数学人教A版（新课标）高中必修第一册 《5.5.2 简单的三角恒等变换（第一课时）》优秀教学设计

《5.5.2 简单的三角恒等变换（第一课时）》
教学设计
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教学目标
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经历借助和角、差角及倍角公式通过三角恒等变换推导出半角公式、积化和差公式及和差化积公式(这三组公式不要求记忆)的过程，体会三角恒等变换的内容、思路和方法，发展逻辑推理素养与数学运算素养．
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教学重难点
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教学重点：三角变换的内容、思路和方法．
教学难点：认识三角变换的特点．
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课前准备
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PPT课件．
资源引用：【知识点解析】认识半角公式
【知识点解析】积化和差公式
【知识点解析】和差化积公式
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教学过程
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（一）整体感知
引导语：前面几节课大家一起学习了和、差角公式及二倍角公式，这样，为我们进行三角恒等变换提供了新的工具，下面通过例题探究一下在具体问题中，如何根据条件恰当地选择公式，进行恒等变换．
（二）新知探究
例1 试以cos α表示sin2，cos2，tan2．
追问1：已知角与待求角有什么关系？目前我们掌握的公式中，有没有相关公式可以将具有这种关系的角联系起来？
预设答案：二倍角关系，；我们学习过的二倍角公式可以将它们联系起来．
解：在倍角公式cos 2α＝1－2sin2α中，以α代替2α，以代替α，得cos α＝1－2sin2，
所以 sin2． ①
在倍角公式cos 2α＝2cos2α－1中，以α代替2α，以代替α，得cos α＝2cos2－1，
所以 cos2． ②
将①②两个等式的左右两边分别相除，得tan2．
★资源名称：【知识点解析】认识半角公式
★使用说明：本资源展现“认识半角公式”，辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握．适合教师课堂进行展示．
注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．
追问2：经历了例1的解决过程之后，你能谈一谈三角恒等变换与代数恒等变换二者之间有何区别吗？
预设答案：与代数恒等变换相比，进行三角恒等变换时，三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会存在所含的角差异，以及这些角的三角函数种类方面的差异，所以进行三角恒等变换时，常常要先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择适当的公式．
设计意图：这个问题既有引导学生思考的目的，也有帮助学生进行总结的功能：与普通的代数变换相比较，三角变换要考虑所包含的角的不同、三角函数的种类差异，三角函数式的结构差异等多个因素，因此教学时更要注重培养学生有序的思维习惯，从而更好地把握三角恒等变换的特点．
教师讲解：例1的结果还可以表示为：
sin ＝±，cos ＝±，tan ＝±，
并称之为“半角公式”(这组公式不需要记忆)，符号由所在象限决定．
另外，例1的前两个式子，即①与②，从左向右看的话，它们的次数都从二次降为一次，而角则由扩大为，因此也被称为“降幂(扩角)公式”．
练习：求证：．
预设答案：
证法一：因为 tan ，
tan ，所以得证．
证法二：因为＝tan ，
又sin2＋cos2＝1，即sin2＝(1＋cos)(1－cos)，
所以．所以得证．
设计意图：这个题目中，待证等式两侧所含角为二倍关系，如果学生注意到这一点，利用二倍角公式不难证明．解决这个问题一方面可以让学生更加熟悉三角恒等变换问题的操作思路和方法，另一方面也给出了不需要讨论正负号的半角正切公式．
例8 求证：
（1）sin α cos β＝［sin(α＋β)＋sin(α－β)］；
（2）sin θ＋sin φ＝2sin cos ．
★资源名称：【知识点解析】积化和差公式
★使用说明：本资源展现“积化和差公式”，辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握．适合教师课堂进行展示．
注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．
追问1：（1）中式子的左右两边在结构形式上有什么不同？你能根据你发现的不同点借助相关公式设计变换过程吗？
预设答案：可以从两个不同的角度回答这个问题：第一，从所含角的角度考虑，等式左侧包含角及，而等式右侧包含了与的和角以及差角，因此如果从等式右边出发，借助和角公式与差角公式化简，最后可以化成等号左边的形式；第二，从运算结构的角度考虑，等号左侧是与的乘积，而右侧是加的形式，如果设计从左向右的变换过程，需要将积转化为和的形式，回顾所学公式，在公式中遇到过这一结构，但上述两个公式中同时都包含了这个结构，因此需要两个式子用加减消元法消去即可证明待证结论．这两种思考方法是本质上是一致的．
★资源名称：【知识点解析】和差化积公式
★使用说明：本资源展现“和差化积公式”，辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握．适合教师课堂进行展示．
注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．
追问2：注意观察（2）式的左右两侧，它与（1）的结构特征有何区别？两个等式之间有什么联系？
预设答案：从等式两侧所含角的角度考虑，（1）的右侧所含角是左侧所含角的和角与差角，而（2）的左侧所含角是右侧所含角的和角与差角；从运算结构考虑，（1）左侧积结构是右侧和结构的一半，（2）左侧和结构是右侧积结构的二倍．综合以上分析，只需将（1）式等号两侧交换，再将分别替换成即可得到（2）．
设计意图：这个追问旨在将之前解决三角恒等变换的思路一以贯之地延续下去，即从寻找“差异”着手进行分析，而对（2）分析过后，不难发现它与（1）的结构几乎完全一致，仅仅是左右交换并更换了角而已．这样可以强化学生对寻找“差异”的认识，并引导学生发现解决问题的方法．
证明：（1）因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，
将以上两式的左右两边分别相加，得
sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β，
即sin αcos β＝［sin(α＋β)＋sin(α－β)］．
（2）由（1）可得sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β． ③
设α＋β＝θ，α－β＝φ，那么α＝，β＝．
把α，β的值代入③，即得sin θ＋sin φ＝2sincos ．
设计意图：本题所证式子是“积化和差”与“和差化积”共八个公式中的其中两个，这两组公式与半角公式同样不要求记忆．通过公式的证明过程，体会三角恒等变换的内容、思路和方法．
（三）回顾小结
问题：我们在进行三角恒等变换时，应该怎样进行分析？在变换中经常会用到哪些数学思想或方法？
预设的师生活动：学生进行归纳、思考并回答．
预设答案：我们进行三角恒等变换时，应首先分析已知条件与目标之间的差异，这些差异可能是所含角的差异，也可能是三角函数名称的差异，或是结构差异等等，找到“差异”之后，再选择合适的公式，将这个“差异”逐步“拉近”，就可以一步一步达到目标．在变换中经常用到化归思想、转化思想、方程思想以及换元法．
设计意图：回顾反思，使学生归纳解决三角恒等变换问题的通用思路和常规方法．
（四）作业布置
教科书习题5.5第9，10，11，19题．
（五）目标检测设计
1．已知cos θ＝，且270°＜θ＜360°，试求sin和cos的值．
2．已知等腰三角形的顶角的余弦等于，求这个三角形的一个底角的正切．
3．求证：
（1）sin α sin β＝［cos(α＋β)－cos(α－β)］．
（2）cos θ－cos φ＝－2sin sin ．
答案：1．－．2．．
设计意图：巩固利用公式进行恒等变换的解题过程，提升学生逻辑推理与数学运算素养．