课件26张PPT。1 探索勾股定理
第2课时a2+b2=c2勾股定理的验证4× ab+(b-a)2a2+b2(a+b)2-4× aba2+b2【归纳】勾股定理的验证步骤为：(1)图形经过割补拼接后，没有重叠或空隙，且面积不变.(2)根据同一图形面积的不同表示方法列出等式，推导勾股定理.
【点拨】在学习勾股定理时，要把“形”与“数”有机结合起来，即把直角三角形这一“形”与三边关系这一“数”结合起来，是数形结合思想的典型例子. 【预习思考】
对于勾股定理中的三边关系：a2+b2=c2，有哪些变形？
提示：a2=_____，b2=_____，c2=__________=
__________.c2-b2c2-a2(a+b)2-2ab(a-b)2+2ab知识点1 勾股定理的应用
【例】(8分)如图，A，B两点都与平面镜相距4米，且A，B两点相距6米，一束光线由A射向平面镜反射之后恰巧经过B点.求B点到入射点的距离. 【规范解答】作出B点关于CD的对称点B′，连接AB′，交CD于点O，则O点就是光的入射点. ………2分
因为B′D=DB，
所以B′D=AC. ………………………3分
∠B′DO=______=90°，
∠B′=∠CAO，
所以________≌______，………………5分∠ACO△B′DO△ACO则OC=OD=_____________(米).
连接OB，在Rt△ODB中，_______=OB2， ……………6分
所以OB2=__2+__2=__2，
即OB=__(米). …………………………………………7分
所以点B到入射点的距离为__米. ……………………8分OD2+BD234555【互动探究】本例就是将实际问题“数学化”的一个过程，其一般思路有哪些？
提示：(1)结合图形或画出图形，直接找出或构造直角三角形，将实际问题转化为求解线段长度的问题.
(2)根据题目中的已知条件，运用勾股定理直接求解或列方程求解. 【规律总结】
勾股定理综合运用常见的四种类型
1.求第三边：已知两边，求第三边的长或平方.
2.求高或面积：已知两边，求斜边上的高、面积等.
3.解等腰三角形：求等腰三角形的边长、底边上的高、面积等.
4.求解实际问题：解决折叠、轴对称及生活中与直角三角形有关的实际问题.【跟踪训练】
1.小明想知道学校旗杆(垂直地面)的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1 m，当他把绳子拉直后，发现绳子下端拉开5 m，且下端刚好接触地面，则旗杆的高是( )
(A)6 m (B)8 m (C)10 m (D)12 m【解析】选D.设旗杆AB的高为x m，
则绳子AC的长为(x+1) m，在Rt△ABC中，
AB2+BC2=AC2，所以x2+52=(x+1)2，
解得x=12，所以AB=12，所以旗杆的高是12 m.2.如图，平面内4条直线l1，l2，l3，l4是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A，B，C，D都在这些平行线上，其中点A，C分别在直线l1和l4上，该正方形的面积为( )
(A)5个平方单位 (B)9个平方单位
(C)5或9个平方单位 (D)无法确定【解析】选C.当正方形的四个顶点如图(1)分布时，该正方形的边长为3个单位长度，面积为3×3=9个平方单位；当正方形的四个顶点如图(2)分布时，过点B作l1的垂线交l1于点E，交l4于点F，则易证△ABE≌△BCF，所以AE=BF=1，BE=2，所以AB2=BE2+AE2=22+12=5，即此时正方形面积为5.综上所述，该正方形的面积为5个平方单位或9个平方单位.3.如图，每个小正方形的边长为1，△ABC的三边长a，b，c的大小关系是( )
(A)a＜c＜b (B)a＜b＜c
(C)c＜a＜b (D)c＜b＜a
【解析】选C.将a，b分别放在直角三角形中，由勾股定理得a2=12+42=17，b2=32+42=25，c2=42=16，
因为b2＞a2＞c2，所以b＞a＞c. 4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=5，
BC=12，点P是BC边上的动点，则AP长度
的取值范围是_________.
【解析】当点P与点C重合时，
AP的长度最短，AP=AC=5；
当点P与点B重合时，AP的长度最长.
因为AB2=AC2+BC2=52+122=169，
所以AB=13，即此时AP的最大长度为13.
综合上述，AP长度的取值范围是5≤AP≤13.
答案：5≤AP≤135.在△ABC中，∠C=90°，BC=60 cm，CA=80 cm，一只蜗牛从C点出发，以每分钟20 cm的速度沿CA→AB→BC的路径再回到C点，需要____分钟.
【解析】由∠C=90°判断出AB是斜边，再根据勾股定理求出AB=100 cm，得(100+80+60)÷20=12(分钟).
答案：12【变式备选】一路灯坏了，需要换一个新的，灯要安在12.5 m高的灯柱顶端，电工师傅取来13 m高的梯子，如果梯子底部离灯柱底端5 m远，顶端搭在灯柱上，那么电工师傅_____将新灯安装上去.(填“能”或“不能”)(假设此人身高加臂长共1.9 m)
【解析】设梯子顶端距地面垂直距离为x m，由勾股定理得x2=132-52=122，因此x=12.
因为12+1.9=13.9＞12.5，
所以电工师傅能将新灯安装上去.
答案：能6.如图，在一个高为6米，长为10米的楼
梯表面铺地毯，则地毯的长度至少为多少米？
【解析】在Rt△ABC中，AB2=AC2-BC2=102-62=82，所以AB=8米，则AB+BC=8+6=14(米)，所以地毯的长度至少为14米.1.(2012·本溪中考)如图，在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，DE是AB边的垂直平分线，垂足为D，交于BC于点E，连接AE，则△ACE的周长为( )
(A)16 (B)15 (C)14 (D)13【解析】选A.直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，所以BC2=AB2+AC2=82+62=100，所以BC=10.因为DE是AB边的垂直平分线，所以AE=BE，l△ACE=AC+CE+EA=AC+CE+BE=AC+BC=16.2.等腰三角形底边长为10，腰长为13，则此三角形的面积
为( )
(A)40 (B)50 (C)60 (D)70
【解析】选C.如图，△ABC中，AB=AC=13，
BC=10，过点A作AD⊥BC交BC于点D，易得
△ADB≌△ADC，所以DB=DC= BC=5，由
勾股定理可得AD2=AB2-BD2=132-52=144，所以AD=12，所以该三角形面积为 ×10×12=60.3.如图，小李准备建一个蔬菜大棚，
棚宽4 m，高3 m，长20 m，棚的斜面
用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，
则阳光透过的最大面积是________.
【解析】在直角三角形中，由勾股定理可得：斜边的平方为32+42=52，故直角三角形的斜边长为5 m，所以矩形塑料薄膜的面积是5×20=100 (m2).
答案：100 m24.如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影
响，实际上岸地点C偏离欲到达点B 200 m，
结果他在水中实际游了520 m，求该河流的宽度.
【解析】由题意知△ABC是以∠ABC为直角的直角三角形，
因此AB2=AC2-BC2=5202-2002=4802，
所以AB=480(m).
答：河流的宽度为480 m.课件30张PPT。第三章 勾股定理
1 探索勾股定理
第1课时探究勾股定理
(1)如图(1)所示，SA=__，SB=__，SC=___，SA，SB，SC
三者之间的关系式为________；若正方形A，B，C的边长分别为a，b，c，则a，b，c三者之间的关系式为________. SA+SB=SCa2+b2=c29918(2)如图(2)所示，SA=__，SB=__，SC=__，SA，SB，SC三者
之间的关系式为________；若正方形A，B，C的边长分别为
a，b，c，则a，b，c三者之间的关系式为________. 448SA+SB=SCa2+b2=c2【归纳】勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，
斜边为c，那么________，即直角三角形两直角边的_______
等于___________.我国古代把直角三角形中较___的直角边称
为勾，较___的直角边称为股，斜边称为弦.
【点拨】勾股定理存在和应用的前提条件是在直角三角形中，
如果不是直角三角形，那么三边就不存在这样的关系.a2+b2=c2平方和斜边的平方短长【预习思考】
在一个三角形中，已知其两边长分别是3和4，你能求出其三边的长度吗？为什么？
提示：不能.
理由：由于没有条件可以判定该三角形是直角三角形，故不能用勾股定理计算第三边.知识点1 运用勾股定理解决有关线段或面积的问题
【例1】如图所示，在△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，求BC边上的高线AD的长.【解题探究】
(1)因为图中没有高线AD，作出高线AD，
则得△ABD和△ACD是什么样的特殊三角形？
它们的三边满足的关系式分别是什么？
答：__________________________________________
_______________________.
(2)已知AB，AC和BC，要根据勾股定理求AD，只需求出
线段_______的长.直角三角形.在Rt△ABD和Rt△ACD中，关系式为AD2+BD2=AB2，AD2+CD2=AC2BD或CD(3)因为AD是Rt△ABD和Rt△ACD的公共边，所以可以得
AD2=AB2-BD2，还可以得AD2=_______，进而能得到怎样
的等式？
答：_______________.
(4)如果设BD=x，则CD=_____，可得方程_________________，
解方程得____，再由勾股定理得AD=___.AC2-CD2AB2-BD2= AC2-CD214-x132-x2=152-(14-x)2x=512【互动探究】本例(4)中得到的方程整理后是什么方程？怎样求解？
提示：整理后为一元一次方程.先化简整理为一元一次方程，然后移项、合并同类项、化系数为1.【规律总结】
运用勾股定理求解线段长度问题的“三步法” 【跟踪训练】
1.如图，阴影部分是一个正方形，则此
正方形的面积为( )
(A)32 (B)64
(C)16 (D)128
【解析】选B.设正方形的边长为a，由勾股定理可得，
a2=172-152=64，所以正方形的面积为64.2.如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为_______.【解析】如图，因为∠ACB+∠ECD=90°，∠DEC+∠ECD=90°，
所以∠ACB=∠DEC.
因为∠ABC=∠CDE，AC=CE，
所以△ABC≌△CDE，
所以BC=DE，
所以，根据勾股定理的几何意义，Sb=Sa+Sc，
所以Sb=Sa+Sc=5+11=16．
答案：16知识点2 勾股定理的变式与应用
【例2】(8分)在Rt△ABC中，∠C=90°，两条直角边的和为
17 cm，面积为30 cm2，试求这个直角三角形的斜边长.
【规范解答】设直角△ABC的两条直角边长分别为a，b，斜边
为c， ……………………………………………1分
由题意可得____=17，_____=30， ………………3分
所以c2=a2+b2= __________
=172-2×60=169,……………………………………5分
所以c=___. …………………………………………7分
即该直角三角形的斜边长为___ cm. ………………8分a+b(a+b)2-2ab1313【互动探究】例2实际体现了整体变换求值的过程，其一般思路有哪些？
提示：(1)设元.
(2)根据题意列出关系式.
(3)变换求值.【规律总结】
勾股定理的变式应用
勾股定理是关于直角三角形三边关系的一个重要定理，其基本形式是a2+b2=c2.因此在涉及直角三角形的边之间的和、差、积时，考虑用变式来解决问题，往往快捷方便，能达到事半功倍的效果.其中常用的两种变式为：
(1)(a+b)2-2ab=c2.
(2)(a-b)2+2ab=c2.【跟踪训练】
3.在直角△ABC中，∠C=90°，AB=5 cm，两条直角边长的差为1 cm，则该直角三角形的周长为( )
(A)10 cm (B)11 cm
(C)12 cm (D)13 cm【解析】选C.设直角△ABC的两条直角边长分别为
a，b(a＞b＞0)，斜边长为c，由题意得a-b=1，c=5.
由(a-b)2+2ab=c2，得ab=12；
由(a+b)2-2ab=c2得a+b=7.
故该三角形的周长为a+b+c=7+5=12 (cm).4.已知直角三角形的斜边长为2，两直角边的和的平方等于6，
则此三角形的面积为__________.
【解析】设该直角三角形的两直角边长分别为a，b，则
(a+b)2=6 ①
a2+b2=4 ②
由①得a2+2ab+b2=6 ③
将②代入③得2ab=2，ab=1，
所以 ab= ，
即该直角三角形的面积为 .
答案： 5.如图所示是一架风车的平面设计图，设计图是由4个全等的直角三角形拼成的，若图中AB=13 cm，BC=7 cm，试求这个风车平面设计图的面积是多少？【解析】设AO=b，OB=a，则b-a=7，因为每一个直角三角形的
面积都为 ab，所以这个风车平面设计图的面积为4个直角三
角形的面积之和，
即为4× ab=2ab.
因为(b-a)2+2ab=132，
所以72+2ab=132，
所以2ab=120.
故该风车平面设计图的面积是120 cm2. 1.在△ABC中，∠A=90°，则下列各式中不成立的是( )
(A)BC2=AB2+AC2 (B)AB2=AC2+BC2
(C)AB2=BC2-AC2 (D)AC2=BC2-AB2
【解析】选B.由∠A=90°可知斜边为BC，两直角边分别为AB，AC，故有BC2=AB2+AC2，所以B项不正确.2.若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长的平方
是( )
(A)169 (B)169或119
(C)13或15 (D)15
【解析】选B.①若第三边是直角边，则它的平方是122-52=144-25=119；②若第三边是斜边，则它的平方是122+52=144+25=169.故选B. 3.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为______cm2.
【解析】由勾股定理可知，正方形A，B，C，D的面积之和正好等于边长为7 cm的正方形的面积，即为72=49 (cm2).
答案：494.在△ABC中，∠C=90°，若BC∶AC=3∶4，AB=10，则该三角形的面积为________.
【解析】设AC=4k，BC=3k，则(4k)2+(3k)2=102，
解得k=2，所以AC=8，BC=6，
所以三角形的面积为 ×6×8=24.
答案：245.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，D为垂足，AC=2.1，BC=2.8.
求：(1)△ABC的面积.
(2)斜边AB的长.
(3)斜边AB上的高CD的长.
(4)斜边被分成的两部分AD和BD的长.【解析】(1)S△ABC= AC×BC= ×2.1×2.8=2.94.
(2)AB2=AC2+BC2=2.12+2.82=12.25，
所以AB=3.5.
(3)由三角形的面积公式得
AC×BC= AB×CD，
所以 ×2.1×2.8= ×3.5×CD，
解得CD=1.68.(4)在Rt△ACD中，由勾股定理得：
AD2+CD2=AC2，
所以AD2=AC2-CD2=2.12-1.682
=(2.1+1.68)(2.1-1.68)
=3.78×0.42=2×1.89×2×0.21
=22×9×0.21×0.21，
所以AD=2×3×0.21=1.26，
所以BD=AB-AD=3.5-1.26=2.24.课件30张PPT。2 一定是直角三角形吗1.三组数：①3，4，5；②5，12，13；③8，15，17，
(1)计算每一组数的平方，你会发现：_____________________
_______________.
(2)分别用每组数为三边作三角形，用量角器量一量，你会发
现：它们都是_____三角形.两个较小数的平方和等于最大数的平方直角【归纳】如果三角形的三边长a，b，c，满足________，那么
这个三角形是_____三角形.
【点拨】由三角形三边的数量关系可以判断三角形的形状.
2.勾股数：满足________的三个___整数，称为勾股数.如3，
4，5；7，24，25；9，40，41等.a2+b2=c2正a2+b2=c2直角【预习思考】
把直角三角形的三边同时扩大或缩小相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形吗？为什么？
提示：是.
理由：假设直角三角形的三边是a，b，c，由勾股定理得，其满足a2+b2=c2.如果三边都扩大或缩小x倍，则所得三边为ax，bx，cx，因为(ax)2+(bx)2=x2(a2+b2)=x2c2=(cx)2.所以该三角形仍是直角三角形. 知识点1 由三边关系判定直角三角形的应用
【例1】如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC，BC=20，D为AB上一点，且CD=16，BD=12，求AC的长.【解题探究】
(1)已知△BCD的三边长，你能确定它的形状吗？
答：____________________________________________
(2)△ACD是___________.
(3)设AD=x，则AC=AB=_____.
根据勾股定理可得方程_______________，
解方程得x=____，可得AC=____.能，因为122+162=202，所以△BCD是直角三角形.直角三角形12+x162+x2= (12+x)2【互动探究】现阶段，已经学过的判定一个三角形为直角三角
形的方法有哪些？
提示：(1)从角的方面判断：只需三角形中有一个内角是_____
或两个锐角_____.
(2)从边的方面判断：①两边_____；
②三边满足________.直角互余垂直a2+b2=c2【规律总结】
由三边判定直角三角形的三步法 【跟踪训练】
1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是( )
(A)0.2，0.3，0.5 (B)
(C) (D)4，6，9
【解析】选C.由 得C中三条线段可以构成
直角三角形. 2.如图，在4个均由16个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这4个三角形中，与其他三角形不同的是( )
【解析】选A.设每个小正方形的边长是1，计算各个选项中三角形三边的平方，得只有A选项三边不满足a2+b2=c2，即不是直角三角形. 【变式备选】已知|x-12|+(y-13)2和z2-10z+25互为相反数，则以x，y，z为边的三角形为__________.
【解析】由题意可得
|x-12|+(y-13)2+(z2-10z+25)=0，
即|x-12|+(y-13)2+(z-5)2=0，
所以x-12=0，y-13=0，z-5=0，
所以x=12，y=13，z=5，
所以x2+z2=122+52=169=132=y2，
则该三角形为直角三角形.
答案：直角三角形3.如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且
EC= BC，试说明AF⊥EF.【解析】连接AE，设正方形边长为a，
则DF=FC= ，EC= ，
在Rt△ECF中，
有EF2 ，
同理可得：在Rt△ADF中，
有AF2
在Rt△ABE中，有BE=
所以AE2=
所以AF2+EF2=AE2，
所以∠AFE=90°，即AF⊥EF.知识点2 勾股数的意义及判别
【例2】(8分)古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的正整数，a=2m，b=m2-1，c=m2+1，那么a，b，c为一组勾股数.你认为这正确吗？如果正确，请说明理由，并由此写出3组勾股数.【规范解答】因为a2=(2m)2=___，
b2=(m2-1)2
=________，
c2=(m2+1)2=________，…………………………………2分
所以a2+b2=___+________=________，
即_____=c2. ……………………………………………4分
又因a，b，c都是____________数，
所以a，b，c为一组勾股数. ……………………………6分4m2m4-2m2+1m4+2m2+14m2m4-2m2+1m4+2m2+1a2+b2大于1的正整特别提醒：先比较a，b，c的大小关系，再求其平方！ 当m=2时，a=__，b=__，c=__；
当m=3时，a=__，b=__，c=___；
当m=7时，a=___，b=___，c=___. ……………………………8分
注：因m取值可不同，故答案不惟一.4356810144850【互动探究】判断三个数是否是一组勾股数的一般思路有哪些？
提示：(1)先判断这三个数是不是正整数.
(2)确定最大的数，然后计算最大数的平方与其他两个数的平方和.
(3)判断最大数的平方是否与其他两个数的平方和相等.若相等，则这三个数是一组勾股数，否则不是.【规律总结】
常见的勾股数组注意：常见勾股数组的整数倍的数组仍是勾股数. 【跟踪训练】
4.下列各组数据中，是勾股数的是( )
(A)0.3，0.4，0.5 (B)3，-4，5
(C)52，122，132 (D)9，41，40
【解析】选D.因为92+402=412且它们都是正整数.所以选D.5.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是( )
【解析】选C.因为7，24，25和15，20，25是两组勾股数，所以以它们为边的三角形是直角三角形.故选C. 6.有一位木匠师傅测量一个等腰三角形的腰、底边和底边上的高的长，但是他把这三个数据和其他数据弄混了.请你帮他找出来，它们是( )
(A)13，12，12 (B)12，12，8
(C)13，10，12 (D)5，8，4
【解析】选C.由等腰三角形是轴对称图形可得等腰三角形底边上的高平分底边，所以腰、底边的一半、高满足a2+b2=c2，而( )2+122=132.故答案为C.1.下列各组数中不是勾股数的是( )
(A)6，8，10 (B)11，60，61
(C)14，48，49 (D)15，36，39
【解析】选C.因为C中142+482≠492，所以14，48，49不是勾股数.2.若△ABC的三边a，b，c，满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则△ABC是( )
(A)等腰三角形
(B)直角三角形
(C)等腰三角形或直角三角形
(D)等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形
【解析】选D.由(a-b)(a2+b2-c2)=0得a-b=0或a2+b2-c2=0或
a-b=0且a2+b2-c2=0，即a=b或a2+b2=c2或a=b且a2+b2=c2，所以△ABC是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形.3.有一个三角形的两边长是3和5，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边边长的平方是________.
【解析】有两种情况：当第三边是斜边时，它的平方是：32+52=34；当第三边是直角边时，则它的平方是52-32=16.
答案：34或164.已知三角形的三边之比是5∶12∶13，如果它的周长是60cm，则它的面积是________cm2.
【解析】设三角形的三边分别是5xcm，12xcm，13xcm，则根据题意得，5x+12x+13x=60，解得x=2，
故三角形三边分别是10，24，26.
又因102+242=262，
所以三角形为直角三角形，
面积为 ×10×24=120(cm2).
答案：1205.有一块空白地，∠ADC=90°，CD=6米，AD=8米，AB=26米，BC=24米，现计划在该空地上进行绿化，若平均每平方米投资100元，那么该空白地绿化需要投入多少元？【解析】连接AC，得直角△ACD，
根据勾股定理得
AC2=AD2+CD2=82+62=102，
即AC=10米.
又因为102+242=262，
即AC2+CB2=AB2，
所以△ABC是直角三角形，所以S空白地=S△ABC-S△ACD
= ×10×24- ×6×8
=96(平方米)
则96×100=9600(元)，
即需要投入9600元. 课件25张PPT。 3 勾股定理的应用举例 1.四棱柱的侧面展开图是_____形，A点到B点的最短路线有两种
情形.
(1)当侧面展开图如图(1)所示时，根据勾股定理得
AB2=____+ _________=______.
(2)当侧面展开图如图(2)所示时，根据勾股定理得
AB2= __________+___=____.因为______>____，所以A点到B点
的、最短路线应对应着______的情形(填“图(1)”或“图(2)”).长方2.52(12+2.5)2216.5(2.5+2.5)2122216.5169图(2)169【点拨】在立体图形中，求两点间的最短距离时，通常把立体图形的表面(或侧面)展开，将问题转化为求平面内两点之间的最短距离. 2.请回答下面的问题：
(1)测量得AD=30厘米，AB=40厘米，BD=50厘米时，AD垂直AB
吗？为什么？
答：_____，因为___________，所以△ABD是_____三角形，即
_______.
(2)如果只有一个长为20厘米的直尺，应怎样测量才能判断出
AD是否垂直AB？
答：可以在AD上截线段AE=3厘米，在AB上截线段AF=4厘米，然
后只需测EF的长.如果EF=__厘米，则AD⊥AB；如果EF≠__厘米，则AD不垂直AB. 垂直AD2+AB2=BD2直角AD⊥AB55【归纳】构造三角形，测量它的三边长，看是否满足a2+b2=c2，这是判断是否存在直角或垂直的常用方法.
【预习思考】
平面内连接两点之间的所有线中，什么最短？在立体图形中不同面上的两点之间，怎样连接最短？
提示：线段.将立体图形(或其侧面)展为平面图形，然后找出起点和终点，连接它们的线段最短.知识点 立体图形中路径最短问题
【例】如果一只蚂蚁从A点沿长方体的表面
要爬到B点搬运食物，那么沿哪条路线爬行
最近？你能帮它找出来吗？如图所示，长方
体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B
与点C的距离为5cm.【解题探究】
1.由点A爬至点B的几种路径对应的展开图如图所示.
2.分别连接AB，得△ABD，它是什么样的三角形？
答：△ABD是___________.直角三角形3.由_________得，图(1)中AB2=_______=____；图(2)中，
AB2= ___________=____.
4.因为________，所以蚂蚁应沿图____展开图中的AB路线
爬行最近. 勾股定理152+202625102+(20+5)2725625<725(1)【互动探究】现阶段，已经学过的求线段长的方法有哪些？
提示：(1)根据线段的和差：利用已知线段与未知线段存在和差关系求解.
(2)根据全等三角形：利用全等三角形，将未知转化为已知，直接求解.
(3)根据勾股定理：已知直角三角形其中两边，求第三边.【规律总结】
求立体图形中最短路径问题的“四步法” 【跟踪训练】
1.已知立方体的棱长为1，则蚂蚁在表面上从一
个顶点爬行到相对顶点的最短距离的平方为( )
(A)8 (B)5
(C)3 (D)2
【解析】选B.把正方体展开部分面如图所示，
则由勾股定理可得：AB2=(1+1)2+12=5.2.如图，一条长方体形状的石凳长为50，宽为18，高为15，石凳中央B处有一块糖，在凳脚A处的一只小蚂蚁找到这块糖的最短路径的长度的平方是________.【解析】如图是把A，B两点放在同一平面的
展开图，在左图中过点B作BF⊥AD，垂足为F，
连接AB，由题意得：BF= ×50=25，
AF=15+ ×18=24，
所以在Rt△ABF中，
AB2=BF2+AF2=252+242=1201.
在右图中过点B作BE⊥AC，垂足为E，连接AB，由题意得，BE= ×18=9，AE=15+ ×50=40，
在Rt△ABE中，AB2=BE2+AE2=92+402=1681，
因为1201<1681，
所以蚂蚁找到这块糖的最短路径的长度的平方是1201.
答案：1201【高手支招】
应用勾股定理解决实际问题
(1)解决两点间距离问题：正确画出图形，已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边.
(2)解决航海问题：理解象限角等概念，根据题意画出图形，利用勾股定理或逆定理解题.
(3)解决实际问题中两线段是否垂直问题：以已知的两线段为边构造一个三角形，根据三边的长度，利用勾股定理的逆定理解题. (4)解决折叠问题：正确画出折叠前、后的图形，运用勾股定理及方程的思想解题.
(5)解决梯子问题：梯子架到墙上，梯子、墙、地面可构成直角三角形，利用勾股定理等知识解题.
(6)解决侧面展开问题：将立体图形的侧面展开成平面图形，利用勾股定理解决表面距离最短的问题. 1.一职工下班后以50米/分的速度骑自行车沿着东西马路向东走了5.6分，又沿南北马路向南走了19.2分到家，则他的家离公司的直线距离为( )
(A)100米 (B)500米
(C)1240米 (D)1000米【解析】选D.由题意知，该职工下班后向东走了5.6×50米，向南走了19.2×50米，因为东西方向与南北方向互相垂直，所以(5.6×50)2+(19.2×50)2=10002，故该职工家离公司的直线距离为1000米. 2.若在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=2∶1∶1，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，则下列等式中，成立的是( )
(A)a2+b2=c2 (B)a2=2c2
(C)c2=2a2 (D)c2=2b2
【解析】选B.已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=2∶1∶1，并且三角形的内角和是180°，因而可以求得：∠A=90°，∠B=∠C=45°，即这个三角形是等腰直角三角形，b=c，a是斜边.根据勾股定理得到：a2=b2+c2=2c2. 3.在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，
如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长
和场地宽AD平行且大于AD，木块从正面看
是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处到达C处需要走的最短路程是________米(精确到0.01米).
【解析】由题意可知，将木块表面展开，长为2+0.2×2=2.4(米)，宽为1米.根据勾股定理得2.42+12=2.62，
于是最短路径为2.60米.
答案：2.604.如图，一个不透明的圆柱体状的易拉罐，
由内部测得其底面半径为3cm，高为8cm.
今有一根长15cm的吸管任意斜放于杯中，
若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口的
长度最短为________cm.
【解析】由图可得吸管在杯中的最大长度的平方为(2×3)2+82=100=102.所以吸管在杯中的最长长度为10cm，所以露出杯口的最短长度为15-10=5(cm).
答案：55.如图，圆柱的高为15，底面半径为 ，
如果一只蚂蚁要从圆柱下底面的A点，
沿侧面爬行到上底面与A相对的B点，
求蚂蚁爬行的最短路线的长度.【解析】将圆柱的侧面沿BC剪开展平，得到一个长方形，如图，连接AB.
在Rt△ABC中，BC=15，
AC的长度为圆柱底面周长的一半，
即AC= ×2π× =8，
由勾股定理得：AB2=AC2+BC2，
即AB2=82+152=289=172，
所以AB=17，
因此蚂蚁爬行的最短路线的长度为17. 课件37张PPT。单元复习课
第 三 章 一、勾股定理及其逆定理
1.勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2.
2.勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 二、勾股定理及其逆定理的比较【特别提醒】
1.勾股定理使用的条件必须是在直角三角形中.
2.注意“直角三角形斜边上的高”的图形结构中勾股定理及面积法的应用.
3.若已知三角形的三条边应验证三角形是否为直角三角形. 三、勾股定理及其逆定理的应用
勾股定理及其逆定理揭示了直角三角形三边长的内在联系，反映了三边之间特殊的平方关系，它为我们利用代数方法来研究几何图形提供了新的途径和方法，在应用时，还经常用到全等变换，把某些线段、角都集中到一个三角形中来解决，即化归数学思想方法的应用，并且常结合方程的思想，因此应用十分广泛、灵活.勾股定理及其逆定理在实际生活中有广泛的应用，解题的关键是准确地从实际问题的背景中抽象出直角三角形，进而应用性质或判定解题.热点考向1 勾股定理的应用
【相关链接】
勾股定理揭示了直角三角形的三边关系，是用来解决直角三角形中边长问题的常用手段.运用勾股定理解决实际问题的基本步骤如下：
1.判定：确定三角形是直角三角形.
2.定边：确定直角边和斜边.
3.应用：根据勾股定理列式计算.【例1】(2011·衡阳中考)如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为________. 【思路点拨】
【自主解答】因为在△ABC中，∠B=90°，
所以由勾股定理得BC2=AC2-AB2=42，即BC=4.
因为点C与A关于DE对称，
所以EC=EA，
所以△ABE的周长=AB+BE+AE
=AB+BE+EC=AB+BC=3+4=7.
答案：7热点考向2 由三边长判定直角三角形及其应用
【相关链接】
由三边关系判断三角形为直角三角形，这是典型的数形结合，即由“数量关系”得“形状”.在解决实际问题时，关键在于将实际问题转化为数学问题，并结合图形构建数学模型.【例2】如图，每个小正方形的边长为
1，A，B，C是小正方形的顶点，
则∠ABC的度数为( )
(A)90° (B)60°
(C)45° (D)30°
【自主解答】选C.根据勾股定理可知AC2=12+22=5，BC2=12+22=5，AB2=12+32=10，所以AC=BC，AC2+BC2=5+5=10=AB2，
所以△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，
所以∠ABC=∠BAC=45°.【思路点拨】热点考向3 勾股定理运用中的方程思想
【相关链接】
在许多问题中都需要利用勾股定理来求一些线段的长度，如果线段关系比较复杂，往往把所求线段设为未知数，根据勾股定理列方程，通过解方程来求得线段的长度.【例3】(2011·綦江中考)一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示.正方形DEFH的边长为2米，∠B=90°，BC=6米，AC=12米.当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE=________米时，有DC2=AE2+BC2.【教你解题】
答案：【命题揭秘】
结合近几年的中考试题分析，勾股定理是中考重点考查的内容之一，它要求考生能根据勾股定理进行相关线段及图形面积的计算；根据其逆定理，判断三角形的形状等；以及结合其他相关知识综合考查.常见题型主要以解答题为主，选择题、填空题也有考查. 1.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( )
(A)1，2，3 (B)3，5，8
(C)12，16，20 (D)4，5，6
【解析】选C.只有C才符合a2+b2=c2的形式.2.如图，△ABC中，有一点P在AC上移动，若AB=AC=5，BC=6，则AP+BP+CP的最小值为( )
(A)8 (B)8.8 (C)9.8 (D)10【解析】选C.从B向AC作垂线段BP，交AC于P，设AP=x，则CP=5-x，在Rt△ABP中，BP2=AB2-AP2，在Rt△BCP中，BP2=BC2-CP2，所以AB2-AP2=BC2-CP2，所以52-x2=62-(5-x)2，解得x=1.4，在Rt△ABP中，BP2=52-1.42=23.04=4.82，BP=4.8.所以AP+BP+CP=AC+BP=5+4.8=9.8. 3.(2012·吉林中考)如图，在Rt△ABC中，
∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点A为圆心，
AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD=________.
【解析】因为AC=3，BC=4，
所以AB2=AC2+BC2=9+16=25，所以AB=5，
因为以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，
所以AD=AC，所以AD=3，所以BD=AB-AD=5-3=2.
答案：24.如图是一个长方体，其长、宽、高分别为3，1，3，则PA+PB的最小值为______.【解析】把前侧面与右侧面放在同一个平面内，如图所示，
则AC=4，BC=3，由勾股定理可得：AB2=AC2+BC2=42+32=52，所以AB=5，即PA+PB的最小值为5.
答案：55.(2010·德州中考)如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为________m. 【解析】设树高为xm，根据勾股定理，得
EF2=x2+22，CE2=x2+82.
又因为△EFC为直角三角形，则EF2+CE2=CF2，
即x2+22+x2+82=102，解得x=4.
答案：46.矩形纸片ABCD的边长AB=4，AD=2.将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折叠后在其一面着色(如图)，则着色部分的面积为__________.【解析】由折叠可知，∠AEF=∠CEF，
又因为CD∥AB，∠AEF=∠CFE，
所以∠CEF=∠CFE，易证△CEF是等腰三角形，
CE=CF.设AE=CE=x，则BE=4-x，
在Rt△BCE中，根据勾股定理可列出方程：
x2=(4-x)2+22，解方程得x= .因此，着色部分的面积等于
△BCE的面积加上梯形ECGF的面积，即
.
答案：5.57.(2011·随州中考)如图，在等腰三角
形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，
过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，
若AE=4，FC=3，求EF的长. 【解析】连接BD，因为在等腰直角三角形ABC中，D为AC边上中点，所以BD⊥AC，BD=CD=AD，∠ABD=45°，所以∠C=45°，又DE⊥DF，所以∠FDC=∠EDB，所以△EDB≌△FDC，所以BE=FC=3，所以AB=7，则BC=7，所以BF=4，在直角△EBF中，EF2=BE2+BF2=32+42，所以EF=5.8.如图是一个三级台阶，它的每一级长、
宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，A，B
是这个台阶上两个相对的端点，A点有一
只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点的最短路程是多少米？ 【解析】三级台阶平面展开图为长方形，长为2，宽为(0.2+0.3)×3，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长.可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x米，由勾股定理得：x2=22+[(0.2+0.3)×3]2=2.52，因此x=2.5.
答：蚂蚁沿台阶面爬行到B点的最短路程是2.5米. 9.如图所示，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，线段AB和CD分别是图中1×3两个矩形的对角线，显然AB∥CD，请你用类似的方法画出过E点且垂直于AB的直线，并说明理由. 【解析】答案不惟一，作直线AE，则AE⊥AB.
理由：如图，连接BE.
由网格的特性，得∠F=∠G=∠BCE=90°，
由勾股定理，得AE2=10，AB2=10，BE2=20，
所以AE2+AB2=BE2.
所以∠BAE=90°，所以EA⊥AB.【归纳整合】判别两直线是否垂直是生产、生活中常遇到的问题，要根据实际问题的具体情况，选择合适的方法进行判别.根据已知条件，合理构造三角形，并以此为基础，找出三边关系，根据勾股定理的逆定理判断能否构成一个直角三角形，进而判断是否存在垂直关系.
