2023—2024学年北师大版数学九年级上册2.4用因式分解法求解一元二次方程 同步练习题（含解析）

2023-2024学年北师大版九年级数学上册《2.4用因式分解法求解一元二次方程》
同步练习题（附答案）
一、单选题
1．方程 的根为 （　　）
A．， B．，
C．， D．，
2．方程（x+1）＝x（x+1）的解为（　　）
A．x＝0 B．x＝1 C．x1＝0，x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝﹣1
3．已知一元二次方程的两根分别为，，则这个方程可以为（ ）
A． B．
C． D．
4．关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2+2m-3=0有一个根为0，则m的值是（　　）
A．-3 B．1 C．1或-3 D．-4或2
5．已知直角三角形的两条边长分别是方程x2﹣14x＋48＝0的两个根，则此三角形的第三边是（　　）
A．6或8 B．10或 C．10或8 D．
6．一元二次方程可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是（ ）
A． B． C． D．
7．已知关于的方程的一个根，且这个方程的两个根恰好是等腰的两条边长，则的周长为（ ）．
A．8 B．10 C．8或10 D．6或10
8．若关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
二、填空题
9．一元二次方程3x2﹣6x＝2（x﹣2）的根为 ．
10．如果x＝1是关于x的一元二次方程（k2﹣5k+6）x2+（2k+1）x﹣5＝0的一个根，那么k的值为 ．
11．关于x的方程ax2+bx+2＝0的两根为x1＝2，x2＝3．则方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0的两根分别为 ．
12．已知实数x、y满足（x2+y2+1）（x2+y2+3）＝15，则x2+y2＝ ．
13．已知三角形的两边长为2和7，第三边的长是一元二次方程的根，则这个三角形的周长为 ．
14．菱形的一条对角线的长为8，边的长是方程的一个根，则菱形的周长为 ．
15．规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．已知关于x的一元二次方程（x﹣2）（x+m）＝0是“倍根方程”，则m的值为 ．
16．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC（BC>AD），∠B=90°，AB=BC=12，E是AB上一点，且∠DCE=45°，DE=10，则AD的长为 ．
三、解答题
17．解方程：
(1)
(2)
18．解下列方程：
(1)；
(2)
(3)
19．关于x的一元二次方程．
(1)若，求方程的根；
(2)若方程有两个不相等的实数根，求K的取值范围．
20．已知关于x的一元二次方程．
(1)若该方程的一个根为，求a的值及该方程的另一根；
(2)求证：无论a取何实数，该方程都有实数根．
21．（换元法）解方程：
解：设则原方程可化为
解得：
当时，，解得
当时，，解得
∴原方程的根是，
根据以上材料，请解方程：
(1)．
(2)
参考答案
1．解：，
∴或，
，
故选：A．
2．解：（x+1）＝x（x+1）
∴（x+1）- x（x+1）＝0
∴（x+1）（1-x）＝0
∴x1＝1，x2＝﹣1
故选：D
3．解：一元二次方程的两根是，，
则这个方程可以是（x＋2）（x＋3）＝0，
故选：C．
4．解：把x=0代入原方程得， m2+2m-3=0，
解得，，，
∵m-1≠0，
∴，
故选：A．
5．解：x2﹣14x＋48＝0，
即（x﹣6）（x﹣8）＝0，
得：x1＝6，x2＝8，
∴当6和8是直角三角形的两直角边时，第三边是斜边等于＝10；
当8是斜边时，第三边是直角边，长是＝2；
故直角三角形的第三边是10或2．
故选：B．
6．解：∵（x+1）2=16，
∴x+1=±4，
∴x+1=4或x+1=-4，
故选：D．
7．解：∵关于的方程的一个根，
∴，
∴，
∴方程变形为，
解得，
∵方程的两个根恰好是等腰的两条边长，
∴其三边可能是2，2，4或4，4，2，
∵2+2=4，故三角形不存在，
故三角形的周长为10，
故选B．
8．解：将化为
把方程看作关于的一元二次方程，
而关于x的方程的解是，，
所以，，
所以，．
故选：D．
9．解：3x2﹣6x＝2（x﹣2）
解得
故答案为：
10．解：∵是0的一个根，
∴将代入得：0，
即，
，
解得：，，
∵0是一元二次方程，
∴≠0，即且k≠3，
∴；
故答案为：1．
11．解：两个方程的系数、结构相同，
所以2、3也是关于（x﹣1）的方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0的两个根，
∴x﹣1＝2或x﹣1＝3，
∴x1＝3，x2＝4．
故答案为：x1＝3，x2＝4．
12．解：设x2+y2＝z，原方程化为（z+1）（z+3）＝15，即z2+4z﹣12＝0．
解得z＝2，z＝﹣6（不符合题意，舍），
所以x2+y2＝2，
故答案为：2．
13．解：∵三角形的两边长为2和7，第三边的长是一元二次方程的根，
即
解得
，不能构成三角形
∴第三边为6
这个三角形的周长为
故答案为：
14．解：∵x2-9x+20=0，
∴（x-5）（x-4）=0，
∴x1=5，x2=4，
当x1=5时，由菱形的对角线的一条对角线8和菱形的两边5，5能组成三角形，即存在菱形，菱形的周长为5×4=20；
当x2=4时，由菱形的对角线的一条对角线8和菱形的两边4，4不能组成三角形，即不存在菱形，舍去．
故答案为：20．
15．解：∵关于x的一元二次方程为，
∴解得，，
∵(x﹣2)(x+m)=0是倍根方程，
∴或，
∴或．
故答案为：-1或-4．
16．解：过C作CG⊥AD于G，并延长DG，使GF＝BE，
在直角梯形ABCD中，
∵AD∥BC，∠A＝∠B＝90°，∠CGA＝90°，AB＝BC，
∴四边形ABCG为正方形，
∴AG＝BC＝GC=12，
∵∠DCE＝45°，
∴∠ECB+∠GCD=45°，
∵BE＝GF，∠B＝∠FGC=90°，BC＝GC，
∴△EBC≌△FGC，
∴∠ECB＝∠FCG，
∴∠FCG+∠GCD=∠DCF =45°=∠DCE，
∵CE＝CF，∠DCF＝∠DCE，DC＝DC，
∴△ECD≌△FCD，
∴ED＝DF，
∴DE＝GF＋DG＝BE＋GD，
设BE=x，则AE=12-x，DG=10-x，AD=12-(10-x)=2+x
在Rt△AED中，
∵DE2＝AD2＋AE2，
∴102＝（2+x）2＋（12-x）2，解得：x＝4或x=6，
∴AD=6或AD=8．
故答案为：6或8．
17．（1）解：，
，
解得：，；
（2）解：，
，
，
或，
解得：，．
18．（1）解：移项得，
配方得，即，
∴，
即；
（2）解：，
移项得，
∴，
∴，，
即；
（3）解：，
整理得，
∵，
∴，
∴，
∴，．
19．解：（1）把代入得：
，
，
∴，．
（2）∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
∴．
20．（1）解：∵关于x的一元二次方程的一个根为，
∴，
∴，
∴原方程即为，
∴，
解得或，
∴方程的另一个根为；
（2）解：∵关于x的一元二次方程为，
∴，
∴无论a取何实数，该方程都有实数根．
21．解：（1）设，则原方程可化为
解得∶
当时，，解得
当时，，方程无解
原方程的根是；
（2）设，则原方程可化为
去分母，可得
解得
当时，，解得
当时，，方程无解
经检验∶都是原方程的解
原方程的根是．