课件29张PPT。第二章 轴对称
1 轴对称现象1.轴对称图形的定义
(1)如图所示，沿图片中的虚线折叠，直线两旁的部分
_________.互相重合(2)任意的图形都有这样的结论吗？
答：_____.
(3)轴对称图形的定义
如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够
_________，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做
_______.
【点拨】轴对称图形的对称轴可以有一条，也可以有多条.不是互相重合对称轴2.轴对称的定义
(1)折痕两侧的墨迹图案彼此之间的关系是：_______________
_________.
(2)这三组图形的共同特点是：图中的每对图形，如果沿着某
条直线折叠，每组图形中的两个图形_________.沿折痕对折后能完全重合互相重合【归纳】对于_____图形，如果沿一条直线对折后，它们能
_________.那么称这两个图形关于这条直线成轴对称，这条
直线就是对称轴.
【点拨】轴对称图形是对一个图形给出的定义，轴对称是对
两个图形的形状和位置关系给出的定义. 两个完全重合【预习思考】
如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形对称吗？
提示：对称.知识点1 轴对称图形的识别
【例1】(2012·宁波中考)下列交通标志图案是轴对称图形的是( )【解题探究】(1)利用轴对称图形的概念对选项A进行折叠能否
找到一条对称轴？
答：_______________.
(2)利用轴对称图形的概念对选项B进行折叠能否找到一条对称
轴？
答：__________________.
(3)利用轴对称图形的概念对选项C进行折叠能否找到一条对称
轴？
答：_______________.不能找到对称轴B选项有一条对称轴不能找到对称轴(4)利用轴对称图形的概念对选项D进行折叠能否找到一条对称
轴？
答：_______________.
(5)以上4个选项中是轴对称图形的是哪一项？
答：________.不能找到对称轴是B选项【互动探究】1.如何找轴对称图形的对称轴？
提示：找轴对称图形的对称轴既要考虑水平方向的，也要考虑竖直方向的，还要考虑其他方向的，不要漏掉.
2.有无数条对称轴的轴对称图形吗？
提示：有，如圆就有无数条对称轴.【规律总结】
轴对称图形的判断
轴对称图形是对一个图形来说的，是一种具有特殊性质的图形，一个图形是轴对称图形必须满足两个条件：
(1)存在直线(对称轴).
(2)沿此直线对折，直线两旁的部分能互相重合.【跟踪训练】
1.(2012·重庆中考)下列图形中是轴对称图形的是( )
【解析】选Ｂ．根据轴对称图形的定义可知，选项Ｂ中的图形能找到一条直线，沿该直线折叠，直线两边的图案能完全重合，是轴对称图形.2.如图，用数学的眼光欣赏这个蝴蝶图案，
它的一种数学美体现在蝴蝶图案的( )
(A)轴对称性 (B)用字母表示数
(C)随机性 (D)数形结合
【解析】选A.对于生活中常见的蝴蝶图案，根据轴对称图形的概念(把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形是轴对称图形)来判断．3.正方形是轴对称图形，它的对称轴共有( )
(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条
【解析】选D.正方形的对称轴共有4条，相对两边中点连线所在的直线(2条)和对角线所在的直线(2条).【变式备选】下面四个图形中，对称轴的总条数是( )
(A)6 (B)10 (C)12 (D)13
【解析】选C.第一、二个图形的对称轴各有1条，第三个图形有4条，第四个图形有6条，故选C.知识点2 判断两个图形成轴对称
【例2】(6分)如图表示把长方形纸片ABCD沿对角线BD进行折
叠后的情况，是否存在关于某条直线成轴对称的图形？如果
存在，请分别指出来，并指出它们的对称轴及对称点.【规范解答】存在关于某条直线成轴
对称的图形，它们分别是：
△ABD和______，△ABE和______.……………………………2分
对称轴为：______________________………………………4分
对称点为：对△ABD和△CDB来讲，A与__，B与__，D与__为
对称点；对△ABE和△CDE来讲，A与__，B与__，E与__为
对称点.………………………………………………………6分易错提醒：从整体出发，
不要遗漏.△CDB△CDE过点E且与BD垂直的直线CDBCDE【互动探究】寻找成轴对称的图形应注意什么？
提示：识别图形是否成轴对称，就要紧扣轴对称的三个条件：
(1)两个图形.
(2)存在一条直线.
(3)两个图形沿这条直线对折后能够互相重合.【规律总结】轴对称图形与轴对称的区别与联系【跟踪训练】
4.图形中△A′B′C′与△ABC关于直线MN成轴对称的是( )
【解析】选B.一个图形沿直线MN对折后与另一个图形完全重合，则这两个图形成轴对称.5.如图，三角形1与________成轴对称，整个图形中共有____
条对称轴.
【解析】根据轴对称的性质可得三角形1与三角形2、三角形4都分别成轴对称，整个图形为轴对称图形，有2条对称轴.
答案：三角形2、三角形4 26.如图，△ABC与△DEF关于直线a对称，
若AB=2 cm，∠C=55°，则DE=______，
∠F=______.
【解析】根据成轴对称的两个图形全等，所以DE=AB=2 cm，∠F=∠C=55°.
答案：2 cm 55°1.(2012·嘉兴中考)下列图案中，属于轴对称图形的是( )
【解析】选A.如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形. 根据轴对称图形的定义可知选项A中的图形为轴对称图形.2.观察下列平面图形，其中轴对称图形有( )
(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个
【解析】选C.通过观察可知轴对称图形有(1)(2)(3)(4)，共4个.3.如图，正方形ABCD的边长为4 cm，则图中阴
影部分的面积为______cm2．
【解析】成轴对称的两个图形全等，正方形为
轴对称图形，一条对称轴为其对角线所在的直
线.由题干图可以看出阴影部分的面积为正方形面积的一半．依题意有S阴影= ×4×4=8(cm2).
答案：84.观察下面的图形，它们的共同特点是_________，
________比较与众不同，理由：_______________________.
【解析】这些图形都是轴对称图形，①②③都有2条对称轴，④只有一条对称轴.
答案：都是轴对称图形 ④ 它只有一条对称轴5.判断下面每组图形是否关于某条直线成轴对称.
【解析】图(1)中左边的小狗没画后腿，两图不关于某条直线成轴对称；图(2)关于某条直线成轴对称.课件34张PPT。2 探索轴对称的性质探究：如图，将一张长方形纸对折，然后用笔尖扎出“14”这
个数字，将纸打开后铺平.
(1)图中，两个“14”的关系是_____________.关于折痕对称(2)在上面扎字的过程中，点E与E′_____，点F与点F′_____，
设折痕所在的直线为l，连接点E和E′的线段被直线l
_________、连接点F和点F′的线段被直线l_________.
(3)线段AB___A′B′，CE___C′E′.
(4)∠1__∠2，∠3__∠4.重合重合垂直平分垂直平分∥∥==【归纳】(1)如果两个图形关于某条直线对称，那么对应点所
连的线段被_______垂直平分.
(2)成轴对称的两个图形的_________相等，_______相等.对称轴对应线段对应角【预习思考】
轴对称图形的每对对应点的连线的位置关系如何？
提示：平行或在同一条直线上.知识点1 轴对称的性质及其应用
【例1】如图所示，△ABC与△DEF关于直线
MN对称，其中∠C=90°，AC=8 cm，DE=10 cm，
BC=6 cm.
(1)线段AD与MN的关系是什么？
(2)求∠F的度数.
(3)求△ABC的周长和面积.【解题探究】(1)因为点A与点D的关系是一对_______，
所以MN_________AD.
理由是：如果两个图形关于某条直线对称，那么任何一
对对应点所连线段被对称轴_________.
(2)①△ABC与△DEF全等吗？为什么？
答：_____________________________.对应点垂直平分垂直平分全等，成轴对称的两个图形全等②由此你能得到哪些相等的线段，相等的角？
答：相等的线段有：____________________，
相等的角有：__________________________.
③所以∠F=____.
(3)根据(2)的结论，得到△ABC的周长为___cm，面积为___cm2.AB=DE，BC=EF，AC=DF∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F90°2424【互动探究】例题中BA与ED延长线的交点与MN的位置关系是什么？
提示：对应线段或其延长线的交点一定在对称轴上，故BA与ED延长线的交点在MN上.【规律总结】
轴对称性质应用的“三个关键”
(1)熟记性质：要熟记轴对称图形及轴对称的性质.
(2)准确找点：根据题目条件和图形特征，准确地找出图中的对称点.
(3)确定对应：确定对应线段，对应角.【跟踪训练】
1.如图，六边形ABCDEF是轴对称图形，CF所在
的直线是它的对称轴，若∠AFC+∠BCF=150°，
则∠AFE+∠BCD的大小是( )
(A)150° (B)300°
(C)210° (D)330°
【解析】选B.由轴对称图形的性质得，∠AFC=∠EFC，∠BCF=∠DCF，所以∠AFE+∠BCD=2(∠AFC+∠BCF)=
2×150°=300°.2.如图所示，将一个正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去一个三角形和一个形如“1”的图形，将纸片展开，得到的图形是( )【解析】选D.根据折叠和轴对称的性质，从折叠的方向和剪去一个三角形的位置看，放开后是位于中间的正方形，故要在B，D两项中选择；从剪去的形如“1”的图形方向看箭头朝内.3.如图，将正方形纸片ABCD折叠，使边AB，CB均落在对角线BD上，得折痕BE，BF，则∠EBF的大小为( )
(A)15° (B)30° (C)45° (D)60°
【解析】选C.根据折叠对应角相等可得到∠ABE=∠DBE，∠CBF=∠DBF，且∠ABE+∠DBE+∠CBF+∠DBF=90°，所以可求得∠EBF=45°.知识点2 轴对称在实际中的应用
【例2】(6分)已知，如图所示，甲、乙、丙三个人做传球游戏，游戏规则如下：甲将球传给乙，乙将球立刻传给丙，然后丙又立刻将球传给甲.若甲站在∠AOB内的P点，乙站在OA上，丙站在OB上，并且甲、乙、丙三人的传球速度相同.问乙和丙必须站在何处，才能使球从甲到乙、乙到丙、最后丙到甲这一轮所用的时间最少？【规范解答】如图所示，
……………………………………3分
1.分别作点P关于OA，OB的_______P1，P2. …………………4分
2.连接____，与OA，OB分别相交于点M，N. ……………5分
因为乙站在OA上，丙站在OB上，所以乙必须站在OA上的M处，
丙必须站在OB上的N处时，才使所用时间最短. …………6分对称点P1P2【互动探究】轴对称变换在解决问题中所起的作用是什么？
提示：实现了线段长度的等量转化，将直线同侧两定点问题转化为直线异侧两定点问题.将不共线的多条路径转化到一条直线上.【规律总结】
利用轴对称确定位置
利用轴对称，可以解决实际问题，如求最短距离、平面镜成像问题．轴对称的作用是将线段在保证长度不变的情况下改变位置．【跟踪训练】
4.如图，现有一条地铁线路l，小区A，B在l的同侧，已知地铁站两入口C，D间的长度为a米，现设计两条路AC，BD连接入口和两小区. 地铁站入口C，D设计在何处，能使所修建的公路AC与BD之和最短？【解析】作点A关于l的对称点A1，
过点A1作AA1的垂线，在垂线上
截取A1A2=a，连接A2B，交l于点D，
沿点D向左截取DC=a，则C，D即为所求作的点.此时AC+BD最小.5.如图，小河边有两个村庄A，B．要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．
(1)若要使自来水厂到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？
(2)若要使自来水厂到A，B村的水管最省料，则自来水厂应建在什么地方？【解析】(1)如图1，根据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”．画线段AB的垂直平分线，交EF于点P，则点P到A，B的距离相等，所以自来水厂应建在图1中的P点处.(2)如图2，根据“两点之间线段最短”，画出点Ａ关于河岸EF的对称点A′，连接A′B交EF于点Q，则点Q到A，B的距离和最短.【高手支招】轴对称的概念与性质在解决某些计算、作图、证明等问题中有着重要的作用．我们在解轴对称问题时，应该仔细分析题设条件，正确理解实际问题的理论依据，根据对应的原理法则，灵活巧妙地建立相应的数学模型.利用所学知识解决实际问题.1.如图，将一块正方形纸片沿对角线折叠一次，然后在得到的三角形的三个角上各挖去一个圆洞，最后将正方形纸片展开，得到的图案是图中的( )
【解析】选C.根据轴对称的性质进行判断或实际动手操作.2.在以下各图形中，不一定能由其一部分关于某直线进行轴对称变换得到的是( )
(A)圆 (B)扇形
(C)三角形 (D)正方形
【解析】选C.一般的三角形不一定是轴对称图形，只有轴对称图形，才可以看成是由图形的一部分关于某直线进行对称变换得到.3.如图，两个三角形关于直线l成轴对称，则相等的对应线段是______，相等的对应角是_______.
【解析】相等的线段有AB与DF，AC与DE，BC与FE，相等的对应角是∠A与∠D，∠B与∠F，∠C与∠E.
答案：AB与DF，AC与DE，BC与FE∠A与∠D，∠B与∠F，∠C与∠E4.如图是小明制作的风筝，为了平衡制成了轴对称图形，已知OC是对称轴，∠A=35°，∠BCO=30°，那么∠AOB=_______.【解析】因为图形关于OC对称，
所以△AOC≌△BOC，
所以∠A=∠B=35°，
∠BCO=∠ACO=30°，
所以∠AOC=∠BOC=180°-35°-30°=115°，
所以∠AOB=360°-∠AOC-∠BOC=130°.
答案：130°5.如图所示，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，那么点E，F是否关于AD对称？若对称，请说明理由.【解析】连接EF交AD于点O，
因为AD为∠BAC的平分线，
所以∠BAD=∠CAD.
又DE⊥AB，DF⊥AC，
所以∠AED=∠AFD=90°.
又AD=AD，
所以△AED≌△AFD，
所以AE=AF.又AO=AO，∠BAD=∠CAD，
所以△AOE≌△AOF，
所以OE=OF，∠AOE=∠AOF，
又∠AOE+∠AOF=180°，
所以∠AOE=∠AOF=90°，
所以EF被AD垂直平分，
所以点E和点F关于AD对称.课件36张PPT。3 简单的轴对称图形
第1课时一、线段垂直平分线
探究：(1)画一条线段AB，找出AB的中点O，
过点O作CD⊥AB于点O.
(2)在CD上任取一点P，连接PA，PB，则PA__PB，
在CD上另取一点M，连接MA，MB，则MA__MB.==【归纳】(1)线段是轴对称图形，它的一条对称轴_____于这
条线段并且_____它，这样的直线叫做这条线段的垂直平分
线(简称中垂线).
(2)性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的
_________.垂直平分距离相等【点拨】如图，PA=PB的前提是：P在AB的垂线上，且垂线经过AB的中点，这两个条件缺一不可.二、角的对称性及角平分线的性质
阅读相关内容，回答下列问题：
1.第(1)步说明了角是_______图形，其对称轴是____________
______.
2.第(3)步中，过点C折出OA边的垂线CD，其原理是折出了一个
_____的角平分线.
3.第(4)步的图中，相等的线段有：OD=___，CD=___.
4.CD=CE的理由是：应用“SAS”证明△ODC≌ ______.角平分线所在的直线平角OECE△OEC轴对称【归纳】1.角是_______图形，_________所在的直线是它的
对称轴.
2.角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的
_________.轴对称角平分线距离相等【预习思考】
1.证明线段垂直平分线性质的方法是什么？
提示：利用“SAS”证明两个三角形全等.
2.应用尺规作图作角平分线及线段的垂直平分线时，为什么都强调“以大于 某条线段的长为半径画弧”？
提示：若以小于线段的一半的长为半径画弧则没有交点.
3.“角平分线是角的对称轴”这种说法对吗？为什么？
提示：不对，角平分线是射线，而对称轴是直线.知识点1 线段垂直平分线的性质的应用
【例1】(6分)(2012·常州中考)如图，
在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC
的中点为O，过点O作AC的垂线分别与
AD，BC相交于点E，F，连接AF.
试说明AE=AF.【规范解答】因为AD∥BC，
所以∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO. ……………………1分
因为EF垂直平分AC，所以AO=CO，FA=FC. ……………2分
在△AOE和△COF中，
所以△AOE≌△COF(AAS) .………………………………4分
所以AE=CF. ………………………………………………5分
所以AE=AF.……………………………………………… 6分【规律总结】
转化的数学思想方法
(1)利用线段垂直平分线的性质可得线段相等，将线段转化代换可求出未知线段的长度从而将所求问题解决.
(2)线段垂直平分线的图形结构中，含有全等三角形，但在应用时，一般情况下不用三角形全等的方法来解决，以免给解题增加麻烦.【跟踪训练】
1.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，
P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，
则线段PB的长度为( )
(A)6 (B)5
(C)4 (D)3
【解析】选B.根据线段垂直平分线的性质得PB=PA=5.2.(2012·遂宁中考)如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=4.5，分别以A，B为圆心，4为半径画弧交于两点，过这两点的直线交AC于点D，连接BD，则△BCD的周长是_________.【解析】由题意可知过这两点的直线其实是AB边的垂直平分线，所以BD=AD，
所以△BCD的周长=BD+DC+BC=AD+DC+BC=AC+BC=6+4.5=10.5.
答案：10.5知识点2 角平分线的性质的应用
【例2】(2012·通辽中考)如图，△ABC的三边
AB，BC，CA长分别为40，50，60，其三条角平
分线交于点O，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO
=______________.【解题探究】1.三角形的面积的计算
公式是什么？
答：三角形的面积= ×底×高.
2.要计算此题中的S△ABO，S△BCO和S△CAO还缺少什么？
答：缺少三角形的高.
3.此题需添加什么辅助线？
答：作出这三个三角形的高，即过点O作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F.4.这三条高OD，OE和OF有什么关系？为什么？
答：相等.因为AO为∠BAC的平分线，所以OD=OF，同理OD=OE，
所以OD=OE=OF.
5.根据上面的探究：S△ABO∶S△BCO∶S△CAO
= AB·OD∶ BC·OE∶ AC·OF
=________.4∶5∶6【互动探究】应用角平分线的性质时，应注意哪些问题？
提示：应用该性质的前提是(已知)图中有角平分线、有垂直.已知角平分线，常添加过角平分线上一点作角的两边的垂线，利用角平分线的性质解题，不要一看到证线段相等就证三角形全等.【规律总结】
角平分线图形结构中的位置及数量关系
如图，OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，DE交OC于点F，可以得到以下结论：
(1)角之间的相等关系：
∠AOC=∠BOC=∠PDF=∠PEF；
∠ODP=∠OEP=∠DFO=∠EFO=∠DFP=∠EFP；
∠DPO=∠EPO=∠ODF=∠OEF.
(2)线段的相等关系：
OD=OE，DP=EP，DF=EF.
(3)位置关系：OP⊥DE.【跟踪训练】
3.工人师傅常用角尺平分一个任意角.
做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，
在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，
使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合.
过角尺顶点C作射线OC.由作法得△MOC≌△NOC的依据是( )
(A)AAS (B)SAS
(C)ASA (D)SSS【解析】选D.根据题意，在△MOC和△NOC中，有OM=ON，CM=CN，还有公共边OC=OC，因此判断△MOC≌△NOC的依据是SSS，故选D.4.如图，已知△ABC中，AB=AC，AD是
△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
则下列四个结论中正确的个数是( )
①AD上任意一点到点C，点B的距离相等；
②AD上任意一点到AB，AC的距离相等；
③BD=CD，AD=BC；
④∠BDE=∠CDF.
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解析】选C.①如图，P为AD上任意一点，
则在△APB与△APC中，AP=AP，AB=AC，
∠BAD=∠CAD，所以△APB≌△APC，
所以PB=PC，①正确；②根据角平分线的性质不难得出AD上任意一点到AB，AC的距离相等，②正确；③不难得到△ADB≌△ADC(SAS)，所以BD=CD，但无法判断AD与BC之间的关系，所以AD=BC不成立，③错误；④由△ADB≌△ADC(SAS)，知∠B=∠C，而∠BDE+∠B=90°，∠CDF+∠C=90°，
所以∠BDE=∠CDF，④正确.5.如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC的
平分线交BC于点D，若AB=8，DC=2，则
△ABD的面积为________.
【解析】如图，过D作DE⊥AB于E，
由角平分线性质得DE=DC=2，
所以S△ABD= AB×DE
= ×8×2=8.
答案：86.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，
AD=4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C.
若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为____.
【解析】根据垂线段最短，当DP⊥BC的时候，DP的长度最小，因为BD⊥CD，即∠BDC=90°，又∠A=90°，
所以∠A=∠BDC，又∠ADB=∠C，
所以∠ABD=∠CBD，又DA⊥BA，DP⊥BC，
所以AD=DP，又AD=4，所以DP=4.
答案：41.如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D.下列结论中错误的是( )
(A)PC=PD (B)OC=OD
(C)∠CPO=∠DPO (D)OC=PC【解析】选D.由OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，可得PC=PD，又∠AOP=∠DOP，∠PCO=∠PDO=90°，可得△COP≌△DOP，所以可得OC=OD，∠CPO=∠DPO.2.如图所示，CD是AB的垂直平分线，
若AC=1.6 cm，BD=2.3 cm，则四边
形ACBD的周长为( )
(A)3.9 cm (B)7.8 cm
(C)4 cm (D)4.6 cm
【解析】选B.因为CD是AB的垂直平分线，
所以BC=AC=1.6 cm，AD=BD=2.3 cm，
所以LACBD=2×(1.6+2.3)=7.8(cm).3.如图所示，AB的垂直平分线MP交BC于点P，
AC的垂直平分线NQ交BC于点Q，若△APQ的周
长为16 cm，则BC=______.
【解析】由PM垂直平分AB可得BP=AP，由QN垂直平分AC可得AQ=CQ，因为△APQ的周长为16 cm，即AP+PQ+AQ=16 cm，所以BC=BP+PQ+QC=AP+PQ+AQ=16 cm.
答案：16 cm4.如图，BD垂直平分线段AC，AE⊥BC，垂足为E，交BD于P点，PE=3 cm，则P点到直线AB的距离是______cm．【解析】过点P作PM⊥AB于点M，
因为BD垂直平分线段AC，
所以AB=BC，AD=CD.
又因为BD=BD，所以△ABD≌△CBD，
所以∠ABD=∠DBC.
因为PM⊥AB，PE⊥CB，
所以PM=PE=3 cm．
答案：35.在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=5 cm，△ABC的周长为25 cm，求△ABD的周长.【解析】因为DE是AC的垂直平分线，
所以AD=DC，AE=EC，
所以△ABD的周长=AB+BD+AD
=AB+BD+CD
=AB+BC.
又因为AC=AE+EC=2AE=2×5=10(cm)，
所以AB+BC=△ABC的周长-AC
=25-10=15(cm).
即△ABD的周长为15 cm.课件42张PPT。3 简单的轴对称图形
第2课时1.等腰三角形的性质
(1)轴对称性：如图，△ABC 是等腰三角形，
AB＝AC，沿顶角的平分线对折，则△ABD与
△ACD完全_____.
由此得到等腰三角形是___对称图形.重合轴(2)根据轴对称图形的性质，可以得到：AC∠CADAD∠ADCCD∠C①等边对等角：等腰三角形的两个底角_____(简写成“等边对
等角”).
②“三线合一”：由∠ADB=______，得∠ADB= _____，所以
AD⊥___，即AD为△ABC中底边BC上的___；由BD=___，得AD为底
边BC上的___线.进而可以说明△ABD≌ ______，则
∠BAD=______.即AD是顶角∠BAC的_______.
所以等腰三角形的_____平分线、底边上的___线、底边上的___
相互重合(简称“三线合一”).相等∠ADC90°BC高CD中△ACD∠CAD平分线顶角中高2.等腰三角形的判定
如图，已知△ABC，∠B=∠C：
(1)测量AB与AC的长度，你得到的结论是什么？
答：______.
(2)说明两条线段相等的思路是：构造两个三角形，说明它们
全等，利用全等三角形的性质.AB=AC①过A点作AD⊥BC，垂足为D，则△ABD≌△____，理由是____.
所以AB=AC.
②作∠BAC的平分线，交BC于点M，则△ABM≌△____，理由是
____.所以AB=AC.
③若作边BC的中线AN，能说明△ABN与△CAN全等吗？为什么？
答：____________________________________.
【归纳】如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也
_____(简写成“___________”). ACDAASACMAAS不能，因为SSA不能判定两个三角形全等相等等角对等边3.等边三角形的性质
(1)等边三角形是_______图形，它有_____对称轴.
(2)等边三角形任一角的平分线和它所对边上的中线、高线
都_____.
(3)等边三角形的三个内角都_____，并且每一个内角都等于
____.轴对称三条重合相等60°4.直角三角形中30°的角所对的边与斜边的关系
如图，△ABC为等边三角形，BD=CD.
根据等腰三角形的三线合一性质可得：
①AD⊥___，∠BAD=∠____=____.
②BD与AB的数量关系是：AB是BD的2倍或BD等于AB的一半.
③综合①②可得：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，
那么它所对的直角边等于斜边的_____.BCCAD30°一半【预习思考】
1.等腰三角形的对称轴有几条？
提示：由于等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等腰三角形包含等边三角形，因此，等腰三角形的对称轴为一条或三条.
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，能否直接说明30°所对的直角边等于斜边的一半？
提示：能.可以直接在△ABC的斜边上截取BE=BC，通过说明△BEC是等边三角形，△ECA是等腰三角形得出这个结论.知识点1 等腰三角形的判定
【例1】(2012·益阳中考)如图，已知AE∥BC，AE平分∠DAC，试说明AB=AC.【解题探究】1.到目前为止，说明两条线段相等最主要的方法有几种？
提示：两种.一是利用全等三角形的对应边相等，二是利用等角对等边.
2.结合本题的图形，应如何说明AB=AC？
提示：利用“等角对等边”，即说明∠B=∠C.3.本题中有相等的角吗？
提示：有.即∠1=∠2.
4.∠B和∠C与本题中一对等角有关系吗？
提示：有.因为AE∥BC，所以∠B=∠1，∠C=∠2，由以上探究知：∠B=∠C，所以AB=AC.【互动探究】现阶段说明两角相等的思路有哪些？
提示：①利用全等三角形的性质：___________；
②利用等腰三角形的性质：___________；
③等角的___________相等.对应角相等等边对等角余角或补角【规律总结】
说明三角形为等腰三角形的“两种方法”
1.直接说明两条线段相等
(1)利用全等三角形的对应边相等.
(2)利用线段垂直平分线的性质.
(3)利用第三条线段作为中间量进行转化.
2.把等边问题转化为说明两个角相等，应用等角对等边进行说明.【跟踪训练】
1.(2012·肇庆中考)等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为( )
(A)16 (B)18 (C)20 (D)16或20
【解析】选C.分情况讨论：若4为底，则这个等腰三角形的周长为20；
若8为底，根据三角形的三边关系判断，这个等腰三角形不存在.【变式备选】(2012·随州中考)等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边长为__________.
【解析】若6为腰长，则底边长为4，三边长6，6，4可以构成三角形；若6为底边长，则腰长为5，三边长5，5，6也可构成三角形.
答案：6和4或5和52.(2012·铜仁中考)如图，在△ABC中，
∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E
作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，
则线段MN的长为( )
(A)6 (B)7 (C)8 (D)9【解析】选D.因为∠ABC，∠ACB的平分线相交于点E，
所以∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，
因为MN∥BC，
所以∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB，
所以∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，
所以BM=ME，EN=CN，
所以MN=ME+EN=BM+CN，
因为BM+CN=9，
所以MN=9.3.如图，△ABC为等腰直角三角形，
∠A=90°，BE平分∠ABC，交AC于点E，
CD⊥BE交BE的延长线于点D.
试说明BE=2CD.【解析】分别延长CD，BA交于点F，
因为BE平分∠ABC，BD⊥CF，
所以△BCF为等腰三角形.所以CD=DF.
又因为∠ABE+∠AEB=90°，∠DEC+∠DCE=90°，
∠AEB=∠DEC，
所以∠ABE=∠DCE.
又因为∠BAC=∠CAF=90°，AB=AC.
所以△ABE≌△ACF，所以BE=CF=2CD.知识点2 等边三角形及含30°角的直角三角形
【例2】(8分)(2012·天水中考)如图，
已知△ABC为等边三角形，点D，E分别
在BC，AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F.
(1)试说明△ABE≌△CAD.
(2)求∠BFD的度数.【规范解答】(1)因为△ABC是等边三角形，
所以∠BAC=∠C=60°，AB=AC. ………………………………2分
在△ABE和△CAD中，
因为AB=AC，∠BAE=∠C，AE=CD，所以△ABE≌△CAD. ……4分
(2)因为△ABE≌△CAD，所以∠ABE=∠CAD.
…………………………………………………………………5分
因为∠BFD=∠ABE+∠BAD. ……………………………………7分
所以∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°.
…………………………………………………………………8分【规律总结】
等边三角形的判定方法
(1)根据等边三角形的定义，三边相等的三角形是等边三角形.
(2)两个角等于60°的三角形是等边三角形.
(3)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
在解题过程中要合理地根据题目的已知条件选用恰当的方法来说明. 【跟踪训练】
4.(2012·梅州中考)如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF=________.【解析】因为∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，
所以∠EFA=30°，
作EH⊥OA于H，则EH=EC=1，
所以EF=2EH=2.
答案：25.如图，C为线段AE上一动点(不与点A，E重合)，在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于一点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：
①AD=BE； ②PQ∥AE； ③AP=BQ；④DE=DP； ⑤∠AOB=60°.恒成立的有______________(把你认为正确的序号都填上)．【解析】因为等边三角形ABC和等边三角形CDE，
所以AC=BC，∠ACD=∠BCE=120°，CD=CE.
所以△ACD≌△BCE，
所以AD=BE，∠CAD=∠CBE.
又∠ACP=∠BCQ，AC=BC，
所以△ACP≌△BCQ ，
所以AP=BQ，CP=CQ.
又∠PCQ=60°，所以△CPQ是等边三角形.
所以∠PQC=∠QCE=60°，所以PQ∥AE.因为∠AOB=∠OEA＋∠OAE
=∠OEA＋∠CBE=∠ACB，
所以∠AOB=60°，
因为∠DPC>∠QPC，
所以∠DPC>∠QCP.
所以DP≠DC，即DP≠DE.
故恒成立的有①②③⑤
答案：①②③⑤6.△ABC为等边三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，BN与AM相交于Q点，AD⊥BN，垂足为D，若DQ=2，求AQ的长.【解析】如图，在△ABM和△BCN中，∠BCN=∠ABM=60°，CN=BM.AB=BC，
所以△ABM ≌△BCN.
所以∠BAM=∠CBN.
因为∠AQN=∠BAQ+∠ABQ=
∠NBC+∠ABQ=∠ABC=60°.
又因为AD⊥BN，
所以∠QAD=90°-60°=30°，
所以AQ=2QD=4.1.如图，△ABC内有一点D，且DA=DB=DC，若∠DAB=20°，∠DAC=30°，则∠BDC的大小是( )
(A)100° (B)80° (C)70° (D)50°【解析】选A.如图，延长AD到E，
因为DA=DB=DC，
所以∠DBA=∠DAB=20°，
∠DCA=∠DAC=30°，
所以∠BDE=40°，∠CDE=60°，
所以∠BDC=∠BDE+∠CDE=100°.2.如图，等边三角形ABC的三条角平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，那么这个图形中的等腰三角形共有( )
(A)4个 (B)5个 (C)6个 (D)7个
【解析】选D. 由题意得图形中的等腰三角形有△ABC，△AEF，△AOB，△AOC，△BOC，△EOB，△FOC共7个.3.(2012·安顺中考)在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处.他先沿正东方向走了200 m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C(如图)，那么，由此可知，B，C两地相距_______m.【解析】由题意得∠CAB=30°，∠ABC=120°，
所以∠C=30°，
所以∠CAB=∠C，所以BC=AB=200 m.
答案：2004.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则该等腰三角形的顶角的度数为_______.
【解析】根据三角形的不同类型，分两种情况讨论：
①当顶角是锐角时，如图1，
因为∠ABD=30°，∠ADB=90°，
所以∠A=60°.②当顶角为钝角时，如图2，
因为∠ABD=30°，∠ADB=90°，
所以∠BAD=60°，
所以∠BAC=120°.
答案：60°或120° 5.(2012·泸州中考)如图，△ABC是等边
三角形，D是AB边上一点，以CD为边作等
边三角形CDE，使点E，A在直线DC的同侧，
连接AE.试说明AE∥BC.【解析】因为△ABC和△EDC是等边三角形，
所以∠BCA=∠DCE=60°，
所以∠BCA-∠ACD=∠DCE-∠ACD.
即∠BCD=∠ACE.
在△DBC和△EAC中，
BC=AC，∠BCD=∠ACE，DC=EC，所以△DBC≌△EAC(SAS)，
所以∠DBC=∠EAC.
又因为∠DBC=∠ACB=60°，
所以∠ACB=∠EAC，
所以AE∥BC.课件23张PPT。4 利用轴对称进行设计1.已知对称轴l和一个点A，要画出点A关于l的对应点A′，
可采用如下方法：
过点A作对称轴l的_____，垂足为点B；延长AB至点A′，使得
BA′=___，点A′就是点A关于直线l的_______.
2.镶边与剪纸是中国民间艺术的重要组成部分，仅用一把剪
刀，通过纸的_____和_____，就可以得到一幅幅漂亮的图案.垂线AB对应点折叠剪切【预习思考】
作已知图形的轴对称图形的依据是什么？
提示：轴对称的性质.知识点 利用轴对称设计图案
【例】(6分)请在三个2×2的
方格中，各画出一个三角形，
要求所画三角形是图中三角
形经过轴对称变换后得到的图形，且所画三角形顶点与方格中的小正方形顶点重合，并将所画三角形涂上阴影．
(注：所画的三个图形不能重复)【规范解答】根据轴对称图形的性质，
不同的对称轴，可以有不同的对称图形，
所以可以先找出不同的对称轴，再思考如何画对称图形
(答案不惟一).如图：
(每种设计得2分，从中任选三种即可)易错提醒：注意对称
轴的选择. 【互动探究】应用轴对称设计图案的关键是什么？
提示：确定对称轴，应用轴对称的性质找到对称点.【规律总结】
作轴对称图形的依据及作图步骤
1.依据轴对称的性质.
2.基本作图的“三步骤”：
(1)先确定图形的关键点.
(2)利用轴对称性质作出关键点的对应点.
(3)按原图形中的方式顺次连接对应点．【跟踪训练】
1.下列说法中，正确的是( )
(A)作一个图形的对称图形只能作一个
(B)作一个图形的对称图形有有限个
(C)因为选取的对称轴不同，所以作一个图形的对称图形可有无数个
(D)不规则的、复杂的图形不存在对称图形【解析】选C.不规则的、复杂的图形存在对称图形，故D错误.由于对称轴方向和位置发生变化时，得到的图形的方向位置也会发生变化，故A，B不正确.2.小明在平面镜里看到背后墙上电子钟显
示的时间如图所示，此刻的实际时间应该是
________.
【解析】在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．题中所显示的时刻与21：05成轴对称，所以此时实际时刻为21：05．
答案：21：053.在学习“轴对称现象”内容时，王老师让同学们寻找身边的轴对称图形，小明有一副三角尺和一个量角器(如图所示)．
(1)小明的这三件文具中，可以看做是轴对称图形的是______
(填字母代号).
(2)请用这三个图形中的两个拼成一个轴对称图案，并画出草图(只需画出一种)． 【解析】(1)B，C (2)如图．4.如图，直线l是一个轴对称图形的对称轴.
(1)画出这个轴对称图形的另一半并标注字母.
(2)说出图中共有几对全等的三角形.
【解析】(1)
(2)全等的三角形有：△ACB≌△AEB，
△ACD≌△AED，△BCD≌△BED，共3对.5.已知△ABC，过点A作直线l．
求作△A′B′C′，使它与△ABC关于l对称．【解析】(1)作点C关于直线l的对称点C′.
(2)作点B关于直线l的对称点B′.
(3)点A在l上，故点A的对称点A′与A重合.
(4)连接A′B′，B′C′，C′A′.
则△A′B′C′就是所求作的三角形，如图所示.1.下列说法中正确的是( )
(A)人在镜子中的像的左眼正好是人的右眼
(B)人在镜子中的像的左眼正好是人的左眼
(C)人在镜子中的像的右耳正好是人的右耳
(D)人在镜子中的像的左耳正好是人的左耳
【解析】选A.根据镜面对称的性质，人在镜子中的像的左眼正好是人的右眼是正确的.2.如图所示，小华运动衣上的实际号码是( )
(A)901 (B)109 (C)601 (D)106
【解析】选B.利用镜面对称的性质，也可观察图案的背面透出的像.3.过直线MN外一点A作AO⊥MN于O，延长AO到A′，使A′O=AO，则______关于_______对称.
【解析】由轴对称的性质可以直接得出A，A′关于直线MN对称.
答案：A，A′ 直线MN4.若图形M与图形N关于直线a对称，图形N与图形P关于直线b对称，则图形M与图形P之间的关系为_________.
【解析】图形M与图形N关于直线a对称，则图形M与图形N全等，图形N与图形P关于直线b对称，则图形N与图形P全等.所以图形M与图形P全等.
答案：全等5.如图，一轴对称图形画出了它的一半，请你以虚线为对称轴画出它的另一半.【解析】如图所示：课件40张PPT。单元复习课
第 二 章一、轴对称中的相关概念
1.轴对称与轴对称图形
(1)轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
(2)轴对称：对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能完全重合，那么称这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线就是对称轴.2.线段的垂直平分线
线段是轴对称图形，它的一条对称轴垂直于这条线段并且平分它，这样的直线叫做这条线段的垂直平分线(简称中垂线).
二、轴对称的相关性质与判定
1.轴对称的性质
(1)对应点所连的线段被对称轴垂直平分.
(2)对应线段相等、对应角相等.【知识辨析】
二者的区别与联系2.角平分线的性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等.
3.线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等.
4.等腰三角形、等边三角形的性质和判定三、轴对称的相关应用
1.等腰三角形
等腰三角形的性质和判定是证明两个角和两条线段相等的重要依据，当证明同一个三角形中的两个角或两条线段相等时，经常利用等腰三角形的性质定理或判定定理.
当然，全等三角形的性质也是证明两个角和两条线段相等的重要依据，它们的区别主要是看待证的两个角和两条线段是否位于同一个三角形中.2.轴对称作图
(1)作一个点A关于直线l的对称点A′.
作法：过点A作直线l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA′=OA，点A′ 就是点A关于直线l的对称点.
(2)作一个△ABC关于直线l成轴对称的图形△A′B′C′.
作法：①过点A作直线l的垂线，垂足为O，
在垂线上截取OA′=OA，点A′ 就是点A关于直线l的对称点.②同法作点B，点C关于直线l的对称点B′ 和C′.
③顺次连接A′，B′，C′三点，得△A′B′C′.则△A′B′C′就是△ABC关于直线l成轴对称的三角形. 热点考向1 轴对称与轴对称图形
【相关链接】
(1)轴对称是对两个图形来说的，它是一种图形变换，该变换不改变图形的形状和大小，仅改变图形的位置.
(2)轴对称图形是对一个图形来说的，识别轴对称图形的关键是找其对称轴，看是否存在直线，沿这条直线折叠，折痕两旁的部分能完全重合.【例1】(2012·连云港中考)下列图案是轴对称图形的是( )
【思路点拨】轴对称定义→判断→结论
【自主解答】选D.把D选项沿一直线折叠，直线两侧部分能重合，故D选项是轴对称图形.其余图形均不能找到一条直线，使图形沿该直线折叠，直线两侧的部分能完全重合，所以不是轴对称图形.热点考向2 线段垂直平分线的性质及其应用
【相关链接】
线段垂直平分线的性质和判定在几何的推理和证明中应用广泛，利用尺规作出线段的垂直平分线，在规划、设计和实际生活中也有重要应用.例如作直线的垂线，找线段的中点等，因此，学习数学，要学会用学到的知识去解决生活中的问题.【例2】(2012·德州中考)有公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A，B，如图．电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置(保留作图痕迹，不要求写出画法).【思路点拨】利用线段垂直平分线及角平分线的性质解题.
【自主解答】根据题意知道，点C应满足两个条件，一是在线段AB的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点C应是它们的交点.
(1)作两条公路夹角的平分线OD或OE.
(2)作线段AB的垂直平分线FG.
则射线OD，OE与直线FG的交点C1，C2就是所求的位置.如图所示： 热点考向3 等腰三角形的性质与判定应用
【相关链接】
等腰三角形包括等边三角形，它们的性质和判定应用非常广泛，其中“三线合一”的性质非常重要；“等边对等角”“等角对等边”把边与角有机地联系在一起，为角的计算，三角形全等的说明提供了条件.【例3】(2012·河源中考改编)如图，已知
AB=CD，∠B=∠C，AC和BD相交于点O，E是AD
的中点，连接OE.
(1)试说明△AOB≌△DOC.
(2)求∠AEO的度数.【教你解题】(1)(2)【命题揭秘】
结合近几年中考试题分析，对轴对称图形内容的考查主要有以下特点：
1.考查的内容为轴对称的性质、相关的图案设计、与图形轴对称相关的计算等；题型较全，一般有选择题、填空题和解答题，有时以探索研究题型出现，多属中、低档题.
2.命题内容为对等腰三角形的性质、角平分线的性质、线段垂直平分线性质等的考查，也常以综合题的形式进行考查.1.(2011·达州中考)图中所示的几个图形是国际通用的交通标志.其中不是轴对称图形的是( )
【解析】选C.只有C不能找到对称轴.2.如图，把一张长方形ABCD的纸片，沿EF折叠后，ED与BC交于点G，点D，点C分别落在D′，C′位置上，若∠EFG=52°，则∠BGE=( )
(A)92° (B)100° (C)104° (D)76°【解析】选C.因为纸片是长方形，所以AD∥BC，
所以∠DEF=∠EFG.
又因为∠EFG=52°，
所以∠DEF=52°，
根据轴对称的性质，∠GEF=∠DEF=52°，
所以∠BGE=∠GED=52°+52°=104°． 3.(2012·河池中考)如图，在△ABC中，
∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，
垂足为D，若ED=5，则CE的长为( )
(A)10 (B)8 (C)5 (D)2.5
【解析】选A.因为ED垂直平分BC，所以EB=EC，
在Rt△BDE中，
因为∠B=30°，所以EB=2ED=2×5=10，所以CE=10.4.已知等腰三角形的一个内角为70°，则另两个内角的度数
是( )
(A)55°，55° (B)70°，40°
(C)55°，55°或70°，40° (D)以上都不对
【解析】选C.当70°的角是顶角时，另两个内角都是
(180°-70°)÷2=55°.当70°的角是底角时，则另两个角中的底角是70°，顶角是180°-70°-70°=40°.因此选C.5.如图所示，已知Rt△ABC中，∠C=90°，
沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，
使C点落在AB边上的点D处，要使点D恰
为AB的中点，问在图中还要添加什么条件？
(直接填写答案)
(1)写出一条边满足的条件：______________.
(2)写出一个角满足的条件：______________.
(3)写出一个除边、角以外的其他满足条件：___________. 【解析】(1) AB=BC.
理由：由轴对称的性质可得：BC=BD，
又因为BC= AB=BD.所以可得D在AB的中点位置．
(2)∠A=30°.
理由：由轴对称的性质得：BC=BD，CE=DE，∠CBE=∠DBE=∠A=30°.
所以可得：△ADE≌△BCE，AD=BC=BD.
即得：点D在AB的中点；(3)△BEC≌△AED.
理由：因为△BEC≌△AED.
所以AD=BC，又BC=BD，所以AD=BD，
故点D为AB的中点．
答案：(1) AB=BC (2)∠A=30°
(3)△BEC≌△AED6.如图所示，一牧童在A处放牛，其家在B处，
A，B到河岸的距离分别为AC，BD，且AC=BD.
若A到河岸CD的中点距离为500米，问：
(1)牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？
(2)最短路程是多少？【解析】(1)如图所示，①作点A关于直
线CD的对称点A1.
②连接A1B交CD于M，则在M处饮水所走路
程最短.
(2)由(1)知：A1C=AC=BD，∠A1CM=∠BDM，∠A1MC=∠BMD，
故△A1CM≌△BDM.所以A1M=BM，CM=DM，
所以M为CD的中点，AM=500米，
所以A1B=2×500=1 000(米).
故最短路程为1 000米.7.(2012·随州中考)如图，在△ABC中，
AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上.
试说明(1)△ABD≌△ACD.
(2)BE=CE.【解析】(1)在△ABD和△ACD中，
因为D是BC的中点，
所以BD=CD，因为AB=AC，AD=AD，所以△ABD≌△ACD(SSS).
(2)由(1)知△ABD≌△ACD，
所以∠BAD=∠CAD，
即∠BAE=∠CAE，在△ABE和△ACE中，
所以BE=CE.8.如图，在Rt△ABC中，AB=AC，
∠BAC=90°，D为BC的中点.
(1)写出点D到△ABC的三个顶点
A，B，C的距离关系(不要求说明).
(2)如果点M，N分别在线段AB，AC上移动，
在移动中保持AN=BM，请判断△DMN的形状，并说明你的结论.【解析】(1)DA=DB=DC.
(2)△DMN为等腰直角三角形.
说明：连接AD，因为AB=AC，∠BAC=90°，
所以∠B=45°.
又因为D为BC的中点，
所以AD平分∠CAB，所以AD⊥BC，∠CAD=45°.
在△ADN和△BDM中，所以△ADN≌△BDM(SAS)，
所以DM=DN，∠NDA=∠BDM.
因为AD⊥BC，所以∠ADB=90°.
因为∠ADB=∠ADM+∠BDM，
所以∠MDN=∠ADM+∠ADN
=∠ADM+∠BDM=90°，
所以△DMN是等腰直角三角形.
