数学人教A版（新课标）高中必修第一册 《5.1.2弧度制》参考教案

《弧度制》
通过类比长度、重量的不同度量制，使学生体会一个量是可以用不同的单位制来度量的．在单位圆中，弄清1弧度的角的含义，了解弧度制，并能进行弧度制与角度的换算，同事体会到角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系．遵循了学生的知识发展过程，由浅入深，由已有的知识过渡到未知的知识，让学生体会到探索新知识的乐趣．
1．从长度、重量的不同度量制入手，使学生体会到同一个角度是可以用不同的单位制度量．
2．结合单位圆，弄给出1弧度角的定义，了解弧度制．
3．引导学生建立角的弧度数的绝对值与圆的半径、弧长的关系．
4．引出弧度制后，应与角度制进行对比，进行互化．
教学重点：从现有不同度量制入手，引出弧度制，弧度制与角度制之间的转化．
教学难点：弧度的概念．
1．教学问题
（1）弧度制的引入及1弧度角的定义是我们的第一个问题．1弧度角的概念是如何产生的？怎么理解？这是一种新的度量角的方式，是学生很难理解的．我们在单位圆中，采用数形结合的方式给出定，学生较易接受．
（2）一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径的大小无关，这是我们遇到的第二个问题．解决这个难题，我们采用几何画板作图对比即可．
（3）角度制和弧度制之间的转化是我们的第三个数学问题．弧度制是一个新生概念，学生对此毫无感觉，如何转化，计算公式复杂，非特殊角的转化计算量大．所以，我们在教学过程中注意反复训练就可以了．
2．支持条件
（1）如何表示1弧度的角的概念是教学的难点．我们采取了圆内解决问题的方式，可以简单、直观的解决．
（2）角的弧度数、半径、与弧长之间的关系也是学生们感觉较难的部分，利用几何画板作图，让学生在直观的基础上再进行归纳总结，会符合学生的认知特点．
【问题1】角是如何定义的？
【设计意图】
由学生熟悉的知识入手，设置思维冲突，引入自然．
【师生活动】
（1）初中几何研究过角的度量，当时是用度来做单位度量角的．那么，角是如何定义的？
（2）我们来度量一个人的体重，可以用哪些度量制呢？
【问题2】 角度为度，度的圆心角，当半径时，分别计算对应的弧长，再计算弧长与半径的比．并根据上述结果，你能发现什么规律？
【设计意图】
引导学生发现圆心角固定时，弧长与半径的比值是一个定值，为弧度制的定义做好铺垫．
【师生活动】
（1）复习初中学过的弧长公式．
（2）学生应该很轻松解答第一个计算问题．
， 时，，
时，，
时，，
时，，
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时，，
时，，
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（3）教师提出第二个问题：学生小组讨论，发现规律：圆心角不变则比值不变．
（4）由于比值的大小只与角的大小有关，我们可以利用这个比值来度量角，这就是度量角的另外一种单位制——弧度制．
（5）教师给出定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．它的单位符号是，读作弧度．这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．
【问题3】：如果一个半径为的圆的圆心角所对的弧长是，那么的弧度数是多少
【设计意图】
给出本节课的核心公式，并指出公式成立的原因，使用时注意的问题．
【师生活动】
（1）教师提出问题，学生回答问题：角的弧度数是：，其中是圆心角所对的弧长，是半径．
（2）教师补充：由于角终边的旋转可以按着顺时针、逆时针方向，即角有正角、负角之分，所以改为角的弧度数的绝对值是：，其中是圆心角所对的弧长，是半径．
（3）例题1、如图，半径为的圆的圆心与原点重合，角的终边与轴的正半轴重合，交圆于点，终边与圆交于点．请完成表格．
弧的长 旋转的方向 的弧度数 的度数
逆时针方向
逆时针方向
【问题4】弧度制与角度制之间有怎样的换算关系？
【设计意图】
利用角度制与弧度制之间的关系引出互化，掌握互化的标准．
【师生活动】
（1）教师给出填空：，度？学生完成填空： 1°＝≈0．01745rad，1rad＝（）°≈57．30°＝57°18’．
（2）教师板书角度制与弧度制互化公式：
（3）教师：角的概念推广后，无论用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数与它对应，例如这个角的弧度数或度数；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角与它对应，就是弧度数或度数等于这个实数的角．
【问题5】下面的例题中分别使用了本节课的哪些知识与方法？
（1）例2、把化成弧度
【设计意图】
巩固角度制、弧度制互化．
【师生活动】
解：
∴
例3、利用弧度制证明下列关于扇形的公式：
（1）； （2）； （3）．
其中是半径，是弧长，为圆心角，是扇形的面积．
【设计意图】
巩固并熟悉弧度制，同时弧度下的扇形弧长、面积公式非常简单，这也是引入弧度制的一个理由．
【师生活动】
教师拍照展示学生的证明过程并点评．
习题检测：
1．课中检测
通过3个例题检测学生理解情况，注意及时收集学生反馈．
2．课后检测
请完成课后练习，检测学习效果．