数学人教A版（新课标）高中必修第一册 《三角函数》复习参考题（含答案）

《三角函数》复习参考题
复习巩固
1．写出与下列各角终边相同的角的集合S，并且把S中适合不等式－2π≤β＜4π的元素β写出来：
（1）；　　　　（2）；　　　　（3）；　　　　（4）0．
2．一个扇形的弧长与面积的数值都是5，求这个扇形中心角的度数（精确到1°）．
3．（1）已知cos φ＝，求sin φ，tan φ．
（2）已知sin x＝2cos x，求角x的三个三角函数值．
4．已知tan α＝，计算：
（1）； （2）；
（3）sin α cos α； （4）（sin α＋cos α）2．
5．计算（可用计算工具，第（2）（3）题精确到0.000 1）：
（1）； （2）sin 2＋cos 3＋tan 4；
（3）cos（sin 2）．
6．设π＜x＜2π，填表：
x 1
sin x －1
cos x
tan x
7．求下列函数的最大值、最小值，并求使函数取得最大、最小值的x的集合：
（1）；　　　　　　（2）y＝3－2cos x．
8．画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图，并指出分别由函数y＝sin x，x∈R的图象经过怎样的变换得到：
（1）； （2）；
（3） （4）．
9．（1）用描点法画出函数y＝sin x，x∈的图象．
（2）如何根据第（1）小题并运用正弦函数的性质，得到函数y＝sin x，x∈［0，2π］的图象？
（3）如何根据第（2）小题并通过平行移动坐标轴，得到函数y＝sin（x＋φ）＋k，x∈［0，2π］（φ，k都是常数）的图象？
10．不通过画图，写出下列函数的振幅、周期、初相，并说明如何由正弦曲线得到它们的图象：
（1）； （2）．
11．（1）已知α，β都是锐角，sin α＝，cos（α＋β）＝，求sin β的值；
（2）已知，，，，求sin（α＋β）的值；
（3）已知α，β都是锐角，tan α＝，sin β＝，求tan（α＋2β）的值．
12．（1）证明tan α＋tan β＝tan（α＋β）－tan αtan βtan（α＋β）；
（2）求tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°的值；
（3）若α＋β＝，求（1－tan α）（1－tan β）的值；
（4）求的值．
13．化简：
（1）；　　　　　　　　　　（2）sin 40°（tan 10°－）；
（3）tan 70°cos 10°（tan 20°－1）；　　 （4）sin 50°（1＋tan 10°）．
14．（1）已知cos θ＝，π＜θ＜，求的值；
（2）已知，求sin α的值；
（3）已知sin4θ＋cos4θ＝，求sin 2θ的值；
（4）已知cos 2θ＝，求sin4θ＋cos4θ的值．
15．（1）已知cos（α＋β）＝，cos（α－β）＝，求tan αtan β的值；
（2）已知cos α＋cos β＝，sin α＋sin β＝，求cos（α－β）的值．
综合运用
16．证明：
（1）cos 4α＋4cos 2α＋3＝8cos4α；　　　（2）；
（3）；　（4）
17．已知sin α－cos α＝，0≤α≤π，求的值．
18．已知，，求的值．
19．已知sin θ＋cos θ＝2sin α，sin θcos θ＝sin2β，求证4cos22α＝cos22β．
20．已知函数f（x）＝cos4x－2sin xcos x－sin4x，
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）当x∈时，求f（x）的最小值以及取得最小值时x的集合．
21．已知函数的最大值为1，
（1）求常数a的值；
（2）求函数f（x）的单调递减区间；
（3）求使f（x）≥0成立的x的取值集合．
22．已知函数f（x）＝sin 2x＋2cos2x＋m在区间上的最大值为6，
（1）求常数m的值；
（2）当x∈R时，求函数f（x）的最小值，以及相应x的集合．
23．如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为边AB，DA上的点．当△APQ的周长为2时，求∠PCQ的大小．
拓广探索
24．已知sin β＋cos β＝，β∈（0，π），
（1）求tan β的值；
（2）你能根据所给的条件，自己构造出一些求值问题吗？
25．如图，已知直线l1∥l2，A是l1，l2之间的一定点，并且点A到l1，l2的距离分别为h1，h2．B是直线l2上一动点，作AC⊥AB，且使AC与直线l1交于点C．设∠ABD＝α．
（1）写出△ABC面积S关于角α的函数解析式S（α）；
（2）画出上述函数的图象；
（3）由（2）中的图象求S（α）的最小值．
26．英国数学家泰勒发现了如下公式：
其中n！＝1×2×3×4×…×n．
这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性．比如，用前三项计算cos 0.3，就得到cos 0.3≈＝0.955 337 5．
试用你的计算工具计算cos 0.3，并与上述结果比较．
27．在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化．
（1）如图，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射点的纬度，φ为当地的纬度值，那么这三个量满足θ＝90°－｜φ－δ｜．
某科技小组以某年春分（太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间）为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度平均值（太阳直射北半球时取正值，太阳直射南半球时取负值）．下面是该科技小组的三处观测站成员在春分后第45天测得的当地太阳高度角数据：
观测站
A B C
观测站所在纬度φ/度 40.000 0 23.439 3 0.000 0
观测站正午太阳高度角θ/度 66.387 0 82.946 4 73.614 1
太阳直射点的纬度δ/度
太阳直射点的纬度平均值/度
请根据数据完成上面的表格（计算结果精确到0.000 1）；
（2）设第x天时太阳直射点的纬度平均值为y．该科技小组通过对数据的整理和分析，推断y与x近似满足函数y＝Asin wx，其中A为北回归线的纬度值，约为23.439 291 1，试利用（1）中的数据，估计w的值（精确到10-8）；
（3）定义从某年春分到次年春分所经历的时间为一个回归年，求一个回归年对应的天数（精确到0.000 1）；
（4）利用（3）的结果，估计每400年中，应设定多少个闰年，可使这400年与400个回归年所含的天数最为接近（精确到1）．
答案
1．（1）｛β｜β＝＋2kπ，k∈Z），．
（2）｛β｜β＝＋2kπ，k∈Z｝，．
（3）｛β｜β＝＋2kπ，k∈Z｝，．
（4）｛β｜β＝2kπ，k∈Z），－2π，0，2π．
2．约143°．
3．（1）当φ为第一象限角时，sin φ＝，tan φ＝；
当φ为第四象限角时，sin φ＝，tan φ＝．
（2）当x为第一象限角时，tan x＝2，cos x＝，sin x＝；
当x为第三象限时，tan x＝2，cos x＝，sin x＝．
4．（1）． （2）． （3）． （4）．
5．（1）0． （2）1.077 1． （3）0.614 3．
x
sin x －1
cos x 0
tan x 1 不存在 －1
7．（1）最大值为，此时x的集合为｛x｜x＝＋2kπ，k∈Z）；
最小值为，此时x的集合为｛x｜x＝＋2kx，k∈Z）．
（2）最大值为5，此时x的集合为｛x｜x＝（2k＋1）π，k∈Z）；
最小值为1，此时x的集合为｛x｜x＝2kπ，k∈Z）．
8．表及图象变换略，图象如图所示：
9．（1）列表：
x 0
sin x 0 0.17 0.34 0.50 0.64 0.77 0.87 0.94 0.98 1
描点画图如下：
（2）由sin（π－x）＝sin x，可知函数y＝sin x，x∈［0，π］的图象关于直线x＝对称，据此可得函数y＝sin x，x∈［，π］的图象；又由sin（2π－x）＝－sin x，可知函数y＝sin x，x∈［0，2π］的图象关于点（π，0）对称，据此可得到函数y＝sin x，x∈［π，2π］的图象．
（3）先把y轴向右（当φ＞0时）或向左（当φ＜0时）平行移动｜φ｜个单位长度，再把x轴向下（当k＞0时）或向上（当k＜0时）平行移动｜k｜个单位长度，将图象向左或向右延伸，并擦去［0，2π］之外的部分，便得到函数y＝sin（x＋φ）＋k，x∈［0，2π］的图象．
10．（1）振幅是1，周期是，初相是．
把正弦曲线向左平行移动个单位长度，可以得函数y＝sin（x＋），x∈R的图象；再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），就可得出函数y＝sin（5x＋），x∈R的图象．
（2）振幅是2，周期是12π，初相是0．
把正弦曲线上所有点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数y＝，x∈R的图象；再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），就可得到函数y＝，x∈R的图象．
11．（1）． （2）． （3）1．
12． （1）提示：利用公式tan（α＋β）＝． （2）． （3）2． （4）．
13．（1）原式＝
（2）原式＝；
（3）原式＝；
（4）原式＝．
14．（1）． （2）． （3）． （4）．
15．（1）由已知可求得cos αcos β＝，sin αsin β＝．于是有tan αtan β＝．
（2）把cos α＋cos β＝两边分别平方，得cos2α＋cos2β＋2cos αcos β＝．把sin α＋sin β＝两边分别平方，得sin2α＋sin2β＋2sin αsin β＝．把所得两式相加，得2＋2（cos αcos β＋sin αsin β）＝，即2＋2cos（α－β）＝．所以cos（α－β）＝．
16．（1）左式＝2cos22α－1＋4cos 2α＋3＝2（cos 2α＋1）2＝2（2cos2α）2＝8cos4α＝右式．
（2）左式＝＝右式．
（3）左式＝＝右式．
（4）左式＝＝右式．
17．．
18．．
由，得．又，所以，．又，所以．所以．
19．把已知代入sin2θ＋cos2θ＝（sin θ＋cos θ）2－2sin θcos θ＝1中，得（2sinα）2－2sin2β＝1．变形得2（1－cos 2α）－（1－cos 2β）＝1，即2cos 2α＝cos 2β，4cos22α＝4cos22β．
20．f（x）＝（cos2x＋sin2x）（cos2x－sin2x）－2sin xcos x＝cos 2x－sin 2x＝．
（1）最小正周期是π．
（2）由x∈［0，］，得，所以当2x＋＝π，即x＝时，f（x）的最小值为，f（x）取最小值时x的集合为．
21．．
（1）由2＋a＝1，得a＝－1．
（2）单调递减区间为，k∈Z．
（3）｛x｜2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z｝．
22．．
（1）由，得，于是有2＋m＋1＝6．解得m＝3．
（2）f（x）＝2sin（2x＋）＋4（x∈R）的最小值为－2＋4＝2，此时x的取值集合由2x＋＝＋2kπ（k∈Z）求得，所求集合为｛x｜x＝＋kπ，k∈Z｝．
23．设AP＝x，AQ＝y，∠BCP＝α，∠DCQ＝β，则tanα＝1－x，tanβ＝1－y．于是tan（α＋β）＝．又△APQ的周长为2，即x＋y＋＝2，变形可得xy＝2（x＋y）－2．于是tan（α＋β）＝＝1．又0＜α＋β＜，所以α＋β＝，∠PCQ＝－（α＋β）＝．
24．（1）由可得25sin2β－5sinβ－12＝0．解得sin β＝或sin β＝（由β∈（0，π），舍去）．所以cos β＝－sin β＝．于是tan β＝．
（2）根据所给条件，可求出仅由sinβ，cosβ，tanβ表示的三角函数式的值．例如，sin（β＋），cos 2β＋2，，，等等．
25．因为∠ABD＝α，所以∠CAE＝α，AB＝，AC＝．所以S△ABC＝·AB·AC＝，0＜α＜．
（1）所求函数解析式为S（α）＝，0＜α＜．
（2）略（可借助信息技术）．
（3）当2α＝，即α＝时，S（α）的最小值为h1h2．
26．略．
27．（1）
观测站 A B C
观测站所在纬度φ/度 40.000 0 23.439 3 0.000 0
观测站正午太阳高度角θ/度 66.387 0 82.946 4 73.614 1
太阳直射点的纬度δ/度 16.387 0 16.385 7 16.385 9
太阳直射点的纬度平均值y/度 16.386 2
（2）由16.386 2＝23.439 291 1·sin（45ω），解得ω＝0.017 202 79．
（3）T＝＝365.242 2．
（4）400（T－365）＝96.88，故应在400年中设定97个闰年．