课件33张PPT。第六章 一次函数
1 函 数 一、函数概念的构建
探究：一辆汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶里程为
s km，行驶时间为t h.
请同学们根据题意填写下表： 试用含t的式子表示s.______
【归纳】从计算结果完全可以看出，每给出一个t的值，都有
_____的一个s的值与其对应，所以在这两个变量中，__是自变
量，__是因变量.
【点拨】对于两个变量s与t，实际上满足s=60t，每给出一个
t的值，就相应地有一个s的值与它对应. s=60t惟一ts二、函数的概念
1.一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y.如果给定一
个x值，相应地就______________，那么我们称y是x的函数.其
中__是自变量，__是因变量.
2.对于两个变量之间的函数关系，可以采用不同的表示方法，
从本节课的例题、课堂练习中可以大致地归纳出三种，分别
是：_______、_______、_________.确定了一个y值xy图象法列表法关系式法【点拨】函数不是数，函数的本质是对应，函数关系就是变量之间的对应关系，且是一种特殊的对应关系，必须是“对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应”.【预习思考】
每上6个台阶就升高1m，上升高度h(m)与上台阶数m(个)之间的
函数关系是什么？
提示：h= .
理由：因为每上6个台阶就升高1m，那么上m个台阶，就上升
m，所以上升高度h(m)与上台阶数m(个)之间的函数关系是
h= . 知识点1 函数的概念
【例1】下列问题中的两个变量是否是函数关系？
(1)平行四边形的面积S和它的一边长x的关系.
(2)等腰三角形顶角的度数y与一个底角的度数x的关系.【解题探究】(1)设边长为x的边上的高为h，则该平行四边形
的面积可表示为_____.
由上可知其存在___个变量，所以S与x之间_____函数关系.
(2)①等腰三角形的底角为x，那么它的顶角为_________.
②则顶角y与底角x之间的关系可表示为___________.
由上可知其存在___个变量，所以y与x之间___函数关系. S=hx不是180°-2xy=180°-2x两三是【规律总结】
理解函数概念的“三二一”
1.三个部分：函数的概念由三部分组成：“两个变量”“给定一个x值”“相应地确定一个y值”.
2.两个变量：判断两个变量是否有函数关系不仅是看它们之间是否有关系式存在，更重要地看对于x的每一个确定的值，y是否有惟一确定的值与它对应.
3.一一对应：函数不是数，它是指某一个变化过程中两个变量之间的关系.【跟踪训练】
1.下列各表达式不是表示y与x的函数关系的是( )
(A)y=3x2 (B)y=10x
(C)y=±x(x>0) (D)y=3x+1
【解析】选C.选项A，B，D对于x的每一个取值，y都有惟一确定的值与之对应，符合函数的定义；选项C中，y=±x(x>0)对于x的每一个取值，y有两个值与之对应，不符合函数的定义，故不是函数.2.周长为10cm的长方形的一边长为acm，则这个长方形的面积S(cm2)与a(cm)之间的函数关系式是________，其中自变量是________，________是________的函数.
【解析】由题意可得该长方形的另一边长为(5-a)cm，所以长方形的面积S=a(5-a)，则S随a的变化而变化，所以a是自变量，S是a的函数.
答案：S=a(5-a) a S a3.如表是某报纸公布的世界人口总数统计及预测情况：
(1)表中有几个变量？
(2)你能将其中某个变量看作是另一个变量的函数吗？
(3)如果用x表示年份，y表示世界人口总数，那么随着x的变化，y的变化趋势是怎样的？ 【解析】(1)表中有两个变量，一个是年份，另一个是世界人口总数.
(2)世界人口总数是年份的函数.
(3)随着x的增加，y所对应的值在增大. 知识点2 慧眼识图
【例2】(8分)小明同学骑自行车去郊外春游，
如图表示他离家的距离y(km)与所用的时间
x(h)之间关系的函数图象.
(1)根据图象回答：小明到达离家最远的
地方需几小时？此时离家多远？
(2)小明出发两个半小时离家多远？
(3)小明出发多长时间离家12km？【规范解答】(1)由图象可知小明到达离家最远的地方需3
小时，此时离家___km. …………………………………2分
(2)小明出发2h时，离家___km.由于在CD段小明走的路程为___km，时间为__h，故小明这一段的速度为
___÷__=15(km/h)，
所以15×0.5=7.5(km)，所以7.5+15=22.5(km).
所以小明出发两个半小时离家22.5km.…………………4分3015151151(3)由图象可以看出小明从出发到距离家___km有两个时刻，
一是在AB段，二是在___段，故分两种情况：
①因为小明从出发到出发1h时，匀速前行，其速度为___÷__=15(km/h)，
所以12÷15=0.8(h)，0.8h=48min.………………………6分
②因为小明出发4h后返回，
所以返回时速度为___÷__=15(km/h)，
所以(30-12)÷15=1.2(h)，1.2h=1h12min.
所以4h+1h12min=5h12min.
故小明出发48min和出发5h12min时离家都为12km.……8分 12EF151302【互动探究】例2中两坐标轴所代表的量的含义是什么？
提示：横轴代表的是时间，单位是小时；纵轴代表的是小明离家的距离，单位是千米. 【规律总结】
解决函数图象问题三要点
1.弄清坐标轴分别表示的具体数量.
2.确定图象上起止点所表示的意义.
3.弄清图象的变化趋势与倾斜程度. 【跟踪训练】
4.(2012·日照中考)某洗衣机在洗涤衣服时经历了注水、清洗、排水三个连续过程(工作前洗衣机内无水)，在这三个过程中洗衣机内水量y(L)与时间x(min)之间的函数关系对应的图象大致为( )
【解析】选D.注水、清洗、排水三个连续过程中，洗衣机内水量注水时是逐渐增多，洗衣时水量保持不变，排水时水量渐渐减少，所以只有选项D中图象符合要求.【高手支招】从实际问题抽象出数学模型，再利用数学知识解决实际问题，这种思想叫做数学建模思想.通过建模，利用各种平面图形的面积公式、立体图形的体积公式、利用各种不变的量及等量关系，抽象成数学问题，是解决此类问题的关键.5.(2012·黑河中考)一天晚饭后，小明陪
妈妈从家里出去散步，如图描述了他们散
步过程中离家的距离s(m)与散步时间t(min)
之间的函数关系，下面的描述符合他们散
步情景的是( )
(A)从家出发，到了一家书店，看了一会儿书就回家了
(B)从家出发，到了一家书店，看了一会儿书，继续向前走了一段，然后回家了(C)从家出发，一直散步(没有停留)，然后回家了
(D)从家出发，散了一会儿步，到了一家书店，看了一会儿书，继续向前走了一段，18min后开始返回
【解析】选D.A的图象应为梯形，错误；B描述不准确，错误；C图形为上升和下降的两条折线，错误；D符合图象的特点，正确.6.如图所示的各曲线中表示y是x的函数的是________(写出所有满足条件的序号).【解析】根据“在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么y是x的函数”，图(1)(2)(3)满足上述条件，图(4)不满足，图(4)中x每取一个值有两个y值与其对应.
答案：(1)(2)(3)1.骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而变化.在这一问题中，自变量是( )
(A)沙漠 (B)体温 (C)时间 (D)骆驼
【解析】选C.骆驼的体温随时间的变化而变化，所以自变量是时间.2.(2012·武汉中考)甲、乙两人在直线
跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑
步500m，先到终点的人原地休息.已知
甲先出发2s.在跑步过程中，甲、乙两
人的距离s(m)与乙出发的时间t(s)之间的关系如图所示，给出以下结论：①a=8；②b=92；③c=123.其中正确的是( )
(A)①②③ (B)仅有①②
(C)仅有①③ (D)仅有②③【解析】选A.因为乙出发时甲行了2s，相距8m，
所以甲的速度为8÷2=4(m/s)，
因为100s后乙开始休息，
所以乙的速度是500÷100=5m/s，
因为as后甲乙相遇，
所以a=8÷(5-4)=8(s)，即①正确，
100s后乙到达终点，甲跑了4×(100+2)=408(m)，
所以b=500-408=92(m)，即②正确，
甲跑到终点一共需耗时500÷4=125s，
所以c=125-2=123s，即③正确.3.一石激起千层浪，一枚石头投入水中，会在水面上激起一圈圈圆形波纹(这些波纹都是圆且圆的圆心相同).
(1)如果圆的半径为r，面积为S，则S与r之间的关系式是________.
(2)当圆的半径由1cm增加到5cm时，面积增加了________cm2.
【解析】(1)根据圆的面积公式，如果圆的半径为r，面积为S，则S与r之间的关系式是S=πr2.
(2)当圆的半径由1cm增加到5cm时，面积增加了24πcm2.
答案：(1)S=πr2 (2)24π4.某水果批发市场香蕉的价格如下表：
若小强购买香蕉xkg(x大于40kg)付了y元，则y关于x的函数关系式为________.
【解析】因为x>40，此时每千克香蕉6元，
所以y=6x(x>40).
答案：y=6x(x>40) 5.某学校进行往返跑比赛，张佳
同学去时以每秒6m的平均速度跑
完，回来时以每秒5m的速度跑回
起点，时间与速度的变化如图.
(1)张佳共跑了多长时间？
(2)哪些时段保持匀速？速度分别是多少？
(3)试写出她在跑步过程中和起点之间的距离s(m)与时间t(s)之间的关系式.【解析】(1)从图中可以看出张佳共跑了22s.
(2)在0s～10s和10s～22s间保持匀速，速度分别为6m/s和5m/s.
(3)在0s～10s之间s=6t；在10s～22s之间s=60-5(t-10)=110-5t. 课件27张PPT。 2 一次函数 1.若两个变量x，y间的关系可以表示成____________________
______的形式，则称y是x的一次函数.
2.一次函数y=kx+b(k≠0)当____时，称y是x的正比例函数.
3.A，B两地间距离为30km，小明以每小时6km的速度从A地步行
到B地，若设他与B地的距离为ykm，步行的时间为xh，求y与x间
的函数关系式，y与x是怎样的函数关系.
答：y= _______，y是x的_____函数. y=kx+b(k，b为常数，k≠0)b=0-6x+30一次【预习思考】
1.在实际问题中常见的一次函数模型有哪些？(答出4种即可)
提示：(1)行程问题；(2)图形的面积、周长问题；(3)学科综合，与物理知识结合的题目，如弹簧长度问题；(4)银行存款
的利息等.(答案不惟一)
2.一次函数和正比例函数有什么关系？
提示：正比例函数是一次函数的特例，因此正比例函数一定是
一次函数；只有一次函数关系式中的常数项为0时，一次函数
才是正比例函数，因此一次函数不一定是正比例函数.知识点1 一次函数、正比例函数的概念
【例1】已知y=(m-2)x|m|-1+3m是x的一次函数，求m的值.
【解题探究】(1)该一次函数中自变量的系数是什么？m-2需满
足什么要求？
答：该一次函数的自变量的系数为____，_______.
(2)一次函数自变量的指数为多少？求m的值.
答：一次函数自变量的指数为__.
则有|m|-1=__，解得：m= ____，
由(1)(2)可得m= ___.m-2m-2≠011±2-2【规律总结】
判断两个变量是否成一次函数关系的“三步法” 【跟踪训练】
1.(2012·南充中考)下列函数中是正比例函数的是( )
(A)y=-8x (B)y=
(C)y=5x2+6 (D)y=-0.5x-1
【解析】选A.正比例函数的一般形式为y=kx(k为常数，且k≠0)，A选项符合正比例函数的一般形式；B选项为反比例函数；C选项为二次函数；D选项为非正比例函数的一次函数.2.当m=________时，函数y=(m-3)x2+4x-3是一次函数.
【解析】由题意知m-3=0，则m=3，所以当m=3时，函数
y=(m-3)x2+4x-3是一次函数.
答案：33.已知函数y=(2m-1)x+1-3m，m为何值时，
(1)这个函数为正比例函数？(2)这个函数是一次函数？
【解析】(1)由正比例函数的定义，有1-3m=0且2m-1≠0，得
m= ，m≠ ，
所以m= 时，y=(2m-1)x+1-3m为正比例函数.
(2)由一次函数的定义知，当m≠ 时，y=(2m-1)x+1-3m为
一次函数. 知识点2 确定实际问题的一次函数关系式
【例2】(10分)(2012·义乌中考)周末，
小明骑自行车从家里出发到野外郊游，
从家出发0.5h后到达甲地，游玩一段时
间后按原速前往乙地，小明离家 1 h
20min后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，如图是他们离家的路程y(km)与小明离家时间x(h)的函数图象，已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍.(1)求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间.
(2)小明从家出发多少小时后被妈妈追上？此时离家多远？
(3)若妈妈比小明早10min到达乙地，求从家到乙地的路程. 【规范解答】(1)小明骑车速度： =20(km/h)，
在甲地游玩的时间是0.5h.…………………………………2分
(2)妈妈驾车速度为20×3=60(km/h)，
设从妈妈出发到追上小明的时间为th，由题意得：
( - )×20=(60-20)t,……………………………………4分所以t= ，
所以小明出发 =1.75h后被妈妈追上，此时离家
×60=25(km).…………………………………………6分
(3)设从妈妈追上小明的地点到乙地的路程为n km，由题意得： ，…………………………………………8分
所以n=5，所以从家到乙地的路程为5+25=30(km). …10分【互动探究】确定函数关系式的基本思路是什么？
提示：求函数关系式与列方程的思路相同，只是书写格式不同.写函数y与x的关系式的格式是：y=含x的代数式.这就要求学生具有较好的抽象能力及数学应用能力，关键在于认真审题，弄清题意，找出规律，列出关系式. 【规律总结】
确定函数关系式“三步法” 【跟踪训练】
4.目前，全球淡水资源日益减少，提倡全社会节约用水，据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05 mL.小康同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小康离开x min后，水龙头滴出y mL的水，请写出y与x之间的函数关系式是( )
(A)y=0.05x (B)y=5x
(C)y=100x (D)y=0.05x+100【解析】选B.每分钟滴水为0.05×100=5(mL)，
则xmin滴水为5xmL，即y=5x. 5.一化工厂生产某种产品，产品出厂价为500元/t，其原材料成本(含设备损耗)为200元/t，同时，生产1t该产品需付环保处理费及各项支出共计100元.写出利润y(元)与产品销量x(t)之间的函数关系式________，销售该产品________吨，才能获得10万元利润.
【解析】依题意有：y=(500-200-100)x=200x.
当y=100 000时，x=500.
答案：y=200x 5006.(2012·恩施中考)小丁每天从某市报社以每份0.5元买进报纸200份，然后以每份1元卖给读者，报纸卖不完，当天可退回报社，但报社只按每份0.2元退给小丁，如果小丁平均每天卖出报纸x份，纯收入为y元.
(1)求y与x之间的函数关系式(要求写出自变量x的取值范围).
(2)如果每月以30天计，小丁每天至少要卖多少份报纸才能保证每月收入不低于2000元？【解析】(1)y=(1-0.5)x+(0.2-0.5)(200-x)=0.8x-60(0≤x
≤200).
(2)设小丁每天卖出y份报纸时月收入正好为2000元，
根据题意得30(0.8y-60)=2 000，解得y=158 ，
所以小丁每天至少要卖159份报纸才能保证每月收入不低于2000元. 1.下列说法中，不正确的是( )
(A)正比例函数是一次函数
(B)一次函数包括正比例函数
(C)不是一次函数就不是正比例函数
(D)正比例函数不是一次函数
【解析】选D.本题考查正比例函数与一次函数的关系，正比例函数是一次函数的特殊形式.2.下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是( )
(A)y= (B)y=
(C)y= (D)y=
【解析】选C.A是正比例函数也是一次函数；B不符合一次函数的一般形式，不是一次函数；C是一次函数，不是正比例函数；D分母中含有字母不是一次函数.3.要使y=(m-2)xn-1+n是关于x的一次函数，n，m应满足________，________.
【解析】由一次函数的定义得n-1=1且m-2≠0，
所以n=2，m≠2.
答案：n=2 m≠24.有一矩形推拉窗，窗高1.5m，则活动窗扇的通风面积y(m2)与拉开长度x(m)的关系式是____________.
【解析】因为通风面积y=窗高×拉开长度，所以y=1.5x.
答案：y=1.5x5.(2012·连云港中考)我市某医药公司把一批药品运往外地，现有两种运输方式可供选择.
方式一：使用快递公司的邮车运输，装卸收费400元，另外每千米再加收4元；
方式二：使用快递公司的火车运输，装卸收费820元，另外每千米再加收2元.
(1)请分别写出邮车、火车运输的总费用y1(元)、y2(元)与运输路程x(千米)之间的函数关系式.
(2)你认为选用哪种运输方式较好，为什么？【解析】(1)依题意，y1=4x+400；y2=2x+820.
(2)若4x+400=2x+820，则x=210，
故运输路程小于210千米时，y1运输路程等于210千米时，y1=y2，两种方式一样，
运输路程大于210千米时，y1>y2，选择用火车运输较好.课件29张PPT。3 一次函数的图象
第2课时一、一次函数的图象
观察同一直角坐标系内作出的一次函数y=2x+6，y=-x，
y=-x+6，y=5x图象，并回答下列问题.1._______________的图象是经过原点的一条直线，_____
_______________的图象不经过原点，但是和两个坐标轴相交.
2.当k>0时，y的值随x的增大而_____，图象至少经过第_______
象限；
当k<0时，y的值随x的增大而_____，图象至少经过第_______
象限.函数y=-x和y=5x函数y=2x+6和y=-x+6增大一、三减小二、四3.一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标是 ；
与y轴的交点坐标是_______.
4.直线y=kx与直线y=kx+b的位置关系是_____，所以直线
y=kx+b可以看成是直线y=kx向上(或向下)平移____个单位
得到.(0，b)平行|b|【归纳】函数y=kx的图象是经过_____的一条_____，一次函数
y=kx+b(b≠0)的图象是不经过原点的一条_____，由于两点确
定一条直线，因此作一次函数y=kx+b(k≠0)图象时，描出点
(0，__)，( ，0).画正比例函数y=kx(k≠0)的图象时，只要
描出点(0，0)，(1，k)即可.原点直线直线b二、一次函数y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的性质一、二、三一、三、四一、二、四二、三、四增大增大减小减小kb【预习思考】
1.k相同，b不同的两个一次函数的图象位置关系是什么？
提示：平行.
2.k不同，b相同的两个一次函数的图象有什么位置关系？
提示：相交于点(0，b).知识点1 一次函数的图象
【例1】(2012·乐山中考)若实数a，b，c满足a+b+c=0，且a提示：____，____，因为a，b，c三个数互不相等，且和为0，
故a，b，c三个数中至少有一个为正数，至少有一个为负数，
故____，____.
2.对于直线y=ax+c，当a<0时，直线从左到右是怎样的？
提示：_____，即越来越___.a<0c>0a<0c>0下降低3.对于直线y=kx+b，当b>0时，直线与y轴的交点在什么位置？
提示：_________________________.
4.由以上探究，本题应选__. 在x轴上方(即y轴正半轴上)A【规律总结】
一次函数的图象在坐标系中的“四种位置”
1.k>0，b>0?一次函数的图象经过第一、二、三象限；
2.k>0，b<0?一次函数的图象经过第一、三、四象限；
3.k<0，b>0?一次函数的图象经过第一、二、四象限；
4.k<0，b<0?一次函数的图象经过第二、三、四象限.【跟踪训练】
1.(2012·长春中考)有一道题目：已知一次函数y=2x+b，其中b<0，与这段描述相符的函数图象可能是( )
【解析】选A.因为k=2>0，b<0，所以一次函数的图象经过第一、三、四象限. 2.(2012·滨州中考)直线y=x-1不经过( )
(A)第一象限 (B)第二象限
(C)第三象限 (D)第四象限
【解析】选B.由于x的系数是大于零的，直线从左向右是向上倾斜的，而图象经过点(0，-1)，所以图象经过y轴的负半轴，所以图象不经过第二象限.3.(2012·厦门中考)画出函数y=-x+1的图象.
【解析】当x=0时，y=1；当y=0时，x=1，所以函数y=-x+1的图象是经过(0，1)，(1，0)两点的一条直线，图象如图： 知识点2 一次函数的性质
【例2】(6分)已知一次函数y=ax-b，
(1)当a，b为何值时，y随x的增大而增大.
(2)当a，b为何值时，函数图象与y轴交于负半轴.
(3)当a，b为何值时，此函数图象与直线y=-3x+5平行.【规范解答】(1)由一次函数y=kx+b(k≠0)的性质可知：
当k>0时，函数值y随x的增大而增大，即__>0，
所以a>__，b取_________. ……………………………2分
(2)函数图象与y轴的交点为(______)，………………3分
因为此交点在y轴负半轴上，
所以___<0且__≠0，
所以a≠__，b___. ………………………………………4分
(3)当a=-3，-b≠5，即a=-3，b≠-5时，此函数图象与直线
y=-3x+5平行.………………………………………………6分a0任意实数0，-b-ba0>0【规律总结】
函数图象或增减性与k，b的关系
1.由函数图象确定k，b的符号
(1)确定k的符号：当函数图象过第一、三象限时，k>0；当函数图象过第二、四象限时，k<0.
(2)确定b的符号：当函数图象交y轴正半轴时，b>0；当函数图象交y轴负半轴时，b<0；当函数图象过原点时，b=0.
2.由函数的增减性确定k的符号
(1)当y随x的增大而增大时，k>0；
(2)当y随x的增大而减小时，k<0.【跟踪训练】
4.(2012·娄底中考)对于一次函数y=-2x+4，下列结论错误的是( )
(A)函数值随自变量的增大而减小
(B)函数的图象不经过第三象限
(C)函数的图象向下平移4个单位长度得y=-2x的图象
(D)函数的图象与x轴的交点坐标是(0，4)【解析】选D.由一次函数y=-2x+4可知直线经过第一、二、四象限，可知选项A、选项B正确，通过平移可知选项C也正确，函数的图象与x轴相交，可知y的值为0，故选项D错误.5.(2012·怀化中考)如果点P1(3，y1)，P2(2，y2)在一次函数y=2x-1的图象上，则y1________y2(填“>”“<”或“=”).
【解析】因为一次函数关系式为y=2x-1，所以y随x的增大而增大，又因为3>2，所以y1>y2.
答案：>【一题多解】根据点在直线上，直接把点的坐标代入函数
关系式，求出y1和y2，即当x=3时，y1=2×3-1=5，当x=2时，y2=2×2-1=3，所以y1>y2.6.已知直线y=(m-1)x+1-3m，试确定m的值，使得：
(1)直线经过原点；
(2)直线与y轴交于(0，2)；
(3)直线与x轴交于(2，0).
【解析】(1)直线经过原点，即1-3m=0，得m= .
(2)当x=0，y=2时，2=1-3m，m=- .
(3)当x=2时，y=0，
即0=(m-1)×2+1-3m，解得m=-1.1.(2012·泉州中考)若y=kx-4的函数值y随x的增大而增大，则k的值可能是下列的( )
(A)-4 (B)- (C)0 (D)3
【解析】选D.由题意中y随x的增大而增大可知k>0. 2.(2012·山西中考)如图，一次函数y=(m-1)x-3的图象分别与x轴、y轴的负半轴相交于点A，B，则m的取值范围是( )
(A)m>1 (B)m<1 (C)m<0 (D)m>0
【解析】选B.由图象知一次函数y=(m-1)x-3经过第二、三、四象限，得m-1<0，解得m<1.3.(2012·温州中考)一次函数y=-2x+4的图象与y轴的交点坐标是( )
(A)(0，4) (B)(4，0) (C)(2，0) (D)(0，2)
【解析】选A.当x=0时，y=-2×0+4=4，
所以图象与y轴的交点坐标为(0，4).4.(2012·玉林中考)一次函数y=mx+|m-1|的图象过点(0，2)，且y随x的增大而增大，则m=( )
(A)-1 (B)3 (C)1 (D)-1或3
【解析】选B.一次函数图象过点(0，2)，
所以|m-1|=2，m-1=±2，
所以m1=3，m2=-1.
又因为y随x的增大而增大，
所以m>0，所以m=3.5.在同一直角坐标系中画出一次函数y=x+1和y=-x+1的图象，并观察它们的位置关系.
【解析】列表：
描点、连线，即得y=x+1和y=-x+1的图象，
如图所示.观察图象发现直线y=x+1与
直线y=-x+1互相垂直.课件31张PPT。3 一次函数的图象
第1课时一、函数的图象
1.定义：把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为
点的___坐标和___坐标，在平面直角坐标系内描出它的对应
点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象.
2.画函数图象的步骤：①_____；②_____；③_____. 横纵列表描点连线二、正比例函数的图象
用描点法画出函数y=2x，y=-2x，y= x与y=- x的图象如下： 观察图象知正比例函数的图象的特点：_________、_________.一条直线经过原点【归纳】正比例函数的图象是一条_________的_____.经过原点直线三、正比例函数的性质
观察上述正比例函数的图象知：
y=2x和y= x的图象都经过第_______象限，从左向右，
直线越来越___.
y=-2x和y=- x的图象都经过第_______象限，从左向右，
直线越来越___.一、三二、四高低【归纳】当k>0时，直线经过第_______象限，y的值随x值的
增大而_____.
当k<0时，直线经过第_______象限，y的值随x值的增大而_____.一、三增大二、四减小【预习思考】
为什么k>0时，正比例函数y=kx的图象经过第一、三象限？
提示：因为k>0时，x和y的符号相同或为0，故图象经过第一、三象限. 知识点1 正比例函数的图象
【例1】(2012·陕西中考)下列四组点中，可以在同一个正比例函数图象上的一组点是( )
(A)(2，-3)，(-4，6) (B)(-2，3)，(4，6)
(C)(-2，-3)，(4，-6) (D)(2，3)，(-4，6)【解题探究】1.如何判断两个点是否在同一个正比例函数的
图象上？
提示：看第二个点是否在第一个点所确定的正比例函数图象上.
2.过点(2，-3)的正比例函数的关系式是什么？
提示：设y=kx，则-3=2k，
所以k=- ，所以y=- x.
3.点(-4，6)是否在直线y=- x上？为什么？
提示：在.因为当x=-4时，y=- ×(-4)=6，故选项A正确.用同
样的方法可以判断选项B，C，D错误.【规律总结】
关于正比例函数图象的四点说明
1.正比例函数图象是过原点的一条直线.
2.作正比例函数图象时一般过点(0，0)和(1，k)作直线.
3.当k>0时，直线y=kx过第一、三象限，从左向右上升.
当k<0时，直线y=kx过第二、四象限，从左向右下降.
4.当一个点的坐标满足正比例函数关系式时，该点在正比例函数图象上，否则不在.【跟踪训练】
1.下列四个函数图象中，属于正比例函数图象的是( )
【解析】选D.正比例函数图象是经过原点的一条直线.2.关于正比例函数y=-2x，下列结论中正确的是( )
(A)图象经过点(-1，-2) (B)图象经过第一、三象限
(C)y随x的增大而减小 (D)不论x取何值，总有y<0
【解析】选C.当x=-1时，y=-2x=-2×(-1)=2≠-2，故选项A错误，因为k=-2<0，故图象过第二、四象限，且y随x的增大而减小，故选项B错误，选项C正确，对于函数y=-2x，y可取任何值，故选项D错误. 3.在直角坐标系中，既是正比例函数y=kx，又是y的值随x值的增大而减小的图象是( )
【解析】选C.由题意知，该图象需满足：经过原点的一条直线，且越来越低，故选C.4.汽车由A城驶往相距120km的B城，s(km)表示汽车离开A城的距离，t(h)表示汽车行驶的时间，如图.
(1)求汽车行驶的速度.
(2)当t=1时，汽车离开A城有多远？
(3)当s=100时，汽车行驶了多长时间？【解析】(1)由图象知，汽车4h共行驶120km，且是匀速的，
故v= =30(km/h).
(2)由(1)知：s=30t，当t=1时，s=30×1=30，
即t=1时，汽车离开A城有30km.
(3)当s=100时，即100=30t，所以t=
即当s=100时，汽车行驶了3h20min. 知识点2 正比例函数的性质
【例2】(2012·贵阳中考)在正比例函数y=-3mx中，函数y的值
随x值的增大而增大，则P(m，5)在第________象限.
【解题探究】1.正比例函数y=kx(k≠0)满足什么条件时y的值
随x值的增大而增大？
提示：比例系数k>0.
2.在y=-3mx中，比例系数是什么？
提示：-3m.
3.由上面的探究知：-3m__0，即m__0.
4.当m<0时，点P(m，5)在第___象限.><二【规律总结】
正比例函数的性质的作用
1.判断函数的变化规律.
2.比较两个函数值的大小.
3.由函数值的大小判断k的正负. 【跟踪训练】
5.在函数y= x的图象上有两个点，(3，y1)和(-3，y2)，
则y1与y2的大小关系是( )
(A)y1>y2 (B)y1(C)y1=y2 (D)y1与y2大小不确定
【解析】选A.在函数y= x中，k= >0，故y随x的增大而增大，
因为3>-3，所以y1>y2.6.若正比例函数y=(1-m)x的图象经过点A(x1，y1)和点B(x2，y2)，且当x1y2，则m的取值范围是( )
(A)m<0 (B)m>0 (C)m<1 (D)m>1
【解析】选D.因为x1y2，
所以y随x的增大而减小，
故1-m<0，所以m>1.7.假定甲、乙两人在一次赛跑中，路程s(m)与时间t的关系如图，那么甲乙二人的速度v甲和v乙的大小关系是( )
(A)v甲v乙
(C)v甲=v乙 (D)不确定
【解析】选B.观察图象知，在相同时间内，甲的路程大于乙的路程，且二人均是匀速的，故v甲>v乙. 8.某函数的图象是一条经过原点与点(-1， )的直线，其y的
值随x值的增大而________，图象过第________象限.
【解析】因为该函数图象是经过原点的一条直线，所以此函数
为正比例函数，又过点(-1， )，故该图象过第二、四象限，
此时k<0，y的值随x值的增大而减小.
答案：减小 二、四1.在正比例函数y= x的图象上的点是( )
(A)(-3，-2) (B)(-4，-3)
(C)( ， ) (D)(5， )
【解析】选C.把各点的坐标代入函数关系式，只有选项C成立. 2.对于正比例函数y=4x，当x>1时，y的取值范围是( )
(A)y<1 (B)1≤y<4
(C)y=4 (D)y>4
【解析】选D.因为当x=1时，y=4x=4，而在y=4x中，k=4，故y随x的增大而增大，所以当x>1时，y>4. 3.当-1≤x≤3时，正比例函数y=-5x的最大值为________.
【解析】在正比例函数y=-5x中，k=-5<0，故y的值随x值的增大而减小，故在自变量x的取值范围内，当x最小时，y的值最大，即当x=-1时，y=-5×(-1)=5.
答案：54.(2012·上海中考)已知正比例函数y=kx(k≠0)，点(2，-3)
在函数图象上，则y随x的增大而________(填“增大”或“减
小”).
【解析】将点(2，-3)代入y=kx(k≠0)，得到k=- ，因为k<0，
所以y随x的增大而减小.
答案：减小 5.在同一个平面直角坐标系中，画出直线y= x，y=x，y=2x，
并判断哪一条与x轴正方向所成的锐角最大，哪一条与x轴
正方向所成的锐角最小.
【解析】图象如图所示：
由图象知：y=2x与x轴正方向所成的锐角最大.
y= x与x轴正方向所成的锐角最小.6.滑车以每分钟1.5米的速度匀速地从轨道的一端滑向另一端，已知轨道长为7米.
(1)求滑车滑行的路程s(米)与滑行时间t(分钟)之间的解析式以及自变量t的取值范围.
(2)画出图象.
(3)根据图象说明当t增大时，s是增大还是减小？【解析】(1)s与t的解析式是s=1.5t，
因为0≤s≤7，所以0≤1.5t≤7，
所以0≤t≤ ，
即自变量t的取值范围是0≤t≤ .
(2)s=1.5t的图象是过点(0，0)和(1，1.5)的直线，
又因为自变量t的取值范围是0≤t≤ ，所以所给函数的图象是以O(0，0)，B( ，7)为端点的
一条线段.如图所示.
(3)由图象可知，当t增大时，s随着增大.课件30张PPT。4 确定一次函数的表达式1.正比例函数y=kx(k≠0)中系数是__；一次函数y=kx+b(k≠0)
中系数是__，常数是__.
2.要确定正比例函数y=kx(k≠0)中的系数需要几个条件？分别
是什么？
答：_________________________________________________
___________.kkb需要1个条件，一组x，y的值或函数图象上1个点的坐标(原点除外)3.要确定一次函数y=kx+b(k≠0)中的系数需要几个条件？分别
是什么？
答：___________________________________________________.
4.用待定系数法求一次函数关系式的步骤
(1)先设出___________，
(2)再根据条件列出关系式中关于_________的方程，
(3)解方程，确定_________，
(4)根据求出的未知系数确定函数关系式.需要两个条件，两组x，y的值或函数图象上两个点的坐标函数关系式未知系数未知系数【预习思考】确定一次函数表达式的实质是什么？
提示：确定表达式中k，b的值.
理由：在确定一次函数表达式时，需依据题中条件建立关于k，b的方程，进而求出k，b，从而得到表达式. 知识点1 确定一次函数及正比例函数的表达式
【例1】(2012·聊城中考)如图，直线AB与x轴交于点A(1，0)，
与y轴交于点B(0，-2).
(1)求直线AB的解析式.
(2)若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC=2，求点C的坐标.【解题探究】(1)①一次函数的一般形式是什么？
提示：_______(k≠0，k，b都是常数).
②直线AB经过点A(1，0)和点B(0，-2)，用待定系数法得方程：
____________.
解得k=2，
所以直线AB的解析式为_______.y=kx+bk+b=0，b=-2y=2x-2(2)①若把OB看作△BOC的底，则高是什么？
提示：______________________________.
②若设点C的坐标为(a，b)，则根据S△BOC=2列出的方程为
________.解得____.
又点C在直线y=2x-2上，所以b=_________，
即点C的坐标为(2，2). 点C到y轴的距离(即点C的横坐标)a=22×2-2=2【规律总结】
点的坐标在求函数关系式中的作用
1.函数关系式与函数图象可以相互转化，实现这种转化的工具就是点的坐标.
2.若已知图象上某点的坐标，就可以把该点横、纵坐标作为关系式中的一对x，y的值，代入函数关系式，从而得到一个关于待定系数的方程.【跟踪训练】
1.(2012·黔南州中考)如图，直线AB对应的函数表达式是( )
(A)y=- x+3 (B)y= x+3
(C)y=- x+3 (D)y= x+3【解析】选A.设直线AB的表达式为y=kx+b，将(0，3)，(2，0)
代入上式，得 解得
所以y=- x+3.2.(2012·南京中考)已知一次函数y=kx+k-3的图象经过点
(2，3)，则k的值为________.
【解析】把x=2，y=3代入y=kx+k-3，得k=2.
答案：23.(2012·衡阳中考)如图，一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象平行且经过点A(1，-2)，则kb=________.【解析】因为直线y=2x与直线y=kx+b平行，
所以k=2，因为直线y=kx+b经过点(1，-2)，
所以2+b=-2.
所以b=-4，
所以kb=2×(-4)=-8.
答案：-8知识点2 利用函数表达式解决实际问题
【例2】(11分)正比例函数与一次函数的图象如图所示，它们的交点坐标为A(4，3)，B为一次函数的图象与y轴的交点，且OA=2OB.
(1)求正比例函数与一次函数的表达式.
(2)求△AOB的面积.【规范解答】(1)设正比例函数的表达式为y=k1x，一次函数的
表达式为y=k2x+b.
因为A(4，3)是它们的交点，
所以_____，_______，所以k1= ，………………………2分
所以正比例函数的表达式为 . ……………………3分
又因为OA= =5，且OA=2OB，
所以OB=___.…………………………………………………5分3=4k13=4k2+b因为点B在y轴负半轴上，
所以点B的坐标为_______， ………………………………6分
因为点B在一次函数y=k2x+b的图象上，
所以- =b，代入3=4k2+b中，得k2=___.
所以一次函数的表达式为__________.……………………8分
(2)S△AOB= OB·4=___________.…………………………11分【互动探究】在直角坐标系中，你还有其他求△AOB面积的方法吗？
提示：利用两个直角三角形的面积的差，可求得△AOB的面积.即S△AOB=S△ACB-S△ACO.【规律总结】
从图象中获取信息的方法
1.弄清函数图象横、纵坐标分别表示什么，图象上最高点、最低点的意义.
2.上升线表示函数值随自变量的增大而增大，下降线表示函数值随自变量的增大而减小；水平线表示函数值不随自变量的变化而变化.
3.直线倾斜程度大表示函数值随自变量变化迅速，直线倾斜程度小表示函数值随自变量变化缓慢.【跟踪训练】
4.(2012·枣庄中考)将直线y=2x向右平移1个单位后所得图象对应的函数解析式为( )
(A)y=2x-1 (B)y=2x-2
(C)y=2x+1 (D)y=2x+2
【解析】选B.直线y=2x过点(0，0)，向右平移1个单位后过点(1，0)，设平移后的直线为y=2x+b，把(1，0)代入得2+b=0，所以b=-2，故函数解析式为y=2x-2.5.对于气温，有的地方用摄氏温度表示，有的地方用华氏温度表示，摄氏温度与华氏温度之间存在着某种函数关系.从温度计的刻度上可以看出，摄氏温度x(℃)与华氏温度y(°F)有如下的对应关系：(1)试确定y与x之间的函数关系式，并画出函数图象；
(2)某天，南昌的最高气温是25℃，澳大利亚悉尼的最高气温是80°F，问这一天哪个地区的最高气温较高？【解析】(1)由表格中所给信息可知y与x之间的函数关系式为：y=32+1.8x，函数图象如图所示.(2)当x=25时，y=32+1.8×25=77，则这天南昌的最高气温是77°F，因此悉尼的最高气温较高.也可根据函数图象进行比较.结合(1)中图当x=25时，图象上点A的纵坐标小于80，则表示悉尼的最高气温较高. 1.一次函数y=kx+b的图象经过点A(2，3)，当x增加1个单位时，y增加3个单位，则此函数的表达式是( )
(A)y=x+3 (B)y=2x+3
(C)y=3x-3 (D)y=4x-3
【解析】选C.当x增加1个单位时，y增加3个单位，即y+3=k(x+1)+b，又因为y=kx+b，所以k=3，将点(2，3)代入y=3x+b得b=-3，即函数的表达式为y=3x-3.2.一次函数y=(m-2)x+(3-2m)的图象经过点(-1，-4)，则m的
值为( )
(A)-3 (B)3 (C)1 (D)-1
【解析】选B.由题意，得-4=-(m-2)+(3-2m)，解得m=3.3.如图，一次函数的图象过点A，且与正比例函数y=-x的图象交于点B，则该一次函数的表达式为________.
【解析】设一次函数的表达式为y=kx+b，则b=2.
又过B(-1，1)，所以1=-k+b，k=1，故y=x+2.
答案：y=x+24.(2012·南通中考)无论a取什么实数，点P(a-1，2a-3)都在直线l上，点Q(m，n)是直线上的点，则(2m-n+3)2的值等于________.
【解析】因为a取任何数，点P(a-1，2a-3)均在直线l上，
不妨令a=0和1，则点P的坐标分别为(-1，-3)和(0，-1)，
设直线l的表达式为y=kx+b，则
解得 故y=2x-1.
又点Q(m，n)是直线l上的点，所以n=2m-1，
所以2m-n=1，所以(2m-n+3)2=42=16.
答案：165.(2012·湘潭中考)已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过点(0，2)，且与两坐标轴围成的三角形面积为2，求此一次函数的表达式.
【解析】因为一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过点(0，2)，
所以b=2，令y=0，则x=- ，因为函数图象与两坐标轴围成的
三角形面积为2，
所以 ×2×|- |=2，即| |=2，当k>0时， =2，解得k=1；
当k<0时，- =2，解得k=-1.
故此函数的表达式为y=x+2或y=-x+2.课件44张PPT。5 一次函数的应用 1.通过函数图象获取信息
从_________分析并获取有用信息，根据实际问题建立适当的
_________，利用该函数图象的特征解决问题，体现了数形结合，_____与_____的结合的思想方法.函数图象函数模型方程函数【点拨】观察分析图象，明确坐标轴的含义，可以得到一些具体信息，又由于图象是不过原点的一条直线，可以判断是一次函数，用待定系数法求一次函数关系式，进而解决其他问题. 2.一元一次方程kx+b=0与一次函数y=kx+b(k≠0)的关系
(1)从“数”的方面看，当一次函数y=kx+b(k≠0)的值为0时，
相应的_______的值就是方程kx+b=0的解.
(2)从“形”的方面看，直线y=kx+b与x轴交点的横坐标即为方
程kx+b=0的解.自变量【预习思考】
1.如何从图象中获取信息？
提示：分清横、纵轴表示的意义，结合具体情境，理解图象的变化特点.特别是两个图象的交点，代表此时两个变量相等，在行程问题中，为相遇或追上.
2.用一次函数y=kx+b的图象解方程kx+b=0的关键是什么？
提示：找直线y=kx+b与x轴的交点.知识点1 一次函数图象的应用
【例1】全世界每年都有大量的土地被沙漠吞没，改造沙漠保护土地资源，已成为一项十分紧迫的任务.某地区原有沙漠面积100万公顷，为了了解该地区沙漠面积的变化情况，进行了连续几年的观察，并将每年的新增沙漠面积记录并绘成图象，如图所示，请根据图象，回答下列问题：(1)第二年年底，新增沙漠面积为多少万公顷？第三年年底呢？
(2)第几年底，新增沙漠面积可达到1万公顷？
(3)按照上述规律，如不采取防治措施，那么m年后，该地区沙漠面积将变为多少万公顷？【解题探究】(1)横坐标为2的点对应的纵坐标为____，横坐标
为3的点对应的纵坐标为____.
所以第二年年底新增沙漠面积为____万公顷，第三年年底为
____万公顷.
(2)纵坐标为1的点在函数的图象上对应的点的横坐标为__，
所以第__年年底，新增沙漠面积可达到1万公顷.
(3)①由题意可知该地区原有沙漠____万公顷，每年新增沙漠
____万公顷；
②m年年底新增沙漠_____万公顷.
所以m年年底该地区的沙漠面积变为_________万公顷.0.40.60.40.651000.20.2m0.2m+1005【规律总结】
一元一次方程与一次函数的联系
一元一次方程ax+b=0(a、b为常数，a≠0)与一次函数y=ax+b
(a≠0)的内在联系，可用函数观点从“数”和“形”两个角
度对解一元一次方程进行理解.
(1)从“数”的角度看：当一次函数y=ax+b(a≠0)的函数值为0
时，相应的自变量的值是x=- ，即为方程ax+b=0(a，b为常数，
a≠0)的解.(2)从“形”的角度看：一次函数y=ax+b图象与x轴交点坐标为
(- ，0)，从而可知交点横坐标即为方程ax+b=0(a，b为常数，
a≠0)的解.【跟踪训练】
1.(2012·长沙中考)小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途时，自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课，他比修车前加快了速度继续匀速行驶，下面是行驶路程s(m)关于时间t(min)的函数图象，那么符合小明行驶情况的大致图象是( )【解析】选C.小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，说明路程s逐步变大；但行至中途时，自行车出了故障，只好停下来修车，在修车的时间段内，行驶路程s是不变的；车修好后，因怕耽误上课，他比修车前加快了速度继续匀速行驶，行驶路程又开始变大，共计分为3段.2.(2012·六盘水中考)如图是邻居张大爷
去公园锻炼及原路返回时离家的距离y(km)
与时间t(min)之间的函数图象，根据图象信
息，下列说法正确的是( )
(A)张大爷去时所用的时间少于回家的时间
(B)张大爷在公园锻炼了40min
(C)张大爷去时走上坡路
(D)张大爷去时的速度比回家时的速度慢【解析】选D.由图象知，张大爷去时用了15min，中间锻炼用了40-15=25(min)，回来用了45-40=5min，结合选项知应选D.3.在一次运送任务中，一辆汽车将一批货物
从甲地运往乙地，到达乙地卸货后返回.设汽
车从甲地出发x(h)时，汽车与甲地的距离为
y(km)，y与x的函数关系如图所示.根据图象信息，
解答下列问题：
(1)这辆汽车的往、返速度是否相同？请说明理由；
(2)求返程中y与x之间的函数表达式；
(3)求这辆汽车从甲地出发4h时与甲地的距离.【解析】(1)不同，理由如下：往、返距离相等，去时用了2h，
而返回时用了2.5 h，故往、返速度不同.
(2)返程中的速度为120÷(5-2.5)=48(km/h)，所以y与x之间的函数表达式为y=120-48(x-2.5)，即y=-48x+240(2.5≤x≤5).
(3)当x=4时，汽车在返程中，y=-48×4+240=48，所以这辆汽车从甲地出发4h时与甲地的距离为48km.知识点2 利用两个函数的图象解决问题
【例2】(8分)某加油飞机接到命令，
立即给另一架正在飞行的运输机进
行空中加油.在加油过程中，设运
输机的油箱余油量为Q1吨，加油飞
机的加油油箱余油量为Q2吨，加油
时间为t分钟，Q1、Q2与t之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题：(1)加油飞机的加油油箱中装载了多少吨油？将这些油全部加给运输机需多少分钟？
(2)求加油过程中，运输机的余油量Q1(t)与时间t(min)的函数关系式；
(3)运输机加完油后，以原速继续飞行，需10h到达目的地，问燃油是否够用？【规范解答】(1)由图可知，加油飞机的加油油箱中装载了
___t油，将这些油全部加给运输机需___min.……………2分
(2)设加油过程中，运输机的余油量Q1(t)与时间t(min)的
函数关系式为Q1=kt+b.因为函数的图象过点(0，40)，所以
b=40.又因为函数图象过点(10，69)，所以b+10k=69，
k=____，所以函数的关系式为：Q1=________. …………5分
(3)10小时等于600min.因为运输机每分钟的耗油量为：
_____________÷10=____(t)，所以600min需耗油
____________<69，因此燃油_____.………………………8分30102.92.9t+40[(30+40)-69]0.10.1×600=60够用【互动探究】如图所示，反映了两位同学跑步的路程与时间的关系，且起点，方向均相同，l1表示小明跑步的路程与时间的关系，l2表示小华跑步的路程与时间的关系，你能说出交点的含义吗？提示：由于一次函数的图象是直线，因此，两个一次函数的图象的交点就是两条直线的交点，不同的实际问题，“交点”的含义不同.l1与l2的交点表示两人相遇的时间与地点，两人在4分钟时相遇，位置在距起点1200米处.【规律总结】
利用函数图象解决实际问题的步骤及注意事项
1.五个步骤
(1)分析题目中的已知条件，找出题目中的相关关系；
(2)确定函数的类型，设出相应的关系式；
(3)将相关条件代入关系式，求出待定系数；
(4)根据题意写出函数关系式并画出图象；
(5)根据函数图象的性质和自变量的值的情况对问题作出结论.2.三个注意
(1)实际问题中要注意使实际问题有意义，同时要注意自变量的取值范围；
(2)当问题涉及多种情况时，要注意分类讨论；
(3)利用图象解题时，要弄清横坐标和纵坐标各自的实际意义.【跟踪训练】
4.某校举行趣味运动会，甲、乙两名学生同时从A地到B地，甲先骑自行车到B地后跑步回A地，乙则是先跑步到B地后骑自行车回A地(骑自行车的速度快于跑步的速度)，最后两人恰好同时回到A地.已知甲骑自行车比乙骑自行车的速度快.若学生离A地的距离s与所用时间t的函数关系用图象表示如下(实线表示甲的图象，虚线表示乙的图象)，则正确的是( )【解析】选B.甲骑车比乙骑车快在图象上反映为甲去时图象的倾斜度要比乙来时图象的大，故选B.5.如图，是甲、乙两人所行的路程y(km)与时间x(h)之间的函数关系的图象，根据图象回答：
甲的速度为______，乙的速度为______；后者用了______小时追上前者；追上时他们各走了______km.【解析】由图象可得甲的速度为：20÷4.5= (km/h)，乙的
速度为：20÷3.5= (km/h)，后者用了3.5h追上了前者；
追上时他们各走了20km.
答案： km/h km/h 3.5 206.(2012·泉州中考)国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某企业推出一种“CNG”的改烧汽油为天然气的装置，每辆车改装费为b元，据市场调查知：每辆车改装前、后的燃料费(含改装费)y0，y1(单位：元)与正常营运时间x(单位：天)之间分别满足关系式：y0=ax，y1=b+50x，如图所示.(1)每辆车改装前每天的燃料费a=________元，每辆车的改装费b=________元，正常营运________天后，就可以从节省的燃料费中收回改装成本.
(2)某出租汽车公司一次性改装了100辆出租车，因而，正常营运多少天后共节省燃料费40万元？【解析】(1)90 4000 100
(2)方法一：依题意及图象得：
100×(90-50)x=400000+100×4000
解得：x=200
答：200天后共节省燃料费40万元.
方法二：依题意，可得： ÷(90-50)+100=200.
答：200天后共节省燃料费40万元.【高手支招】应用一次函数图象解决问题，当只有一个图时一般来说比较容易解决，当题中出现两个图象时，应注意：
(1)在分析函数图象时，对于两个函数图象共同分析时，一定要清楚两个函数图象交点的意义.
(2)当图中出现两个函数图象时，首先把每个图象所表示的意义弄清，才能正确地帮助解决实际问题.1.(2012·广安中考)时钟在正常运行时，时针和分针的夹角会随着时间的变化而变化.设时针与分针的夹角为y(度)，运行时间为t(min)，当时间从3：00开始到3：30止，下图中能大致表示y与t之间的函数关系的图象是( )【解析】选D.因为时针与分针的夹角为y度，运行时间为tmin，时间从3：00开始到3：30止，所以当3：00时，y=90°，当3：30时，时针在3和4中间位置，故时针与分针夹角为y=75°.
又因为分针从3：00开始到3：30过程中，时针与分针夹角先减小，一直到重合，再增大到75°，所以只有D符合要求.2.(2012·呼和浩特中考)下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x-2y=2的解的是( )
【解析】选C.对于二元一次方程x-2y=2，
当x=0时，y=-1；
当y=0时，x=2，
故直线与两坐标轴的交点应该是(0，-1)，(2，0).3.某图书馆开展两种方式的租书业务：一种是使用会员卡，另一种是使用租书卡，使用这两种卡租书，租书金额y(元)与租书时间x(天)之间的关系如图所示，当租书时间为120天时，应使用______比较合算.【解析】由分析得：在x=120时，x>100，
此时y2>y1，
即使用会员卡更合算.
答案：会员卡4.我市某出租车公司收费标准如图所示，如果小明只有19元钱，那么他乘此出租车最远能到达______km处.
【解析】由图象可知出租车在3km以内，起步价为5元，超过3km，每千米(12-5)÷(8-3)=1.4(元).当有19元钱时，最远可坐3+(19-5)÷1.4=13(km).
答案：135.已知某种型号的摩托车油箱中的剩余油量Q(L)是它行驶的时间t(h)的一次函数.某天老李骑该种摩托车外出旅游，刚开始行驶时，油箱中有油8L，行驶了1h后，他发现已耗油1.25L.(1)求油箱中的剩余油量Q(L)与行驶的时间t(h)的函数关系式，并求出自变量t的取值范围.
(2)在给定的直角坐标系中画出此函数的图象.
(3)从开始行驶算起，如果摩托车以每小时50km的速度匀速行驶，当油箱中的剩余油量为5.5L时，该摩托车行驶了多少千米？【解析】(1)根据题意k=-1.25，b=8，
所以Q=-1.25t+8，
由-1.25t+8=0，得t=6.4，
所以t的取值范围是0≤t≤6.4.(2)当Q=0时，t=6.4，作出一次函数的图象(如图).
(3)由5.5=-1.25t+8得t=2，s=vt=50×2=100(km).
所以，该摩托车行驶了100km.课件53张PPT。单元复习课
第 六 章一、一次函数的相关定义
1.一次函数的定义
若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数(x为自变量，y为因变量).
(1)形式：y=kx+b；(2)条件：k≠0；(3)实质：自变量x的指数是1.
特别地，当b=0时，函数y=kx(k是常数，k≠0)叫做正比例函数.2.求函数表达式
待定系数法：先设出函数表达式，再根据条件确定表达式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.
作用：确定函数表达式.二、一次函数的图象和性质
一次函数的图象和性质【特别提醒】一次函数的图象是一条直线，根据两点确定一条
直线可得，画一次函数的图象时，只要先确定两点，再连成直
线即可.画正比例函数的图象时，一般选取(0，0)和(1，k)；
画一次函数的图象时，一般选取(0，b)和(- ，0).三、求一次函数表达式及一次函数的应用
1.求一次函数表达式
应用待定系数法求一次函数表达式所给的条件非常灵活，主要有以下几种方式：
(1)给出两点坐标或两对对应值，直接代入计算即可.(2)给出一点坐标，另一个条件结合直线与直线的交点或直线与坐标轴围成的三角形面积.结合交点或面积求出另一个点的坐标，再代入求值.(3)结合两直线平行时k的相等关系.(4)根据定义求表达式.2.一次函数两个方面的应用
(1)对于一次函数图象信息题，分析图象时应着重把握以下几点：
①弄清横、纵坐标所表示的实际意义；②明确自变量与函数值的取值范围；③了解图象上某些点(图象与坐标轴的交点、图象上已经表明的点等)的坐标的具体意义.(2)应用数学建模的思想解决实际问题
根据实际情境构造一次函数模型，再借助一次函数图象或性质解决简单的实际问题，涉及最多的类型——方案设计问题.解题时应注意：
①注意分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的表达式及图象，通过比较函数值的大小寻求解决问题的最佳方案；②解决含有多个变量的问题时，要注意分析这几个变量之间的关系，从中选取有代表性的变量作为自变量，把其中的数量关系提升为函数模型，解决问题时注意数形结合思想的应用；
③此类问题常与方程(组)、结合在一起，一次函数y=kx+b(k，b为常数，k≠0)本没有最大值或最小值，但当自变量的取值受某种条件制约时，一次函数就有最大或最小值.热点考向1 分析函数图象解决问题
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日常生活中一些不方便使用表达式表示的问题，用图象能简明清晰地反映其含义.分析图象获取信息是中考的热点.这类问题常与生活中的一些热点问题结合，难度不大，多以选择题、填空题为主，其作用在于结合问题的实际背景加深对图象意义的理解.【例1】(2012·龙东中考)如图所示，四边形
ABCD是边长为4cm的正方形，动点P在正方形
ABCD的边上沿着A→B→C→D的路径以1cm/s
的速度运动，在这个运动过程中△APD的面积S(cm2)随时间t(s)的变化关系用图象表示，正确的是( )【思路点拨】考虑△APD的面积时，以AD为底，看高的变化，
分点P在AB，BC和CD上三种情况.
【自主解答】选D.当点P在AB上时，AP逐渐增大，故S△APD也逐
渐增大，且由0逐渐增大到 ×4×4=8；当点P在BC上时，点P
到AD的距离不变，即高不发生变化，故S△APD=8；当点P在CD上
时，此时△APD的高为DP，且逐渐减小，故S△APD逐渐减小，面
积由8减小到0.热点考向2 一次函数的图象和性质
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一次函数y=kx+b(k，b为常数，k≠0)性质的三个方面
(1)增减性：当k>0时，y随x的增大而增大，当k<0时，y随x的增大而减小；
(2)所在象限：直线y=kx+b所在的位置与k，b的符号有直接的关系，k>0时，直线必经过一、三象限；k<0时，直线必经过二、四象限；
(3)与y轴交点的位置：b>0时，直线与y轴正半轴相交；b=0时，直线过原点；b<0时，直线与y轴负半轴相交.【例2】(2012·永州中考)一次函数y=-x+1的图象不经过第________象限.
【教你解题】
答案：三热点考向3 一次函数的表达式
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用待定系数法确定一次函数的表达式
(1)确定正比例函数的表达式需要一个条件，即只需知道正比例函数中的一个不同于原点的点的坐标即可；
(2)确定一次函数的表达式需要两个条件，即只需知道一次函数中的两个点的坐标即可.
用函数模型解决实际问题，首先是确定函数的表达式，所以求函数表达式是中考的一个热点.【例3】(2012·南宁中考)若点A(2，4)在函数y=kx-2的图象上，则下列各点在此函数图象上的是( )
(A)(1，1) (B)(-1，1)
(C)(-2，-2) (D)(2，-2)
【思路点拨】把点A的坐标代入函数关系式，确定k，得到表达式，把选项A，B，C，D的坐标代入表达式看是否成立.
【自主解答】选A.点A(2，4)在函数y=kx-2的图象上，所以4=2k-2，k=3，函数的解析式是y=3x-2，当x分别为1，-1，-2，
2时函数值分别是1，-5，-8，4，所以(1，1)在函数图象上.热点考向4 一次函数的应用
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应用一次函数解决问题，能较好地考查学生的阅读理解能力，同时又考查学生获取信息后的抽象概括能力、建模能力和判断决策能力，强化学生的“用”数学意识.但在应用时注意：
(1)一次函数在现实世界中普遍存在，要注意将实际问题转化成数学问题.
(2)针对一系列相关数据探究函数自变量与因变量近似满足的函数关系.
(3)列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围.【例4】(2012·临沂中考)小明家今年种植的“红灯”樱桃喜获丰收，采摘上市20天全部销售完.小明对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象，日销售量y(单位：kg)与上市时间x(单位：天)的函数关系的图象如图1所示，樱桃价格z(单位：元/kg)与上市时间x(单位：天)的函数关系的图象如图2所示.(1)观察图象，直接写出日销售量的最大值.
(2)求小明家樱桃的日销售量y与上市时间x的函数表达式.
(3)试比较第10天与第12天的销售金额哪天多.【思路点拨】(1)观察图象→结果.
(2)分0≤x≤12和12(3)分别求出第10天和第12天的销售量和销售单价，计算总销售额，比较得出结论.【自主解答】 (1)120kg.
(2)当0≤x≤12时，设日销售量与上市时间的函数表达式为y=kx.
因为点(12，120)在y=kx的图象上，所以k=10，
所以函数表达式为y=10x.
当12因为点(12，120)，(20，0)在y=kx+b的图象上，所以
所以
所以函数表达式为y=-15x+300.(3)因为第10天和第12天在第5天和第15天之间，
所以5因为点(5，32)，(15，12)在z=kx+b的图象上，
所以
所以
所以函数表达式为z=-2x+42，当x=10时，y=10×10=100，z=-2×10+42=22，
销售金额为100×22=2200(元).
当x=12时，y=120，z=-2×12+42=18，
销售金额为120×18=2160(元)，
因为2200>2160，
所以第10天的销售金额多.【命题揭秘】
本章内容是中考的重点内容之一，其中点的坐标、函数的概念、一次函数(包括正比例函数)的意义、图象及其性质，求一次函数的表达式及其相关的综合题是历年中考命题的热点，解这类考题的主要方法有：待定系数法、数形结合法等.另外值得一提的是，一次函数的应用问题特别受中考命题者的青睐，这类试题考查了学生运用数学知识分析问题、解决问题的能力.1.(2012·莱芜中考)下列四幅图象近似刻画两个变量之间的关系，请按图象顺序将下面四种情景与之对应排序( )①一辆汽车在公路上匀速行驶(汽车行驶的路程与时间的关系)；
②向锥形瓶中匀速注水(水面的高度与注水时间的关系)；
③将常温下的温度计插入一杯热水中(温度计的读数与时间的关系)；
④一杯越来越凉的水(水温与时间的关系).
(A)①②④③ (B)③④②①
(C)①④②③ (D)③②④①【解析】选D.①是匀速行驶，对应第4个图象；②表示y随x的变化先较慢后较快对应第2个图象；③温度计读数随时间逐渐升高对应第1个图象；④的图象应是第3个.2.A(x1，y1)，B(x2，y2)是一次函数y=kx+2(k>0)图象上不同的两点，若t=(x1-x2)(y1-y2)，则( )
(A)t<1 (B)t=0 (C)t>0 (D)t≤1
【解析】选C.因为k>0，所以y随x的增大而增大，所以x1-x2与y1-y2的正负一致.3.(2012·泸州中考)为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市将出台新的居民用电收费标准：(1)若每户居民每月用电量不超过100度，则按0.5元/度计算.(2)若每户居民每月用电量超过100度，则超过部分按0.8元/度计算(未超过部分仍按每度电0.5元计算).现假设某户居民某月用电量是x(单位：度)，电费为y(单位：元)，则y与x的关系用图象表示正确的是( )【解析】选C.依题意可知：某户居民某月用电量是x(单位：度)，电费为y(单位：元)，则当x≤100时，y=0.5x；当x>100时，y=100×0.5+0.8(x-100)，故其图象为C.4.(2012·黔东南州中考)如图是直线y=x-3的图象，点P(2，m)在该直线的上方，则m的取值范围是( )
(A)m>-3 (B)m>-1 (C)m>0 (D)m<3
【解析】选B.当x=2时，y=2-3=-1，因为点P(2，m)在直线y=
x-3的上方，所以m>-1.5.(2012·长沙中考)如果一次函数y=mx+3的图象经过第一、二、四象限，则m的取值范围是________.
【解析】因为一次函数y=mx+3的图象经过第一、二、四象限，所以m<0.
答案：m<0 6.“一根弹簧原长10cm，在弹性限度内最多可挂质量为5kg的
物体，挂上物体后弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比，
,则弹簧的总长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的
函数关系式是y=10+0.5x(0≤x≤5).”王刚同学在阅读上面材
料时就发现部分内容被墨迹污染，被污染部分是确定函数关系
式的一个条件，你认为该条件可以是________(只需写出一个).【解析】根据函数关系式可知挂x kg物体弹簧伸长0.5x cm，所以弹簧下每增加1 kg物体弹簧伸长0.5 cm.
答案：如果悬挂2 kg物体弹簧总长度为11 cm(答案不惟一)7.(2012·烟台中考)某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费.月用电量不超过200度时，按0.55元/度计费；月用电量超过200度时，其中的200度仍按0.55元/度计费，超过部分按0.70元/度计费.设每户家庭月用电量为x度时，应交电费y元.
(1)分别求出0≤x≤200和x>200时，y与x的函数表达式.
(2)小明家5月份交纳电费117元，小明家这个月用电多少度？【解析】(1)当0≤x≤200时，y与x的函数表达式是y=0.55x；
当x>200时，y与x的函数表达式是
y=0.55×200+0.7(x-200)，即y=0.7x-30.
(2)因为小明家5月份的电费超过110元，
所以把y=117代入y=0.7x-30中，得x=210.
答：小明家这个月用电210度.8.如图，在平面直角坐标系中，A，B均在边长为1的正方形网格格点上.
(1)求线段AB所在直线的函数关系式，并写出当0≤y≤2时，
自变量x的取值范围；
(2)将线段AB绕点B逆时针旋转90°，
得到线段BC，请画出线段BC.
若直线BC的函数关系式为y=kx+b，
则y随x的增大而______(填“增大”或“减小”).【解析】(1)设直线AB的函数关系式为y=k1x+b1.
依题意，得A(1，0)，B(0，2).
所以0=k1+b1，2=b1，解得k1=-2，b1=2.
所以直线AB的函数关系式为y=-2x+2.
当0≤y≤2时，自变量x的取值范围是0≤x≤1.(2)如图，线段BC即为所求；增大.【归纳整合】一次函数的学习从丰富多彩的问题情境中渗透函数模型的思想，总结规律，促进其应用与拓展，从实际问题情境中抽象出函数以及一次函数的概念，进而探索出一次函数及其图象的性质，最后利用一次函数及其图象解决实际应用问题.9.某市出租车的收费标准是起步价10元/2千米，2千米后里程价2.4元/千米，总路程超过25千米的，超出部分按里程价的30%加收返空费(不考虑红灯等因素).
(1)小明与小颖分别乘出租车行程30千米，小明直接到达目的地；小颖乘车行驶24千米后，换乘另一辆出租车到达目的地.请问小颖比小明省钱了吗？通过计算说明行程30千米换乘出租车是否合算？(2)若行程为x千米(2610+2.4×23+2.4×(1+30%)×5=80.8(元)；
小颖乘出租车的费用：
(10+2.4×22)+(10+2.4×4)=82.4(元).
82.4-80.8=1.6(元).
小颖没有比小明省钱，费用反而增加了1.6元.
因此，行程为30千米换乘出租车不合算.(2)y1=10+2.4×23+2.4×(1+30%)×(x-25)，
即y1=3.12x-12.8；
y2=10+2.4×22+10+2.4×(x-26)，
即y2=2.4x+10.4.
若行程超过x千米后换车就会节约费用，则
2.4x+10.4≤3.12x-12.8，解得x≥ .
所以行程超过 千米后换车就会节约费用.10.如图是函数y=kx+b在平面直角
坐标系中的图象.
(1)根据图象，求k，b的值；
(2)在图中画出函数y=-2x+2的图象；
(3)x为何值时函数y=kx+b的值大于函数y=-2x+2的值；
(4)求两直线与x轴围成的三角形的面积.【解析】(1)因为直线经过(0，2)且与y轴的交点坐标为
(0，b)，故b=2.
因直线过点(-2，0)，所以0=-2k+2，解得k=1.
(2)当x=0时，y=2，当y=0时，-2x+2=0，解得：x=1，
所以y=-2x+2经过(0，2)，(1，0)，图象如图所示： (3)根据图象，当x>0时函数y=kx+b的值大于函数y=-2x+2的值；
(4)根据图象，三角形在x轴上的边长是|-2|+1=3，高为2，
所以面积= ×3×2=3.
