数学人教A版（新课标）高中必修第一册 《三角函数小结》优秀教学设计

《本章小结》教学设计
(
教学目标
)
1．了解本章的知识结构；
2．理解本章所学的重点内容，并能对该内容从逻辑关系、研究思路与方法、所体现的思想等角度进行一定的归纳和总结．
(
教学重难点
)
教学重点：建立三角函数的知识结构，以及研究三角函数的思路与方法．
教学难点：明晰研究三角函数的思路与方法．
(
课前准备
)
PPT课件．
资源引用：【知识点解析】第五章 三角函数知识导图
(
教学过程
)
1．知识结构
问题1 学完这章内容，你能画一个本章的知识结构框图吗？
★资源名称： 【知识点解析】第五章 三角函数知识导图
★使用说明：本资源给出了本章知识结构框图，针对本章内容进行知识点梳理，有助于理解和掌握本章的知识结构．
注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．
师生活动：学生独立完成并展示交流，教师可用多媒体展示．
设计意图：通过画图可以了解学生对本章内容的掌握情况，尤其是对本章知识之间的逻辑关系．
2．研究思路
问题2 你能简单描述一下三角函数内容的研究过程和方法吗？
师生活动：学生讨论并回答，教师补充说明．
研究过程是：先将0°～360°角推广到任意角，接着学习角的另一种度量方法即弧度制，为研究三角函数做好前期准备；然后从圆周运动出发给出三角函数的定义，根据定义得出同角基本关系式和诱导公式；再借助单位圆研究三角函数的图象和性质；最后是三角恒等变换和三角函数的应用．研究方法：先抽象出定义，然后根据定义画出图象，再由定义与图象从几何直观与代数运算两个角度研究性质，最后是函数的应用，但三角函数因为其对应关系的独特性，因此研究方法中也表现出与其它函数不一样的地方，具体地来说，就是在研究概念、图象及性质的过程中，关键都借助了单位圆这一重要的工具，很好地利用了单位圆的直观性．
设计意图：不但要了解所学内容有哪些，重要的是要清楚研究的过程与方法，提高学生的思维深度和高度，这样才能真正提升学生的数学核心素养．
追问：在学习三角函数的图象与性质过程中，你清楚研究一个新函数的一般思路吗？
师生活动：学生回答．
研究函数的思路一般有两种：一是根据定义画函数图象，再结合图象研究性质；二是根据定义推导性质，再由性质画图象．在具体实践中，往往需要将两者有机地结合起来．
3．具体内容
问题3 你能对本章的主要知识点进行归纳和整理吗？
师生活动：以下问题可以分组讨论并回答．
追问1：从本章的学习中可以看到，弧度制的引入为三角函数的研究奠定了基础．你能概括一下引入弧度制的必要性吗？
师生活动：第一组讨论并选代表回答，教师加以补充．函数是两个实数集之间的对应关系，而实数采用的进位制是十进制．如果沿用锐角三角函数的做法，角的度量采用六十进制的角度制，则与函数定义的要求不符．因此，我们需要引入新的度量制，它必须是十进制，从而使三角函数的自变量、函数值都是实数；如果在角度制下定义三角函数概念，后续研究中，由自变量与函数值的度量单位不统一会引起很多麻烦；另外，周期性变化现象中的自变量不一定是角，像简谐振动、潮汐现象等的自变量是时间，所以，引进弧度制可以使三角函数在刻画现实世界中的周期现象时变得更好用；在解决实际问题时，有时需要同时应用几种不同类型的函数，有时需要进行自变量的值与函数值的运算．总之，从满足函数定义的要求，三角函数的可用性，以及有利于数学的后续发展需要等方面看，引入弧度制都有基本的重要性．
设计意图：引入弧度制作为研究三角函数的基础，一定要清楚学习它的必要性．
追问2：你能说说三角函数与幂函数、指数函数定义方法的差异性吗？
师生活动：第二组讨论并选代表回答，教师加以补充．三角函数概念的建构过程与前面各类基本初等函数概念的建构过程都不一样．幂函数、指数函数等是通过具体实例的共性归纳和抽象出来的，而三角函数概念是直接由单位圆上点的运动规律的描述得到的．另外，三角函数的对应关系不具有“运算”的背景，主要是“几何元素之间的对应”．
设计意图：理解三角函数的定义，关键是明确三角函数对应关系的“与众不同”．主要表现在不以“代数运算”为媒介．以前遇到的y=kx+b，y=ax2+bx+c，y=ax，y=logax等，都有“运算”的背景，而三角函数是“α与x，y直接对应”，无须计算．虽然α，x，y都是实数，但实际上是“几何元素之间的对应”．
追问3：单位圆在三角函数的研究中有非常重要的作用．你能借助单位圆，自己归纳一下研究三角函数的图象与性质的过程与方法吗？
师生活动：第三组讨论并选代表回答，教师加以补充．先从正弦函数入手，根据正弦的定义，借助单位圆作出正弦曲线；然后利用正弦函数与余弦函数的内在联系，通过图象的平移变换作出余弦曲线；再借助几何直观和代数运算研究正弦函数和余弦函数的性质．对于正切函数的研究，首先以正切定义为出发点，研究正切函数的部分性质；然后结合定义和这些性质，借助单位圆研究正切函数的图象；再借助图象的观察进一步获得正切函数的其他性质．
设计意图：在三角函数定义中单位圆是非常重要的载体。因此，在学习三角函数图象与性质的过程中，要体会单位圆对于研究三角函数的重要作用．
追问4：两角差的余弦公式C(α-β)不仅是和（差）角公式的基础，也可以看成是诱导公式的一般化．你能画一张本章公式的“逻辑图”吗？推导这些公式的过程中用到了哪些数学思想方法？
师生活动：第四组讨论并选代表展示．
(
C
(
α
-
β
)
C
(
α
+
β
)
C
2
α
β
换
成
-
β
β
换
成
α
S
(
α
-
β
)
S
(
α
+
β
)
S
2
α
β
换
成
-
β
β
换
成
α
T
(
α
-
β
)
T
(
α
+
β
)
T
2
α
β
换
成
α
)
(
C
(
α
-
β
)
cos(
2
k
π
+
α
)=cos
α
-
β
=
2
k
π，
k
∈
Z
cos(
π
+
α
)=-cos
α
-
β
=
π
cos(-
β
)=cos
β
α
=
0
cos(
π
-
β
)=-cos
β
α
=
π
cos(
-
β
)=sin
β
α
=
cos(
+
α
)=-sin
α
-
β
=
)
推导这些公式的过程中用到了特殊与一般、转化与化归的数学思想方法．
设计意图：通过画图，更加清楚了和角、差角、倍角的三角函数之间存在紧密的内在联系，以及诱导公式与两角和与差的公式之间的特殊与一般的关系．
追问5：函数y = A sin(ωx+φ)在刻画周期现象时有着非常重要的作用，其中参数ω，φ，A都有相应的实际意义．你能借助匀速圆周运动或其他周期现象（如简谐振动、单摆等），说明这些参数的意义，以及它们的变化对函数图象的影响吗？
师生活动：第五组讨论并选代表回答，教师加以补充．在匀速圆周运动中，ω表示角速度，φ表示初相，A表示圆的半径．
一般地，当动点M的起点位置Q所对应的角为φ时，对应的函数是y=sin(x+φ)（φ≠0），把正弦曲线上的所有点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平移|φ|个单位长度，就得到函数y=sin(x+φ)的图象．
一般地，函数y＝sin(ωx+φ)的周期是，把y=sin(x+φ)图象上所有点的横坐标缩短（当ω＞1时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的倍（纵坐标不变），就得到y＝sin(ωx+φ)的图象．
一般地，函数y＝Asin(ωx+φ)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx+φ)图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）而得到．从而，函数y＝Asin(ωx+φ)的值域是[－A，A]，最大值是A，最小值是－A．
设计意图：加强数学与现实生活的联系，明确参数的实际意义，突出学习函数y＝Asin(ωx+φ)的必要性．在理解函数y＝Asin(ωx+φ)的实际意义的基础上，重在研究参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx+φ)图象的影响，从而进一步把握此函数的图象与性质，并在过程中体会研究函数的一般思想和方法．
追问6：你能针对现实生活中的某种周期现象，用适当的方法搜集数据，并利用这些数据为这种周期现象建立一个函数模型吗？
设计意图：学会利用所学函数构建数学模型，解决实际问题，从而重点在数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模等素养上得到提升．
4．布置作业：复习参考题5．