据三角形的面积计算公式求出S关于t的函数解析式；
（3）以BM为一边作∠MBT=∠MBN，∠MBT的另一边BT交LM的延长线于点T；作MK⊥BT，垂足为K；作FS⊥BE，垂足为S；作EQ⊥x轴，垂足为Q，先求出点E的坐标，然后推出∠EBT=60°，∠T=30°，然后用AAS判断出△MNB≌△MKB，得NB=BK，MN=MK，再利用HL证Rt△NMV≌Rt△KMT，得∠EBF=60°，由建立方程可求出OR的长，进而利用勾股定理算出BR的长，设，则，，由RS+BS=BR建立方程可求出m的值，从而可RF及OF的长，从而得出点F的坐标，最后利用待定系数法可求出直线BF的解析式.
1 / 1
