数学人教A版（新课标）高中必修第一册 课后习题——5.2 三角函数的概念（含答案）

《三角函数的概念》课后习题
复习巩固
1．用定义法、公式一求下列角的三个三角函数值（可用计算工具）：
（1）；　　（2）；　　（3）；　　（4）1 500°．
2．已知角α的终边上有一点P的坐标是（3a，4a），其中a≠0，求sin α，cos α，tan α的值．
3．计算：
（1）6sin（－90°）＋3sin 0°－8sin 270°＋12cos 180°；
（2）10cos 270°＋4sin 0°＋9 tan 0°＋15cos 360°；
（3）；
（4）．
4．化简：
（1）asin 0°＋bcos 90°＋ctan 180°；
（2）－p2cos 180°＋q2sin 90°－2pqcos 0°；
（3）a2cos 2π－b2sin ＋abcos π－absin ；
（4）mtan 0＋ncos －psin π－qcos －rsin 2π．
5．确定下列三角函数值的符号：
（1）sin 186°；　　　　（2）tan 505°；　　　　（3）sin 7.6π；
（4）； （5）cos 940°； （6）．
6．（1）已知sin α＝，且α为第四象限角，求cos α，tan α的值；
（2）已知cos α＝，且α为第二象限角，求sin α，tan α的值；
（3）已知tan α＝，求sin α，cos α的值；
（4）已知cos α＝0.68，求sin α，tan α的值（精确到0.01）．
综合运用
7．根据下列条件求函数的值：
（1）；　　　　　　　　　　　　　（2）．
8．确定下列式子的符号：
（1）tan 125°sin 273°； （2）；
（3）； （4）．
9．求下列三角函数值（可用计算工具，第（1）（3）（4）题精确到0.000 1）：
（1）； （2）；
（3）cos 398°13′； （4）tan 766°15′．
10．求证：
（1）角θ为第二或第三象限角的充要条件是sin θtan θ＜0；
（2）角θ为第三或第四象限角的充要条件是cos θtan θ＜0；
（3）角θ为第一或第四象限角的充要条件是；
（4）角θ为第一或第三象限角的充要条件是sin θcos θ＞0．
11．已知sin x＝，求cos x，tan x的值．
12．已知tan α＝，π＜α＜，求cos α－sin α的值．
13．已知角α的终边不在坐标轴上，
（1）用cos α表示sin α，tan α；　　　　（2）用sin α表示cos α，tan α．
14．求证：
（1）； （2）tan2α－sin2α＝tan2αsin2α；
（3）（cos β－1）2＋sin2β＝2－2cos β； （4）sin4x＋cos4x＝1－2sin2xcos2x．
15．已知tan α＝2，求的值．
拓广探索
16．化简，其中α为第二象限角．
17．从本节的例7可以看出，就是sin 2x＋cos 2x＝1的一个变形．你能利用同角三角函数的基本关系推导出更多的关系式吗？
18．（1）分别计算和的值，你有什么发现？
（2）任取一个α的值，分别计算sin4α－cos4α，sin2α－cos2α，你又有什么发现？
（3）证明：x∈R，sin2x－cos2x＝sin4x－cos4x．
答案
1．（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
2．当a＞0时，；
当a＜0时，．
3．（1）－10． （2）15． （3）． （4）．
4．（1）0． （2）（p－q）2． （3）（a－b）2． （4）0．
5．（1）负． （2）负． （3）负． （4）正． （5）负． （6）负．
6．（1）． （2）．
（3）当a为第二象限角时，sin α＝，cos α＝；
当α为第四象限角时，sin α＝，cos α＝．
（4）当α为第一象限角时，sin α≈0.73，tan α≈1.07；
当α为第四象限角时，sin α≈－0.73，tan α≈－1.07．
7．（1）－2． （2）2．
8．（1）正． （2）负． （3）负． （4）正．
9．（1）0.965 9． （2）1． （3）0.785 7． （4）1.044 6．
10．（1）先证如果角θ为第二或第三象限角，那么sin θtan θ＜0．
当角θ为第二象限角时，sin θ＞0，tan θ＜0，则sin θtan θ＜0；
当角θ为第三象限角时，sin θ＜0，tan θ＞0，则sin θtan θ＜0，
所以如果角θ为第二或第三象限角，那么sin θtan θ＜0．
再证如果sin θ tan θ＜0，那么角θ为第二或第三象限角．
因为sin θtan θ＜0，即sin θ＞0且tan θ＜0，或sin θ＜0且tan θ＞0，
当sin θ＞0且tan θ＜0时，角θ为第二象限角；
当sin θ＜0且tan θ＞0时，角θ为第三象限角，
所以如果sin θtan θ＜0，那么角θ为第二或第三象限角．
综上所述，原命题成立．
（2）（3）（4）略．
11．当x为第三象限角时，cos θ＝，tan x＝；
当x为第四象限角时，cos x＝，tan x＝．
12．．
13．（1）当α在第一或第二象限时，；
当α在第三或第四象限时，；
（2）当α在第一或第四象限时，；
当α在第二或第四象限时，．
14．证明略．
15．3．
16．－2tan α．
17．sin4x＋cos4x＝1－2sin2xcos2x是sin2x＋cos2x＝1的一个变形；
＝1＋tan2x是sin2x＋cos2x＝1和＝tan x的变形；等等．
18．（1）．所以．
（2）不妨取α＝1．则有sin4α－cos4α≈0.416 2；sin2α－cos2α≈0.416 2．所以当取α＝1时，sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α．
（3）对于任意实数x，都有sin2x－cos2x＝（sin2x－cos2x）（sin2x＋cos2x）＝sin4x－cos4x．