数学人教A版（新课标）高中必修第一册 5.2 三角函数的概念--同步检测（含解析）

三角函数的概念--单元检测
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知角α的终边经过点，且，则( )
A. B. C. D.
2.如果点位于第二象限，那么角的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.已知．若θ为第二象限角，则下列结论正确的是( )
A. B. C.或 D.
4.已知，则（ ）
A. B. C. D.
5.已知，则的值为( )
A． B． C． D． 2
6.已知，则的值是( )
A. B. C. D.
7.已知 ，（ ）
A.5 B.4 C.3 D.4
8.已知，则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9.在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，则下列各式的值一定为负的是( )
A. B. C. D.
10.下列函数值符号为负的是( )
A. B. C. D.
11.若，则下列不等式中正确的有( ).
A. B. C. D.
12.已知，则“”的充要条件是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称．若，则________________.
14.在△中，，则_________.
15.若，那么的值为___________.
16.使成立的的范围是__________.
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（10分）求值：．
18.（12分）已知，且有意义．
（1）试判断角的终边所在的象限；
（2）若角的终边与单位圆相交于点，求实数m的值及的值．
19.（12分）已知，．求：
(1) ；
(2) ．
20.（12分）已知
（1）求的值．
（2）求的值.
21.（12分）如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m，60秒转动一圈，图中与地面垂直，以为始边，逆时针转动角到，设点与地面距离是．
(1)求与间的函数关系式；
(2)设从开始转动，经过秒后到达，求与之间的函数关系式，并求缆车点高度为8m时用的最少时间是多少？
22.（12分）求证: ．
题号 答案 核心素养 水平 解析与说明
1 D 数学运算 水平一 【解析】由，解得，所以．
2 C 数学运算 水平一 【解析】由，可得，，所以为第三象限角.
3 D 数学运算 水平一 【解析】由，解得或． 当时，，不是第二象限角，舍去； 当时，符合题意．．
4 D 数学运算 水平一 【解析】由已知可得，．
5 D 数学运算 水平一 【解析】由得，所以．
6 D 数学运算 水平一 【解析】由，得， ∴，∴．
7 A 数学运算 水平一 【解析】对 左边分子分母同时除以可得，解得.
8 A 数学运算 水平一 【解析】由联立解得，，所以．
9 BC 逻辑推理 水平一 【解析】， , ，由此可分别确定各选项的符号.
10 CD 逻辑推理 水平一 【解析】先判断各角所在的象限，再根据三角函数的定义判断其符号.
11 ABC 逻辑推理 水平一 【解析】，，，由此可判断各选项符号.
12 AC 逻辑推理 水平一 【解析】因为， 由，可得，，反之也成立，故A、C符合题意； 又虽由可知，但反之不一定成立，故B、D不符合题意.
13 逻辑推理 水平一 【解析】终边关于y轴对称的角的正弦值相等.
14 数学运算 水平一 【解析】由题意知，为锐角.
由可得．
．解得或（舍去）， ．
15 数学运算 水平一 【解析】由，得， 由，得． 所以．
16 {α|2kπ+ <α<2kπ+ ,k∈Z} 数学运算 水平一 【解析】， 所以，故，k∈Z．
17 数学运算 水平一 【解析】原式． ．
18 （1）第四象限； （2）， ． 数学运算 水平一 【解析】（1）由，可知， 角的终边在第三、四象限或在y轴的负半轴上． 由有意义，可知， 角的终边在第一、四象限或在x轴的正半轴上． 综上，可知角的终边位于第四象限． （2）∵点在单位圆上， ，解得． 又角是第四象限角，故，从而． 根据正弦函数的定义，可知．
19 （1）； （2） 数学运算 水平一 【解析】(1) ， 即，解得或． ∵，∴为第二象限角， ∴，∴． (2)原式．
20 （1） （2） 数学运算 水平一 【解析】（1）∵① 将其两边同时平方，得 ∴． ∵． ∵ ∴②， 所以． （2）由①②得， ∴.
21 （1） （2）， ，缆车点高度为8m时用的最少时间是20秒. 数学运算 数学建模 水平一 【解析】(1)以圆心为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． 则以为始边，为终边的角为， 故点的坐标为． ． (2)点A在圆上转动的角速度是，故t秒转过的弧度数为．， 到达时，由，得， ．即缆车到达高度8m时，用时最少为20秒．
22 见解析 逻辑推理 水平一 【解析】左边 =右边， ∴原式成立．