2023—2024学年北师大版数学九年级上册2.5一元二次方程的根与系数的关系 同步练习题 （含解析）

2023-2024学年北师大版九年级数学上册《2.5一元二次方程的根与系数的关系》
同步练习题（附答案）
一、单选题
1．已知一元二次方程有一个根为2，则另一根和c分别为（ ）
A．1，2 B．2，4 C．4，8 D．8，16
2．若m，n分别是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．若方程的根是2和3，那么代数式可分解因式为( )
A．(x-2)(x-3) B．(x+2)(x+3) C．(x+2)(x-3) D．(x-2)(x+3)
4．若一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则的值是（ ）
A． B．3 C．2或 D．或1
5．已知关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根的差为2，则m=( )
A．1 B．-1 C．1或-1 D．0或1
6．如果m、n是一元二次方程的两个实数根，那么多项式的值是（　　）
A．2022 B．2023 C．2029 D．2030
7．若关于x的一元二次方程的两个根互为相反数，则m的值为（　　）
A．3或﹣2 B．﹣2 C．3 D．2或﹣3
8．若关于x的一元二次方程的两根构成直角三角形的两条直角边，该直角三角形的面积为24，则实数m值是（　　）
A．m=50 B．m=24 C． D．
二、填空题
9．若m、n是一元二次方程的两个根，则 ．
10．已知是一元二次方程的一个根，则m= ，方程的另一个根是 ．
11．设是方程的两个实数根，则的值为 ．
12．若实数，满足的值为 ．
13．已知 ， （ ）是一元二次方程 的两个实数根，则代数式 的值为 ．
14．请写出一个两根分别为和，且二次项系数为的一元二次方程 ．
15．如果一个矩形的长和宽是一元二次方程的两个根，那么这个矩形的周长是 ．
16．已知m，n是方程的两个根，则 ．
三、解答题
17．若，是方程的两实数根，求下列各式的值．
(1)；
(2)；
(3)．
18．已知关于的一元二次方程．
(1)求证无论实数取何值，此方程一定有两个实数根；
(2)设此方程的两个实数根分别为，，若，求的值．
19．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个不相等的实数根；
(2)若，且该方程的一个根是另一个根的2倍，求的值．
20．已知关于x的一元二次方程的两个根为a，b．
(1)若a，b分别是菱形的两条对角线的长，且菱形的面积为5，求m的值；
(2)若a，b分别为矩形的两条对角线的长，求m的值．
21．已知关于的方程.
(1)求证：无论取何实数，这个方程总有实数根；
(2)若这个方程的两个实根、满足，求的值.
(3)当等腰三角形的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两根时，求的周长.
22．阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值．
解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根，
∴．
则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)应用：一元二次方程的两个实数根为，则___________，___________；
(2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值；
(3)提升：已知实数s，t满足且，求的值．
参考答案
1．解：∵一元二次方程有一个根为2，设另一根为
∴
∴
故选C
2．解：∵m，n分别是一元二次方程的两个根，
∴，m＋n＝4，
∴，
∴，
故选：A．
3．解：∵方程的根是2和3
∴，，
∴
∴．
故选：B．
4．解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
，
根据一元二次方程根与系数的关系可得，，
，
，即，
，
解得：或，
，
，
故选：B．
5．解：根据题意得：，
解得：，
设是一元二次方程的两根，
∴，
∵该方程的两个实数根的差为2，
∴，
∴，
∴，
解得：或-1．
故选：C
6．解：、是一元二次方程的两个实数根，
，，
，，
，
，
、是一元二次方程的两个实数根，
，，
原式
．
故选：D．
7．解：根据根与系数的关系得，
解得，，
当时，方程化为，此时方程没有实数解；
当时，方程化为，方程有两个实数解．
所以的值为．
故选：B．
8．解：设、是方程的两个根，
根据一元二次方程根与系数的关系，可知，
又∵该方程两根构成直角三角形的两条直角边，该直角三角形的面积为24，
即直角三角形面积，
∴，解得．
故选：D．
9．解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
10．解：设方程的另一个根为：，
∵
∴，
∴，
∴；
故答案为：，
11．解：∵是方程的两个实数根，
∴，
∴ ．
故答案为：．
12．解：，满足，，
当时，
，是方程的两根，
，，
；
当时，
原式．
综上所述：或．
故答案为：或．
13．解：∵m是一元二次方程 的实数根，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵m，n是一元二次方程 的两个实数根，
∴ ，
∴．
故答案为：2022．
14．解：，
以和为两根且二次项系数为的一元二次方程为
故答案为：．
15．解：设矩形的长和宽分别为、，
∵一个矩形的长和宽是一元二次方程的两个根，
∴，
∴矩形的周长为：．
故答案为：
16．解：∵m、n是方程的两根，
，，，，
，，
，
故答案为：．
17．（1）解：∵，是方程的两实数根，
∴，，
∴；
（2）；
（3）∵，是方程的两实数根，
∴，
∴，
∴．
18．解：（1）关于的一元二次方程有两个实数根，
∴，
∴，
∴无论实数m取何值，此方程一定有两个实数根．
（2）∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
19．（1）证明：由题意得，
，
∴关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：设方程的两个根分别为，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
又∵，
∴．
20．（1）解：（1）由一元二次方程根与系数的关系得：，
a，b分别是菱形的两条对角线的长，且菱形的面积为5，
，
，
解得：；
（2）a，b分别为矩形的两条对角线的长，
，即一元二次方程有两个相等的实数根，
，
，
即，
解方程得：，（不合题意，舍去）
m的值为6．
21．（1）证明：方程整理成一般形式为，
，
∴无论k取什么实数值，方程总有实数根；
（2）解：∵、是这个方程的两个实根，
∴，，
∵，
∴，
解得：或；
（3）解：当时，，
即，
解得：，
此时，
∵，
∴此时不能构成三角形；
当两边长b、c有一边是4时，，
解得：，
关于x的方程即，
解得：或，
等腰的三边长为2、4、4，
∴的周长为．
22．（1）解：∵一元二次方程的两个根为，，
∴，．
故答案为：，；
（2）解：∵一元二次方程的两根分别为m、n，
∴，，
∴
；
（3）解：∵实数s、t满足，
∴s、t可以看作方程的两个根，
∴，，
∵
，
∴或，
当时，
，
当时，
，
综上分析可知，的值为或．