数学人教A版（新课标）高中必修第一册 《二倍角的正弦、余弦、正切公式》参考教案

《二倍角的正弦、余弦、正切公式 》
本课时涉及的内容为两角和与差的正弦、余弦、正切公式的后继，是和角公式的一种特殊情形．至本课时，三角函数运算的核心内容已全部涉及，直接为各种三角函数恒等变换及其应用问题，及必修五解三角形问题作基础．
在此之前，学生已经掌握了和角公式及其证明，并在公式证明过程中，反复体会换元法的使用，为本课时的学习提供了知识与方法的铺垫．
在本课时的学习中，数学推理能力是找到公式证明的正确方向的保证，数学运算能力是确保证明演算完全正确的必要条件．
1．识记公式
，以及 ，能套用公式求出给定角的三角函数值；
2．能独立叙述公式的证明过程，知道确定证明思路的理由；
3．经历证明思路的形成与确定过程，及在思路指引下的演算过程．
教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角的正弦、余弦和正切公式；
教学难点：二倍角的理解及其灵活运用．
1．教学问题
（1）学生对三角函数式中的次数不敏感，面对高次三角函数式容易产生迷茫；
（2）部分学生在套用旧公式证明新公式时，无法迅速确定新旧公式间的联系．
2．教学支持条件
学生自有教材、笔记本，数学实验室配有平板电脑及科大讯飞课堂交互系统．
【问题1】学习三角函数，必须能够解决函数性质问题． 对于函数（1），（2），你能直接写出这两个函数的定义域、值域、单调区间、最值、奇偶性、周期性等性质吗？如果能，请写出结果；如果不能，请思考如何解决，并写下你的思路，并拍照上传．
【设计意图】函数（1）是一个基本的三角函数性质问题，一般学生都可以快速给出解答；学生如果学生不知道倍角公式，往往会采用复合函数的性质来讨论函数（2），不一定能直接给出答案，引起学生思考．
【师生活动】
函数（1）不是本问题的重点，教师直接列出结论即可．
定义域，值域，单调增区间，单调减区间，当 时取最大值1，当时取最小值-1，偶函数，最小正周期．
函数（2）的思路形成是本问题的重点，在必修一和本册教材第一章的学习中有一定积累的学生会考虑采用复合函数的性质来讨论，即令函数，，复合函数即为函数（2）．根据复合函数的性质，定义域，值域非常好确定；最大值1，最小值0好确定；由于与均为偶函数，从而也是偶函数；由于，从而，由此可得最小正周期为；最后考虑单调性，由于在上递减，在上递增，在（，下同）上取正值，在上取负值，且单调递减，从而由周期性归纳得函数（2）在上递减，上递增．其中，周期性和单调性均需要一定的时间思考和演算，对于不熟练的学生较容易出错，或难以在短时间得到结果．教师可以根据学生上传的答案，选取能写出思路或结论的学生，通过与个别学生的对话，指出两者差异的根本原因．
教师：“显而易见，给出函数（1）的基本性质要比函数（2）容易得多，你能谈谈你所理解的缘由吗？”
学生：“函数（1）是我们在第一章学过的函数形式，可以直接套用第一章的结论．函数（2）必须要用到复合函数的性质进行推导．”
教师：“为何函数（2）必须要用到复合函数的性质进行推导呢？”
学生：“因为函数（2）中出现了余弦值的平方，但我们学过的都是一次的情形，无法直接套用．”
教师：“如果能把函数（2）中的二次降为一次，则可以考虑直接套用第一章的结论对吗？”
学生：“对的．”
教师：“那下面我们就来验证一下降次这个想法是否可行．”
【问题2】验证公式．
【设计意图】余弦倍角公式可以达到上一问题的目标，因此先验证余弦倍角公式．学生在教师的逐步指引下独立解决问题，这样可以引起顿悟，获取更深刻的经验．
【师生活动】
（1）与公式是否可以存在联系？如果有，请直接用等式表述，并将自己的答案拍照上传．
如若大多数学生稍加思索便能写出的结论，则可以直接进入下一环节，此结论可以作为板书呈现给学生，否则教师需对学生进行提示．
教师：“我们在说两个代数式之间的联系时，往往指的是其中一个能否用另一个的形式来进行书写．显然，我们所需要寻找的联系就是能否写成余弦和角公式的形式，根据，这种联系是存在的，即，进而可以知道．”
（2）与是否存在某种联系？如果有，请用一个等式来表示，并将自己的答案拍照上传．
平方关系是学生耳熟能详的一个公式，绝大多数学生能将代入结论式中得到的结论，此结论可作为板书进行呈现．
（3）那么再考虑【问题一】，你现在能实现把函数（2）中的二次降为一次这一想法吗？
只需将上一个问题的结论式套用等式的基本性质便可以得到即为本问题答案，不涉及换元，因此教师只需通过投票的方式确认学生想到答案的比例即可，可要求个别学生口答，保证所有学生知道答案．
（4）那么现在，你能直接写出的基本性质吗？举一反三，你能直接写出的基本性质吗？
由上一环节的结论，可直接套用第一章的结论．将代入可得，进而得到的结论．这里并不涉及换元法，计算过程也非常简单，教师只需通过投票方式确认学生想到答案的比例即可，可要求个别学生口答，并渐次展示下表，保证所有学生知道答案．
函数 定义域 值域 增区间 减区间 最大值 最小值 奇偶性 最小正周期
1 0 偶函数
1 0 偶函数
（5）你能将我们刚才得到的一系列结论，用一个公式的形式来呈现吗？如果可以，请写下并拍照上传．
公式之所以成为公式，是因为它具有一般性，有极强的代表性，这也是数学研究所追求的目标之一．解决了问题如果不加以归纳形成公式，则并不利于将结论应用于解决其他问题中．归纳能力较强的学生能将本问题各环节中的结论总结为公式，教师可通过展示学生上传的公式，给出此公式，并要求学生将其记录在教材P132和P133相应方框内．
【问题3】验证公式和．
【设计意图】通过问题，补全公式，让学生自己获取公式的证明过程，帮助他们加深印象．
【师生活动】
教师：“根据上一个问题的结论，我们发现可以用的三角函数值来表示，那么和是否也可以用的三角函数值来表示？若能，请将结论写在教材P132相应方框内并拍照上传．”
学生根据和角公式得到结论并不难，对于公式验证的演算过程，教师仍需通过多媒体进行展示，统一演算过程．
，
．
教师：“我们把用的三角函数值来表示，和的公式称为倍角公式．”
【问题4】
（1）已知，，求，，；
（2）在△中，，，求的值．
【设计意图】（1）可以通过直接套用公式解答，（2）则是倍角公式与和角公式的综合应用，且根据公式应用顺序的不同，有两种解法．
【师生活动】
教师可将练习推送给学生，学生完成拍照后上传，以便教师了解学情．教师既可以直接利用书写过程较好的学生作品进行点评，也可以点评学生作品后展示自己的过程．点评时，需要引导学生正确使用数学语言，解答过程言简意赅．
（1）解：由，得，又，所以．
于是；
；
．
（2）解法1：在三角形中，由，，得．
所以，．
又，所以．
于是．
解法2：在三角形中，由，，得．
所以，又，所以．
于是．
【本课小结】
学习了倍角公式，学生在复习时应将所有三角函数公式联系起来，思考，二倍角公式与以前学习的三角函数公式有何联系，其所处的地位应该在哪里？
习题检测
完成教材相关习题．