《第1章勾股定理》同步练习题 北师大版八年级数学上册（含解析）

2023-2024学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》同步练习题（附答案）
1．下列各组数中，是勾股数的是（　　）
A．4，5，6 B．1，2， C．6，8，10 D．5，12，23
2．下列各组数中能作为直角三角形三边长的是（　　）
A．1，，2 B．3，4，5 C．4，5，6 D．13，14，15
3．已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠C＝∠A﹣∠B
C．a2+b2＝c2 D．a：b：c＝6：8：10
4．以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形A的面积为（　　）
A．6 B．36 C．64 D．8
5．小明家需购买一张大圆桌面（不能折叠，不考虑木板厚度），若入户门的高为2.1米，宽为1.1米，则尽可能大的圆桌的直径可以是（　　）
A．2.45米 B．2.40米 C．2.35米 D．2.30米
6．若直角三角形的斜边长为，一条直角边长为1，则另一条直角边长为（　　）
A．5 B． C． D．7
7．如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（　　）cm．
A．14 B．15 C．16 D．17
8．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离AD等于（　　）
A．1.2米 B．1.5米 C．2.0米 D．2.5米
9．传说，古埃及人常用“拉绳”的方法画直角，有一根长为m的绳子，古埃及人用这根绳子拉出了一个斜边长为n的直角三角形，那么这个直角三角形的面积用含m和n的式子可表示为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，四个全等的直角三角形和中间的小正方形可以拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，大正方形面积为S1，小正方形面积为S2，则（a+b）2可以表示为（　　）
A．S1﹣S2 B．S1+S2 C．2S1﹣S2 D．S1+2S2
11．在△ABC中，AB＝13，BC＝10，BC边上的中线AD＝12，则△ABC的周长为 　 　．
12．如图所示的网格是正方形网格，点A、B、C、D均在格点上，则∠CAB+∠CBA＝　 　°．
13．如图，“人字梯”放在水平的地面上，AB＝AC，当梯子的一边与地面所夹的锐角α为60°时，两梯角之间的距离BC的长为2m．周日亮亮帮助妈妈整理换季衣服，先使α为60°，后又调整α为45°，则梯子顶端A离地面的高度下降了　 　m．
14．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝4，大正方形的面积为16，则小正方形的边长为　 　．
15．直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为　 　．
16．如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形．其中两正方形面积分别是S1＝22，S2＝14，AC＝10，则AB＝　 　．
17．《九章算术》是我国古代数学的经典著作．书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？
18．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么a，b，c为勾股数．你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？
19．如图，小方格都是边长为1的正方形．
（1）求四边形ABCD的边AB与BC的长；
（2）用勾股定理逆定理的知识证明：∠ABC＝90°．
20．如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，其中AC＝12，AE＝5，BE＝13，证明：△ABC是直角三角形．
21．我们根据图形的移、拼、补可以简单直观地推理验证数学规律和公式，这种方法称之为“无字证明”，它比严谨的数学证明更为优雅与有条理．下面是用三块全等的直角三角形移、拼、补所形成的“无字证明”图形．
（1）此图可以用来证明你学过的什么定理？请写出定理的内容；
（2）已知直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c，图1、图2的面积相等，请你根据此图证明（1）中的定理．
22．如图，已知△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，BD＝3，BC＝，求AB的长．
23．如图，四边形DEFG中，∠DEF＝120°，∠EFG＝135°，DE＝6，EF＝5，FG＝，求DG的长．
24．如图所示，在四边形ABCD中，已知∠A＝60°，AB⊥BC，AD⊥CD，AB＝20，CD＝10．求AD，BC的长．（结果保留根号）
参考答案
1．解：A、∵42+52≠62，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵12+（）2＝22，能组成直角三角形，但不是正整数，故本选项不符合题意；
C、∵62+82＝102，能组成直角三角形，故本选项符合题意；
D、∵52+122≠232，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．解：A、∵12+（）2≠22，
∴以1，2，为边不能组成三角形，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵32+42＝52，
∴以5，4，3为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
C、∵42+52≠62，
∴以4，5，6为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵132+142≠152，
∴以13，14，15为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．解：当∠A：∠B：∠C＝3：4：5时，则∠C＝180°×＝75°，同理可得∠A＝45°，∠B＝60°，故选项A符合题意；
当∠C＝∠A﹣∠B时，可得∠C+∠B＝∠A，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，故选项B不符合题意；
当a2+b2＝c2时，则△ABC时直角三角形，故选项C不符合题意；
当a：b：c＝6：8：10时，a2+b2＝c2，则△ABC时直角三角形，故选项D不符合题意；
故选：A．
4．解：如图，∵∠CBD＝90°，CD2＝14，BC2＝8，
∴BD2＝CD2﹣BC2＝6，
∴正方形A的面积为6，
故选：A．
5．解：∵入户门的高为2.1米，宽为1.1米，
∴入户门对角线为：≈2.37（米），
故选：C．
6．解：由勾股定理得：另一条直角边为：，
故选：B．
7．解：沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，
过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则
AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，
∵AE＝A′E，A′P＝AP，
∴AP+PC＝A′P+PC＝A′C，
∵CQ＝×18cm＝9cm，A′Q＝12cm﹣4cm+4cm＝12cm，
在Rt△A′QC中，由勾股定理得：A′C＝＝15cm，
故选：B．
8．解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB＝2.5米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，
∴AE＝AB﹣BE＝2.5﹣1.6＝0.9（米）．
在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD＝＝＝1.5（米）
故选：B．
9．解：设这个直角三角形的两直角边分别为a，b，
由题意可得，，
∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝（m﹣n）2﹣n2＝m2﹣2mn，
∴这个直角三角形的面积＝ab＝．
故选：A．
10．解：如图所示：设直角三角形的斜边为c，
则S1＝c2＝a2+b2
S2＝（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，
∴2ab＝S1﹣S2，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝S1+S1﹣S2＝2S1﹣S2，
故选：C．
11．解：∵AD是中线，AB＝13，BC＝10，
∴BD＝BC＝5．
∵52+122＝132，即BD2+AD2＝AB2，
∴△ABD是直角三角形，则AD⊥BC，
又∵BD＝CD，
∴AC＝AB＝13，
∴△ABC的周长＝13+13+10＝36，
故答案为：36．
12．解：由图可知：AD＝CD＝，AC＝，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝45°，
∴∠BAC+∠BCA＝∠ACD＝45°，
故答案为：45．
13．解：如图1所示：
过点A作AD⊥BC于点D，
由题意可得：∠B＝∠C＝60°，
则△ABC是等边三角形，
故BC＝AB＝AC＝2m，
则AD＝2sin60°＝m，
如图2所示：
过点A作AE⊥BC于点E，
由题意可得：∠B＝∠C＝60°，
则△ABC是等腰直角三角形，AC＝AB，
则AE＝BC＝m，
故梯子顶端离地面的高度AD下降了（﹣）m．
故答案为：（﹣）．
14．解：由题意可知：中间小正方形的边长为a﹣b，
∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×4＝2，
∴4×ab+（a﹣b）2＝16，
∴（a﹣b）2＝16﹣8＝8，
∴a﹣b＝2．
故答案为：2．
15．解：设斜边长为c，高为h．
由勾股定理可得：c2＝32+42，
则c＝5，
直角三角形面积S＝×3×4＝×c×h
可得h＝，
故答案为：．
16．解：∵S1＝22，S2＝14，
∴S3＝S1+S2＝22+14＝36，
∴BC＝6，
∵AC＝10，
∴AB＝8，
故答案为：8．
17．解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2，
解得：x＝4.55．
答：原处还有4.55尺高的竹子．
18．解：正确．理由：
∵m表示大于1的整数，
∴a，b，c都是正整数，且c是最大边，
∵（2m）2+（m2﹣1）2＝（m2+1）2，
∴a2+b2＝c2，
即a、b、c为勾股数．
当m＝2时，可得一组勾股数3，4，5．
19．解：（1），，
（2）如图，连接AC，
在Rt△ACG中，AG＝5，CG＝1，
∴AC＝，
由（1）可得AB2+BC2＝＝26＝AC2，
∴△ABC是以AC为斜边的直角三角形，
∴∠ABC＝90°．
20．证明：∵DE是BC的垂直平分线，
∴BE＝CE＝13，
∵AC＝12，AE＝5，
∴CE2＝AC2+AE2，
∴△AEC是直角三角形，
∴△ABC是直角三角形．
21．解：（1）勾股定理：
直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2；
（2）图1的面积为：S1＝，
图2的面积为S2＝，
∵图1、图2的面积相等，
∴＝，
∴a2+b2＝c2．
22．解：设AB＝AC＝x，
∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∴CD＝＝1，
∴AD＝x﹣1，
在Rt△BDA中，BD2+AD2＝AB2，即32+（x﹣1）2＝x2，
解得，x＝5，即AB＝5．
23．解：延长并反向延长EF，作DA⊥AE于A，GB⊥FB于B，作DC∥AB于C，
∵∠DEF＝120°，∠EFG＝135°，
∴∠DEA＝60°，∠GFB＝45°，
∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∴AE＝3，AD＝3，FB＝GB＝，
∴CG＝BC﹣BG＝AD﹣BG＝2，AB＝CD＝AE+EF+BF＝8+，
∴DG＝＝．
24．解：延长AD，BC交于点E，
如图，在Rt△ABE中，AB＝20，∠A＝60°，
∴，AE＝2AB＝40．
在Rt△CDE中，CD＝10，∠E＝90°﹣∠A＝30°，
∴CE＝2CD＝20．
∴DE＝＝10，
∴，
∴．