辽宁省阜新市2023年中考数学试卷
一、单选题
1．（2023·东莞模拟）的相反数是（ ）
A．2 B． C． D．
2．（2023·阜新）如图所示的几何体是由5个大小相同的立方块搭成的，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·阜新）在下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·阜新）某中学甲、乙两支国旗护卫队的队员身高（单位：）数据如下：
甲队：178，177，179，179，178，178，177，178，177，179；
乙队：178，177，177，176，178，175，177，181，180，181．
若要判断哪支护卫队队员身高更为整齐，应该比较两组数据的（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
5．（2023·阜新）某中学举办“传承红色精神，讲好阜新故事”演讲比赛，共设置“海州矿精神”“三沟精神”“治沙精神”三个主题，每位选手随机选取一个主题参赛．如果小明和小宇都参加比赛，他们同时选中主题“海州矿精神”的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·阜新）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·阜新）如图，A，B，C是上的三点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·阜新）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023·阜新）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，对称轴是直线，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．点在函数图象上
10．（2023·阜新）如图，四边形是正方形，曲线叫作“正方形的渐开线”，其中，，，，…的圆心依次按O，A，B，循环．当时，点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2023·阜新）计算： ．
12．（2023·阜新）将一个三角尺按如图所示的位置摆放，直线，若，则的度数是 ．
13．如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，则△ABC与△DEF的面积比为
14．（2023·阜新）正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，过点A作轴，垂足为点C，连接，则的面积是 ．
15．（2023·阜新）如图，在矩形中，．连接，在和上分别截取，使．分别以点E和点F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点G．作射线交于点H，则线段的长是 ．
16．（2023·阜新）德力格尔草原位于彰武县境内，以草场资源丰富，景色优美著称．今年5月在此举办的“漠上草原欢乐跑”首届马拉松比赛，吸引了千余名国内外选手参加．甲、乙两名选手同时参加了往返（单程）的业余组比赛，如果全程保持匀速，甲、乙之间的距离s（）与甲所用的时间（h）之间的函数关系如图所示，那么当甲到达终点时，乙距离终点 ．
三、解答题
17．（2023·阜新）先化简，再求值：，其中．
18．（2023·阜新）某中学数学兴趣小组的同学们，对函数（a，b，c是常数，）的性质进行了初步探究，部分过程如下，请你将其补充完整．
（1）当，时，即，当时，函数化简为；当时，函数化简为 ．
（2）当，，时，即．
①该函数自变量x和函数值y的若干组对应值如下表：
… -2 -1 0 1 2 3 4 …
… 6 m 2 0 2 4 6 …
其中 ▲ ．
②在图1所示的平面直角坐标系内画出函数的图象．
（3）当时，即．
①当时，函数化简为 ▲ ．
②在图2所示的平面直角坐标系内画出函数的图象．
（4）请写出函数（a，b，c是常数，）的一条性质： ．（若所列性质多于一条，则仅以第一条为准）
19．（2023·阜新）如图，是的直径，点C，D是上异侧的两点，，交的延长线于点E，且平分．
（1）求证：是的切线．
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
20．（2023·阜新）端午节是中华民族的传统节日，节日里吃粽子是传统习俗．为了了解附近居民对A（肉粽子），B（蛋黄粽子）．C（红枣粽子），D（葡萄干粽子）四种口味粽子的喜爱情况，某商场随机抽取了某小区的部分居民进行问卷调查（每人只能选一种口味），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）参加此次问卷调查的居民共有 人．
（2）通过计算将条形统计图补充完整．
（3）若该小区共有2000名居民，请估计喜爱A（肉粽子）的居民约有多少人．
21．（2023·阜新）如图，小颖家所在居民楼高为，从楼顶A处测得另一座大厦顶部C的仰角是，而大厦底部D的俯角是．
（1）求两楼之间的距离．
（2）求大厦的高度．
（结果精确到．参考数据：，，）
22．（2023·阜新）为了进一步丰富校园文体活动，某中学准备一次性购买若干个足球和排球，用480元购买足球的数量和用390元购买排球的数量相同，已知足球的单价比排球的单价多15元．
（1）求：足球和排球的单价各是多少元？
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和排球共100个，但要求其总费用不超过7550元，那么学校最多可以购买多少个足球？
23．（2023·阜新）如图，在正方形中，线段绕点C逆时针旋转到处，旋转角为，点F在直线上，且，连接．
（1）如图1，当时，
①求的大小（用含的式子表示）．
②求证：．
（2）如图2，取线段的中点G，连接，已知，请直接写出在线段旋转过程中（）面积的最大值．
24．（2023·阜新）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）如图1，二次函数图象的对称轴与直线交于点D，若点M是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值．
（3）如图2，点是直线上的一个动点，过点的直线与平行，则在直线上是否存在点，使点与点关于直线对称？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：的相反数是：，
故答案为：A．
【分析】根据相反数的定义求解即可。
2．【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从左边看，第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，
故A、B、D三个选项错误，不符合题意，只有C选项正确，符合题意.
故答案为：C.
【分析】左视图，就是从左面看得到的图形，弄清层数及各层小正方形的个数即可.
3．【答案】A
【知识点】分母有理化；求特殊角的三角函数值；有理数的加法；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：A、5+（-6）=-（6-5）=-1，故此选项计算正确，符合题意；
B、，故此选项计算错误，不符合题意；
C、3×（-2）=-（3×2）=-6，故此选项计算错误，不符合题意；
D、，故此选项计算错误，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据有理数的加法法则“绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”进行计算可判断A选项；根据分母有理化“在式子的分子、分母同乘以分母的有理化因式”进行计算可判断B选项；由有理数的乘法法则“异号两数相乘，积为负，并把绝对值相乘”进行计算可判断C选项；根据特殊锐角三角函数值可判断D选项.
4．【答案】D
【知识点】常用统计量的选择
【解析】【解答】解：若要判断哪支护卫队队员身高更为整齐，应该比较两组数据的方差.
故答案为：D.
【分析】平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数，平均数是反应一组数据集中趋势的量；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)，简单的说，就是一组数据中占比最多的那个数，反应的是一组数据的集中趋势的量；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，数组中，一半的数据比中位数大，另一半的数据比中位数小，中位数是一种衡量集中趋势的量；方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，据此一一判断得出答案.
5．【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：用1、2、3分别表示“海州矿精神”“三沟精神”“治沙精神”三个主题，画树状图为：
由树状图可知：共有9种等可能的结果，其中他们同时选中主题“海州矿精神”的结果数为1，
所以他们同时选中主题“海州矿精神”的概率为：.
故答案为：D.
【分析】用1、2、3分别表示“海州矿精神”、“三沟精神”、“治沙精神”三个主题，画树数状图列举出所有9 种等可能的结果，再找出他们同时选中主题“海州矿精神”的结果数，然后根据概率公式计算即可.
6．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：x+8＜4x-1，
移项，得x-4x＜-1-8，
合并同类项，得-3x＜-9，
系数化为1，得x＞3.
故答案为：B.
【分析】根据解一元一次不等式的步骤：移项，合并同类项，系数化为1，求解即可.
7．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠ACB=25°，
∴∠AOB=2∠ACB=50°，
∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=90°-50°=40°.
故答案为：C.
【分析】根据同弧所对的圆心角等于圆周角2倍可求出∠AOB=50°，进而根据∠BOC=∠AOC-∠AOB即可算出答案.
8．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解： 设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，
由题意可得23（1-x）2=16.
故答案为：B.
【分析】此题是一道平均降低率的问题，根据公式a(1-x)n=p，其中a是平均降低开始的量，x是降低率，n是降低次数，P是降低结束达到的量，根据公式即可列出方程即可.
9．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：A、∵二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，
∴a＞0，
∵二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴在y轴的右侧，
∴a、b异号，
∴b＜0，
∵二次函数y=ax2+bx+c的图象交y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，故A选项错误，不符合题意；
B、∵二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴为直线x=1，
∴，
∴-b=2a，
∴2a+b=0，故B选项正确，符合题意；
C、∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个不同的交点，
∴b2-4ac＞0，即4ac＜b2，故C选项错误，不符合题意；
D、∵二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴为直线x=1，且与x轴的一个交点为（3，0），
∴二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的另一个交点为（-1，0），故D选项错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据二次函数y=ax2+bx+c的图象的开口方向向上判断出a＞0，由二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴在y轴右侧，根据“左同右异”判断出b＜0，根据二次函数y=ax2+bx+c的图象交y轴的负半轴，判断出c＜0，进而根据有理数的乘法法则可判断A选项；由二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴为直线x=1，结合对称轴直线公式可判断B选项；由二次函数y=ax2+bx+c的图象的于x轴的交点个数是2两个可得b2-4ac＞0，据此可判断C选项；根据抛物线的对称性判断出二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的另一个交点为（-1，0），据此可判断D选项.
10．【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：由图可得C1（0，1），C2（1，0），C3（-1，-2），C4（-4，1），C5（0，5），C6（5，0），C7（-1，-6），……，
点C的位置每4个一循环，
而2023÷4=505……3，
∴C2023在第三象限，与C3，C7，C11，……符合规律Cn（-1，-n+1），
∴C2023的坐标为（-1，-2022）.
故答案为：A.
【分析】观察图形，发现点C的位置每4个一循环，由坐标系读出前几个点的坐标，就会发现C2023在第三象限，与C3，C7，C11，……符合规律Cn（-1，-n+1），将n=2023代入可得答案.
11．【答案】3
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解： .
故答案为：3.
【分析】先根据立方根的定义及零指数幂的性质“任何一个不为0的数的零次幂都等于1”分别计算，再计算有理数的加法即可.
12．【答案】50°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，
∵∠A=30°，∠ACB=90°，
∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB=60°，
又∵∠ABD=20°，
∴∠1=∠ABC-∠ABD=40°，
∵a∥b，
∴∠2=∠1=40°，
∴ =180°-∠2-∠ACB=180°-90°-40°=50°.
故答案为：50°.
【分析】由三角形的内角和定理算出∠ABC=60°，由角的和差算出∠1=40°，根据二直线平行，内错角相等得∠2=40°，最后根据平角定义算出答案.
13．【答案】4：9
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF是关于点O的位似图形，△ABC与△DEF的位似比为：2：3，
∴△ABC与△DEF的相似比为：2：3，
∴△ABC与△DEF的面积比为：4：9．
故答案为：4：9．
【分析】由△ABC与△DEF是关于点O的位似图形，且位似比为2：3，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△ABC与△DEF的面积比．
14．【答案】5
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：如图，
解，
得或，
∴，，
∵AC⊥x轴，垂足为C，
∴，
∴，
∴S△ABC=.
故答案为：5.
【分析】联立两函数解析式组成方程组求解可得点A、B的坐标，根据点的坐标与图形性质可得点C的坐标，以AC为底，高为A、B两点间的水平距离，三角形面积计算公式可算出答案.
15．【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理；矩形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：如图，过点H作HM⊥AC于点M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，DC=AB=6，
在Rt△ADC中，由勾股定理得，
由题意得AH是∠DAC的角平分线，∵∠D=90°，HM⊥AC，
∴DH=HM，
∵S△ADC=S△ADH+S△AHC，
∴，
∴AD×DC=AD×DH+AC×DH，即6×8=8DH+10DH，
∴DH=.
故答案为：.
【分析】过点H作HM⊥AC于点M，由矩形性质得∠D=90°，DC=AB=6，在Rt△ADC中，由勾股定理算出AC的长，由角平分线上的点到角两边的距离相等得DH=HM，进而根据S△ADC=S△ADH+S△AHC建立方程可求出DH的长.
16．【答案】4
【知识点】通过函数图象获取信息；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：由图象可得开跑0.25小时后甲乙两人相距1千米，
∴甲的速度比乙的速度快4千米/小时，
设乙的速度为x千米/小时，则甲的速度为（x+4）千米/小时，由图象可得开跑0.625小时后，甲乙相遇了，
∴0.625×（x+x+4）=10，
解得x=6，
∴甲的速度为6+4=10千米/小时，
所以甲跑完全程需要的时间为10÷10=1小时，
当甲到达终点时，乙距离终点的距离为：10-6×1=4千米.
故答案为：4.
【分析】由图象可得甲的速度比乙的速度快4千米/小时，设乙的速度为x千米/小时，则甲的速度为（x+4）千米/小时，由图象可得开跑0.625小时后，甲乙相遇了，根据相遇问题列出方程求解可得乙的速度，进而算出甲的速度及甲跑完全程所用的时间，从而即可算出当甲到达终点时，乙距离终点的距离.
17．【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先通分计算括号内异分母分式的加法，同时将除式的分子、分母分别分解因式，并根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，然后约分化成最简形式，最后将a的值代入化简结果进行分母有理化可得答案.
18．【答案】（1）
（2）解：①4；
②根据表格描点再连接起来，如图所示，
；
（3）解：①；
②当时，
，
当时，，
当时，，
当时，，
描点如图所示，
；
（4）当时，时，y随x增大而增大；当时，时，y随x增大而减小；当时，时，y随x增大而减小；当时，时，y随x增大而增大
【知识点】一次函数的性质；描点法画函数图象
【解析】【解答】解：（1）y=|x|，当x＜0时，函数化简为y=-x，
故答案为：-x；
（2）①当x=-1时，y=2|x-1|=2|-1-1|=2|-2|=2×2=4，
∴m=4；
故答案为：4；
（3）①当x≥1时，y=-2|x-1|+2=-2（x-1）+2=-2x+4，
故答案为：-2x+4；
（4）当时，时，y随x增大而增大；当时，时，y随x增大而减小；当时，时，y随x增大而减小；当时，时，y随x增大而增大.
故答案为：当时，时，y随x增大而增大；当时，时，y随x增大而减小；当时，时，y随x增大而减小；当时，时，y随x增大而增大.
【分析】（1）根据一个负数的绝对值等于其相反数化简即可；
（2）①将x=-1代入解析式y=2|x-1|计算出对应的y的值，从而得出m的值；
②根据表格提供的数据，利用描点法画出函数图象即可；
（3）①当x≥1时，x-1≥0，从而根据一个非负数的绝对值等于其本身化简，进而再去括号，合并同类项即可；
②当x＜1时，x-1＜0，根据一个负数的绝对值等于其相反数化简，进而再去括号，合并同类项化为最简形式，然后算出x=1，x=0，x=2时，对应的函数值，再利用描点法画出函数图象即可；
（4）开放性命题，答案不唯一，根据图象，由增减性或最值等方面作答即可.
19．【答案】（1）证明：如图，连接OD，
∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即，
∴是的切线；
（2）解：连接OC，过点O作OF⊥BC于点F，
∵，
∴．
∵，，
∴为等边三角形，
∴，．
∵，，，
∴．
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；切线的判定；扇形面积的计算；解直角三角形
【解析】【分析】（1）由等边对等角及角平分线定义推出∠EBD=∠ODB，由三角形的内角和定理及等量代换得∠ODE=∠ODB+∠BDE=90°，即OD⊥DE，从而根据切线的判定方法可得结论；
（2）连接OC，过点O作OF⊥BC于点F，易得△OBC是等边三角形，则∠BOC=60°，再由∠OBC的正弦函数可求出OF的长，然后根据扇形面积计算公式及三角形面积计算公式，由列式计算即可.
20．【答案】（1）50
（2）解：喜爱蛋黄粽子人数：（人），
补全条形统计图如图所示：
（3）解：（人），
答：喜爱A（肉粽子）的居民约有400人．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：（1） 参加此次问卷调查的居民人数为：20÷40％=50（人）；
故答案为：50；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用喜爱“红枣粽子”的人数除以其所占的百分比可求出参加此次问卷调查的居民人数；
（2）用参加此次问卷调查的居民人数分别减去喜爱A、C、D三类口味粽子的人数可求出喜爱B类口味粽子的人数，据此可补全条形统计图；
（3）用该小区居民的总人数乘以样本中喜爱A类口味粽子人数所占的百分比可估算出该小区居民喜爱A类口味粽子的人数.
21．【答案】（1）解：过点A作AE⊥CD于点E，
根据题意可得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
解得：，
答：两楼之间的距离约为；
（2）解：根据题意可得：，
∴四边形ABDE为矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
答：大厦的高度CD为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过点A作AE⊥CD于点E，由同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行得AE∥BD，由二直线平行，内错角相等得∠ADB=37°，然后利用∠ADB的正切函数可求出BD的长；
（2）易得四边形ABDE为矩形，则AE=BD=61.3m，AB=DE=46m，由等腰直角三角形性质得AE=CE=61.3m，最后根据CD=CE+DE可算出CD的长，从而得出答案.
22．【答案】（1）解：设足球的单价是x元，则排球的单价是（x-15）元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：足球的单价是80元，排球的单价是65元；
（2）解：设学校可以购买m个足球，则可以购买（100-m）个排球，
依题意得：，
解得：．
又∵m为正整数，
∴m可以取的最大值为70．
答：学校最多可以购买70个足球．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设足球的单价是x元，则排球的单价是（x-15）元，根据总价除以单价等于数量及用480元购买足球的数量和用390元购买排球的数量相同建立方程，求解并检验可得答案；
（2）设学校可以购买m个足球，则可以购买（100-m）个排球，由购买m个足球的费用+购买（100-m）个排球的费用不超过7550元建立不等式，求出该不等式的最大整数解即可.
23．【答案】（1）解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
由题意得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
证明：②连接BE，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
（2）解：过点G作AD的垂直，交直线AD于点H，连接AC、BD相交于点O，连接OG，
由（1）得是等腰直角三角形，又点G为斜边EF的中点，
∴，即，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∴，
∴点G在以点O为圆心，OB为半径的一段弧上，
当点H、O、G在同一直线上时，GH有最大值，则△ADG面积的最大值，
∴，
∴面积的最大值为．
【知识点】四边形的综合
【解析】【分析】（1）①由正方形的性质得AB=BC=CD=DA，∠ADC=∠BCD=∠DAB=90°，由等边对等角及三角形的内角和定理可得∠CDE=∠CED=90°-，进而利用角的和差可得∠ADF=，再由等边对等角得∠AFD=∠ADF=，最后再由三角形的内角和定理及角的和差可用表示出∠BAF的度数；
②连接BE，根据角的和差可得∠BCE=∠BAF=90°-，由正方形的性质、旋转的性质及已知得CD=CE=AD=AF=BC，从而用SAS判断出△BCE≌△BAF，由全等三角形的性质得BF=BE，∠ABF=∠CBE，进而根据等式的性质及正方形的性质可推出∠EBF=90°，则△EBF是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出结论；
（2）过点G作AD的垂直，交直线AD于点H，连接AC、BD相交于点O，连接OG，由等腰直角三角形的性质得BG⊥EF，由正方形的性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得OB=OD=OG，点G在以点O为圆心，OB为半径的一段弧上，由圆中最长的弦是直径得当点H、O、G在同一直线上时，GH有最大值，则△ADG面积的最大值，从而就不难求出答案了.
24．【答案】（1）解：∵ 二次函数y=-x2+bx-c的图象与x轴交于点A（-3，0）和点B（1，0），
∴；
（2）解：如图1，作MQ⊥AC于Q，作ME⊥AB于F，交AC于E，
令y=-x2-2x+3中的x=0可得y=3，
∴C（0，3），
又∵A（-3，0）
∴，
∵，
，
，
抛物线的对称轴是直线：，
，
，
，
，
故只需△MCD的边CD上的高最大时，△MCD的面积最大，
设过点M与AC平行的直线的解析式为：y=x+m，
当直线y=x+m，与抛物线相切时，△MCD的面积最大，
由得，
，
由△得，
得，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图2，
当点P在线段AC上时，连接BP，交CQ于R，
点B和点Q关于CQ对称，
，
设，
由得，，
，（舍去），
，
∵，
，
，
四边形BCPQ是平行四边形，
，，
∴；
如图3，
当点P在AC的延长线上时，由上可知：，
同理可得：，
综上所述：或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的判定与性质；等腰直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】（1）由于此题告诉了抛物线与x轴两交点的坐标，故直接利用交点式可求出抛物线的解析式；
（2）作MG⊥AC于Q，作ME⊥AB于F，交AC于E，首先求出点C的坐标，由点A、C的坐标易得OA=OC=3，从而由等腰直角三角形性质及对顶角相等可得∠MEQ=45°，利用抛物线的对称轴直线公式求出对称轴直线为x=-1，将x=-1代入直线AC的解析式算出对应的函数值可求出点D的坐标，进而利用两点间的距离公式算出CD的长；故只需△MCD的边CD上的高最大时，△MCD的面积最大，设过点M与AC平行的直线的解析式为：y=x+m，当直线y=x+m，与抛物线相切时，△MCD的面积最大，联立直线y=x+m与抛物线的解析式得x+m=-x2-2x+3，由两函数图象相切可得该方程有两相等的实数根，故根的判别式△=0，据此建立方程可求出m的值，从而可求出方程x+m=-x2-2x+3的实数根为x=，将x=分别代入两函数解析式算出对应的函数值即可求出ME的长，再由∠MEQ的正弦函数可求出MQ的值，最后根据三角形的面积计算公式可算出答案；
（3）当点P在线段AC上时，连接BP，交CQ于R，根据点的坐标与图形的性质设P（t，t+3），由对称性可得CP=CB，据此并结合两点间的距离公式可建立出关于t的方程，求解得出t的值，从而可得点P的坐标，由平行线分线段成比例定理可得出CR=QR，由对角线互相平行的四边形是平行四边形可得四边形BCPQ是平行四边形，进而可求得点Q的坐标；当点P在AC的延长线上时，同理可求出点Q的坐标，综上即可得出答案.
1 / 1辽宁省阜新市2023年中考数学试卷
一、单选题
1．（2023·东莞模拟）的相反数是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：的相反数是：，
故答案为：A．
【分析】根据相反数的定义求解即可。
2．（2023·阜新）如图所示的几何体是由5个大小相同的立方块搭成的，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从左边看，第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，
故A、B、D三个选项错误，不符合题意，只有C选项正确，符合题意.
故答案为：C.
【分析】左视图，就是从左面看得到的图形，弄清层数及各层小正方形的个数即可.
3．（2023·阜新）在下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分母有理化；求特殊角的三角函数值；有理数的加法；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：A、5+（-6）=-（6-5）=-1，故此选项计算正确，符合题意；
B、，故此选项计算错误，不符合题意；
C、3×（-2）=-（3×2）=-6，故此选项计算错误，不符合题意；
D、，故此选项计算错误，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据有理数的加法法则“绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”进行计算可判断A选项；根据分母有理化“在式子的分子、分母同乘以分母的有理化因式”进行计算可判断B选项；由有理数的乘法法则“异号两数相乘，积为负，并把绝对值相乘”进行计算可判断C选项；根据特殊锐角三角函数值可判断D选项.
4．（2023·阜新）某中学甲、乙两支国旗护卫队的队员身高（单位：）数据如下：
甲队：178，177，179，179，178，178，177，178，177，179；
乙队：178，177，177，176，178，175，177，181，180，181．
若要判断哪支护卫队队员身高更为整齐，应该比较两组数据的（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
【答案】D
【知识点】常用统计量的选择
【解析】【解答】解：若要判断哪支护卫队队员身高更为整齐，应该比较两组数据的方差.
故答案为：D.
【分析】平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数，平均数是反应一组数据集中趋势的量；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)，简单的说，就是一组数据中占比最多的那个数，反应的是一组数据的集中趋势的量；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，数组中，一半的数据比中位数大，另一半的数据比中位数小，中位数是一种衡量集中趋势的量；方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，据此一一判断得出答案.
5．（2023·阜新）某中学举办“传承红色精神，讲好阜新故事”演讲比赛，共设置“海州矿精神”“三沟精神”“治沙精神”三个主题，每位选手随机选取一个主题参赛．如果小明和小宇都参加比赛，他们同时选中主题“海州矿精神”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：用1、2、3分别表示“海州矿精神”“三沟精神”“治沙精神”三个主题，画树状图为：
由树状图可知：共有9种等可能的结果，其中他们同时选中主题“海州矿精神”的结果数为1，
所以他们同时选中主题“海州矿精神”的概率为：.
故答案为：D.
【分析】用1、2、3分别表示“海州矿精神”、“三沟精神”、“治沙精神”三个主题，画树数状图列举出所有9 种等可能的结果，再找出他们同时选中主题“海州矿精神”的结果数，然后根据概率公式计算即可.
6．（2023·阜新）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：x+8＜4x-1，
移项，得x-4x＜-1-8，
合并同类项，得-3x＜-9，
系数化为1，得x＞3.
故答案为：B.
【分析】根据解一元一次不等式的步骤：移项，合并同类项，系数化为1，求解即可.
7．（2023·阜新）如图，A，B，C是上的三点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠ACB=25°，
∴∠AOB=2∠ACB=50°，
∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=90°-50°=40°.
故答案为：C.
【分析】根据同弧所对的圆心角等于圆周角2倍可求出∠AOB=50°，进而根据∠BOC=∠AOC-∠AOB即可算出答案.
8．（2023·阜新）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解： 设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，
由题意可得23（1-x）2=16.
故答案为：B.
【分析】此题是一道平均降低率的问题，根据公式a(1-x)n=p，其中a是平均降低开始的量，x是降低率，n是降低次数，P是降低结束达到的量，根据公式即可列出方程即可.
9．（2023·阜新）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，对称轴是直线，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．点在函数图象上
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：A、∵二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，
∴a＞0，
∵二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴在y轴的右侧，
∴a、b异号，
∴b＜0，
∵二次函数y=ax2+bx+c的图象交y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，故A选项错误，不符合题意；
B、∵二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴为直线x=1，
∴，
∴-b=2a，
∴2a+b=0，故B选项正确，符合题意；
C、∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个不同的交点，
∴b2-4ac＞0，即4ac＜b2，故C选项错误，不符合题意；
D、∵二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴为直线x=1，且与x轴的一个交点为（3，0），
∴二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的另一个交点为（-1，0），故D选项错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据二次函数y=ax2+bx+c的图象的开口方向向上判断出a＞0，由二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴在y轴右侧，根据“左同右异”判断出b＜0，根据二次函数y=ax2+bx+c的图象交y轴的负半轴，判断出c＜0，进而根据有理数的乘法法则可判断A选项；由二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴为直线x=1，结合对称轴直线公式可判断B选项；由二次函数y=ax2+bx+c的图象的于x轴的交点个数是2两个可得b2-4ac＞0，据此可判断C选项；根据抛物线的对称性判断出二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的另一个交点为（-1，0），据此可判断D选项.
10．（2023·阜新）如图，四边形是正方形，曲线叫作“正方形的渐开线”，其中，，，，…的圆心依次按O，A，B，循环．当时，点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：由图可得C1（0，1），C2（1，0），C3（-1，-2），C4（-4，1），C5（0，5），C6（5，0），C7（-1，-6），……，
点C的位置每4个一循环，
而2023÷4=505……3，
∴C2023在第三象限，与C3，C7，C11，……符合规律Cn（-1，-n+1），
∴C2023的坐标为（-1，-2022）.
故答案为：A.
【分析】观察图形，发现点C的位置每4个一循环，由坐标系读出前几个点的坐标，就会发现C2023在第三象限，与C3，C7，C11，……符合规律Cn（-1，-n+1），将n=2023代入可得答案.
二、填空题
11．（2023·阜新）计算： ．
【答案】3
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解： .
故答案为：3.
【分析】先根据立方根的定义及零指数幂的性质“任何一个不为0的数的零次幂都等于1”分别计算，再计算有理数的加法即可.
12．（2023·阜新）将一个三角尺按如图所示的位置摆放，直线，若，则的度数是 ．
【答案】50°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，
∵∠A=30°，∠ACB=90°，
∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB=60°，
又∵∠ABD=20°，
∴∠1=∠ABC-∠ABD=40°，
∵a∥b，
∴∠2=∠1=40°，
∴ =180°-∠2-∠ACB=180°-90°-40°=50°.
故答案为：50°.
【分析】由三角形的内角和定理算出∠ABC=60°，由角的和差算出∠1=40°，根据二直线平行，内错角相等得∠2=40°，最后根据平角定义算出答案.
13．如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，则△ABC与△DEF的面积比为
【答案】4：9
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF是关于点O的位似图形，△ABC与△DEF的位似比为：2：3，
∴△ABC与△DEF的相似比为：2：3，
∴△ABC与△DEF的面积比为：4：9．
故答案为：4：9．
【分析】由△ABC与△DEF是关于点O的位似图形，且位似比为2：3，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△ABC与△DEF的面积比．
14．（2023·阜新）正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，过点A作轴，垂足为点C，连接，则的面积是 ．
【答案】5
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：如图，
解，
得或，
∴，，
∵AC⊥x轴，垂足为C，
∴，
∴，
∴S△ABC=.
故答案为：5.
【分析】联立两函数解析式组成方程组求解可得点A、B的坐标，根据点的坐标与图形性质可得点C的坐标，以AC为底，高为A、B两点间的水平距离，三角形面积计算公式可算出答案.
15．（2023·阜新）如图，在矩形中，．连接，在和上分别截取，使．分别以点E和点F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点G．作射线交于点H，则线段的长是 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理；矩形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：如图，过点H作HM⊥AC于点M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，DC=AB=6，
在Rt△ADC中，由勾股定理得，
由题意得AH是∠DAC的角平分线，∵∠D=90°，HM⊥AC，
∴DH=HM，
∵S△ADC=S△ADH+S△AHC，
∴，
∴AD×DC=AD×DH+AC×DH，即6×8=8DH+10DH，
∴DH=.
故答案为：.
【分析】过点H作HM⊥AC于点M，由矩形性质得∠D=90°，DC=AB=6，在Rt△ADC中，由勾股定理算出AC的长，由角平分线上的点到角两边的距离相等得DH=HM，进而根据S△ADC=S△ADH+S△AHC建立方程可求出DH的长.
16．（2023·阜新）德力格尔草原位于彰武县境内，以草场资源丰富，景色优美著称．今年5月在此举办的“漠上草原欢乐跑”首届马拉松比赛，吸引了千余名国内外选手参加．甲、乙两名选手同时参加了往返（单程）的业余组比赛，如果全程保持匀速，甲、乙之间的距离s（）与甲所用的时间（h）之间的函数关系如图所示，那么当甲到达终点时，乙距离终点 ．
【答案】4
【知识点】通过函数图象获取信息；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：由图象可得开跑0.25小时后甲乙两人相距1千米，
∴甲的速度比乙的速度快4千米/小时，
设乙的速度为x千米/小时，则甲的速度为（x+4）千米/小时，由图象可得开跑0.625小时后，甲乙相遇了，
∴0.625×（x+x+4）=10，
解得x=6，
∴甲的速度为6+4=10千米/小时，
所以甲跑完全程需要的时间为10÷10=1小时，
当甲到达终点时，乙距离终点的距离为：10-6×1=4千米.
故答案为：4.
【分析】由图象可得甲的速度比乙的速度快4千米/小时，设乙的速度为x千米/小时，则甲的速度为（x+4）千米/小时，由图象可得开跑0.625小时后，甲乙相遇了，根据相遇问题列出方程求解可得乙的速度，进而算出甲的速度及甲跑完全程所用的时间，从而即可算出当甲到达终点时，乙距离终点的距离.
三、解答题
17．（2023·阜新）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先通分计算括号内异分母分式的加法，同时将除式的分子、分母分别分解因式，并根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，然后约分化成最简形式，最后将a的值代入化简结果进行分母有理化可得答案.
18．（2023·阜新）某中学数学兴趣小组的同学们，对函数（a，b，c是常数，）的性质进行了初步探究，部分过程如下，请你将其补充完整．
（1）当，时，即，当时，函数化简为；当时，函数化简为 ．
（2）当，，时，即．
①该函数自变量x和函数值y的若干组对应值如下表：
… -2 -1 0 1 2 3 4 …
… 6 m 2 0 2 4 6 …
其中 ▲ ．
②在图1所示的平面直角坐标系内画出函数的图象．
（3）当时，即．
①当时，函数化简为 ▲ ．
②在图2所示的平面直角坐标系内画出函数的图象．
（4）请写出函数（a，b，c是常数，）的一条性质： ．（若所列性质多于一条，则仅以第一条为准）
【答案】（1）
（2）解：①4；
②根据表格描点再连接起来，如图所示，
；
（3）解：①；
②当时，
，
当时，，
当时，，
当时，，
描点如图所示，
；
（4）当时，时，y随x增大而增大；当时，时，y随x增大而减小；当时，时，y随x增大而减小；当时，时，y随x增大而增大
【知识点】一次函数的性质；描点法画函数图象
【解析】【解答】解：（1）y=|x|，当x＜0时，函数化简为y=-x，
故答案为：-x；
（2）①当x=-1时，y=2|x-1|=2|-1-1|=2|-2|=2×2=4，
∴m=4；
故答案为：4；
（3）①当x≥1时，y=-2|x-1|+2=-2（x-1）+2=-2x+4，
故答案为：-2x+4；
（4）当时，时，y随x增大而增大；当时，时，y随x增大而减小；当时，时，y随x增大而减小；当时，时，y随x增大而增大.
故答案为：当时，时，y随x增大而增大；当时，时，y随x增大而减小；当时，时，y随x增大而减小；当时，时，y随x增大而增大.
【分析】（1）根据一个负数的绝对值等于其相反数化简即可；
（2）①将x=-1代入解析式y=2|x-1|计算出对应的y的值，从而得出m的值；
②根据表格提供的数据，利用描点法画出函数图象即可；
（3）①当x≥1时，x-1≥0，从而根据一个非负数的绝对值等于其本身化简，进而再去括号，合并同类项即可；
②当x＜1时，x-1＜0，根据一个负数的绝对值等于其相反数化简，进而再去括号，合并同类项化为最简形式，然后算出x=1，x=0，x=2时，对应的函数值，再利用描点法画出函数图象即可；
（4）开放性命题，答案不唯一，根据图象，由增减性或最值等方面作答即可.
19．（2023·阜新）如图，是的直径，点C，D是上异侧的两点，，交的延长线于点E，且平分．
（1）求证：是的切线．
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：如图，连接OD，
∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即，
∴是的切线；
（2）解：连接OC，过点O作OF⊥BC于点F，
∵，
∴．
∵，，
∴为等边三角形，
∴，．
∵，，，
∴．
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；切线的判定；扇形面积的计算；解直角三角形
【解析】【分析】（1）由等边对等角及角平分线定义推出∠EBD=∠ODB，由三角形的内角和定理及等量代换得∠ODE=∠ODB+∠BDE=90°，即OD⊥DE，从而根据切线的判定方法可得结论；
（2）连接OC，过点O作OF⊥BC于点F，易得△OBC是等边三角形，则∠BOC=60°，再由∠OBC的正弦函数可求出OF的长，然后根据扇形面积计算公式及三角形面积计算公式，由列式计算即可.
20．（2023·阜新）端午节是中华民族的传统节日，节日里吃粽子是传统习俗．为了了解附近居民对A（肉粽子），B（蛋黄粽子）．C（红枣粽子），D（葡萄干粽子）四种口味粽子的喜爱情况，某商场随机抽取了某小区的部分居民进行问卷调查（每人只能选一种口味），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）参加此次问卷调查的居民共有 人．
（2）通过计算将条形统计图补充完整．
（3）若该小区共有2000名居民，请估计喜爱A（肉粽子）的居民约有多少人．
【答案】（1）50
（2）解：喜爱蛋黄粽子人数：（人），
补全条形统计图如图所示：
（3）解：（人），
答：喜爱A（肉粽子）的居民约有400人．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：（1） 参加此次问卷调查的居民人数为：20÷40％=50（人）；
故答案为：50；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用喜爱“红枣粽子”的人数除以其所占的百分比可求出参加此次问卷调查的居民人数；
（2）用参加此次问卷调查的居民人数分别减去喜爱A、C、D三类口味粽子的人数可求出喜爱B类口味粽子的人数，据此可补全条形统计图；
（3）用该小区居民的总人数乘以样本中喜爱A类口味粽子人数所占的百分比可估算出该小区居民喜爱A类口味粽子的人数.
21．（2023·阜新）如图，小颖家所在居民楼高为，从楼顶A处测得另一座大厦顶部C的仰角是，而大厦底部D的俯角是．
（1）求两楼之间的距离．
（2）求大厦的高度．
（结果精确到．参考数据：，，）
【答案】（1）解：过点A作AE⊥CD于点E，
根据题意可得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
解得：，
答：两楼之间的距离约为；
（2）解：根据题意可得：，
∴四边形ABDE为矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
答：大厦的高度CD为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过点A作AE⊥CD于点E，由同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行得AE∥BD，由二直线平行，内错角相等得∠ADB=37°，然后利用∠ADB的正切函数可求出BD的长；
（2）易得四边形ABDE为矩形，则AE=BD=61.3m，AB=DE=46m，由等腰直角三角形性质得AE=CE=61.3m，最后根据CD=CE+DE可算出CD的长，从而得出答案.
22．（2023·阜新）为了进一步丰富校园文体活动，某中学准备一次性购买若干个足球和排球，用480元购买足球的数量和用390元购买排球的数量相同，已知足球的单价比排球的单价多15元．
（1）求：足球和排球的单价各是多少元？
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和排球共100个，但要求其总费用不超过7550元，那么学校最多可以购买多少个足球？
【答案】（1）解：设足球的单价是x元，则排球的单价是（x-15）元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：足球的单价是80元，排球的单价是65元；
（2）解：设学校可以购买m个足球，则可以购买（100-m）个排球，
依题意得：，
解得：．
又∵m为正整数，
∴m可以取的最大值为70．
答：学校最多可以购买70个足球．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设足球的单价是x元，则排球的单价是（x-15）元，根据总价除以单价等于数量及用480元购买足球的数量和用390元购买排球的数量相同建立方程，求解并检验可得答案；
（2）设学校可以购买m个足球，则可以购买（100-m）个排球，由购买m个足球的费用+购买（100-m）个排球的费用不超过7550元建立不等式，求出该不等式的最大整数解即可.
23．（2023·阜新）如图，在正方形中，线段绕点C逆时针旋转到处，旋转角为，点F在直线上，且，连接．
（1）如图1，当时，
①求的大小（用含的式子表示）．
②求证：．
（2）如图2，取线段的中点G，连接，已知，请直接写出在线段旋转过程中（）面积的最大值．
【答案】（1）解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
由题意得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
证明：②连接BE，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
（2）解：过点G作AD的垂直，交直线AD于点H，连接AC、BD相交于点O，连接OG，
由（1）得是等腰直角三角形，又点G为斜边EF的中点，
∴，即，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∴，
∴点G在以点O为圆心，OB为半径的一段弧上，
当点H、O、G在同一直线上时，GH有最大值，则△ADG面积的最大值，
∴，
∴面积的最大值为．
【知识点】四边形的综合
【解析】【分析】（1）①由正方形的性质得AB=BC=CD=DA，∠ADC=∠BCD=∠DAB=90°，由等边对等角及三角形的内角和定理可得∠CDE=∠CED=90°-，进而利用角的和差可得∠ADF=，再由等边对等角得∠AFD=∠ADF=，最后再由三角形的内角和定理及角的和差可用表示出∠BAF的度数；
②连接BE，根据角的和差可得∠BCE=∠BAF=90°-，由正方形的性质、旋转的性质及已知得CD=CE=AD=AF=BC，从而用SAS判断出△BCE≌△BAF，由全等三角形的性质得BF=BE，∠ABF=∠CBE，进而根据等式的性质及正方形的性质可推出∠EBF=90°，则△EBF是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出结论；
（2）过点G作AD的垂直，交直线AD于点H，连接AC、BD相交于点O，连接OG，由等腰直角三角形的性质得BG⊥EF，由正方形的性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得OB=OD=OG，点G在以点O为圆心，OB为半径的一段弧上，由圆中最长的弦是直径得当点H、O、G在同一直线上时，GH有最大值，则△ADG面积的最大值，从而就不难求出答案了.
24．（2023·阜新）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）如图1，二次函数图象的对称轴与直线交于点D，若点M是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值．
（3）如图2，点是直线上的一个动点，过点的直线与平行，则在直线上是否存在点，使点与点关于直线对称？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵ 二次函数y=-x2+bx-c的图象与x轴交于点A（-3，0）和点B（1，0），
∴；
（2）解：如图1，作MQ⊥AC于Q，作ME⊥AB于F，交AC于E，
令y=-x2-2x+3中的x=0可得y=3，
∴C（0，3），
又∵A（-3，0）
∴，
∵，
，
，
抛物线的对称轴是直线：，
，
，
，
，
故只需△MCD的边CD上的高最大时，△MCD的面积最大，
设过点M与AC平行的直线的解析式为：y=x+m，
当直线y=x+m，与抛物线相切时，△MCD的面积最大，
由得，
，
由△得，
得，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图2，
当点P在线段AC上时，连接BP，交CQ于R，
点B和点Q关于CQ对称，
，
设，
由得，，
，（舍去），
，
∵，
，
，
四边形BCPQ是平行四边形，
，，
∴；
如图3，
当点P在AC的延长线上时，由上可知：，
同理可得：，
综上所述：或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的判定与性质；等腰直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】（1）由于此题告诉了抛物线与x轴两交点的坐标，故直接利用交点式可求出抛物线的解析式；
（2）作MG⊥AC于Q，作ME⊥AB于F，交AC于E，首先求出点C的坐标，由点A、C的坐标易得OA=OC=3，从而由等腰直角三角形性质及对顶角相等可得∠MEQ=45°，利用抛物线的对称轴直线公式求出对称轴直线为x=-1，将x=-1代入直线AC的解析式算出对应的函数值可求出点D的坐标，进而利用两点间的距离公式算出CD的长；故只需△MCD的边CD上的高最大时，△MCD的面积最大，设过点M与AC平行的直线的解析式为：y=x+m，当直线y=x+m，与抛物线相切时，△MCD的面积最大，联立直线y=x+m与抛物线的解析式得x+m=-x2-2x+3，由两函数图象相切可得该方程有两相等的实数根，故根的判别式△=0，据此建立方程可求出m的值，从而可求出方程x+m=-x2-2x+3的实数根为x=，将x=分别代入两函数解析式算出对应的函数值即可求出ME的长，再由∠MEQ的正弦函数可求出MQ的值，最后根据三角形的面积计算公式可算出答案；
（3）当点P在线段AC上时，连接BP，交CQ于R，根据点的坐标与图形的性质设P（t，t+3），由对称性可得CP=CB，据此并结合两点间的距离公式可建立出关于t的方程，求解得出t的值，从而可得点P的坐标，由平行线分线段成比例定理可得出CR=QR，由对角线互相平行的四边形是平行四边形可得四边形BCPQ是平行四边形，进而可求得点Q的坐标；当点P在AC的延长线上时，同理可求出点Q的坐标，综上即可得出答案.
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