数学人教A版（新课标）高中必修第一册 《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》参考教案

《两角和与差的正弦、余弦和正切公式 》
第一课时
1．教学内容
（1）概念原理：公式；
（2）思想方法：消元、数形结合、坐标法
（3）核心素养：数学推理、数学建模
2．内容解析
本课时是三角函数中涉及多个角的三角函数值转化问题及解答策略的起始课．以本节课为起点，学生将逐步掌握和角与差角系列公式，学会解决通过两个或多个已知角求未知角相关结论的各种问题，并直接为必修五中解三角形问题作基础．
在此之前，学生已经掌握了任意角的三角函数的相关概念及诱导公式，掌握了平面向量的相关概念，能进行平面向量的作图和运算；也知道面对三角函数值的求解问题时，需要使用将未知与已知通过转化联系在一起的策略，为本课时的学习提供了知识与方法的储备．
本课时在学习过程中，需要综合运用所学的知识与思想解决问题，要求学生有一定的推理与建模的能力．
教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；
教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用．
1．识记公式，能运用公式求两个已知角的差的余弦值；
2．能独立叙述公式的证明过程，知道如何确定公式的形式；
3．经历和（差）角公式的背景问题的提出与确定问题模型过程，体验数学问题的产生、归纳、联系、初步形成解答策略的过程．
1．教学问题
（1）学生在遇到问题时可能难以将其迅速与学过的知识相联系，形成策略；
（2）学生不太会归纳问题，找到问题间的想通点，形成问题模型；
（3）学生不擅长在解决一个问题时运用不同数学分支的知识．
2．教学支持条件
学生自有教材、笔记本，数学实验室配有平板电脑及科大讯飞课堂交互系统．
【问题1】在章头图中，给出了这样一个问题：
某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上，如图所示，小山高约为30米，在地平面上有一点，测得，两点间距离约为米，从点观测电视发射塔的视角（）约为45°，求这座电视发射塔的高度．
【设计意图】本问题是教材中3．1节的起始问题，通过实际问题引出“能不能由45°和的三角函数值求得呢”和 “当和为任意角时，能不能用，的三角函数值把或的三角函数值表示出来呢？”两个数学问题，从而开启本章的学习．
【师生活动】
（1）给定米，此时，给出提示，要求学生简要回答该问题并拍照上传．
如右图所示，若，则本问题是一个初中三角形的性质的问题，学生可以解答，解答思路如右图所示，对应，等于45°，即为所求．如果有学生能给出解答，则可以直接根据学生拍照上传的答案进行展示；若没有学生给出解答，教师可展示右图作为提示，完成本问题的解答．
本问题不宜花时间超过三分钟，主要是设置一个“可解答”的对照，因此“可解答”这一特征需要点出．
（2）提问学生若为其他数值时，根据已有的知识，是否能给出解答，可考虑发起投票．
学生若没有学过本节，对于本问题的反馈可能是多种多样，部分学生会陷入迷茫，直言无法给出解答；部分学生会将问题与诱导公式相联系，参考诱导公式的证明尝试作图寻找思路．经过短暂思考后，投票的结果预计大多数为“不能”，教师籍此示范确定问题模型的过程．注意叙述的语言尽量紧扣教材．
教师：本问题虽然条件和问题中既包含了线段长度和角的大小的条件，但根据第一问的解答，用和的三角函数值求出的三角函数值才是突破问题的关键．那么，这里当为其他数值时，我们还是要解决能不能由45°和的三角函数值求得的问题；即使不能直接求得的值，也应该问问自己，能不能先求出正弦和余弦值，再来求出正切值．如果再把目光放得更长远一点，如果已知两个角和的三角函数值，我们会用它们把或的三角函数值表示出来，那么本问题就是可以给出解答的了．注意：红色底纹字部分，是本节课的核心思路，务必通过板书呈现．
借此思路，我们再来看另外一个类似的问题．
【问题2】某位同学在求解的时候提出了下列两种思路，请根据思路完成求解：
①构造一个含有的直角三角形来求解；
②在直角坐标系中构造的角，并利用第一章和第二章学过的知识求解．
（提示：）
【设计意图】此问题承上启下，既与前面问题类似，突出“帮助学生归纳问题模型”的目标，又贴合公式．本问题将比较初中知识背景的思路和高中知识背景的思路，突出使用新知识时的优势．
【师生活动】
（1）针对不同情况的学生，建议本问题考虑两种不同的方式推送给学生．如果学生思维灵敏，可直接在课堂上推送给学生思考，否则可以事先将问题1（1）和问题2作为预习作业下发给学生完成．
学生在参考思路①解答时，会有较多不同的思路，例如
此处教师需要总结，同学们的思路是殊途同归的，若要构造含有的直角三角形，必须利用到和特殊角的差值关系，而且如果角的大小发生改变，方法会失效．
学生在参考思路②解答时，也会有不同思路，部分学生会采用教材P125的思路解决，部分学生会采用向量法解决．如若没有学生采用向量法，教师可将向量法的证明在此处进行演示．
由，可得，那么根据向量的内积公式，代入数据可得
．
（2）学生有了用不同方法解决问题的经历，有对比形成的真切体会，会形成自己的观点．教师可就此稍作推广，如求“”，及“给定第一象限角和满足，求”这样的问题，并发起投票，问题学生会选取哪一种思路进行解答．
投票结果，思路②的支持者会占大多数，且思维灵活的学生能够根据教师的演示，得出下面的结论：
，
，
这里的结论式可以由学生给出，教师纳入板书．
（3）至此，教师可引出公式．教师展示给学生的板书应为三个结论式并列的情形，以便学生观察结论式，找到共同点，归纳公示，如下
教师通过与个别学生的对话，引出公式，其他学生同样是对话的参与者，经历了归纳公示的思维过程．
教师：观察三个结论式，它们对应的问题是类似的，结论式的形式是否也有共同点？
学生：结论式等号的左边都是两个角的差的余弦值，右边都是先求这两个角的余弦值的积，再求它们正弦值的积，最后把两个结果加起来．
教师：那这里参与运算的两个角，它们有限制条件吗？
学生：一开始我觉得可能必须是某些特殊角，但是看了第三个结论，我觉得可能没有吧．
教师：好，那上面的结论式中能不能选一个出来，作为通用的公式吗？
学生：我就选第三个结论式吧．
教师：好，那么我们这里就归纳出了一个公式，下面还要验证一下，看这个公式是否具有通用性．
【问题3】我们能用刚才使用的方法验证等式当为任意角时的是否成立吗？
【设计意图】教师带领学生体验公式形成与证明的过程，感受数学推理过程中的思维活动．
【师生活动】
教师须提醒学生，为证明公式具有通用性就必须考虑到所有的情况，前面的问题中，涉及的角都没有超过±360°，角与的终边位置，也需要分情况讨论．
公式的证明过程，教师可带领学生共同解答问题，也可以通过与个别学生对话的方式呈现，务必附上板书，教师须注意证明过程紧扣教材．
如上图所示，，的夹角为．但由于角与的终边位置分两种情况，也就是说或，注意通过板书表现加和减的情况与图形间的对应关系．所以
；
最后利用向量的数量积建立等式
，
即
从而得证．提醒学生，阅读教材并作相应的标记．下面我们将再看几个问题，熟悉一下利用公式进行计算的过程．
【问题4】①已知，求的值；
②已知，，是第三象限角，求的值．
【设计意图】紧扣课本例题与练习，即时训练，通过应用公式来巩固公式．
【师生活动】
教师可将练习推送给学生，学生完成拍照后上传，以便教师了解学情．教师既可以直接利用书写过程较好的学生作品进行点评，也可以点评学生作品后展示自己的过程．点评时，需要引导学生正确使用数学语言，解答过程言简意赅．
解：①∵，∴，
∴．
②∵，∴
∵，是第三象限角，∴，
∴．
【问题5】①已知，求；
②已知，求．
【设计意图】这里涉及到了运用换元的思想，需要分析角的取值范围及三角函数值的符号，将难度略微提升．本质仍然是公式的直接应用．
【师生活动】
教师可将练习推送给学生，学生完成拍照后上传，以便教师了解学情．教师既可以直接利用书写过程较好的学生作品进行点评，也可以点评学生作品后展示自己的过程．这里许多学生会忽视三角函数值的符号，需要教师强调．点评时，需要引导学生正确使用数学语言，解答过程言简意赅．
解：①∵，∴，
∴，
∴；
②∵，∴，∴，
∴=或．
学习了公式，经历了利用单位圆和向量工具推导出本公式的整个过程，尝试了用公式计算给定角的三角函数的问题．复习时，需要思考如下两个问题：①我们如何在课堂归纳提出“当和为任意角时，能不能用，的三角函数值把或的三角函数值表示出来呢？”的问题；②我们在证明公式的过程中用到了哪些知识点，在使用这些知识点时涉及了哪些数学思想方法；③我们如何确定我们解决问题所需要的公式是．
第二课时
1．教学内容
（1）概念原理：公式
分别简称，，，，
（2）思想方法：换元
（3）核心素养：数学推理、数学运算
2． 内容解析
本课时是本章中学生需要识记的内容最多的一个课时，主要内容为涉及多个角的三角函数值转化问题及解答策略．本课时的学习结束后，学生已经基本掌握了“用已知角的三角函数表示未知角的三角函数”这一问题的核心策略和绝大多数可用工具，即是后续更多三角恒等变换问题的基础，也是解三角形问题的基础．
在此之前，学生已经掌握同角正弦、余弦、正切值的相互转化方法，三角函数诱导公式，两角差的余弦公式（简称）；也知道换元等代数式化简的基本运算思想，为本课时的学习提供了知识与方法的储备．
本课时在学习过程中，需要反复运用换元法的思想，对学生的数学运算能力提出了一定的要求，值得深入思考，深度学习．
1 ．识记公式，，，，，能按照问题需求运用公式求两个已知角和、差的三角函数值；
2．能独立叙述公式的证明过程；
3．知道公式，，，，，之间的逻辑顺序，并用框图表示．
1． 教学问题
（1）学生刚接触三角恒等变换的计算，不具备换元的使用技巧；
（2）学生不一定具有根据逻辑对概念原理进行归纳整理的能力．
2． 支持条件
学生自有教材、笔记本，数学实验室配有平板电脑及科大讯飞课堂交互系统．
【问题1】上节课我们开始时提出了问题，“如果已知的三角函数值，我们能不能表示出的值呢？”结合上节课学习的两角差的余弦函数公式，你认为我们目前能否解决这个问题？如果能，请写出简单思路；如果不能，你认为还需要怎样的数学工具？请简要写下自己的想法．
【设计意图】由于和角公式和差角公式是一个整体，因此紧密联系3．1节前两个课时，是很有必要的．对于本课时，用上节课的问题进行引入，一来可以达到联系两个课时的目的，提醒学生回顾上节课所学知识与思想；二来可以提示学生，我们所获取的公式暂时还未能完全解决我们所要解决的问题，即本节课的主要内容即是公式的证明与熟悉．
需要注意的是，不同层次的学生，对于这类开放性的问题，其回答可能会存在一定的差异，对此，需要教师借助交互平台快速了解学生的答案．
【师生活动】
教师将问题推送给学生，对于问题“你认为我们目前能否解决这个问题”，应使用投票功能；对于问题“如果不能，你认为还需要怎样的数学工具”，则需要学生回答后拍照上传．教师根据学生的答案进行评述，引出“我们需要更多公式”的结论．
具有代表性的学生答案有：
①不能，为两个角的和，而解决的是两角差的问题，需要两角和的公式；②可以，，可用求出，再求出，最后求出；
教师：“②答案的思路可行，唯一的遗憾是在求时涉及无理式的计算，可能会比较繁琐，如果能像①答案所言，有计算简便的两角和的公式就更好．”
【问题2】尝试用和的三角函数值表示．
【设计意图】通过证明较简单，换元方法较直白，易理解，且从逻辑上联系最紧密，符合循序渐进的教学原则．
【师生活动】
新的问题一定是从旧的问题上生长出来的，因此，给予学生提示，帮助他们找到新旧问题间的相互联系，是帮助学生找到解决问题突破口．这里，需要落实两个点，一是在三角恒等变换中，换元仅仅对角进行；二是三角函数名是随着计算自动转换的．
（1）你认为与之间是否存在联系，如果有，请用一个等式来描述；
教师：“我们在说两个代数式之间的联系时，往往指的是其中一个能否用另一个的形式来进行书写，由此与之间联系为．”这句话可以要求学生作为笔记记录．
（2）你认为（1）中结论能代入中使用吗？若能，请写出来，并仿照公式进行进一步运算．
完整运算过程为
如果学生在进行进一步运算时有困难，教师需要通过板书，展示这个过程，即算给学生看．
教师：“经过计算，我们发现确实用和的三角函数值可以表示，这个公式就是，在教材的第128页．”
（3）那么现在，求出的问题我们推进到了哪一步？
本问题起承上启下的作用，引出两角和与差的正弦公式的证明．这里可以通过个别学生口答的方式快速完成．
学生：“我们可以直接求出，再求出，最后求出．”
教师：“思路很好，但是你在求时，是否仍需要开一次方？”
学生：“是的．”
教师：“那么这里还是要开方，我们证明公式就是为了不开方对不对？”
学生：“对，所以如果能将用和的三角函数表示，那么就不用开方了．”
【问题3】尝试用和的三角函数值表示和
【设计意图】根据循序渐进的原则，两角和与差的正弦公式是紧接着余弦公式的，其证明难度有所提高，主要在于换元方法不够直白．
【师生活动】
（1）你认为与间是否存在联系，如果有，请用一个等式来进行描述．
教师可要求学生将写下的等式拍照上传，并对答案类型进行简要统计．学生对于这个问题的回答一定不唯一，且很大一部分学生从平方和为1的角度来回答．
教师：“我们如果选取同角正弦值与余弦值的平方和为1的角度来回答，那么我们的计算中是不是又要出现开方运算？所以这个角度肯定是不合适的，而且诱导公式也可以反映同角不同名的三角函数值之间的关系，我们这里需要的就是公式”
（2）根据提示，请你参考公式尝试将改写成为余弦值的形式，并仿照公式进行进一步运算．
此处涉及的换元法只有少部分学生能想到，因此，教师可以给两到三分钟学生自主思考，并通过投票或举手的方法进行统计．由于教材上也没有演算的过程，教师在此处必须将证明方法通过板书的形式进行展示，同时要求学生进行记录．
教师：“对于这一步大家都能较快写出来，但是接下来的决策就出现了分歧．中出现了三个角，而我们的和角公式里面只有两个角，也就是说我们必须再进行一次组合，把其中两个角的和或差看作一个角，才能运用公式进一步运算．由于利用公式展开后，肯定得出现在不同的三角函数值中，它们是被分开了，所以我选择将进行组合，这样就被分配到两个角中了，也就是把它们分开了．
计算过程如下
，
最后我们可以得到公式．请同学们记录在在教材第128页最下面的方框内．”
（3）请同学们仿照刚才的演算过程，将也用和的三角函数值来表示，提示：可以借助公式．
此处可不必占用太多时间，但教师仍需要要求学生将演算过程拍照上传．如果班级中只有少部分学生能顺利得出结论，教师仍需板书演算过程并要求学生记录．
=
．
（4）那么现在，求出的问题我们推进到了哪一步？
此时应借助本问题对前面的内容进行整理，再进入正切公式的学习．教师依旧可以用与个别学生对话的方式进行过渡．
学生：“我们现在可以直接根据公式求出和，再将它们的值相除即可得到结论了．”
教师：“对．其实吧我们这个问题在课堂一开始就解决了，我们一直在做的是对解决方案进行优化，尽量不开方，尽量减少复杂的运算．那这样的话，我们现在的方案还能优化吗？”
学生：“应该不能了吧，除非或者也能用和的三角函数值来表示．”
教师：“确实，如果可以的话，我们就只需要套用一次公式就够了，方案似乎又优化了．”
【问题4】尝试用和的三角函数值表示和
【设计意图】根据和角公式和差角公式间的逻辑联系，两角和与差的正切公式应放在最后学习，并对公式进行小结．
【师生活动】
（1）尝试参考和借助前面的公式，用和的三角函数值来表示和．
这个问题教师应要求学生将演算过程拍照后上传，学生得到的答案很大可能并不统一，有的学生会得到如的结果，而另一部分则会将其转化成为正切的形式，即课程标准中的形式．因此才需要通过展示不同的学生答案，教师进行归纳统一．
教师：“因为和都是正切的形式，所以为了追求形式统一，我们取和作为两角和与差的正切公式．”
（2）我们又证明了两个新的公式，这样会影响你记忆前面的公式吗？尝试将这两节课学过的公式整理到一起列出来，并试着用箭头表示我们用哪个公式可以证明哪个公式．
本问题教师可以与全班同学共同完成，教师以板书的形式列出公式，公式及逻辑联系由学生给出，教师通过提示逐渐补充完整．这里可以接受的是列公式时的先后顺序与课堂学习的顺序略有不同，但公式和公式间逻辑关系必须完整，完整结论可以参考教材第129页的框图．同时“和角公式”和“差角公式”的叫法也应在整理的过程中进行传达．
教师也可以借助一些提示问题帮助学生对知识结构进行完善或强化记忆，如
“余弦公式里面，加减是如何对应的？”
“正弦公式里面，右边的三角函数值应如何排列？和与差的排列方式是一样的吗？”
【问题5】
（1）已知，是第四象限角，求，，的值；（2）利用和（差）角公式计算下列各式的值，①，②，③．
【设计意图】两组问题从两个方向演示了本课时公式在实际运算中的应用，其中（1）是公式的正向套用，（2）是公式的逆向套用．
【师生活动】
教师将问题推送给学生，学生完成后拍照上传，教师进行点评，并对焦点性的问题进行归因分析．如果班级学生整体较弱，教师应尽量以板书的形式展示验算的过程，并与学生共同完成．
（1）解：由，是第四象限角，得，
所以．
于是有，
，
．
（2）解：（1）根据公式，得
；
根据公式，得
；
根据公式及得
．
学习了，，五个公式及其证明，并尝试套用公式进行简单的两角和或差的三角函数计算．复习时，可以考虑如下问题：对比两角和与差的正弦、余弦和正切公式，他们在符号的对应、参与运算的三角函数值的排列顺序等上各有何特点？