数学人教A版（新课标）高中必修第一册 5.5 三角恒等变换 测评（含解析）

三角恒等变换单元测评
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．( )
A． B． C． D．
2．若3sinx－cosx=Asin(x+φ)，A>0，，则φ等于( )
A． B． C． D．
3．设a=sin14°+cos14°，b=sin16°+cos16°，c=，则a，b，c的大小关系是( )
A． B． C． D．
4．若，则的值为( )
A． B． C． D．
5．被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用．0.618就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示成，则( )
A． B． C．2 D．4
6．已知，则( )
A． B． C． D．
7．在△ABC中，若，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上均有可能
8．若动直线与函数和的图像分别交于M，N两点，则MN的最大值为（）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列选项中能满足的是( )
A．， B．， C．， D．，
10．已知cosα=，cos(α+β)=－，且α，β∈(0，)，则( )
A． B． C． D．
11．下列选项中，计算结果为的是( )
A．sin15°sin75° B．2
C． D．
12．在中，，，则下列结论正确的是( )
A． B． C． D．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知，，，是第三象限角，则的值是 ．
14．已知，，则_______．
15．____________．
16．设当时，函数取得最大值，则______________．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知函数，x∈R．
（1）求的值；
（2）若，，求．
18．（12分）已知，且．
求证：．
19．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的始边分别与单位圆相交于A，B两点．已知A，B两点的横坐标分别为，．

（1）求tan(α+β)的值；
（2）求α+2β的值．
20．（12分）已知锐角三角形ABC的三个内角A，B，C，且．
（1）求角B；
（2）求的取值范围．
21．（12分）如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆．为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形ABCD的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝向市政府大楼．设扇形的半径，，OB与OM之间的夹角为．
（1）将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成的函数．
（2）若，求当为何值时，矩形ABCD的面积 S最大？最大面积是多少？(取)
22．（12分）已知函数，函数的图像与函数的图像关于y轴对称．
（1）求函数的解析式；
（2）若存在，使等式成立，求实数m的取值范围．
题号 答案 学科素养 水平 解析与说明
1 D 数学运算 水平一 解：sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=．
2 A 数学运算 水平一 解：因为3sinx－cosx=2(sinx－cosx)=2sin(x+φ)， 其中sinφ=－，cosφ=．又，所以．故选A．
3 B 逻辑推理 水平一 解：由题意，知a=sin59°，b=sin61°，c=sin60°， 所以．
4 B 逻辑推理 水平一 解：， ，
故选：B．
5 A 数学建模 水平二 解：把代入中可得．
6 B 数学运算 水平一 解：∵，
．
7 A 逻辑推理 水平一 解：由，得角A，B均为锐角，然后切化弦， 得，即cos(A+B)<0， ∴cos(π－C)<0，∴－cosC<0，∴cosC>0，∴角C为锐角． 所以△ABC是锐角三角形，故选A．
8 C 逻辑推理 水平二 解析：=sin2x， g(x)=cos2x=， 所以 ， 则当时，MN取得最大值，为 ．
9 ABC 数学运算 水平一 解：由两角和的余弦公式，得， 所以或， 结合选项可知选ABC．
10 AC 数学运算 水平一 解：因为α∈(0，)，cosα=，所以． 又α，β∈(0，)，所以，所以 ． 所以 ， A正确； ，B错误；，C正确．，D错误．
11 AB 数学运算 水平一 解：对于A，sin15°sin75°=sin15°cos15°=sin30°=，故A正确； 对于B，原式= ===，故B正确； 对于C，原式 ，故C错误； 对于D，=tan30°=，故D错误．
12 BD 数学运算 水平一 解：因为，所以，B正确； 因为，所以．因为， 所以B>A．因为角B是锐角，所以角A为锐角，所以，A错误； 因为 ， C错误； 因为 ，D正确．
13 数学运算 水平一 解析：∵，，．
∵，是第三象限角，．
．
14 数学运算 水平一 解析：由 ． 因为，所以． 又由，得，所以．
15 数学运算 水平一 解：原式 ．
16 逻辑推理 水平一 解：由辅助角公式，得 ， 其中． 当时，函数取得最大值， 即，即， 所以．
17 （1）1 （2） 数学运算 水平一 解：（1）． （2）因为,， 所以,． 故 ．
18 过程见解析 逻辑推理 水平一 证明：因为，， 所以 ， 即． 又，所以． 于是等式两边同除以，得．
19 (1) (2) 数学运算 水平一 解：（1）由已知条件可知，， 因为α，β为锐角， 所以，． 因此，． 所以．
（2）因为α，β为锐角，所以． 又因为， 所以， 所以．
20 (1) (2) 数学运算 水平一 解：（1）由已知得，
即有，
因为，．
又，．
又，． （2）因为C=π－A－=－A，所以． 由锐角三角形ABC，得同时成立， 所以，所以， 所以，则． 故所求的取值范围是.
21 (1) (2) 当时，矩形ABCD的 面积S最大，最大面积为838.35． 数学建模 水平二 解：（1） 由题意，可知点M为弧PQ的中点，所以． 设OM与BC的交点为F，则|BC|=2Rsinθ，|OF|=Rcosθ， 所以， 所以 ,． （2）因为，所以， 所以当，即时，S有最大值． ． 故当时，矩形ABCD的面积S最大，最大面积为838.35．
22 (1) (2) 逻辑推理 水平二 解：（1）易得． ，因为函数的图像与函数的图像关于y轴对称， 所以，所以． （2）令． 由，可得，则， 所以关于t的方程在上有解， 故关于t的方程在上有解， 又函数的值域为， 所以，故实数m的取值范围为．