解决不等式恒成立问题的常见方法
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解决不等式恒成立问题的常见方法
宁海中学 杨丹阳
像函数一样，近十多年高考几乎考遍了不等式的所有知识点和各种主要题型，不等式的各种主要应用也时有涉猎，解证不等式是考查的重点，经常与一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等相结合，近几年在函数、不等式、数列、向量、解析几何各种知识网络的交汇处命题，重点考查不等式知识，试题的立意高、难度大、综合性强。本文重点研究不等式中常见类型——恒成立问题的解决方法，供广大师生参考。
1、判别式法：
当试题中出现最高次为二次时，常常通过判别式去研究解决，这就是判别式法。
例1、已知函数。
⑴若的定义域为R，求实数的取值范围；
⑵若的值域为R，求实数的取值范围。
解：⑴依题意：对一切恒成立。
当时的充要条件是，
解得或
⑵依题意，只要能取到内的所有值，
则的值域为R。
∴，解得
又当时，符合题意。
∴的取值范围是
说明：二次项系数含字母时，注意分类讨论。
例2、（2005年浙江·理）已知向量，，满足：对注意，恒有
，则（ ）
A、 B、 C、 D、
分析：向量模的问题常常通过，即可转化为二次不等式研究。
解：由题可得，
∴
∵ ∴，对恒成立 ∴
∵ ∴ ∴ ∴ ∴应选C
2、函数最值法：
这是最重要的方法，它常常通过构造函数求最值，有时再借助导数研究函数的单调性或最值，从而解决问题。
例3、已知奇函数在上有意义，且在上是增函数，，又有函数，。若集合，集合。求：⑴；⑵求的解。
解：⑴∵是奇函数， ∴
又∵在上是增函数 ∴在上也是增函数
∴的解集得或
⑵∵又由⑴可得或
又∵ ∴
∴（*），对恒成立。
解一：（*）可化为，
令， ∴
∴对恒成立
令
1）当时， ∴
又∵ ∴
2）当时，
∴
又∵ ∴
3）当时， ∴
又 ∴
综上所述， ∴
解法二：（*）可化为
∵ ∴
∴
∴∴
且时“=”成立。
说明：法二通过变量分离法再利用函数的最值求解。
例4、数列中，，，且满足，设，，是否存在最大的整数，使得任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。
解：∵
∴
∴是等差数列，公差
∴
∵
∴递增 ∴
∵恒成立 ∴ ∴
∵ ∴的最大值为7。
例5、已知在区间上是增函数。
⑴求实数的值组成的集合A；
⑵设关于的方程的两个非零实根为、。试问：是否存在实数，使得不等式对任意及恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由。
解：⑴ ∵在上是增函数
∴对恒成立，即对恒成立。
设，，
①。
∵对，是连续函数，且只有当时，以及当时，
∴
⑵由，得。 ∵
∴、是方程的两非零实根，有，，
从而
∵ ∴
要使不等式对任意及恒成立，
当且化当对任意恒成立，
即对任意恒成立或。
所以，存在实数，使不等式对任意及恒成立，其，取值范围是或。
评注：自变量、参数往往是相对的，本题根据需要可把函数看作关于的函数，利用单调性，只要得到最大值，最小值均大于0，从而避免讨论解决问题。
例6、函数在区间内可导，导函数是减函数，且。设，是曲线在点处的切线方程，并设函数。
⑴用、、表示；
⑵证明：当时，。
解：⑴由这可知，
∴
⑵证明：令
则，。
因为递减，所以递增，因此，当时，；
当时，。
所以是唯一的极值点，且是极小值点，可知的最小值为0，因
此，即。
说明：近几年高考数学题对新增内容的要求一年比一年高，例如本题和上题用导数研究函数的性质，一举打破了多年函数考题的传统模式。因此，在复习中引起重视。
3、数形结合法：
当不等式中同时出现两种类型的函数形式时，直接解不等式很难，而前面介绍的两种方法均不适用时，不妨从形上考虑，就是说作出函数的图象以行论数，达到解题效果，这就是数形结合法。
例7、若不等式对恒成立，求实数的取值范围。
解：原不等式为，设，
∵，而 ∴
作出在内的图象，如下图所示，
∵ ∴
当的图象经过点A ∴
∵当时，
∴图象按如图虚线位置变化
∴
4、利用不等式性质求解：
对于一次函数或二次函数在某一区间上恒成立问题，通过待定系数法，把未知的转化为已知的考虑，再利用不等式性质或线性规划知识研究。
例8、二次函数，对恒有。求证：。
证明：依题意：，，
令，则
∴
∴
∴
即
说明：如对含绝对值不等式恒成立问题，结合不等式的性质求解。
以上就是本人对不等式恒成立问题的一点心得与体会，在这些方法中始终贯穿了数学中的几大重要思想方法：化归思想、函数与方程思想、数形结合思想、不等式思想、分类讨论思想，这些方法不仅有独到的功能，而且可以培养我们的思维能力和逻辑推理能力，提高解题效率。
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宁海中学 杨丹阳
像函数一样，近十多年高考几乎考遍了不等式的所有知识点和各种主要题型，不等式的各种主要应用也时有涉猎，解证不等式是考查的重点，经常与一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等相结合，近几年在函数、不等式、数列、向量、解析几何各种知识网络的交汇处命题，重点考查不等式知识，试题的立意高、难度大、综合性强。本文重点研究不等式中常见类型——恒成立问题的解决方法，供广大师生参考。
1、判别式法：
当试题中出现最高次为二次时，常常通过判别式去研究解决，这就是判别式法。
例1、已知函数。
⑴若的定义域为R，求实数的取值范围；
⑵若的值域为R，求实数的取值范围。
解：⑴依题意：对一切恒成立。
当时的充要条件是，
解得或
⑵依题意，只要能取到内的所有值，
则的值域为R。
∴，解得
又当时，符合题意。
∴的取值范围是
说明：二次项系数含字母时，注意分类讨论。
例2、（2005年浙江·理）已知向量，，满足：对注意，恒有
，则（ ）
A、 B、 C、 D、
分析：向量模的问题常常通过，即可转化为二次不等式研究。
解：由题可得，
∴
∵ ∴，对恒成立 ∴
∵ ∴ ∴ ∴ ∴应选C
2、函数最值法：
这是最重要的方法，它常常通过构造函数求最值，有时再借助导数研究函数的单调性或最值，从而解决问题。
例3、已知奇函数在上有意义，且在上是增函数，，又有函数，。若集合，集合。求：⑴；⑵求的解。
解：⑴∵是奇函数， ∴
又∵在上是增函数 ∴在上也是增函数
∴的解集得或
⑵∵又由⑴可得或
又∵ ∴
∴（*），对恒成立。
解一：（*）可化为，
令， ∴
∴对恒成立
令
1）当时， ∴
又∵ ∴
2）当时，
∴
又∵ ∴
3）当时， ∴
又 ∴
综上所述， ∴
解法二：（*）可化为
∵ ∴
∴
∴∴
且时“=”成立。
说明：法二通过变量分离法再利用函数的最值求解。
例4、数列中，，，且满足，设，，是否存在最大的整数，使得任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。
解：∵
∴
∴是等差数列，公差
∴
∵
∴递增 ∴
∵恒成立 ∴ ∴
∵ ∴的最大值为7。
例5、已知在区间上是增函数。
⑴求实数的值组成的集合A；
⑵设关于的方程的两个非零实根为、。试问：是否存在实数，使得不等式对任意及恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由。
解：⑴ ∵在上是增函数
∴对恒成立，即对恒成立。
设，，
①。
∵对，是连续函数，且只有当时，以及当时，
∴
⑵由，得。 ∵
∴、是方程的两非零实根，有，，
从而
∵ ∴
要使不等式对任意及恒成立，
当且化当对任意恒成立，
即对任意恒成立或。
所以，存在实数，使不等式对任意及恒成立，其，取值范围是或。
评注：自变量、参数往往是相对的，本题根据需要可把函数看作关于的函数，利用单调性，只要得到最大值，最小值均大于0，从而避免讨论解决问题。
例6、函数在区间内可导，导函数是减函数，且。设，是曲线在点处的切线方程，并设函数。
⑴用、、表示；
⑵证明：当时，。
解：⑴由这可知，
∴
⑵证明：令
则，。
因为递减，所以递增，因此，当时，；
当时，。
所以是唯一的极值点，且是极小值点，可知的最小值为0，因
此，即。
说明：近几年高考数学题对新增内容的要求一年比一年高，例如本题和上题用导数研究函数的性质，一举打破了多年函数考题的传统模式。因此，在复习中引起重视。
3、数形结合法：
当不等式中同时出现两种类型的函数形式时，直接解不等式很难，而前面介绍的两种方法均不适用时，不妨从形上考虑，就是说作出函数的图象以行论数，达到解题效果，这就是数形结合法。
例7、若不等式对恒成立，求实数的取值范围。
解：原不等式为，设，
∵，而 ∴
作出在内的图象，如下图所示，
∵ ∴
当的图象经过点A ∴
∵当时，
∴图象按如图虚线位置变化
∴
4、利用不等式性质求解：
对于一次函数或二次函数在某一区间上恒成立问题，通过待定系数法，把未知的转化为已知的考虑，再利用不等式性质或线性规划知识研究。
例8、二次函数，对恒有。求证：。
证明：依题意：，，
令，则
∴
∴
∴
即
说明：如对含绝对值不等式恒成立问题，结合不等式的性质求解。
以上就是本人对不等式恒成立问题的一点心得与体会，在这些方法中始终贯穿了数学中的几大重要思想方法：化归思想、函数与方程思想、数形结合思想、不等式思想、分类讨论思想，这些方法不仅有独到的功能，而且可以培养我们的思维能力和逻辑推理能力，提高解题效率。
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