课件25张PPT。第一章 三角形
1 认识三角形
第1课时1.三角形的概念及其表示
(1)定义：由不在___________的三条_____首尾顺次相接所组成
的图形叫做三角形.
(2)三角形的表示方法：一般的三角形用符号“___”表示.直角
三角形用符号“_____”表示.同一直线上线段△Rt△2.探究三角形三角关系
(1)在纸上任意画一个三角形，测量它的三个内角可得，三个
内角的和是______.
(2)做一个三角形纸片，将其三个内角剪下拼在一起可以得到
一个___角.
(3)做一个直角三角形的纸片，将其两个锐角剪下拼在一起可
得一个___角.180°平直【归纳】
①三角形的三个内角的和是______；
②直角三角形的两锐角_____.
3.三角形按角可分为：_____三角形、_____三角形、_____三
角形.
【点拨】判断三角形中最大内角的度数，就可以判断这一个三角形的形状.180°互余锐角直角钝角【预习思考】
已知三角形中两个内角的度数，能确定三角形的形状吗？
提示：能，根据三角形的内角和是180°，可以确定第三个角的度数，进而确定三角形的形状.知识点1 与三角形有关的概念
【例1】如图所示，图中有几个三角形？请分别表示出来. ∠AEC，∠ABD分别是哪些三角形的内角？以BD为边的三角形有哪些？ 【解题探究】(1)①图中较小的三角形有__________________.
②两个图形组合为一个三角形的有：△BEC，△____，△____，
△____，还有最大的一个三角形是：△____. 所以，图中有__
个三角形.
(2)以∠AEC为内角的三角形有△____.
以∠ABD 为内角的三角形有△____，△____.
(3)以BD 为边的三角形有△____，△____.△BEF,△CDF,△BFCBDCABDAECABC8AECBEFABDBDCABD【规律总结】
复杂图形中确定三角形个数的三个要求
(1)按一定方向数：按从上到下或从左到右等一定的方向数.
(2)按从小到大的顺序数：先数单一的三角形，再数组合的三角形.
(3)不重不漏：边数边记，要做到不重复、不遗漏.【跟踪训练】
1.若有一条公共边的两个三角形称为一对
“共边三角形”，则图中以BC为公共边的
“共边三角形”有( )
(A)2对 (B)3对 (C)4对 (D)6对
【解析】选B．△BDC与△BEC、△BDC与△BAC、△BEC与△BAC，共3对．2.如图，在△ABC中，AD，BF，CE相交于O点，则图中的三角形的个数是( )
(A)7个 (B)10个 (C)15个 (D)16个
【解析】选D．最小的有6个，2个组成1个的有3个，3个组成1个的有6个，最大的有1个，则共有6+3+6+1=16(个)．3.如图所示，第1个图中有1个三角形，第2个图中共有5个三角形，第3个图中共有9个三角形，依次类推，则第6个图中共有三角形_____个．
【解析】第n个图中，三角形的个数是1+4(n-1)=4n-3，所以当n=6时，三角形的个数是21.
答案：21知识点2 三角形内角和性质的应用
【例2】(6分)如图，△ABC中，∠A=60°，∠B∶∠C=1∶5.求∠B的度数.【规范解答】设∠B=x°，
因为∠B∶∠C=1∶5，
所以∠C= ____. ……………………………………………2分
因为三角形的三个内角的和是______，
所以____________=180°，
所以得方程：____________，………………………………4分
解得x=___，
故∠B= _____…………………………………………………6分5x°180°∠A+∠B+∠C60+x+5x=1802020°【规律总结】
应用方程求解三角形中相关的角的三个步骤
(1)设元：选择适当的角设为未知数.
(2)表示：用未知数表示其他的角.
(3)列方程：根据三角形内角和性质列方程求解.【跟踪训练】
4.(2012·嘉兴中考)已知△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于( )
(A)40° (B)60° (C)80° (D)90°
【解析】选A．设∠A=x，则∠B=2x，∠C=x+20°，
则x+2x+x+20°=180°，
解得x=40°，即∠A=40°．5.(2012·泉州中考)如图，在△ABC中，
∠A=60°，∠B=40°，点D，E分别在BC，
AC的延长线上，则∠1=______.
【解析】因为∠A=60°， ∠B=40°，
则∠ACB=180°-60°-40°=80°，
又∠1=∠ACB，所以∠1=80°.
答案：80°6.(2012·抚顺中考)已知一副三角板如图(1)摆放，其中两条斜边互相平行，则图(2)中∠1=______.【解析】因为DE∥BC，
所以∠3=∠4=30°，
又∠ACB=45°，
所以∠2=15°，
又∠BAC=90°，
所以∠1=180°-90°-15°=75°.
答案：75°1.(2012·南通中考)如图，在△ABC中，∠C＝70°，
沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2＝( )
(A)360° (B)250°
(C)180° (D)140°
【解析】选B．因为∠1+∠3=180°，∠2+∠4=180°，
所以∠1+∠2+∠3+∠4=360°.
又因为∠3+∠4=180°-∠C=110°，
所以∠1+∠2=360°-110°=250°．2. (2012·济宁中考)如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB等于( )
(A)40° (B)75° (C)85° (D)140°
【解析】选C.由题意知，∠ABC =80°-45°=35°，∠BAC =45°+15°=60°， ∠C=180°-35°-60°=85°.3.如图所示，图中有_____个三角形，_______个直角三角形．
【解析】图中有5个三角形，4个直角三角形．
答案：5 44.如图所示，AB∥CD，AD∥BC，∠1=65°，
∠2=55°，则∠C=______.
【解析】因为AB∥CD，AD∥BC，
所以∠BDC=∠2=55°，
∠DBC=∠1=65°，
所以∠C=180°-∠BDC-∠DBC=60°．
答案：60°5.如图所示，已知DF⊥AB于F，∠A=40°，∠D=50°，求∠ACB的度数．
【解析】在△BDF中，
∠B=180°-∠BFD-∠D=180°-90°-50°=40°，
在△ACB中，∠A=40°，
故∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-40°-40°=100°．课件20张PPT。1 认识三角形
第2课时1.等腰三角形的相关概念
(1)等腰三角形：有_____相等的三角形.
(2)等边三角形：_____都相等的三角形，也叫_________.
(3)等腰直角三角形：两条直角边_____的直角三角形.
(4)关于等腰三角形各部分有其特定的名称.
①相等的两条边称为___，第三边称为_____.
②两腰的夹角称为_____，另两个角(腰与底边的夹角)称为____.底角两边三边正三角形相等腰底边顶角2.三角形的边角关系
(1)三角形任意两边之和_____第三边.
(2)三角形任意两边之差_____第三边.大于小于【归纳】如果三角形的两边为a，b，则第三边x的取值范围是：
|a-b|
【点拨】只要三条线段的长度满足三角形的三边关系，则这三
条线段能构成三角形.a+b【预习思考】
等边三角形是等腰三角形吗？
提示：是.等边三角形是特殊的等腰三角形，即等边三角形是腰和底相等的等腰三角形.知识点 三角形的三边关系及应用
【例】等腰三角形一边长为5 cm，它比另一边短6 cm，求三角
形周长.
【解题探究】(1)你能确定5 cm的边是腰还是底吗？
答：_____，故此题可能有___解，即5 cm的边为___或为___.
(2)①当5 cm的边为腰时，则底边长为_______(cm).
因为___________，所以_________三角形.不能两底腰5+6=115+5=10＜11不能构成②当5 cm的边为底边时，此时腰长为_______(cm).
又因为_________，故能构成三角形.所以三角形周长为
___________(cm).5+6=1111+5＞115+11+11=27【规律总结】
等腰三角形的周长问题中的三点注意
(1)分清：已知数据是三角形的腰还是底.
(2)分类：题目中没有明确腰或底时，要分类讨论.
(3)满足：计算中一定要验算三边是否满足三角形的三边关系.【跟踪训练】
1.下列长度的三条线段，不能构成三角形的是( )
(A)3，8，4 (B)4，9，6
(C)15，20，8 (D)9，15，8
【解析】选A．因为3+4＜8，所以不能构成三角形；因为4+6＞9，所以能构成三角形；因为8+15＞20，所以能构成三角形；因为8+9＞15，所以能构成三角形．故选A.2.在下列长度的四根木棒中，能与4 cm，9 cm长的两根木棒钉成一个三角形的是( )
(A)4 cm (B)5 cm (C)9 cm (D)13 cm
【解析】选C.设第三边长为c cm，则9+4＞c＞9-4，即13＞c＞5.只有9 cm符合要求.3.为估计池塘两岸A，B间的距离，杨阳在
池塘一侧选取了一点P，测得PA=16 m，
PB=12 m，那么A，B间的距离不可能是( )
(A)5 m (B)15 m (C)20 m (D)28 m
【解析】选D．因为PA，PB，AB能构成三角形，
所以PA-PB＜AB＜PA+PB，即4 m＜AB＜28 m．4.如果三角形的两边长为2和9，且周长为奇数，那么满足条件的三角形共有( )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
【解析】选B．设第三边的边长是x，则7＜x＜11，
所以x=8或9或10．而三角形的周长是奇数，因而x=8或10，满足条件的三角形共有2个．1.(2012·郴州中考)以下列各组线段为边，能组成三角形的
是( )
(A)1 cm，2 cm，4 cm (B)4 cm，6 cm，8 cm
(C)5 cm，6 cm，12 cm (D)2 cm，3 cm，5 cm
【解析】选B.A选项，1+2<4，故不能组成三角形；B选项，4+6>8，故能组成三角形；C选项，5+6<12，故不能组成三角形；D选项，2+3=5，故不能组成三角形.2.(2012·义乌中考)如果三角形的两边长分别为3和5，第三边长是偶数，则第三边长可以是( )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)8
【解析】选C．由题意，设第三边为x，则5-3＜x＜5+3，即2＜x＜8，因为第三边长为偶数，所以第三边长是4或6．故选C．3.如果三角形的两条边长分别为23 cm和10 cm，第三边与其中一边的长相等，那么第三边的长为______cm.
【解析】设第三边的长为x cm，满足：
23-10＜x＜23+10.
即13＜x＜33.
因而第三边一定是23 cm.
答案：234.一个三角形的两边长分别为3和7，且第三边的边长为整数，这样的三角形的周长的最小值是______.
【解析】设第三边的长为x，则7-3＜x＜7+3，所以4＜x＜10.又x为整数，所以x可取5，6，7，8，9.所以这个三角形的周长的最小值为15.
答案：155.如图，有四个村庄(点)A，B，C，D，要建一所学校O，使OA+OB+OC+OD最小，画图说明O在哪里，并说出你的理由．【解析】要使OA+OB+OC+OD最小，则点O是线段AC，BD的交点．
理由如下：如果存在不同于点O的交点P，
连接PA，PB，PC，PD，
那么PA+PC＞AC，
即PA+PC＞OA+OC，
同理，PB+PD＞OB+OD，
则PA+PB+PC+PD＞OA+OB+OC+OD，
即点O是线段AC，BD的交点时，OA+OB+OC+OD最小．课件28张PPT。1 认识三角形
第3课时三角形的三种重要线段的概念及特征线段一点中点一点垂足一点探究：三角形的三条高的关系：如图，画出锐角三角形、直角
三角形和钝角三角形的三条高.
①锐角三角形的三条高相交于三角形___部的___个点.
②直角三角形的三条高相交于三角形的_________.
③钝角三角形的三条高所在直线相交于三角形___部的___个点.内一直角顶点外一【归纳】三角形的三条高所在的直线相交于一点.
【点拨】三角形的角平分线、高、中线都是线段.
【预习思考】
三角形的角平分线和角的平分线是同一个概念吗？
提示：不是.它们均平分一个角，但三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线. 知识点1 三角形的三种重要线段区分
【例1】(9分)如图，在△ABC中，
∠BCA是钝角，完成下列画图，
并用适当的符号在图中表示：
(1)∠ABC的角平分线；
(2)AC边上的中线；
(3)AC边上的高． 【规范解答】如图所示：
(1)BE为∠ABC的角平分线，可表示为∠ABE＝______＝
_____，或∠ABC＝2______=2______.……………………3分∠CBE∠ABC∠ABE∠CBE特别提醒：△ABC的
AC边上的高在三角形外，
不要画在三角形内，注意
在垂足处标上垂直符号.(2)BD为AC边上的中线，可表示为AD＝___＝
___. …………………………………………………6分
(3)BF为AC边上的高，可表示为BF⊥___于点F，
或∠AFB=90°…………………………………………9分CDACAC【规律总结】
三角形的三种重要线段识别的两点注意
(1)不要混淆：准确把握三角形三种重要线段的概念，弄清三角形的角平分线、中线、高线的区别.
(2)注意数量关系的推理判断：三角形的角平分线可得到两个相等角，三角形的中线可得到两条相等的线段和两个面积相等的三角形，三角形的高可得到垂直关系或直角.【跟踪训练】
1.如图所示，在△ABC中，D，E，F是BC边上的三点，且∠1=∠2=∠3=∠4，AE是哪个三角形的角平分线( )
(A)△ABE (B)△ADF
(C)△ABC (D)△ABC，△ADF【解析】选D．因为∠2=∠3，
所以AE是△ADF的角平分线.
因为∠1=∠2=∠3=∠4，所以∠1+∠2=∠3+∠4，
即∠BAE=∠CAE，
所以AE是△ABC的角平分线．2.如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为C，D，E，则下列说法不正确的是( )
(A)AC是△ABC的高
(B)DE是△BCD的高
(C)DE是△ABE的高
(D)AD是△ACD的高
【解析】选C．选项A的说法符合高的概念，故正确；选项B的说法符合高的概念，故正确；选项C，DE是△BDC，△BDE，△EDC的高，不是△ABE的高，故错误；选项D的说法符合高的概念，故正确．3.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是( )
(A)锐角三角形 (B)钝角三角形
(C)直角三角形 (D)都有可能
【解析】选C．一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，则这个三角形是直角三角形．【变式备选】下列说法正确的是( )
①三角形的三条中线都在三角形内部；②三角形的三条角平分线都在三角形内部；③三角形的三条高都在三角形的内部．
(A)①②③ (B)①②
(C)②③ (D)①③
【解析】选B．①②正确；而对于三角形的三条高：锐角三角形的三条高在三角形的内部；直角三角形有两条高在边上，一条在内部；钝角三角形有两条高在外部，一条在内部.故③错误．知识点2 三角形中三条重要线段的综合应用
【例2】(2012·梧州中考)如图，AE是
△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，
若∠BAC=128°，∠C=36°，则∠DAE的度数是( )
(A)10° (B)12° (C)15° (D)18°
【解题探究】1.根据∠BAC=128°，AE是△ABC的角平分线，
可知∠CAE= ___.
2.根据AD⊥BC，∠C=36°，可知∠CAD= ___.
3.由上面探究知∠DAE= ____，故选__.64°54°10°A【互动探究】∠DAE与∠B和∠C(∠C>∠B)的关系是什么？
为什么？
提示：∠DAE= (∠C-∠B).
理由：∠DAE=∠CAE-∠CAD
= ∠BAC-(90°-∠C)
= (180°-∠B-∠C)-90°+∠C
=90°- ∠B- ∠C-90°+∠C
= ∠C- ∠B
= (∠C-∠B).【规律总结】
三角形的角平分线和高的综合应用的一般思路
先确定欲求角在哪个三角形中，然后由角平分线或高确定角的数量关系，最后由三角形的内角和求出相关角的关系或度数.【跟踪训练】
4.如图，AD，BE都是△ABC的高，则与
∠CBE一定相等的角是( )
(A)∠ABE (B)∠BAD
(C)∠DAC (D)∠C
【解析】选C．在△BEC和△ADC中，∠C是公共角，∠ADC=∠BEC=90°，所以∠CBE=∠DAC．5.如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平
分∠BAC，若∠1=30°，∠2=20°，
则∠B=_____．
【解析】因为AE平分∠BAC，
所以∠1=∠EAD+∠2，
所以∠EAD=∠1-∠2=30°-20°=10°，
Rt△ABD中，∠B=90°-∠BAD=90°-30°-10°=50°．
答案：50°1.把三角形的面积分为相等的两部分的是( )
(A)三角形的角平分线 (B)三角形的中线
(C)三角形的高 (D)以上都不对
【解析】选B．三角形的一条中线把三角形分成两个等底同高的三角形，所以把三角形的面积分为相等的两部分的是三角形的中线．2.下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是( )
【解析】选D．根据三角形高的定义可得线段BE是△ABC的高的图是D．3.如图，在△ABC中，BC边上的高是_______；
在△ADC中，DC边上的高是________；
在△EBC中，EC边上的高是________.
【解析】△ABC是钝角三角形，BC边上的高是AD；△ADC是直角三角形，DC边上的高是直角边AD；△EBC中， EC边上的高是BG.
答案：AD AD BG4.如图，AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于点E，若∠BAC＝58°，则∠ADE＝______.【解析】因为AD为△ABC的角平分线，
所以∠BAD= ∠BAC=29°.
又因为DE∥AB，
所以∠ADE=∠BAD=29°.
答案：29°5.如图，在△ACB中，∠ACB=90°，∠1=∠B．
(1)试说明CD是△ABC的高.
(2)如果AC=8，BC=6，AB=10，求CD的长．【解析】(1)因为∠1+∠BCD=90°，∠1=∠B，
所以∠B+∠BCD=90°，
所以∠CDB=90°，
所以△BDC是直角三角形，
即CD⊥AB，
故CD是△ABC的高.
(2)因为∠ACB=∠CDB=90°，
所以S△ABC = AC·BC= AB·CD.
又因为AC=8，BC=6，AB=10，
所以课件28张PPT。2 图形的全等1.全等图形
(1)概念：能够_________的两个图形.
(2)判别：形状_____，大小_____时，才能称为全等图形.
【点拨】全等图形的判别只与两个图形的形状和大小有关，与图形的位置和方向无关.
(3)全等图形的性质：全等图形的_____和_____都相同.完全重合相同相同形状大小2.全等三角形
(1)定义：能够_________的两个三角形.
(2)对应元素：两个三角形全等时，重合的顶点是_________，
重合的边是_______，重合的角是_______.
(3)表示：全等三角形用符号“≌”表示，读作：_______.
注意：在表示两个三角形全等时，通常要把对应顶点的_____写
在对应的位置上.
(4)性质：全等三角形的对应边_____，对应角_____.完全重合对应顶点对应边对应角全等于字母相等相等【预习思考】
面积相等的两个长方形全等吗？
提示：不一定，因为两个长方形的形状不一定相同，如长和宽分别是2，6与3，4的两个长方形面积相等，但不全等.知识点1 全等三角形的对应元素
【例1】如图所示，△ABC≌△EDA，∠BAC与∠DEA是对应角，AB与ED是对应边，写出其他对应边及对应角. 【解题探究】(1)确定对应边.
①由△ABC≌△EDA，∠BAC与∠DEA是对应角，
可得一组对应边：即_______.
②由于两个三角形只有3组对应边，且AB与ED是对应边，
所以第三组对应边是AC与EA.
(2)确定对应角.由对应边所对的角是对应角得：
∠ABC与______，∠ACB与______是对应角.BC与DA∠EDA∠EAD【规律总结】
确定对应角、对应边的方法
1.找对应边的方法.
(1)有公共边的，公共边一定是对应边.
(2)全等三角形对应角所对的边是对应边.
(3)两个对应角所夹的边是对应边.
(4)两个全等的三角形中，一对最长的边是对应边，一对最短的边也是对应边.2.找对应角的方法.
(1)有对顶角或公共角的，对顶角或公共角一定是对应角.
(2)全等三角形对应边所对的角是对应角.
(3)两条对应边所夹的角是对应角.
(4)两个全等的三角形中，一对最大的角是对应角，一对最小的角也是对应角.【跟踪训练】
1.如图所示，△ABC≌△CDA，且AB与CD是对应边，那么下列说法错误的是( )
(A)∠1与∠2是对应角
(B)∠B与∠D是对应角
(C)BC与AC是对应边
(D)AC与CA是对应边
【解析】选C.因为对应角所对的边是对应边，公共边是对应边，BC与DA是对应边.2.如图，△ABC≌△DEF，AC∥DF，则∠C的对应角为( )
(A)∠F (B)∠AGE
(C)∠AEF (D)∠D
【解析】选A．由△ABC≌△DEF得点C与点F对应，故∠C与∠F是对应角.3.如图，△ABC≌△DCB，其中A和D是对应顶点，AC和DB是对应边，指出其他的对应边和对应角．对应边____，对应角____．
【解析】因为△ABC≌△DCB，A和D是对应顶点，AC和DB是对应边，所以AB=DC，BC=CB，∠A=∠D，∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC．
答案：AB与DC，BC与CB
∠A与∠D，∠ABC与∠DCB，∠ACB与∠DBC知识点2 全等三角形的性质及应用
【例2】(8分)如图，△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，求∠DFB的度数．【规范解答】因为△ABC≌△ADE，
所以∠DAE=∠____……………………………………2分
又因为∠EAB=120°，∠CAD=10°，
所以∠BAC= (____________)= ( ___________)=_____，
所以∠DAB=_________________________.
…………………………………………………………5分
又因为在△ABF中，∠B=25°，
所以∠AFB=180°-∠B-∠____=180°-25°-____=____，
所以∠DFB=180°-∠AFB= ____.……………………8分BAC∠EAB-∠CAD120°-10°55°∠CAD+∠BAC=10°+55°=65°BAF65°90°90°【互动探究】上例的求解过程中，运用了哪些知识？
提示：全等三角形的性质、角的和差、三角形内角和、补角的性质等.【规律总结】
全等三角形性质的两点应用
(1)求线段：全等三角形的对应边相等，可以直接确定对应边的数量关系，也可以间接求解相关线段的长度等.
(2)求角：全等三角形的对应角相等，可以直接确定对应角的数量关系，也可以间接求解相关角的大小等.【跟踪训练】
4.如图，△ABC≌△DEF，BE=4，AE=1，则DE的长是( )
(A)5 (B)4 (C)3 (D)2
【解析】选A．因为△ABC≌△DEF，
所以DE=AB.
因为BE=4，AE=1，所以DE=AB=BE+AE=4+1=5.5.如图，△ACB≌△A′CB′，∠B′CB=30°，则∠ACA′的度数为( )
(A)20° (B)30° (C)35° (D)40°
【解析】选B．因为△ACB≌△A′CB′，
所以∠ACB=∠A′CB′，
即∠ACA′+∠A′CB=∠B′CB+∠A′CB，
所以∠ACA′=∠B′CB.
又∠B′CB=30°，所以∠ACA′=30°．6.如图所示，△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，有以下结论：①AC=AE；②∠FAB=∠EAB；③EF=BC；④∠EAB=∠FAC.其中正确的个数是( )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个【解析】选B．因为△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，
所以EF=BC，∠EAF=∠BAC，
所以∠EAB+∠BAF=∠FAC+∠BAF，
即∠EAB=∠FAC，AC与AE不是对应边，不能求出二者相等，也不能求出∠FAB=∠EAB，
所以①②错误，③④正确.【变式备选】如图，D，E是△ABC的边AC，BC上的点，△ADB≌△EDB≌△EDC．下列结论：①AD=ED；②BC=2AB；
③∠1=∠2=∠3；④∠4=∠5=∠6．其中正确的有( )
(A)4个 (B)3个 (C)2个 (D)1个【解析】选A．因为△ADB≌△EDB，
所以AD=ED，AB=EB，∠1=∠2，∠4=∠5
因为△EDB≌△EDC，
所以BE=CE，∠2=∠3，∠5=∠6，
所以∠1=∠2=∠3，∠4=∠5=∠6，BC=2BE，
又AB=BE，所以BC=2AB.所以4个结论均正确.1.下列四个几何体中，从正面、左面和上面看到的图形是全等图形的几何体是( )
(A)球 (B)圆柱
(C)三棱柱 (D)圆锥
【解析】选A．球从三个方向看到的图形都是全等的圆形，故A符合题意.2.已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是( )
(A)72° (B)60° (C)58° (D)50°
【解析】选D.因为图中的两个三角形全等，a与a，c与c分别是对应边，那么它们的夹角就是对应角，所以∠α=50°．3.如图所示，若△ABE≌△ACF，且AB=5，AE=3，则EC的长为
________.
【解析】因为△ABE≌△ACF，所以AC=AB=5，所以EC=AC-AE=2．
答案：24.如图，△ABC≌△ADE，∠B=100°，∠BAC=30°，那么∠AED=______度．
【解析】因为在△ABC中，∠C=180°-∠B-∠BAC=50°，又因为△ABC≌△ADE，所以∠AED=∠C=50°．
答案：505.如图所示，△ABC≌△DEF，DE对应AB.
请写出其余对应边和对应角.
【解析】因为△ABC≌△DEF，且DE对应AB，
所以∠A对应∠D，∠B对应∠E，∠ACB对应∠DFE，AC对应DF，BC对应EF.课件19张PPT。3 探索三角形全等的条件
第1课时1.三角形全等条件的探索
(1)只给定一条边或只给定一个角时：
三角形___全等；
② 三角形___全等.不不(2)给出的两个条件可能是：一边一角、两角、两边时：
三角形___全等；
三角形___全等；
③ 三角形___全等.不不不结论：按这些条件画出的三角形都___保证全等.
【归纳】①三个内角对应相等的两个三角形_______全等.
②三边分别相等的两个三角形全等，简写为：边边边或SSS.
【点拨】 SSS是判定两个三角形全等的常用方法之一.
2.三角形的稳定性
用三根木条钉成一个三角形框架，它的_____和_____是固定不变的，这个性质叫做三角形的稳定性.不不一定大小形状【预习思考】
三角形的稳定性与全等三角形的判定方法“SSS”之间有何关系？
提示：三角形的稳定性可以用“SSS”来解释，即如果一个三角形的三边长确定，那么这个三角形就惟一确定.知识点 利用“SSS”说明三角形全等
【例】(2012·十堰中考)如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，试说明∠B=∠D.
【解题探究】1.能否利用平行线的性质得到∠B=∠D？
提示：_____.因为∠B和∠D_____两条直线被第三条直线所截
形成的角.不能不是2.若利用全等三角形的性质判断∠B=∠D应怎么办？
提示：添加辅助线构造分别含有∠B和∠D的三角形，故连接___.
3.△ADC和△ABC全等吗？
提示：全等.因为____________________，由____知△ADC≌△ABC，故____=____.ACAB=AD，CB=CD，AC=ACSSS∠B∠D【规律总结】
利用“SSS”解决实际问题时的两点注意
(1)添加辅助线：通过添加辅助线将问题转化为两个三角形全等的问题.
(2)隐含条件：公共边是常见的隐含条件，在题目已知中一般是不会给出的，一定认真读图分析.【跟踪训练】
1.小明用四根竹棒扎成如图所示的风筝框架，连接BD，已知AB=CD，AD=CB，下列判断不正确的是( )
(A)∠A=∠C
(B)∠ABC=∠CDA
(C)∠ABD=∠CDB
(D)∠ABD=∠C【解析】选D.在△ABD和△CDB中，
AB=CD，AD=CB，BD=DB，
所以△ABD≌△CDB，
所以∠A=∠C，∠ABD=∠CDB，∠ADB=∠CBD，
所以∠ABC=∠CDA.故选D.2.如图，在△ABC中，AB=AC，EB=EC，连接AE并延长，交BC于
点D，则由“SSS”可以直接判定( )
(A)△ABD≌△ACD (B)△ABE≌△ACE
(C)△BDE≌△CDE (D)以上答案都不对
【解析】选B．因为AB=AC，EB=EC，AE=AE，所以△ABE≌△ACE.3.如图，在△ABC和△BAD中，BC=AD，
请你再补充一个条件，使△ABC≌△BAD．
你补充的条件是______(只填一个)．
【解析】在△ABC和△BAD中，已知BC=AD，且AB=BA，所以只需再添加条件：AC=BD，可由“SSS”得△ABC≌△BAD.
答案：AC=BD(答案不惟一)1.下列各组条件中能判定△ABC≌△DEF的是( )
(A)AB=DE，BC=EF
(B)∠A=∠D，∠C=∠F
(C)AB=DE，BC=EF，△ABC的周长等于△DEF的周长
(D)∠ A=∠D，∠B=∠ E， ∠C=∠F
【解析】选C.由△ABC的周长等于△DEF的周长且AB=DE，BC=EF，所以AC=DF，故由“SSS”得△ABC≌△DEF.2.如图，AB=CD，AE=DF，CE=BF，∠B=55°，
则∠C的度数是( )
(A)45° (B)55°
(C)35° (D)65°
【解析】选B.因为CE=BF，
所以CE-EF=BF-EF，即CF=BE，
在△ABE和△DCF中，AB=DC， AE=DF，CF=BE，
所以△ABE≌△DCF，所以∠C=∠B=55°.3.如图所示，建高楼时常需要用
塔吊来吊建筑材料，而塔吊的上
部是三角形结构，这是应用了
三角形的_________________.
【解析】因为塔吊的上部是三角形结构，所以这是运用了三角形的稳定性.
答案：稳定性4.如图，若AB=AC，AD=AE，则需要_______条件就可根据“SSS”判断△ABE≌△ACD.
【解析】由BD=CE可得BD+DE=CE+DE即BE=CD，得三边对应相等.
答案：BE=CD或BD=CE5.如图所示，在△ABC和△EFD中，AD=FC，AB=FE，BC=ED.试说明△ABC≌△FED.
【解析】因为AD=FC，所以AD+DC=FC+DC，
即AC=FD，在△ABC和△FED中，
所以△ABC≌△FED(SSS).课件24张PPT。3 探索三角形全等的条件
第2课时1.已知两角度数及夹边长度，所画得的三角形_____.
即：两角和它们的_____分别相等的两个三角形_____，简写
为：“_______”或“____”.全等夹边全等角边角ASA2.如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′，
BC=B′C′，试说明△ABC≌△A′B′C′.
由∠A+∠B+∠C= ______，∠A′+∠B′+∠C′=______，
所以∠A+∠B+∠C__∠A′+∠B′+∠C′.
又因为∠A=∠A′，∠B=∠B′，所以∠C=∠____，
又BC=B′C′，
所以由_______得△ABC≌△A′B′C′.180°180°=C′ASA3.由2得：两角分别相等且其中一组等角的_____相等的两个三
角形全等，简写成：“_______”或“____”.
【归纳】在两个三角形中，有两角一边对应相等，则这两个三
角形全等.角角边AAS对边【预习思考】
对于两个直角三角形，有一边和锐角对应相等，它们全
等吗？
提示：全等，其中隐含条件是直角对应相等，故可由“ASA”或“AAS”得两个三角形全等.知识点 “ASA”或“AAS”的综合应用
【例】(2012·宜宾中考)如图，点A，B，D，E在同一直线上，AD=EB，BC∥DF，∠C=∠F.试说明AC=EF.【解题探究】(1)欲推出AC=EF，只需说明______≌ ______.
(2)①AD，EB是(1)中两个三角形的对应边吗？
答：_____.
②由AD=EB，可得AD-BD=______，
故得______.
(3)由BC∥DF，得∠CBD=∠____，
进而得____________.
综上，在△____和△____中，
____________________________，
所以△____≌△____(AAS)，故______.△ABC△EDF不是EB-BDAB=EDFDB∠ABC=∠EDFABCEDF∠C=∠F，∠ABC=∠EDF，AB=EDABCEDFAC=EF【规律总结】
说明三角形全等的三类条件
(1)直接条件：即已知中直接给出的三角形的对应边或对应角.
(2)隐含条件：即已知没有给出，但通过读图很容易得到的条件，如公共边、公共角、对顶角等.
(3)间接条件：即已知中所给条件不是三角形的边和角，需要进一步推理.【跟踪训练】
1.如图所示，AB∥CD，点C是BE的中点，
直接应用“ASA”说明△ABC≌△DCE还
需要的条件是( )
(A)AB=CD (B)∠ACB=∠E
(C)∠A=∠D (D)AC=DE
【解析】选B．因为点C是BE的中点，所以BC=CE，因为AB∥CD，所以∠B=∠DCE，所以应添加∠ACB=∠E才能直接应用“ASA”得△ABC≌△DCE．2.如图，已知∠A=∠D，∠1=∠2，那么要得到△ABC≌△DEF，还应给出的条件是( )
(A)∠E=∠B
(B)ED=BC
(C)AB=EF
(D)AF=CD
【解析】选D.若AF=CD，则AC=DF.又因为∠A=∠D，∠1=∠2，
所以△ABC≌△DEF.3.如图所示，OD=OB，AD∥BC，则
全等三角形有( )
(A)2对 (B)3对
(C)4对 (D)5对
【解析】选C.根据题意AD∥BC得∠ADO=∠CBO，又∠DOA=∠BOC，OD=OB，所以△DOA≌△BOC同理可得△DOC≌△BOA，△DAB≌△BCD，△ACD≌△CAB，所以有4对.【变式备选】如图，点B在∠CAD的平分线上，
请添加一个适当的条件：________________，
使△ABC ≌△ABD(只填一个即可)．
【解析】因为点B在∠CAD的平分线上，所以∠CAB=∠DAB，AB=AB，只需添加一角即可．
答案：∠C=∠D(或∠ABC=∠ABD或∠CBE=∠DBE)(答案不惟一) 4.(2012·湘西中考)如图，AC与BD相
交于点O，AO=DO，∠A=∠D，试说明
△ABO≌△DCO.
【解析】在△ABO和△DCO中，
所以△ABO≌△DCO(ASA).1.在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，∠A=∠B′，AB=B′A′，则下列结论中正确的是( )
(A)AC=A′C′ (B)BC=B′C′
(C)AC=B′C′ (D)∠A=∠A′【解析】选C.如图所示，因为
∠C=∠C′=90°，∠A=∠B′，
AB=B′A′，所以Rt△ABC≌
Rt△B′A′C′，所以AC=B′C′
(A不正确，C正确)，BC=A′C′(B不正确)，∠A=∠B′(已知已给出，D不正确).2. 如图，某同学将一块三角形玻璃打碎
成了三块，现要到玻璃店去配一块完全
一样的玻璃，那么最省事的办法是( )
(A)带(1)去 (B)带(2)去
(C)带(3)去 (D)带(1)(2)去
【解析】选C.题干中图(3)包含原三角形的两角一边，根据“ASA”可配一块与原三角形玻璃完全一样的玻璃.3.(2012·三明中考)如图，在△ABC中，
D是BC边上的中点，∠BDE=∠CDF，
请你添加一个条件，使DE=DF成立，
你添加的条件是________________
(不再添加辅助线和字母).【解析】因为D是BC边上的中点，
所以BD=CD，
又因为∠BDE=∠CDF，
要使DE=DF成立，只要△BED≌△CFD.
可添加∠B=∠C或∠BED=∠CFD或∠AED=∠AFD.
答案：答案不惟一，如∠B=∠C或∠BED=∠CFD或∠AED=∠AFD4.(2012·绥化中考)如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B，D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE=8，BF=5，则EF的长为_______．【解析】因为四边形ABCD是正方形，所以AB=AD，
∠ABC=∠BAD=90°.
因为BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，
所以∠FAB+∠FBA=∠FAB+∠EAD=90°，
所以∠FBA=∠EAD.
所以在Rt△AFB和Rt△AED中，因为∠AFB=∠DEA=90°，∠FBA=∠EAD ，AB=DA，
所以△AFB≌△DEA(AAS)，所以AF=DE=8，BF=AE=5，
所以EF=AF+AE=8+5=13．
答案：135.如图，AB∥CD，O是AD中点，试说明AB=CD.【解析】因为AB∥CD，
所以∠A=∠D，
又因为O是AD中点，
所以OA=OD，
在△AOB和△DOC中，
所以△AOB≌△DOC(ASA)，
所以AB=CD.课件19张PPT。3 探索三角形全等的条件
第3课时1.已知一个三角形的两边及一角，有几种可能的情况？
答：_________________________________________.
2.已知三角形的两边长及夹角的度数，所画的三角形_____全
等；而已知三角形的两边及其中一边的对角，所画的三角形
_______全等.两种，即两边及夹角和两边及其中一边的对角一定不一定【归纳】全等三角形的第四个判定方法：两边及其_____分别相
等的两个三角形全等，简写成：“_______”或“____”.
【点拨】运用SAS判定两个三角形全等时，其中角必为夹角.
【预习思考】
有两边和一角对应相等的两个三角形一定全等吗？
提示：不一定，只有当这一角为两边的夹角时，两个三角
形才全等.夹角边角边SAS知识点 SAS的综合应用
【例】(6分)(2012·铜仁中考)如图，
E，F是四边形ABCD的对角线BD上的两点，
AE∥CF，AE=CF，BE=DF．试说明△ADE≌△CBF．【规范解答】因为AE∥CF，
所以∠AED=∠____，
……………………2分
因为DF=BE，
所以DF+___=BE+___，
即______， …………………………………………4分
在△ADE和△CBF中，
___________________________，
所以△ADE≌△CBF(____).…………………………6分CFB特别提醒：BE和DF
不是△ADE与△CBF
中的对应边. EFEFDE=BFAE=CF，∠AED=∠CFB ，DE=BFSAS【互动探究】上例条件不变，你能得出△ABE≌△CDF吗？
提示：能.因为AE∥CF，所以∠AED=∠CFB，
所以∠AEB=∠CFD，
又AE=CF，BE =DF，故△ABE≌△CDF(SAS).【规律总结】
由已知说明两三角形全等的一般思路
(1)若已知两边→
(2)若已知一边一角→
(3)若已知两角→【跟踪训练】
1.如图，在△ABC和△DEF中，已知AB=DE，BC=EF，根据“SAS”判定△ABC≌△DEF，还需的条件是( )
(A)∠A=∠D (B)∠B=∠E
(C)∠C=∠F (D)以上三个均可以
【解析】选Ｂ.再添加条件∠B=∠E，正好能用“SAS”判定△ABC≌△DEF.2.如图，在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠B=∠E，补充下列哪一个条件后，能直接应用“SAS”判定△ABC≌△DEF( )
(A)BF=EC
(B)∠ACB=∠DFE
(C)AC=DF
(D)∠A=∠D
【解析】选A.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．∠B的两边是AB，BC，∠E的两边是DE，EF，而BC=BF+FC，EF=CE+CF，要使BC=EF，则BF=EC．故选A．3.如图，已知A，D，B，F在一条直线上，
AC=EF，AD=BF，要使△ABC≌△FDE，
还需添加一个条件，这个条件可以是
___________________.(只需填一个即可)
【解析】因为AD=BF，
所以AB=DF，又因为AC=FE，
所以根据SAS，只要添加∠A=∠F或AC∥EF即可判定△ABC≌△FDE.
根据SSS，只要添加BC=DE即可判定△ABC≌△FDE.
答案：∠A=∠F或AC∥EF或BC=DE(答案不惟一)4.(2012·北京中考)已知：如图，
点E，A，C在同一条直线上，AB∥CD，
AB=CE，AC=CD，试说明BC=ED.
【解析】因为AB∥CD，
所以∠BAC=∠ECD.
又因为AB=CE，AC=CD，
所以△BCA≌△EDC(SAS).
所以BC=ED.1.如图，a，b，c分别表示△ABC的三边长，则下面与△ABC一定全等的三角形是( )
【解析】选B.由三角形内角和是180°得∠C=58°，即△ABC中，长为a，b的两边的夹角是58°，由“SAS”得B正确.2.(2012·淄博中考)已知一等腰三角形的腰长为5，底边长为4，底角为β，满足下列条件的三角形不一定与已知三角形全等的是( )
(A)两条边长分别为4，5，它们的夹角为β
(B)两个角是β，它们的夹边为4
(C)三条边长分别是4，5，5
(D)两条边长是5，一个角是β【解析】选D.选项A中给出的条件满足全等三角形的判定条件“SAS”，选项B中给出的条件满足全等三角形的判定条件“ASA”，选项C中给出的条件满足全等三角形的判定条件“SSS”，因此，它们都能确定该三角形与已知三角形全等.当两条边长是5，其夹角是β时，所得到的三角形则与原三角形不全等.3.如图，∠1=∠2.
(1)当BC=BD时，△ABC≌△ABD
的依据是__________________；
(2)当∠3=∠4时，△ABC≌△ABD
的依据是___________________.
【解析】由题干图可知AB=AB，若BC=BD，可利用“SAS”得△ABC≌△ABD；若∠3=∠4，可利用“ASA”得△ABC≌△ABD.
答案：(1)SAS (2)ASA4.(2012·齐齐哈尔中考)如图，已知
AC=DB，要使△ABC≌△DCB，则只需添
加一个适当的条件是_____________.
(填一个即可)
【解析】在△ABC和△DCB中，已有AC=DB和BC=CB，故要使△ABC≌△DCB，
根据边边边，还需AB=DC；
根据边角边，还需∠ACB=∠DBC.
答案：AB=DC或∠ACB=∠DBC5.如图，AC=AD，∠BAC=∠BAD，点E在AB上.
(1)能找出___对全等的三角形；
(2)请写出一对全等三角形，并说明理由.
【解析】(1)3
(2)答案不惟一，△ABC≌△ABD.
理由如下：在△ABC和△ABD中，
所以△ABC≌△ABD(SAS).课件26张PPT。5 利用三角形全等测距离 1.阅读相关内容完成下列问题：
(1)在测河宽问题中，“保持刚才的姿态”你是怎样理解的？
答：___________________.
(2)直立的姿态从而保证了两个三角形中的两个_____；帽檐不
动，保证了视线和身体的_____不变.
(3)要说明图中两个三角形全等，已知两角，则还差一边，即
_________.
(4)测量的原理是：构造了_______________.直立姿态和帽檐不动直角夹角身高不变两个全等三角形2.“想一想”中的测量方法是根据____构造△ABC和△DEC全
等，进而得___=AB.
【归纳】(1)利用三角形的全等测距离的根据：全等三角形的
对应边_____.
(2)利用三角形的全等测距离的方法：转化法，即把不能直接
测量或无法测量的线段转化为容易测量的线段.SASDE相等【预习思考】
利用三角形全等测距离的实质是什么？
提示：其实质为构造三角形全等，根据全等三角形对应边相等，将不可测的线段的长度，转化为可测线段长度.知识点 利用全等三角形测距离
【例】(8分)如图，小勇要测量家门前河中
浅滩B到对岸A的距离，他先在岸边定出C点，
使C，A，B在同一直线上，再沿AC的垂直方
向在岸边画线段CD，取它的中点O，又画DF⊥CD，观测得到E，O，B在同一直线上，且F，O，A也在同一直线上，那么EF的长就是浅滩B到对岸A的距离，你能说出这是为什么吗？【规范解答】因为DF⊥CD，AC⊥CD，所以∠__=∠__=90°.
……………………………………………………………2分
又因为OC=___，∠COA=∠____，
所以△____ ≌△FOD(____)，
所以∠__=∠F，___=OF……………………………………4分
又因为∠AOB=∠____，
所以△AOB≌ ______(____)， ……………………………6分
所以AB=___，
所以___的长就是浅滩B到对岸A的距离…………………8分DCODDOFAOCASAAOAFOE△FOEASAEFEF【互动探究】对于上例，除上述解法外还有没有其他解法？
提示：有，先判定△AOC≌△FOD，得AC=DF，再判定△BOC≌△EOD，得BC=DE，最后由AC-BC=DF-DE，得AB=EF.【规律总结】
利用三角形全等测距离的四个步骤
(1)先定方法：即确定根据哪一判别方法构造三角形全等.
(2)画草图：根据实际问题画出草图.
(3)结合图形和题意确定已知条件.
(4)说明理由.【跟踪训练】
1.如图所示，已知AC=DB，AO=DO，CD=100 m，则A，B两点间的距离( )
(A)大于100 m (B)等于100 m
(C)小于100 m (D)无法确定
【解析】选B．因为AC=DB，AO=DO，所以OB=OC，
又∠AOB=∠DOC，所以△AOB≌△DOC，所以AB=CD=100 m．2.如图，设在一个宽度为w的小巷内，一个梯子长为a，梯子的底端位于A点，将梯子的顶端放在一堵墙上Q点时，Q点离开地面的高度为k，梯子的倾斜角为45°；将该梯子的顶端放在另一堵墙上R点时，R点离开地面的高度为h，且此时梯子倾斜角为75°，则小巷宽度w =( )
(A)h (B)k (C)a (D)【解析】选A．连接QR，过Q作QD⊥PR，所以∠AQD=45°，因为∠QAR=180°-75°-45°=60°，且AQ=AR，
所以△AQR为等边三角形，即AQ=QR，因为∠AQD=45°，所以∠RQD=15°=∠ARP，∠QRD=75°=∠RAP，
所以△DQR≌△PRA(ASA)，所以QD=RP，即w=h．3.如图所示，AA′，BB′表示两根长度相同的木条，若O是AA′，BB′的中点，经测量AB=9 cm，则容器的内径A′B′为
( )
(A)8 cm (B)9 cm (C)10 cm (D)11 cm【解析】选B．由题意知：OA=OA′，∠AOB=∠A′OB′，OB=OB′，所以△AOB≌△A′OB′，所以A′B′=AB=9 cm．4.我国的纸伞工艺十分巧妙，如图，伞不论张开还是缩拢，△AED与△AFD始终保持全等，因此伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．△AED≌△AFD的理由是( )
(A)SAS (B)ASA (C)SSS (D)AAS【解析】选C．理由如下：因为E，F为定点，所以AE=AF，又因为AD=AD，ED=FD，所以在△AED和△AFD中，AE=AF ，AD=AD， DE=DF，所以△AED≌△AFD(SSS)．1.如图所示，为了测量水池两边A，B间的
距离，可以先过点A作射线AE，再过B点作
BD⊥AE于点D，在AD延长线上截取DC=AD，
连接BC，则BC的长就是A，B间的距离，以
此来判断△ABD≌△CBD的理由是( )
(A)SSS (B)SAS (C)ASA (D)AAS【解析】选B.因为BD⊥AE，
所以∠ADB=∠CDB=90°.
在△ABD与△CBD中，
所以△ABD≌△CBD(SAS)，故选B.2.如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，点C是AD的中点，也是BE的中点，若DE=20米，则AB=________米.【解析】因为点C是AD的中点，也是BE的中点，
所以AC=DC，BC=EC.
因为在△ACB和△DCE中，
所以△ACB≌△DCE(SAS)，
所以AB=DE=20米.
答案：203.如图所示，△ABC≌△DEF，AD=10 cm，BE=6 cm，则AE的长为______cm．
【解析】因为△ABC ≌△DEF，所以AB=DE，
所以AE=AD-DE=AD-AB=BD，
所以AE=(10-6)÷2=2(cm)．
答案：24.如图所示，要测量河岸相对的两点A，B之间的距离，先从B处出发与AB成90°角方向，向前走50米到C处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走50米到D处，在D处转90°沿DE方向再走17米，到达E处，使A，C与E在同一直线上，那么测得A，B的距离为______．【解析】因为先从B处出发与AB成90°角方向，
所以∠ABC=90°，
因为BC=50米，CD=50米，∠EDC=90°，
所以△ABC≌△EDC，所以AB=ED，
因为沿DE方向再走17米，到达E处，
即DE=17米，所以AB=17米．
答案：17米5．如图，公园里有一条“Z”字型道
路ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD
三段道路旁各有一只小石凳E，M，F，M
恰为BC的中点，且E，M，F在同一直线上，
在BE道路上停放着一排小汽车，从而无法直接测量B，E之间的距离，你能想出解决的方法吗？请说明其中的道理.【解析】因为AB∥CD，所以∠B=∠C.
在△BME和△CMF中，
∠B=∠C，BM=CM，∠BME=∠CMF，
所以△BME≌△CMF(ASA)，
所以BE=CF.
故只要测量CF即可得B，E之间的距离.课件38张PPT。单元复习课
第 一 章一、三角形的相关概念
1.三角形的概念：
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.三条线段叫做三角形的边，公共的端点叫做三角形的顶点，两边所形成的夹角叫做三角形的内角.三角形用符号“△”及顶点字母表示.2.与三角形有关的线段：
三角形的高线、中线、角平分线：
(1)三线都经过顶点.
(2)都是线段.
(3)除直角三角形的两条高线在三角形的两条直角边上，钝角三角形的两条高线在三角形外部，其他各线均在三角形内.
(4)锐角三角形的高交于三角形内部一点，直角三角形的高交于三角形的直角顶点，钝角三角形的高所在的直线交于三角形外部一点.(5)三角形的一条中线把三角形分成两个面积相等的小三角形.
(6)根据面积法可得，三角形的各边与这边上的高的乘积相等.
3.三角形的分类：
(1)按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.
(2)按边分类：
4.全等三角形的概念：
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.二、三角形的相关性质和判定
1.三角形的性质：
(1)三角形的稳定性：三角形的三边确定了，那么它的形状大小就都确定了，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性.
(2)三角形三边之间的性质：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.
2.三角形内角和性质：
三角形三个内角的和等于180°.3.全等三角形：
(1)全等三角形的性质：
全等三角形的对应边相等，对应角相等，对应边上的中线、高线，对应角的角平分线分别相等；全等三角形的周长、面积分别相等.
全等三角形的性质是判定线段、角相等的重要依据.(2)全等三角形的判定方法：
注：有两边及其中一边的对角对应相等和三个角对应相等的两个三角形不一定全等.(3)判定两个三角形全等时要认真分析条件和图形结构，理清已知与未知之间的内在联系，从而选择恰当的方法.
(4)以后将会学到的平移、旋转、翻折都是全等变换.在学习的过程中，对两个三角形进行不同的组合变换，拼成不同的图形，在复杂的图形当中，学会对图形进行分离、整合，准确找出全等三角形的对应元素.
理解并熟记全等三角形中经常出现的图形结构，充分挖掘其中的隐含条件，如图.①平移型：
②旋转型：③翻折型：
④组合型：三、全等三角形的应用
1.全等三角形的应用主要体现在判定线段或角的相等问题中，在实际问题中，往往构造全等三角形，再利用全等三角形的性质解决测量(不能直接度量长度)问题、三角形物体复原问题等.
2.涉及实际问题中的测量方案设计问题时，要考虑测量工具及条件的局限性，叙述测量方案时要严谨、有条理.热点考向1 三角形的边角关系
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三角形的性质分为边的性质与内角的性质
(1)三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.
(2)内角关系：三角形内角的和是180°.【例1】(2012·海南中考)一个三角形的两边长分别为3 cm和
7 cm，则此三角形的第三边的长可能是( )
(A)3 cm (B)4 cm (C)7 cm (D)11 cm
【思路点拨】 → →
【自主解答】选C.设第三边长为x cm，则由三角形三边关系定理得7-3＜x＜7+3，即4＜x＜10．因此，本题的第三边应满足4＜x＜10，把各项代入不等式符合的即为答案．3，4，11都不符合不等式4＜x＜10，只有7符合，故选C．三边关系第三边取值范围代入得出答案热点考向2 全等三角形的判别
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三角形全等的四种判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS，说明三角形全等的三类条件：直接条件、隐含条件、间接条件.
【例2】 (2012·广元中考)如图，在△AEC
和△DFB中，∠E=∠F，点A，B，C，D在同
一条直线上，有如下三个关系式：①AE∥DF；
②AB=CD；③CE=BF.(1)请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，
写出你认为正确的所有题目(用序号写出题目书写格
式：“如果?，?，那么?”)
(2)选择(1)中你写出的一个题目，说明它正确的理由.
【思路点拨】
→ →
→
→从三个条件中选两个条件共有三种方法即选取①②，①③和②③结合三角形全等的判定方法判断是否正确写出正确的题目用相应方法说明理由【自主解答】(1)题目1：如果①，②，那么③；
题目2：如果①，③，那么②.
(2)题目1：
因为①AE∥DF，所以∠A=∠D，
因为②AB=CD，
所以AB+BC=CD+BC，即AC=DB.
在△AEC和△DFB中，
因为∠E=∠F，∠A=∠D，AC=DB，
所以△AEC≌△DFB(AAS)，所以CE=BF③(全等三角形对应边相等)
题目2：
因为①AE∥DF，所以∠A=∠D.
在△AEC和△DFB中，
因为∠E=∠F，∠A=∠D，③CE=BF，
所以△AEC≌△DFB(AAS)，
所以AC=DB(全等三角形对应边相等)，
则AC-BC=DB-BC，即AB=CD②.
注：题目“如果②，③，那么①”是错误的.热点考向3 全等三角形的应用
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全等三角形是说明线段或角相等的重要方法之一，用全等三角形解题的关键是确定或构造两个三角形全等，全等三角形的周长和面积相等也是中考考查的内容.【例3】(2012·哈尔滨中考)如图，点B在
射线AE上，∠CAE=∠DAE，∠CBE=∠DBE.
试说明AC=AD.
【教你解题】【命题揭秘】
三角形在中考中是重要考查点之一，对于三角形的性质和相关概念，只进行一般性考查，题目比较简单，题型多为选择题或填空题；三角形全等及其应用是中考的命题热点，重点考查全等三角形的判定，命题方式比较广泛，在解答题目中更为常见.1.(2012·恩施中考)如图，AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，EG平分∠BEF，交CD于点G，∠1=50°，则∠2等于
( )
(A)50° (B)60° (C)65° (D)90°【解析】选C.方法一：因为AB∥CD，所以∠FEB+∠1=180°，
∠2=∠GEB(两直线平行，同旁内角互补，内错角相等).因为
∠1=50°，所以∠FEB=180°-50°=130°.因为EG平分∠FEB，
所以∠GEB= ×130°=65°，所以∠2=65°.
方法二：因为AB∥CD，所以∠FEB+∠1=180°，∠2=∠GEB
(两直线平行，同旁内角互补).因为∠1=50°，
所以∠FEB=180°-50°=130°.因为EG平分∠FEB，
所以∠GEF= ×130°=65°，
所以∠2=180°-50°-65°=65°．2.(2012·河源中考)如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D，E分别在边AB，AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=( )
(A)150° (B)210° (C)105° (D)75°【解析】选A.由折叠知∠A′=∠A=75°，
因为∠A+∠AED+∠ADE
=∠A′+∠A′ED+∠A′DE=180°，
所以∠A+∠AED+∠ADE+∠A′+∠A′ED+∠A′DE=360°，
因为∠1+∠AED+∠A′ED=∠2+∠ADE+∠A′DE=180°，
所以∠1+∠AED+∠A′ED+∠2+∠ADE+∠A′DE=360°，
所以∠1+∠2=∠A+∠A′=2∠A=150°，故选A.3.(2012·聊城中考)将一副三角板按如图所示摆放，图中∠a的度数是( )
(A)75° (B)90° (C)105° (D)120°
【解析】选C.∠a的度数为180°-45°-30°=105°.4.(2012·云南中考)如图，在△ABC中，
∠B=67°，∠C=33°，AD是△ABC的角
平分线，则∠CAD的度数为( )
(A)40° (B)45° (C)50° (D)55°
【解析】选A.因为∠B=67°，∠C=33°，
所以∠BAC=80°，
因为AD是△ABC的角平分线，
所以∠CAD= ∠BAC=40°.5.(2012·泰州中考)如图，在△ABC中，
∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，
若CD=4，则点D到AB的距离是_______．
【解析】过点D作DE⊥AB，垂足为E，因为∠C=90°，所以∠ACD=∠AED，又AD平分∠BAC，所以∠CAD=∠EAD，又AD=AD，所以△ACD≌△AED(AAS)，所以DE=CD=4，即点D到AB的距离为4.
答案：46.(2012·眉山中考)在△ABC中，AB=5，AC=3，AD是BC边上的
中线，则AD的取值范围是_________.
【解析】如图，延长AD至点E，使DE=AD，
连接CE.因为AD是BC边上的中线，所以
BD=CD.在△ABD和△ECD中，所以△ABD≌△ECD(SAS)，
所以EC=AB=5，
在△ACE中，EC-AC即5-3<2AD<3+5，
所以1答案：1点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C.试说明BE=CD.
【解析】在△ABE和△ACD中，
所以△ABE≌△ACD，
所以BE=CD. 8.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，
E为CD的中点，连接AE，BE，BE⊥AE，
延长AE交BC的延长线于点F.
试说明：(1)FC=AD.
(2)AB=BC+AD.【解析】(1)因为E是CD的中点，
所以DE=CE.因为AD∥BC，
所以∠ADE=∠FCE，∠DAE=∠CFE.
所以△ADE≌△FCE(AAS).
所以FC=AD.
(2)因为△ADE≌△FCE，所以AE=FE.
又因为BE⊥AE，
所以∠BEA=∠BEF=90°，
又因为BE=BE，所以△BEA≌△BEF(SAS).所以AB=FB.
因为FB=BC+FC=BC+AD.
所以AB=BC+AD.9.(2012·漳州中考)在数学课上，林老师
在黑板上画出如图所示的图形(其中B，F，
C，E在同一直线上)，并写出四个条件：
①AB=DE，②BF=EC，③∠B=∠E，④∠1=∠2.
请你从这四个条件中选出三个作为条件，另一个作为结论组成一个正确的题目，并给出理由.
题设：_________；结论：_________.(均填写序号)
理由：【解析】答案不惟一，如①③④ ②
理由：因为∠1=∠2，∠B=∠E，AB=DE，
所以△ABC≌△DEF，
所以BC=EF.
因为BC=BF+CF，EF=CE+CF，
所以BF=CE.
此题也可以把①②③作条件，④作结论；
或者把②③④作条件，①作结论.