数学人教A版（2019）必修第一册1.4.1充分条件与必要条件（共21张ppt）

(共21张PPT)
第一章 集合与常用逻辑用语
1.4.1 充分条件与必要条件
一
二
三
学习目标
理解充分条件、必要条件的含义
理解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的含义
学会对命题的分析与判断，体会常用逻辑语言表达数学内容，提升解题的逻辑能力
复习回顾
上个单元课你学会了哪些主要内容？
单元结构
本单元课我们将要学会以下主要内容
新课导入
问题1 在初中，我们已经对命题有了初步的认识.那你知道什么叫命题吗？
一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．
命题：
判断为真的语句叫做真命题.
判断为假的语句叫做假命题.
（假）
（假）
（真）
（假）
有些语句中含有变量，在不给定变量的值之前，我们无法确定这语句的真假，这样的语句叫开语句.
不是命题
a=2是偶数
(1)若x,y是无理数，则x+y是无理数.
(2)若x+y是有理数，则x,y都是有理数 .
(3)3≥3．
(4)若整数a是质数，则a是奇数.
(6)3能被2整除吗？
(7)x>15.
(5)求证 是无理数.
[练习1]判断下列是否为命题，判定命题的真假：
命题的形式：
中学数学中的许多命题可以写成“若p，则q”，“如果p，那么q” ，“只要p，就有q”等形式. 其中p称为命题的条件，q称为命题的结论.
新课导入
本节主要讨论这种形式的命题.下面我们将进一步考察“若,则”形式的命题中和的关系，学习数学中的三个常用的逻辑用语——充分条件、必要条件和充要条件.
新知探究
问题2 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题，哪些是假命题？
（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；
（2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；
（3）若x2-4x+3=0, 则 x=1；
（4）若平面内两条直线a和b均垂直于直线l，则a//b.
（真命题）
（假命题）
（真命题）
（假命题）
对于(1)(4)，我们知道它们是真命题，即由条件p可以推出结论q，
对于(2)(3)，我们知道它们是假命题，即由条件p不能推出结论q，
概念生成
一般地，如果命题“若p则q” 为真命题，是指由p通过推理可以得出q. 这时，我们就说，由p可以推出q，记作pq，并且说
p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．
充分条件与必要条件定义：
只有当“若p则q” 为真命题时才可以记作pq
说明：p足以导致q,也就是说条件p充分了；
q是p成立所必须具备的前提
上述命题（1）（4）中的p是q的充分条件，q是p的必要条件．
而命题（2）（3）中的p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．
典例解析
例1 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中p是q的充分条件？
（1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；
（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；
（3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；
p q
（真命题）
（真命题）
（真命题）
典例解析
例1 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中p是q的充分条件？
（4）若x2=1，则x=1；
（5）若a=b，则ac=bc；
（6）若x,y为无理数，则xy为无理数.
【总结】1. p是q的充分条件的前提是命题“若p,则q”为真命题.
2. 举反例是判定一个命题是假命题的重要方法.
（假命题）
（真命题）
p q
（真命题）
问题3 例1中命题(1)给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，即“四边形的两组对角分别相等”. 这样的充分条件唯一吗？如果不唯一，那么你能再给出几个不同的充分条件吗？
新知探究
显然这样的充分条件是不唯一的，比如还有：
四边形的两条对角线互相平分
四边形的两组对边分别相等
四边形的一组对边平行且相等
① 若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形；
② 若四边形的一组对边平行且线段，则这个四边形是平行四边形；
③ 若四边形的两条对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形.
因此，我们还可以得到以下三个命题
事实上，例1中命题(1)及上述命题①②③均是平行四边形的判定定理.
归纳小结
平行四边形的每一条判定定理都给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，即这个条件能充分保证四边形是平行四边形.
一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件.
结论1：
类似地，平行线的每一条判定定理都给出了“两直线平行”的一个充分条件，例如“内错角相等”这个条件就充分保证了“两条直线平行” ．
巩固练习
课本P20
1. 下列″若p, 则q ″形式的命题中, 哪些命题中的p是q的充分条件？
(1)若平面内点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB；
(2)若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等，则这两个三角形全等；
(3)若两个三角形相似，则这个两个三角形的面积比等于周长比的平方.
p是q的充分条件
p q
（真命题）
p不是q的充分条件
（假命题）
（真命题）
p是q的充分条件
典例解析
例2 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中q是p的必要条件？
（1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；
（2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；
（3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形；
p q
（真命题）
（真命题）
（假命题）
例2 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中q是p的必要条件？
（4）若x=1，则x2=1；
（5）若ac=bc，则a=b；
（6）若xy为无理数，则x,y为无理数.
典例解析
p q
（真命题）
（假命题）
（假命题）
【总结】 q是p的必要条件的前提是命题“若p,则q”为真命题.
新知探究
问题4 例2中命题(1)给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件，即“这个四边形的两组对角分别相等”. 这样的必要条件是唯一吗？如果不唯一，那么你能再给出几个其他必要条件吗？
显然这样的必要条件是不唯一的，比如还有：
四边形的两条对角线互相平分
四边形的两组对边分别相等
四边形的一组对边平行且相等
因此，我们还可以得到以下三个命题
① 若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对边分别相等；
②若四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且线段；
③若四边形是平行四边形，则这个四边形的两条对角线互相平分等.
事实上，例2中命题(1)及上述命题①②③均是平行四边形的性质定理.
归纳小结
平行四边形的每条性质定理都给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件.
类似地，平行线的每条性质定理都给出了“两直线平行”的一个必要条件．例如“同位角相等”是“两直线平行”的必要条件，也就是说，如果同位角不相等，那么就不可能有“两直线平行”．
结论2：
一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.
巩固练习
课本P20
2. 下列″若p,则q ″形式的命题中, 哪些命题中的q是p的必要条件？
(1)若直线l与圆O有且仅有一个交点，则l为圆O的一条切线；
(2)若x是无理数，则x2也是无理数.
p q
（真命题）
（假命题）
q是p的必要条件
q不是p的必要条件
▲p q：p是q的充分条件，q是p的必要条件
[注]p是q的充分条件：是指条件p可推出结论q，
不意味着只有条件p可推出结论q，
[注]q是p的必要条件：是指条件p可推出结论q，
不意味着条件p只能推出结论q，
即：对给定条件p，由p可推出的结论q是不唯一的.
即：对给定结论q，使得q成立的条件p是不唯一的.
概念解析
巩固练习
课本P20
3 .如图，直线a和b被直线l所截，分别得到了∠1，∠2，∠3和∠4. 请根据这些信息，写出几个“a//b”的充分条件和必要条件.
a
b
l
1
4
3
2
___ a//b
a//b ___
解：“a//b” 的充分条件:
“a//b”的必要条件:
∠1=∠2
∠1=∠4
∠1+∠3= 180°
“∠l=∠2”或“∠1=∠4”或“∠1+∠3= 180°”.
课堂小结
本节课你学会了哪些主要内容？
1、充分条件和必要条件；
2、判别步骤：
3、判别技巧．
给出p、q，判断“p q”真假，下结论
否定命题时举反例
p q，p是q的充分条件， q是p的必要条件