数学人教A版（新课标）高中必修第一册 《5.6 函数y=Asin(ωx φ)（第二课时）》优秀教学设计

《5.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)（第二课时）》
教学设计
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教学目标
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1．掌握参数A对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响，理解参数A在圆周运动中的实际意义，掌握这个函数的性质，发展数学抽象、逻辑推理与直观想象的素养．
2．理解从正弦曲线到函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的变换过程，能用五点（作图）法画函数y＝Asin(ωx＋φ)图象．
3．会运用函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质解决简单的数学问题和实际问题．
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教学重难点
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教学重点：参数A对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响，以及从从正弦曲线到函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的变换过程．．
教学难点：从正弦曲线经过图象变换得到函数y＝Asin(ωx＋φ)图象．
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课前准备
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Geogebra软件、PPT课件．借助Geogebra软件，通过作动画可以演示参数A，φ，ω对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响．
资源引用：【数学探究】探索A（A＞0）对y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响
【数学探究】画函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象
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教学过程
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（一）整体感知
引导语：通过上节课的学习，我们从实际问题出发，建立了一个新的函数y＝Asin(ωx＋φ)，并按照函数的研究套路，研究了该函数的图象中的部分问题．现在继续上一节课的研究．
（二）新知探究
6．探索A（A＞0）对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
问题6：当参数A变化时，对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象有什么影响？类比ω与φ的研究方法，你计划怎样进行研究？
★资源名称：【数学探究】探索A（A＞0）对y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响
★使用说明：本资源为“探索A（A＞0）对y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响”知识探究，通过交互式动画的方式，运用了本资源，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教学效率．适合教师课堂进行演示讲解．
注：此图片为“动画”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．
预设的师生活动：本问题由学生自主探索，合作交流．
预设答案：归纳出以下几点：①先研究特殊，再进行归纳，得到一般结论．
②结合筒车解释A的意义．给A赋特值解释对应的图象变化．
③结合筒车的运动，如图1，两个动点用相同的时间运动x s后，若K(x，y)是函数y＝sin(2x＋)图象上的一点，那么点N(x，2y)就是函数y＝2sin(2x＋)图象上的相应点，即函数y＝2sin(2x＋)图象是函数y＝sin(x＋)图象上的所有点纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变)得到的．
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图1
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图1（1）
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④一般化的结论：一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象可以看作是将函数y＝sin(ωx＋φ)的图象上的任意一点的纵坐标伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1)为原来的A倍(横坐标保持不变)得到．从而y＝Asin(ωx＋φ)的值域是[－A，A]，最大值是A，最小值是－A．
设计意图：探究参数A的变化对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响．学生再次经历“由形导数”“由数释形”的过程，更加突出从点的坐标认识图像变换的规律，体验探究方法，提升思维水平．
7．探索A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
问题7：你能总结一下从函数y＝sinx图象出发，通过图象变化得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的过程与方法吗？请你写出来．
★资源名称：【数学探究】画函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象
★使用说明：本资源为“画函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象”知识探究，通过交互式动画的方式，运用了本资源，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教学效率．适合教师课堂进行演示讲解．
注：此图片为“动画”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．
预设的师生活动：由学生完成，并展示交流．
预设答案：一般结论：一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，可以用下面的方法得到：先画出函数y＝sin x的图象；再把正弦曲线上所有点向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个长度单位得到y＝sin(x＋φ)的图象；然后把曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到y＝sin(ωx＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍(横坐标不变)，这时的曲线就是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象．从而y＝Asin(ωx＋φ)的值域是[－A，A]，最大值是A，最小值是－A．
例1 画出函数的简图．
师生活动：因为刚完成了问题7，所以学生应该先想到根据问题7获得的结论完成．学生先独立思考，然后展示交流，由学生口述其变换过程，教师板书步骤．
预设答案：如图2，先画出函数y＝sin x的图象；再把正弦曲线上所有点向左平移个长度单位得到y＝sin(x＋）的图象；然后把曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到y＝sin(3x＋）的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的2(横坐标不变)，这时的曲线就是函数y＝2sin(3x＋）的图象．
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图2
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追问：我们已经知道了该函数的图象的整体样貌．回想正弦函数草图的画法，你能用五点法画出这个函数的图象吗？
预设的师生活动：由学生完成，整体展示．学生可以说出找五个关键点．在教师的追问下，形成通过换元转化，最后找到五个关键点的思路
预设答案：五点作图法的步骤：
第一步，用列表、描点的方法，先画出函数在一个周期内的图象．
T＝π，令X＝．
列表：
X 0 π 2π
x
y 0 2 0 －2 0
描点画图（图3）：
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图3
)
第二步，将函数在一个周期内的图象拓展在整个定义域内．
设计意图：引导学生从局部的讨论过渡到整体的思考，从特殊的例子归纳概括出一般性的结论，得到从正弦函数的图象出发，通过图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)图象的过程与方法．同时引出“五点法”作图，并从两种方法的联系来加深学生对y＝Asin(ωx＋φ)图象的认识．
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图4
)例2 如图4，摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距地面高度为120 m，转盘直径为110 m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30 min．
（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动t min后离地面的高度为H m，求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；
（2）求游客甲在开始转动5 min后离地面的高度；
（3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差的最大值（精确到0.1）．
预设的师生活动：学生讨论，然后回答．
追问：你打算选择什么函数模型来刻画这个实际问题？为什么？
预设答案：摩天轮上座舱运动可以近似地看作是质点在圆周上做匀速旋转，在旋转过程中，游客距离地面的高度H呈现周而复始的变化，因此可以考虑用三角函数模型来刻画．
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图5
)如图5，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系．
（1）设t＝0 min时，游客甲位于点P（0，－55），以OP为终边的角为； 根据摩天轮转一周大约需要30 min，可知座舱转动的角速度约为 rad/min，由题意可得
．
（2）当t＝5时，．
（3）甲、乙两人的位置分别用点A，B表示，则．经过t min后甲距离地面的高度为，点B相对于点A始终落后rad，此时乙距离地面的高度为．则甲、乙距离地面的高度差
当（或），即t≈7.8（或22.8）时，
h的最大值为110 sin≈7.2 m．
设计意图：本例与5.6.1小节开篇的筒车问题相呼应，进一步体会圆周运动与三角函数模型之间的内在联系，感受数学建模思想，体现数学的综合运用和实际应用，也是对知识学习效果的一次检测．
（三）归纳小结
问题8：（1）本单元我们研究了哪一类问题？研究的路径是怎样的？
预设答案：
（2)在研究函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的过程中，哪些思想方法值得总结？
预设答案：首先，与二次函数类比的基础上初步形成对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象进行研究的路径．在这个过程中，是基于特殊情况的分析，再观察多个具体值对函数图象影响的基础上概括出一般化的结论，然后从函数y＝sin x的图象经过图象变换得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，得到了一般原则，体现了类比思想和有特殊到一般的数学思想．
设计意图：梳理核心知识和研究过程，以及体现的数学思想和方法，加深学生对数学建模的过程与方法．
（四）布置作业
教科书习题5.6第1，2，3，4，5，6，7题．
（五）目标检测设计
画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图．
预设答案：
设计意图：熟悉正弦型函数简图的作法，为此类函数的应用打好基础．