数学人教A版（新课标）高中必修第一册 《5.7三角函数的应用（第一课时）》优秀教学设计

《5.7 三角函数的应用（第一课时）》教学设计
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教学目标
)
1．通过研究两个理想的物理模型——简谐运动和交流电，了解三角函数在刻画周期性现象方面的应用，提高数学应用意识，培养数学建模能力．
2．通过问题研究和练习巩固，经历分析数据、观察图形、求解析式等数学活动，提高数形结合能力，发展直观想象素养．
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教学重难点
)
教学重点：利用三角函数刻画简弹簧振子的运动．
教学难点：将生活中与周期性现象有关的实际问题转化成与三角函数有关的数学问题．
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课前准备
)
视频、Geogebra软件、PPT课件．
资源引用：【情景演示】生活中的周期性现象
【情景演示】简谐振动
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教学过程
)
（一）整体感知
引导语：前面我们学习了三角函数图象和性质，了解到三角函数是刻画现实生活中周期性现象的理想模型，今天这节课开始，我们来研究三角函数的应用．
问题1：你能举出生活中具有周期性现象的实例吗？
★资源名称： 【情景演示】生活中的周期性现象
★使用说明：本资源通过生活中有关周期现象的展示，激发学生学习的兴趣．也体现数学来源于生活，又服务于生活．适合教师课堂展示播放．
注：此图片为“情景视频”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．
预设的师生活动：学生经过思考和讨论之后，举出一些生活中的实例，教师进行补充．
预设答案：预想学生所举周期性现象的例子可能包括以下几方面：
（1）匀速圆周运动。如表的指针的转动，摩天轮等；
（2）自然界中的周期性现象。如潮汐变化，日升日落，一天当中的气温变化等；
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（图1）
)（3）物理学中的周期性现象。如钟摆，弹簧振子运动，发电机产生的交变电流等．
（二）新知探究
模型一：简谐运动
播放视频：弹簧振子的简谐运动．
★资源名称：【情景演示】简谐振动
★使用说明：本资源通过观看视频了解简谐振动的物理原理，感受简谐振动的周期性变化．适合于三角函数有关周期性讲解的辅助展示，通过自然世界中实例的演示，使学生更加形象生动的了解知识与生活的联系，为新知识的学习做好铺垫．
注：此图片为“情景视频”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．
预设的师生活动：师生共同观看视频．
设计意图：通过观看视频了解简谐振动的物理原理，感受简谐振动的周期性变化．
问题2：如何利用三角函数刻画弹簧振子的运动过程？
预设的师生活动：学生回答．
预设答案：因为弹簧振子离开中心位置的位移随着时间呈周期性变化，所以可以用弹簧振子离开中心位置的位移与时间的三角函数关系来刻画弹簧振子的运动过程．
设计意图：引导学生经历利用三角函数刻画弹簧振子运动的思考过程．
例1 某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中，时间t（单位s）与位移y（单位mm）之间的对应数据如表1所示．试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式．
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表1
)
问题3：画出散点图并观察，位移y随时间t的变化规律可以用怎样的函数模型进行刻画？
(
（图2）
)预设的师生活动：学生画出散点图，分析得出位移y随时间t的变化规律．
预设答案：根据散点图（如图2），分析得出位移y随时间t的变化规律可以用这个函数模型进行刻画．
设计意图：画出散点图，分析数据，建立变量满足的函数模型．
问题4：由数据表和散点图，你能说出振子振动时位移的最大值A，周期T，初始状态（t=0）时的位移吗？根据这些值，你能求出函数的解析式吗？
预设的师生活动：学生观察数据表和散点图基础上回答问题，并根据所得数据求出函数的解析式．教师对学生的解答进行点评之后，给出简谐运动的有关概念．
预设答案：A=20，T=60 s，初始状态的位移为-20 mm．函数的解析式为，．
教师补充：弹簧振子的这种运动是简谐运动，在物理学中，把物体受到的力（总指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．简谐运动在生活中大量存在，如钟摆的摆动，弹簧振子的运动，琴弦的震动，水中浮标的上下浮动等，其主要特征是物体的位移随着时间呈周期性变化，因此简谐运动可以利用三角函数刻画．在适当的坐标系下，简谐运动可以用函数，来表示，其中A为振幅（物体离开平衡位置的最远距离），为周期，为频率．相位，为初相．
设计意图：根据数据求出函数解析式，并得到简谐运动的有关知识．
练习1：如图3所示是某简谐运动的图象，试根据图象回答下列问题：
（1）这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？
（2）写出这个简谐运动的解析式．
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图
3
)
预设的师生活动：学生自主解答，教师指导和点评．
预设答案：
（1）振幅A＝3，周期T＝4，频率f＝．
（2）设这个简谐运动的函数表达式为．
设计意图：通过一个抽象的简谐运动的图象，让学生经历由图（简谐运动的图象）到数（简谐运动的解析式）的思考过程．巩固利用三角函数刻画简谐运动的有关知识．
练习2：如图4，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线，一段固定，另一端悬挂一个沙漏．让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下铅锤面内做周期摆动．若线长l cm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移为s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是
当l=25时，求沙漏的最大偏角（精确到0.0001 rad）；
(
图4
)已知g=9.8 m/s2，要使沙漏摆动的周期是1 s，线的长度应当是多少（精确到0.1 cm）？
预设的师生活动：学生观看沙漏摆动的视频，自主解决问题，教师指导和点评．
预设答案：
（1）最大偏角为0.1203 rad．
（2）要使沙漏摆动的周期是1 s，线的长度l应当为24.8 cm．
设计意图：通过一个具体的简谐运动的实验，让学生经历根据三角函数模型解决实际问题的研究过程，进一步加深学生对利用三角函数刻画周期性现象的认识，初步了解三角函数在解决实际问题方面的简单应用．
模型二：交变电流
播放视频：交变电流的产生
预设的师生活动：师生共同观看视频．
设计意图：通过观看视频了解交变电流的物理原理，感受交变电流的周期性变化．
问题5：如何利用三角函数刻画交变电流的周期性变化？
预设的师生活动：学生回答，教师补充．
预设答案：因为交变电流随着时间呈周期性变化，所以可以用交变电流与时间的三角函数关系来刻画交变电流的周期性变化．
设计意图：引导学生经历利用三角函数刻画交变电流的思考过程．
例2 如图5（1）所示的是某次实验测得的交变电流i（单位A）随时间t（单位s）变化的图象．将测得的图象放大，得到图5（2）．
（1）求电流i随时间t变化的函数解析式；
（2）当时，求电流i．
(
图
5（1）
) (
图5（2）
)
问题6：观察图象，交变电流i随时间t的变化满足怎样的函数模型？
预设的师生活动：学生回答，教师补充．
预设答案：由交变电流的产生原理可知，电流i随时间t的变化规律可以用来刻画．
教师补充：其中A为振幅，为频率，为相位，为初相．
设计意图：分析图象，建立变量满足的函数模型，给出利用三角函数刻画交变电流时相应参数的意义．
问题7：根据图象，你能说出电流的的最大值A，周期T，初始状态（t=0）时的电流吗？由这些值，你能进一步解决问题（1）、（2）吗？
预设的师生活动：学生解答．
预设答案：A=5，T=s，初始状态的电流为4.33 A．
由这些值可求得电流i随时间t的变化的解析式是
．
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
设计意图：经历由图到数的分析过程，具体求某些具体的电流，了解三角函数的简单应用．
练习3：一台发电机产生的电流是正弦式电流，电压和时间之间的关系如图6所示．由图象说出它的周期、频率和电压的最大值，并求出电压U（单位V）关于时间t（单位s）的函数解析式．
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图6
)
预设的师生活动：学生自主解答，教师引导和点拨．
预设答案：周期为0.02，频率为50，电压的最大值为311 V．电压和时间的函数解析式为U＝311sin 100πt，t∈．
设计意图：通过研究交流电压随时间变化的问题，进一步巩固利用三角函数刻画与交变电流有关的周期性现象，体会到一个周期性现象可以伴随产生其它周期性现象，感受三角函数应用的广泛性．
（三）归纳小结
问题8：对于一个周期性现象，你该如何利用三角函数来刻画？你能举出一些符合三角函数规律的实际模型吗？在本节课中，你经历了怎样的学习过程，涉及哪些数学思想方法，还有哪些其它方面的收获？
预设答案：利用三角函数刻画周期性现象，就是要找出这一现象中哪两个变量满足“当其中一个变量增加相同的常数时，另一个变量的值重复出现”，并求出这两个变量之间满足的三角函数关系．物理中的简谐运动和交变电流都是理想当中的三角函数模型．在本节课的学习中，我们经历了由一般到特殊，由抽象到具体学习过程，涉及到数形结合思想和数学建模思想．
设计意图：在回顾本节课所学内容和学习经历，感悟数学思想方法的基础上谈收获，进一步提升学生的学习体验．
（四）布置作业
教科书习题5.7第1，2题．
（五）目标检测设计
1．某简谐运动的图象如图所示，试根据图象回答下列问题：
（1）这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？
（2）写出这个简谐运动的函数解析式．
预设答案：（1）振幅是3，周期是4，频率是；（2）．
设计意图：考查学生利用三角函数刻画简谐运动，学会由三角函数模型的图象得到函数解析式．
2．弹簧振子以点O为平衡位置在B，C间做简谐运动，B，C相距20 cm，某时刻振子位于点B，经0.5 s振子首次到达点C．求：
（1）振动的周期和频率；
（2）振子在5 s内通过的路程及此时位移的大小．
预设答案：
（1）设振幅为A，则2A=20 cm，A=10 cm，设周期为T，则=0.5 s，T=1 s，f=1 Hz．
（2）振子在1T内通过的距离为4A，故在l=5s=5T内通过的距离s=5×4A=20A=20×10 cm=200 cm=2 m，5 s末物体处在点B，所以它相对平衡位置的位移为10 cm．
设计意图：考查学生利用三角函数刻画简谐运动，根据实际构建三角函数模型处理问题．