数学人教A版（新课标）高中必修第一册 《5.5.1简单的三角恒等变换》参考教案

《简单的三角恒等变换（1）》
本节主要包括利用已有的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用，本课时则是运用三角函数公式进行简单的三角恒等变换的起始课，帮助学生认识三角变换的特点，并能运用化归思想指导整个变换过程的设计，提高从整体上把握变换过程的能力，加深学生对变换过程中体现的换元法、逆向使用公式等数学思想方法的认识，提高数学推理和数学运算能力．
在此之前，学生已经掌握了两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并了解它们的内在联系，为本节课运用这些公式进行简单的恒等变换提供了知识与方法的准备．
1．通过推导半角公式，引导学生对变换对象和变换目标进行类比和归纳；
2．促使学生形成对推导过程中如何选择公式、如何根据问题的条件进行恒等变换的认识．
教学重点：推导半角公式．
1．教学问题：
（1）推导过程中，学生对如何选择公式产生困难；
（2）推导过程中，学生对变换过程的整体把握能力较弱．
2．教学支持条件：科大讯飞“智慧课堂”．
【问题1】请用不同的方法，表示出，其中只含的正弦或余弦．
【设计意图】通过倍角公式，为半角公式的推导做铺垫．
【预设师生活动】
（1）学生在“智慧课堂”上传结果．
（2）教师选取学生的典型过程展示，与学生展开讨论．
（3）教师提问：同学们用了三种不同的方法来表示出，请大家观察“”和“”这两个公式，它们与“”有什么不同？
（4）学生讨论得出结论：前者分别只用到了的余弦或正弦，后者两个都用到了．
【问题2】用表示．
【设计意图】通过倍角公式，结合换元法，推导半角公式．
【预设师生活动】
（1）教师提问：①与有什么关系？与学生讨论得出结论——前者是后者的两倍，后者是前者的一半．
（2）教师提问：②我们能否通过倍角公式，用含的余弦或正弦，来表示？
③反过来，我们又如何通过表示和？
（3）学生在“智慧课堂”上传结果，教师选取学生的典型过程展示，与学生展开讨论．
（4）教师提问：④与有什么关系？
⑤如果不通过，能否参照问题2的方法推导？
（5）学生讨论得出结论——利用正切的倍角公式．
【问题3】求证：．
【设计意图】类比半角公式的推导过程，进行简单的三角恒等变换．
【预设师生活动】
（1）教师：这是一个连等式，同学们可试着自行选择其中一个等式先证明．
（2）学生在“智慧课堂”上传结果．
（3）教师选取学生的典型过程展示，与学生展开讨论．
【问题4】计算：．
【设计意图】应用半角公式，进行简单的三角恒等变换．
【预设师生活动】
（1）教师：这里出现的余弦都是二次的，我们是否有公式可以起到“降幂”的作用？
（2）学生讨论得出结论：利用半角公式．
（3）学生在“智慧课堂”上传结果．
（4）教师选取学生的典型过程展示，与学生展开讨论．
《简单的三角恒等变换（2）
本节主要包括利用已有的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用，本课时则是运用两角和与差的正弦公式进行简单的三角恒等变换，帮助学生认识三角变换的特点，并能运用化归思想和方程思想指导整个变换过程的设计，提高从整体上把握变换过程的能力，加深学生对变换过程中体现的换元法、逆向使用公式等数学思想方法的认识，提高数学推理和数学运算能力．
在此之前，学生已经掌握了两角和与差的正弦公式，并了解它们的内在联系，为本节课运用这些公式进行简单的恒等变换提供了知识与方法的准备．
1．通过推导两角的正弦与余弦之积化两角的正弦之和（下称“积化和”）以及两角的正弦之和化两角的正弦与余弦之积（下称“和化积”），引导学生对变换对象和变换目标进行类比和归纳；
2．促使学生形成对推导过程中如何选择公式、如何根据问题的条件进行恒等变换的认识．
教学重点：推导“积化和”与“和化积”．
1．教学问题：
（1）推导过程中，学生对如何选择公式产生困难；
（2）推导过程中，学生对变换过程的整体把握能力较弱．
2．教学支持条件：科大讯飞“智慧课堂”．
【问题1】请表示出和，其中只含的正弦或余弦．
【设计意图】通过两角和与差的正弦公式，为“积化和”的推导做铺垫．
【预设师生活动】
（1）学生在“智慧课堂”上传结果．，教师选取学生的典型过程展示并点评．
【问题2】通过问题1的两个式子，你能得到什么恒等式？
【设计意图】通过两角和与差的正弦公式，推导“积化和”．
【预设师生活动】
（1）教师提问：问题1中的两式相加，可以得到什么结论么？
（2）学生在“智慧课堂”上传结果，教师选取学生的典型过程展示，与学生展开讨论．
（3）教师提问：问题1中的两式相减呢？还可以得到什么结论么？
（4）学生在“智慧课堂”上传结果，教师选取学生的典型过程展示，与学生展开讨论．
（5）教师提问：我们得到了和的恒等式，它们之间能否互相推导？
（6）学生在“智慧课堂”上传结果，教师选取学生的典型过程展示，与学生展开讨论．
【问题3】通过问题1的两个式子，结合换元法，你还能得到什么恒等式？
【设计意图】通过两角和与差的正弦公式，推导“和化积”．
（1）教师：同学们可试着用换．
（2）学生在“智慧课堂”上传结果，教师选取学生的典型过程展示，与学生展开讨论．
【问题4】求证：（1）；
（2）．
【设计意图】进行简单的三角恒等变换．
【预设师生活动】
（1）学生在“智慧课堂”上传结果，教师选取学生的典型过程展示，与学生展开讨论．
【问题5】求证：．
【设计意图】进行简单的三角恒等变换．
【预设师生活动】
（1）学生在“智慧课堂”上传结果，教师选取学生的典型过程展示，与学生展开讨论．
《简单的三角恒等变换（3）》
本节主要包括利用已有的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用，帮助学生认识三角变换的特点，并能运用化归思想和方程思想指导整个变换过程的设计，提高从整体上把握变换过程的能力，加深学生对变换过程中体现的换元法、逆向使用公式等数学思想方法的认识，提高数学推理和数学运算能力．
1．引导学生对变换对象和变换目标进行类比和归纳；
2．促使学生形成对推导过程中如何选择公式、如何根据问题的条件进行恒等变换的认识．
1．教学问题：
（1）推导过程中，学生对如何选择公式产生困难；
（2）推导过程中，学生对变换过程的整体把握能力较弱．
2．教学支持条件：科大讯飞“智慧课堂”．
【问题1】化简：．
【设计意图】两角和的正弦公式的逆应用．
【预设师生活动】
（1）学生在“智慧课堂”上传结果．，教师选取学生的典型过程展示并点评．
【问题2】已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）若，求求的最大、最小值．
【设计意图】两角和的正弦公式的逆应用（辅助角公式）．
【预设师生活动】
（1）学生在“智慧课堂”上传结果．，教师选取学生的典型过程展示并点评．
【问题3】已知函数，，其图象过点．
（1）求的值；
（2）将函数的图象上各点的横坐标缩小为原来的一半，纵坐标不变，得到新的函数的图象，求函数在上的最大、最小值．
【设计意图】两角和的正弦公式的逆应用（辅助角公式）．
（1）学生在“智慧课堂”上传结果，教师选取学生的典型过程展示，与学生展开讨论．
【问题4】已知向量，，函数的最大值为6．
（1）求的值；
（2）将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上的各点的横坐标缩小为原来的一半，纵坐标不变，得到新的函数的图象，求函数在上的值域．
【设计意图】两角和的正弦公式的逆应用（辅助角公式）．
（1）学生在“智慧课堂”上传结果，教师选取学生的典型过程展示，与学生展开讨论．