数学人教A版（新课标）高中必修第一册 《正弦函数、余弦函数的周期性》参考教案

《正弦函数、余弦函数的周期性》
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教材分析
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对于函数性质的研究，在高一必修中已经研究了幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质．因此作为高中最后一个基本初等函数的性质的研究，学生已经有些经验了．其中，通过观察函数的图象，从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法，这也是数形结合思想方法的应用．
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教学目标
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1．通过创设情境，如单摆运动、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象；理解周期函数的概念；能熟练地求出简单三角函数的周期，并能根据周期函数的定义进行简单的拓展运用．
2．在图形上让学生抽象正弦线“周而复始”的变化规律，在代数式上又是如何体现．
3．从形到数、由特殊到一般、由易到难的认知规律及领悟数形结合的思想．
4．理解与掌握函数及周期的求法及周期公式．
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教学重难点
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教学重点：正弦、余弦、正切函数的主要性质（包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域），深入研究函数性质的思想方法．
教学难点：正弦函数和余弦函数图象间的关系、图象变换，以及周期函数概念的理解，最小正周期的意义及简单的应用．
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课前准备
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1．教学问题
（1）从实际情景发现正余弦函数具有周期性．
（2）通过图象观察出正余弦函数具有周期性，并能够用诱导公式证明．
支持条件
（1）作为函数的性质，从初中就开始学习，到高中学习了幂函数、指数、对数函数后有了较深的认识，这是这节课学习的基础．
（2）三角函数概念和诱导公式的学习也为这节课打下了学习的基础．
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教学过程
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【引入】取出一个钟表，实际操作，我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这是一种周期现象．我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数．那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢
【问题1】正弦函数、余弦函数是周期函数吗 如果是，又是怎样周期性变化的
预设师生活动
教师可先引导学生查阅思考上节学过的正弦函数图象，让学生观察正弦线的变化规律，有什么新的发现 再让学生描述这种规律是如何体现在正弦函数的图象上的，即描述正弦函数图象是如何体现“周而复始”的变化规律的．通过研究图象，学生很容易看出正弦函数、余弦函数是周期函数．怎样变化呢 从图1中也能看出是每隔2π就重复一次．
对于【问题1】，学生对正弦函数是周期函数是没有疑问的，至于怎样描述，学生一时很难回答．教师可引导学生思考讨论，正弦函数图象是怎样重复出现的 对于回答对的学生给予肯定，鼓励继续探究．对于找不到思路的学生给予提示，指导其正确的探究思路．
图1
【问题2】怎样从代数的角度定义周期函数
预设师生活动
从图象上能够看出，但关键是怎样对“周而复始”的变化规律作出代数描述，这对学生有一定的难度．在引入正式定义之前，可以引导学生先从不同角度进行描述． 例如：对于函数f（x）自变量每增加或减少一个定值（这样的定值可以有很多个），函数值就重复出现，那么这个函数就叫做周期函数．教师也可以引导点拨学生从诱导公式进行描述．例如：
sin（α+2kπ）=sinα，cos（α+2kπ）=cosα，k∈Z．
这表明，正弦函数、余弦函数在定义域内自变量每增加（k>0时）或减少（k<0时）一个定值2kπ，它的函数值就重复出现，所以正弦函数、余弦函数都是周期函数．还可以通过类比奇函数、偶函数、周期函数的研究方法来加深理解周期性概念．
如果函数f（x）对于其定义域内的每一个值，都有：
f（-x）=-f（x），那么f（x）叫做奇函数；
f（-x）=f（x），那么f（x）叫做偶函数；
f（x+T）=f（x），其中T是非零常数，那么f（x）叫做周期函数．
从上述定义可以看到，函数的性质是对函数的一种整体考察结果，反映了同一类函数的共同特点，它们可以从代数角度得到统一刻画．这种共同特点还可以从函数的图象上得到反映．
结论：正弦函数、余弦函数是周期函数，每隔2π就重复一次．
定义：对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）= f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．
如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．正弦函数是周期函数，2kπ（k∈Z且k≠0）都是它的周期，最小正周期是2π．
【问题3】如何正确理解三角函数是周期函数的定义 并举例说明．
预设师生活动
学生一时可能难于理解周期的代数刻画．教师在引导学生阅读、讨论、思考问题时可多举些具体例子，以使抽象概念具体化．如常数函数f（x）=c（c为常数，x∈R）是周期函数，所有非零实数T都是它的周期．
同时应特别强调：
（1）对周期函数与周期定义中的“当x取定义域内每一个值时”这句话，要特别注意“每一个值”的要求．如果只是对某些x有f（x+T）= f（x），那么T就不是f（x）的周期．例如，分别取x1=2kπ+（k∈Z），x2=，则由sin（2kπ++）≠sin（2kπ+），sin（+）≠sin，可知不是正弦函数的周期．又如sin（30°+120°）=sin30°，但不是对所有x都有f（x+120°）=f（x），所以120°不是（x）的周期．
（2）从上述定义还可以看到周期函数的周期不唯一，例如2π，4π，6π，8π，……都是它的周期，有无穷多个，即2kπ（k∈Z，k≠0）都是正弦函数的周期．这一点可以从周期函数的图象上得到反映，也可以从代数上给以证明：设T是函数f（x）的周期，那么对于任意的k∈Z，k≠0，kT也是函数f（x）的周期．
（3）对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期．但周期函数不一定存在最小正周期，例如，对于常数函数f（x）=c（c为常数，x∈R），所有非零实数T都是它的周期，由于T可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小值，即最小正数是不存在的，所以常数函数没有最小正周期．
（4）正弦函数中，正周期无穷多，2π是最小的一个，在我们学习的三角函数中，如果不加特别说明，教科书提到的周期，一般都是指最小正周期．
【问题4】怎样求一些简单三角函数的周期
预设师生活动
教师要指导学生紧扣定义，可先出一些简单的求周期的例子，如：若T是f（x）的周期，那么2T、3T、…呢 怎样求 实际上，由于T是f（x）的周期，那么2T、3T、…也是它的周期．因为f（x+2T）=f（x+T+T）=f（x+T）= f（x）．这样学生就会明白，数学中的周期函数，其实就是在独立变量上加上一个确定的周期之后数值重复出现的函数．
例题讲解
例1 求下列函数的周期：
（1）y=3cosx，x∈R；
（2）y=sin2x，x∈R；
（3）y=2sin（-），x∈R．
预设师生活动
引导学生紧扣定义，一切从定义出发来求．
因为3cos（x+2π）=3cosx，根据周期函数的定义可知，原函数的周期为2π．有的学生可能会提出π是不是呢 让学生自己试一试，加深对概念的理解．因为3cos（x+π）=-3cosx≠3cosx，所以π不是周期．
引导学生观察2x，可把2x看成一个新的变量u，那么cosu的最小正周期是2π，就是说，当u增加到u+2π时，函数cosu的值重复出现，而u+2π=2x+2π=2（x+π），所以当自变量x增加到x+π且必须增加到x+π时函数值重复出现．因为sin2（x+π）=sin（2x+2π），所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为π．
（3）因为2sin［（x+4π）-］=2sin［（-）+2π］=2sin（-）．
所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为4π．
答案：（1）周期为2π；（2）周期为π；（3）周期为4π．
归纳：一般地，函数y=Asin（ωx+φ）（其中A、ω、φ为常数，A≠0，ω>0，x∈R）的周期为T=．可以按照如下的方法求它的周期：
y=Asin（ωx+φ+2π）=Asin［ω（x+）+φ］=Asin（ωx+φ）．
于是有f（x+）=f（x），所以其周期为．
例如，在第（3）小题，y=2sin（x-），x∈R中，ω=，所以其周期是4π．由上述解法可以看到，思考的基本依据还是y=sinx的周期为2π．
根据这个结论，我们可以由这类函数的解析式直接写出函数的周期．如例3中的第（3）小题：T==4π．这是求简单三角函数周期的最基本方法，即公式法．
例2 判断函数f（x）=2sin2x+，的周期性．如果是周期函数，最小正周期是多少
预设师生活动
本例的难度较大，可引导学生从定义出发，结合诱导公式，寻求使f（x+T）=f（x）成立的T的值．学生可能会很容易找出4π，2π，这的确是原函数的周期，但是不是最小正周期呢 教师引导学生选其他几个值试试．如果学生很快求出，教师给予表扬鼓励；如果学生做不出，教师点拨学生的探究思路，主要让学生自己讨论解决．
解：因为f（x+π）=2sin2（x+π）+｜cos（x+π）｜=2sin2x+｜cosx｜=f（x）．
所以原函数是周期函数，最小正周期是π．
变式训练
1．求函数y=2sin（π-x）的周期．
解：因为y=2sin（π-x）=-2sin（x-），所以周期T=6π．
2．证明正弦、余弦函数的最小正周期是2π．
证明：（反证法）先证正弦函数的最小正周期是2π．
由于2π是它的一个周期，
所以只需证明任意一个小于2π的正数都不是它的周期．
假设T是正弦函数的周期，且0那么根据周期函数的定义，当x取定义域内的每一个值时，都有sin（x+T）=sinx．
令x=，代入上式，得sin（+T）=sin=1，
但sin（+T）=cosT，于是有cosT=1．
根据余弦函数的定义，当T∈（0，2π）时，cosT<1．
这说明上述cosT=1是不可能的．
于是T必须等于2π，即正弦函数的最小正周期是2π．
同理可证，余弦函数的最小正周期也是2π．