数学人教A版（新课标）高中必修第一册 课后习题——5.1 任意角和弧度制（含答案）

《任意角和弧度制》课后习题
复习巩固
1．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角：
（1）－265°；　　（2）－1 000°；　　（3）－843°10′；　　（4）3 900°．
2．写出与下列各角终边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式－360°≤β＜360°的元素β：
（1）60°； （2）－75°； （3）－824°30′； （4）475°；
（5）90°； （6）270°； （7）180°； （8）0°．
3．分别用角度和弧度写出第一、二、三、四象限角的集合．
4．一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于1弧度吗？为什么？
5．把下列角度化成弧度：
（1）36°； （2）－150°； （3）1 095°； （4）1 440°．
6．把下列弧度化成角度（第（3）（4）题精确到0.01°）：
（1）； （2）； （3）1.4； （4）．
综合运用
7．选择题
（1）已知α是锐角，那么2α是（　　）．
（A）第一象限角　　　　　　　　（B）第二象限角
（C）小于180°的正角 （D）第一或第二象限角
（2）已知α是第一象限角，那么是（　　）．
（A）第一象限角 （B）第二象限角
（C）第一或第二象限角 （D）第一或第三象限角
8．要在半径OA＝100 cm的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧AB的长为112 cm，那么圆心角∠AOB是多少度（可用计算工具，精确到1°）？
9．已知弧长50 cm的弧所对圆心角为200°，求这条弧所在的圆的半径（可用计算工具，精确到1 cm）．
拓广探索
10．每人准备一把扇形的扇子，然后与本小组其他同学的对比，从中选出一把展开后看上去形状较为美观的扇子，并用计算工具算出它的面积S1．
（1）假设这把扇子是从一个圆面中剪下的，而剩余部分的面积为S2，求S1与S2的比值；
（2）要使S1与S2的比值为0.618，则扇子的圆心角应为几度（精确到1°）？
11．（1）时间经过4 h（时），时针、分针各转了多少度？各等于多少弧度？
（2）有人说，钟的时针和分针一天内会重合24次．你认为这种说法是否正确？请说明理由．
（提示：从午夜零时算起，假设分针走了t min会与时针重合，一天内分针和时针会重合n次，建立t关于n的函数解析式，并画出其图象，然后求出每次重合的时间．）
12．已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿．
（1）当大轮转动一周时，求小轮转动的角度；
（2）如果大轮的转速为180 r/min （转/分），小轮的半径为10.5 cm，那么小轮周上一点每1 s转过的弧长是多少？
答案
1．（1）95°，第二象限． （2）80°，第一象限．
（3）236°50′，第三象限． （4）300°，第四象限．
2．（1）｛β｜β＝60°＋k·360°，k∈Z），－300°，60°．
（2）｛β｜β＝75°＋k·360°，k∈Z），－75°，285°．
（3）｛β｜β＝824°30′＋k·360°，k∈Z），－104°30′，255°30′．
（4）｛β｜β＝475°＋k·360°，k∈Z｝，－245°，115°．
（5）｛β｜β＝90°＋k·360°，k∈Z｝，－270°，90°．
（6）｛β｜β＝270°＋k·360°，k∈Z），－90。，270°．
（7）｛β｜β＝180°＋k·360°，k∈Z），－180°，180°．
（8）｛β｜β＝k·360°，k∈Z），－360°，0°．
3．
象限 角度制 弧度制
一 ｛β｜k·360°＜β＜90°＋k·360°，k∈Z｝ （β｜2kπ＜β＜＋2kπ，k∈Z｝
二 ｛β｜90°＋k·360°＜β＜180°＋k·360°，k∈Z｝ ｛β｜＋2kπ＜β＜π＋2kπ，k∈Z｝
三 ｛β｜180°＋k·360°＜β＜270°＋k·360°，k∈Z｝ ｛β｜π＋2kπ＜β＜＋2kπ，k∈Z｝
四 ｛β｜270°＋k·360°＜β＜360°＋k·360°，k∈Z｝ ｛β｜＋2kπ＜β＜2π＋2kπ，k∈Z｝
4．不等于1弧度．这是因为等于半径长的弧所对的圆心角为1弧度，而等于半径长的弦所对的弧比半径长．
5．（1）． （2）． （3）． （4）8π．
6．（1）－210°． （2）－600°． （3）80.21°． （4）38.20°．
7．（1）C． （2）D．
8．64°．
9．14 cm．
10．（1）略．
（2）设扇子的圆心角为θ，由＝0.618，可得θ＝0.618（2π－θ），则θ≈138°．所以，扇子的圆心角应为138°．
11．（1）时针转了－120°，等于 rad；分针转了－1 440°，等于－8π rad．
（2）设经过t min分针就与时针重合，n为两针重合的次数．
因为分针旋转的角速度为（rad/min），时针旋转的角速度为（rad/min），所以＝2πn，即t＝．用信息技术画出图象或列出表格，即可清楚地看到时针与分针每次重合所需的时间．
n 15 16 17 18
t/min 981.82 1 047.3 1 112.7 1 178.2
n 19 20 21 22
t/min 1 243.6 1 309.1 1 374.5 1 440
因为时针旋转一天所需的时间为24×60＝1 440（min），所以≤1 440，于是n≤22．故时针与分针一天内只会重合22次．
12．（1）当大齿轮转动一周时，小齿轮转动的角是．
（2）由于大齿轮的转速为3 r/s，所以小齿轮周上一点每1 s转过的弧长是×3×2π×10.5＝151.2π（cm）．