2023-2024学年华东师大版八年级数学上册13.2 三角形全等的判定 同步特训（含解析）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年华东师大版八年级数学上册13.2 三角形全等的判定 同步特训（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 294.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-09-05 19:22:55 | ||
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文档简介
13.2 三角形全等的判定（同步特训）
华东师大新版八年级上学期数学
一．选择题（共8小题）
1．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是（ ）
A．54° B．56° C．60° D．66°
2．在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝2∠ADB，AB＝3，CD＝5，则AC的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．如图，有一块三角形玻璃，小明不小心将它打破．带上这块玻璃，能配成同样大小的一块，其理由是（ ）
A．SSS B．ASA C．SAS D．HL
4．如图，点B，C，E在同一条直线上，∠B＝∠E＝∠ACF＝60°，AB＝CE，则与线段BC相等的线段是（ ）
A．AC B．AF C．CF D．EF
5．如图，已知∠B＝96°，∠DCA＝∠BCA＝30°，DC＝BC，则∠DAC的度数为（ ）
A．30° B．44° C．54° D．60°
6．如图，点B、E、C、F在同一条直线，∠A＝∠D，BE＝CF，请补充一个条件，使△ABC≌△DEF，可以补充的条件是（ ）
A．AB＝DE B．AC＝DF C．AB∥DE D．BC＝EF
7．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且AB＝AC+CD，若∠BAC＝81°，则∠ACB的大小为（ ）
A．36° B．66° C．79° D．89°
8．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，CD＝CA，∠B＝∠BAD，CE⊥AD于点E．若BC＝5，AC＝3，则AE的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
二．填空题（共4小题）
9．如图，△ABC中，AB＝4，AC＝2，D是BC的中点，若AD的长是整数，则AD＝ ．
10．已知△ABC与△DEF的三边对应相等，三个角也对应相等，则能判定△ABC与△DEF全等的方法有 种．
11．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，线段PQ＝AB，点P、Q分别在AC和与AC垂直的射线AM上移动，当AP＝ 时，△ABC和△QPA全等．
12．如图，在△ABC中，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，则以下三个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP中，正确的有 ．
三．解答题（共10小题）
13．如图，AB∥DC，AB＝DC，AF＝DE，求证：△ABE≌△DCF．
14．如图，AD、BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°，求证：AO＝BO．
15．如图，已知△ADE≌△ACB，∠EAC＝10°，∠B＝25°，∠BAD＝120°，求∠DAE，∠C的度数．
16．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC、∠ACB的平分线分别交AC、AB于点D、E，CE、BD相交于点F，连接DE．
（1）若AC＝BC＝7，求DE的长；
（2）求证：BE+CD＝BC．
17．如图，点B、F、C、E在一条直线上（点F，C之间不能直接测量），点A，D在直线l的异侧，测得AB＝DE，AB∥DE，AC∥DF．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若BE＝13m，BF＝4m，求FC的长度．
18．如图，CB为∠ACE的角平分线，F是线段CB上一点，CA＝CF，∠B＝∠E，延长EF与线段AC相交于点D．
（1）求证：AB＝FE；
（2）若ED⊥AC，AB∥CE，求∠A的度数．
19．如图②，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD＝2.5m．乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC＝1.5m，点A到地面的距离AE＝1.5m，当他从A处摆动到A'处时，若A'B⊥AB，求A'到BD的距离．
20．如图，在锐角△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AD上，DE＝DC，BE＝AC，点F为BC的中点，连接EF并延长至点M，使FM＝EF，连接CM．
（1）试说明：△BDE≌△ADC．
（2）试说明：AC⊥MC．
21．如图1，l1∥l2，直线l3分别交直线l1，l2于点A，B，点C，D分别为直线l1，l2上的点，且AC＝BD，E，F是直线l3上不与点A，B重合的点，连接CE，DF．
（1）请在图1中画出一个你设计的图形，并添加一个适当的条件： ，使得△ACE与△BDF全等，并说明理由；
（2）如图2，连接AD，若AC＝AD，∠CAB＝55°，则∠ADB＝ ．
22．在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点，连接AD，BD，CD．
（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠BDC＝120°，探究∠BDA与∠CDA的关系，理由．
（2）如图2，若将（1）中的条件改为∠BAC+∠BDC＝180°，（1）中的结论是否成立，理由．
13.2 三角形全等的判定（同步特训）华东师大新版八年级上学期数学
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是（ ）
A．54° B．56° C．60° D．66°
【答案】D
【解答】解：
∵△ABC≌△DEF，
∴∠F＝∠C＝∠1，
∵∠A＝54°，∠B＝60°，
∴∠1＝∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣54°﹣60°＝66°，
故选：D．
2．在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝2∠ADB，AB＝3，CD＝5，则AC的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【解答】解：在AC上截取AE＝AB，连接DE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
在△ABD和△AED中，
，
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴∠B＝∠AED，∠ADB＝∠ADE，BD＝DE，又∠B＝2∠ADB，
∴∠AED＝2∠ADB，
而∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝2∠ADB，
∴∠BDE＝∠AED，
∴∠CED＝∠EDC，
∴CD＝CE，
∴AC＝AE+CE＝AB+CD＝3+5＝8．
故选：C．
3．如图，有一块三角形玻璃，小明不小心将它打破．带上这块玻璃，能配成同样大小的一块，其理由是（ ）
A．SSS B．ASA C．SAS D．HL
【答案】B
【解答】解：破玻璃保留了原来三角形的两个角和一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃，
故选：B．
4．如图，点B，C，E在同一条直线上，∠B＝∠E＝∠ACF＝60°，AB＝CE，则与线段BC相等的线段是（ ）
A．AC B．AF C．CF D．EF
【答案】D
【解答】解：∵∠ACE＝∠B+∠CAB＝∠ACF+∠ECF，∠B＝∠E＝∠ACF＝60°，
∴∠ECF＝∠BAC，
∵AB＝CE，
∴△ABC≌△CEF（ASA），
∴BC＝EF．
故选：D．
5．如图，已知∠B＝96°，∠DCA＝∠BCA＝30°，DC＝BC，则∠DAC的度数为（ ）
A．30° B．44° C．54° D．60°
【答案】C
【解答】解：在△ACD和△ACB中，
，
∴△ACD≌△ACB（SAS），
∴∠D＝∠B＝96°，
∴∠DAC＝180°﹣∠DCA﹣∠D＝180°﹣30°﹣96°＝54°，
故选：C．
6．如图，点B、E、C、F在同一条直线，∠A＝∠D，BE＝CF，请补充一个条件，使△ABC≌△DEF，可以补充的条件是（ ）
A．AB＝DE B．AC＝DF C．AB∥DE D．BC＝EF
【答案】C
【解答】解：∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，
即BC＝EF，
A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
B．AC＝DF，BC＝EF，∠A＝∠D不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
C．∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
条件∠B＝∠DEF，∠A＝∠D，BC＝EF符合全等三角形的判定定理，能推出△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；
D．BC＝EF，∠A＝∠D不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
故选：C．
7．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且AB＝AC+CD，若∠BAC＝81°，则∠ACB的大小为（ ）
A．36° B．66° C．79° D．89°
【答案】B
【解答】解：在AB上截取AC'＝AC，连接DC'，
∵AB＝AC+CD，
∴BC'＝DC，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠C'AD＝∠DAC，
在△ACD和△AC'D中，
，
∴△ACD≌△AC'D（SAS），
∴C'D＝CD，∠ACD＝∠AC'D，
∴DC'＝BC'，
∴△BC'D是等腰三角形，
∴∠C'BD＝∠C'DB，
设∠C'BD＝∠C'DB＝x，则∠ACD＝∠AC'D＝2x，
∵∠BAC＝81°，
∴x+2x+81°＝180°，
解得：x＝33°，
∴∠ACB＝33°×2＝66°，
故选：B．
8．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，CD＝CA，∠B＝∠BAD，CE⊥AD于点E．若BC＝5，AC＝3，则AE的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【答案】A
【解答】解：∵CE⊥AD于点E，
∴∠CEA＝∠CED＝90°，
在Rt△CEA和Rt△CED中，
，
∴Rt△CEA≌Rt△CED（HL），
∴AE＝DE，
∵BC＝5，AC＝3，
∴BD＝BC﹣CD＝BC﹣AC＝5﹣3＝2，
∵∠B＝∠BAD，
∴BD＝AD＝2，
∴AE＝AD＝1．
故选：A．
二．填空题（共4小题）
9．如图，△ABC中，AB＝4，AC＝2，D是BC的中点，若AD的长是整数，则AD＝ 2 ．
【答案】2．
【解答】解：如图，AB＝4，AC＝2，AD是BC上的中线，
延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE＝AC＝2，
在△ABE中，BE﹣AB＜AE＜AB+BE，
即2＜2AD＜6，
解得1＜AD＜3，
又∵AD是整数，
∴AD＝2，
故答案为：2．
10．已知△ABC与△DEF的三边对应相等，三个角也对应相等，则能判定△ABC与△DEF全等的方法有 4 种．
【答案】4．
【解答】解：根据全等三角形的判定方法，存在判定方法SSS、SAS、ASA、AAS，共4种．
故答案为：4．
11．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，线段PQ＝AB，点P、Q分别在AC和与AC垂直的射线AM上移动，当AP＝ 5cm或10cm 时，△ABC和△QPA全等．
【答案】5cm或10cm．
【解答】解：∵PQ＝AB，
∴根据三角形全等的判定方法HL可知，
①当P运动到AP＝BC时，△ABC≌△QPA，即AP＝BC＝5cm；
②当P运动到与C点重合时，△QAP≌△BCA，即AP＝AC＝10cm．
故答案为：5cm或10cm．
12．如图，在△ABC中，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，则以下三个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP中，正确的有 ①② ．
【答案】①②．
【解答】解：∵PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，
∴∠ARP＝∠ASP＝90°，
在Rt△APR和Rt△APS中，
，
∴Rt△APR≌Rt△APS（HL），
∴AS＝AR，∠1＝∠2，故①正确，
∵AQ＝PQ，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴PQ∥AR，故②正确，
在△BRP和△CSP中，只有一个角，一条边相等无法证明全等．故③错误，
故答案为：①②．
三．解答题（共10小题）
13．如图，AB∥DC，AB＝DC，AF＝DE，求证：△ABE≌△DCF．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵AB∥DC，
∴∠D＝∠A，
又AF＝DE，
∴AF+FE＝DE+EF，
即 AE＝DF，
在△CDF和△BAE中，
∴△ABE≌△DCF（SAS）
14．如图，AD、BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°，求证：AO＝BO．
【答案】证明过程见解析．
【解答】证明：在Rt△ABC与Rt△BAD中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
∴∠ABC＝∠BAD，
∴AO＝BO．
15．如图，已知△ADE≌△ACB，∠EAC＝10°，∠B＝25°，∠BAD＝120°，求∠DAE，∠C的度数．
【答案】∠DAE＝55°；∠C＝100°．
【解答】解：∵∠EAC＝10°，∠BAD＝120°，
∴∠DAE+∠CAB＝∠BAD﹣∠EAC＝110°．
∵△ADE≌△ACB，
∴∠DAE＝∠CAB＝110°÷2＝55°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠CAB＝100°．
16．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC、∠ACB的平分线分别交AC、AB于点D、E，CE、BD相交于点F，连接DE．
（1）若AC＝BC＝7，求DE的长；
（2）求证：BE+CD＝BC．
【答案】（1）；
（2）证明过程见解析．
【解答】解：（1）∵AC＝BC，∠A＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC＝AB，
又∵BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，
∴D、E分别是AC、AB的中点，
∴AD＝AC，AE＝AB，
∴AD＝AE，
∴△ADE为等边三角形，
∴DE＝AE＝；
（2）证明：在BC上截取BH＝BE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵BF＝BF
∴△EBF≌△HBF（SAS），
∴∠EFB＝∠HFB＝60°．
∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠ABD＝∠CBD，∠ACE＝∠BCE，
∴∠CBD+∠BCE＝60°，
∴∠BFE＝60°，
∴∠CFB＝120°，
∴∠CFH＝60°，
∴∠CFH＝∠CFD＝60°，
∵CF＝CF，
∴△CDF≌△CHF（ASA）．
∴CD＝CH，
∵CH+BH＝BC，
∴BE+CD＝BC．
17．如图，点B、F、C、E在一条直线上（点F，C之间不能直接测量），点A，D在直线l的异侧，测得AB＝DE，AB∥DE，AC∥DF．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若BE＝13m，BF＝4m，求FC的长度．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠ABC＝∠DEF，
∴AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）；
（2）解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
∴BF+FC＝EC+FC，
∴BF＝EC，
∵BE＝13m，BF＝4m，
∴FC＝13﹣4﹣4＝5m．
18．如图，CB为∠ACE的角平分线，F是线段CB上一点，CA＝CF，∠B＝∠E，延长EF与线段AC相交于点D．
（1）求证：AB＝FE；
（2）若ED⊥AC，AB∥CE，求∠A的度数．
【答案】（1）证明见解析；
（2）120°．
【解答】（1）证明：∵CB为∠ACE的角平分线，
∴∠ACB＝∠BCE，
在△ACB和△FCE中，
，
∴△ACB≌△FCE（AAS），
∴AB＝FE；
（2）解：∵AB∥CE，
∴∠ABC＝∠BCE，
∵∠BCE＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∵△ACB≌△FCE，
∴FE＝FC，
∴∠E＝∠FCE，
设∠FCE＝x，
则∠E＝x，∠ACB＝x，
∵ED⊥AC，
∴∠EDC＝90°，
∴3x+90°＝180°，
解得x＝30°，
∴∠ACB＝∠ABC＝30°，
∴∠A＝120°．
19．如图②，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD＝2.5m．乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC＝1.5m，点A到地面的距离AE＝1.5m，当他从A处摆动到A'处时，若A'B⊥AB，求A'到BD的距离．
【答案】A'到BD的距离是1m．
【解答】解：如图2，作A'F⊥BD，垂足为F．
∵AC⊥BD，
∴∠ACB＝∠A'FB＝90°；
在Rt△A'FB中，∠1+∠3＝90°；
又∵A'B⊥AB，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠2＝∠3；
在△ACB和△BFA'中，
，
∴△ACB≌△BFA'（AAS）；
∴A'F＝BC
∵AC∥DE且CD⊥AC，AE⊥DE，
∴CD＝AE＝1.5m；
∴BC＝BD﹣CD＝2.5﹣1.5＝1（m），
∴A'F＝1（m），
即A'到BD的距离是1m．
20．如图，在锐角△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AD上，DE＝DC，BE＝AC，点F为BC的中点，连接EF并延长至点M，使FM＝EF，连接CM．
（1）试说明：△BDE≌△ADC．
（2）试说明：AC⊥MC．
【答案】（1）见解析过程；
（2）见解析过程．
【解答】解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠BDE＝∠ADC＝90°，
在Rt△BDE与Rt△ADC中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△ADC（HL），
（2）∵F为BC中点，
∴BF＝CF，
在△BFE与△CFM中，
，
∴△BFE≌△CFM（SAS），
∴∠CBE＝∠BCM，BE＝MC，
∵Rt△BDE≌Rt△ADC，
∴∠CBE＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠BCM，
∵∠CAD+∠ACD＝90°，
∴∠BCM+∠ACD＝90°，
即∠ACM＝90°，
∴AC⊥MC．
21．如图1，l1∥l2，直线l3分别交直线l1，l2于点A，B，点C，D分别为直线l1，l2上的点，且AC＝BD，E，F是直线l3上不与点A，B重合的点，连接CE，DF．
（1）请在图1中画出一个你设计的图形，并添加一个适当的条件： AE＝BF ，使得△ACE与△BDF全等，并说明理由；
（2）如图2，连接AD，若AC＝AD，∠CAB＝55°，则∠ADB＝ 70° ．
【答案】（1）AE＝BF，
理由见解析；
（2）70°．
【解答】解：（1）添加一个适当的条件：AE＝BF，
理由：如图1，
∵l1∥l2，
∴∠CAE＝∠DBF，
在△ACE与△BDF中，
，
∴△ACE≌△BDF（SAS）；
故答案为：AE＝BF；
（2）如图2，连接BC，
∵l1∥l2，
即AC∥BD，
∵AC＝BD，
∴四边形ACBD是平行四边形，
∵AC＝AD，
∴四边形ACBD是菱形，
∴∠DAB＝∠CAB＝∠ABD＝55°，
∴∠ADB＝180°﹣55°﹣55°＝70°．
解法2：∵l1∥l2，
∴∠CAB＝∠ABD，∠CAD+∠BDA＝180°，
∵AC＝BD，AC＝AD，
∴BD＝AD，
∴∠DAB＝∠ABD，
∵∠CAB＝55°，
∴∠ABD＝∠BAD＝55°，
∴∠CAD＝110°，
∴∠ADB＝180°﹣110°＝70°，
故答案为：70°．
22．在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点，连接AD，BD，CD．
（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠BDC＝120°，探究∠BDA与∠CDA的关系，理由．
（2）如图2，若将（1）中的条件改为∠BAC+∠BDC＝180°，（1）中的结论是否成立，理由．
【答案】（1）∠BDA＝∠CDA；
（2）结论仍成立．
【解答】解：（1）∠BDA＝∠CDA，
理由是：∵在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝60°，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
过A作AE⊥BD于E，AF⊥DC于F，
∵AE⊥BD，AF⊥DC，
∴∠AED＝∠F＝90°，
∵∠BDC＝120°，
∴∠EAF＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°＝∠BAC，
即∠EAF﹣∠EAC＝∠BAC﹣∠EAC，
∴∠BAE＝∠CAF，
在△BAE和△CAF中
，
∴△BAE≌△CAF（AAS），
∴AE＝AF，
在Rt△ADE和Rt△ADF中
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴∠BDA＝∠CDA．
（2）结论还成立，
理由是：过A作AE⊥BD于E，AF⊥DC于F，
∵AE⊥BD，AF⊥DC，
∴∠AED＝∠F＝90°，
∵∠BDC＝120°，
∴∠EAF+∠BDC＝180°，
∵∠BAC+∠BDC＝180°，
∴∠EAF＝∠BAC，
∴∠EAF﹣∠EAC＝∠BAC﹣∠EAC，
∴∠BAE＝∠CAF，
在△BAE和△CAF中
，
∴△BAE≌△CAF（AAS），
∴AE＝AF，
在Rt△ADE和Rt△ADF中
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴∠BDA＝∠CDA，
即结论仍成立．
华东师大新版八年级上学期数学
一．选择题（共8小题）
1．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是（ ）
A．54° B．56° C．60° D．66°
2．在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝2∠ADB，AB＝3，CD＝5，则AC的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．如图，有一块三角形玻璃，小明不小心将它打破．带上这块玻璃，能配成同样大小的一块，其理由是（ ）
A．SSS B．ASA C．SAS D．HL
4．如图，点B，C，E在同一条直线上，∠B＝∠E＝∠ACF＝60°，AB＝CE，则与线段BC相等的线段是（ ）
A．AC B．AF C．CF D．EF
5．如图，已知∠B＝96°，∠DCA＝∠BCA＝30°，DC＝BC，则∠DAC的度数为（ ）
A．30° B．44° C．54° D．60°
6．如图，点B、E、C、F在同一条直线，∠A＝∠D，BE＝CF，请补充一个条件，使△ABC≌△DEF，可以补充的条件是（ ）
A．AB＝DE B．AC＝DF C．AB∥DE D．BC＝EF
7．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且AB＝AC+CD，若∠BAC＝81°，则∠ACB的大小为（ ）
A．36° B．66° C．79° D．89°
8．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，CD＝CA，∠B＝∠BAD，CE⊥AD于点E．若BC＝5，AC＝3，则AE的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
二．填空题（共4小题）
9．如图，△ABC中，AB＝4，AC＝2，D是BC的中点，若AD的长是整数，则AD＝ ．
10．已知△ABC与△DEF的三边对应相等，三个角也对应相等，则能判定△ABC与△DEF全等的方法有 种．
11．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，线段PQ＝AB，点P、Q分别在AC和与AC垂直的射线AM上移动，当AP＝ 时，△ABC和△QPA全等．
12．如图，在△ABC中，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，则以下三个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP中，正确的有 ．
三．解答题（共10小题）
13．如图，AB∥DC，AB＝DC，AF＝DE，求证：△ABE≌△DCF．
14．如图，AD、BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°，求证：AO＝BO．
15．如图，已知△ADE≌△ACB，∠EAC＝10°，∠B＝25°，∠BAD＝120°，求∠DAE，∠C的度数．
16．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC、∠ACB的平分线分别交AC、AB于点D、E，CE、BD相交于点F，连接DE．
（1）若AC＝BC＝7，求DE的长；
（2）求证：BE+CD＝BC．
17．如图，点B、F、C、E在一条直线上（点F，C之间不能直接测量），点A，D在直线l的异侧，测得AB＝DE，AB∥DE，AC∥DF．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若BE＝13m，BF＝4m，求FC的长度．
18．如图，CB为∠ACE的角平分线，F是线段CB上一点，CA＝CF，∠B＝∠E，延长EF与线段AC相交于点D．
（1）求证：AB＝FE；
（2）若ED⊥AC，AB∥CE，求∠A的度数．
19．如图②，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD＝2.5m．乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC＝1.5m，点A到地面的距离AE＝1.5m，当他从A处摆动到A'处时，若A'B⊥AB，求A'到BD的距离．
20．如图，在锐角△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AD上，DE＝DC，BE＝AC，点F为BC的中点，连接EF并延长至点M，使FM＝EF，连接CM．
（1）试说明：△BDE≌△ADC．
（2）试说明：AC⊥MC．
21．如图1，l1∥l2，直线l3分别交直线l1，l2于点A，B，点C，D分别为直线l1，l2上的点，且AC＝BD，E，F是直线l3上不与点A，B重合的点，连接CE，DF．
（1）请在图1中画出一个你设计的图形，并添加一个适当的条件： ，使得△ACE与△BDF全等，并说明理由；
（2）如图2，连接AD，若AC＝AD，∠CAB＝55°，则∠ADB＝ ．
22．在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点，连接AD，BD，CD．
（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠BDC＝120°，探究∠BDA与∠CDA的关系，理由．
（2）如图2，若将（1）中的条件改为∠BAC+∠BDC＝180°，（1）中的结论是否成立，理由．
13.2 三角形全等的判定（同步特训）华东师大新版八年级上学期数学
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是（ ）
A．54° B．56° C．60° D．66°
【答案】D
【解答】解：
∵△ABC≌△DEF，
∴∠F＝∠C＝∠1，
∵∠A＝54°，∠B＝60°，
∴∠1＝∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣54°﹣60°＝66°，
故选：D．
2．在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝2∠ADB，AB＝3，CD＝5，则AC的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【解答】解：在AC上截取AE＝AB，连接DE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
在△ABD和△AED中，
，
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴∠B＝∠AED，∠ADB＝∠ADE，BD＝DE，又∠B＝2∠ADB，
∴∠AED＝2∠ADB，
而∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝2∠ADB，
∴∠BDE＝∠AED，
∴∠CED＝∠EDC，
∴CD＝CE，
∴AC＝AE+CE＝AB+CD＝3+5＝8．
故选：C．
3．如图，有一块三角形玻璃，小明不小心将它打破．带上这块玻璃，能配成同样大小的一块，其理由是（ ）
A．SSS B．ASA C．SAS D．HL
【答案】B
【解答】解：破玻璃保留了原来三角形的两个角和一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃，
故选：B．
4．如图，点B，C，E在同一条直线上，∠B＝∠E＝∠ACF＝60°，AB＝CE，则与线段BC相等的线段是（ ）
A．AC B．AF C．CF D．EF
【答案】D
【解答】解：∵∠ACE＝∠B+∠CAB＝∠ACF+∠ECF，∠B＝∠E＝∠ACF＝60°，
∴∠ECF＝∠BAC，
∵AB＝CE，
∴△ABC≌△CEF（ASA），
∴BC＝EF．
故选：D．
5．如图，已知∠B＝96°，∠DCA＝∠BCA＝30°，DC＝BC，则∠DAC的度数为（ ）
A．30° B．44° C．54° D．60°
【答案】C
【解答】解：在△ACD和△ACB中，
，
∴△ACD≌△ACB（SAS），
∴∠D＝∠B＝96°，
∴∠DAC＝180°﹣∠DCA﹣∠D＝180°﹣30°﹣96°＝54°，
故选：C．
6．如图，点B、E、C、F在同一条直线，∠A＝∠D，BE＝CF，请补充一个条件，使△ABC≌△DEF，可以补充的条件是（ ）
A．AB＝DE B．AC＝DF C．AB∥DE D．BC＝EF
【答案】C
【解答】解：∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，
即BC＝EF，
A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
B．AC＝DF，BC＝EF，∠A＝∠D不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
C．∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
条件∠B＝∠DEF，∠A＝∠D，BC＝EF符合全等三角形的判定定理，能推出△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；
D．BC＝EF，∠A＝∠D不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
故选：C．
7．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且AB＝AC+CD，若∠BAC＝81°，则∠ACB的大小为（ ）
A．36° B．66° C．79° D．89°
【答案】B
【解答】解：在AB上截取AC'＝AC，连接DC'，
∵AB＝AC+CD，
∴BC'＝DC，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠C'AD＝∠DAC，
在△ACD和△AC'D中，
，
∴△ACD≌△AC'D（SAS），
∴C'D＝CD，∠ACD＝∠AC'D，
∴DC'＝BC'，
∴△BC'D是等腰三角形，
∴∠C'BD＝∠C'DB，
设∠C'BD＝∠C'DB＝x，则∠ACD＝∠AC'D＝2x，
∵∠BAC＝81°，
∴x+2x+81°＝180°，
解得：x＝33°，
∴∠ACB＝33°×2＝66°，
故选：B．
8．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，CD＝CA，∠B＝∠BAD，CE⊥AD于点E．若BC＝5，AC＝3，则AE的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【答案】A
【解答】解：∵CE⊥AD于点E，
∴∠CEA＝∠CED＝90°，
在Rt△CEA和Rt△CED中，
，
∴Rt△CEA≌Rt△CED（HL），
∴AE＝DE，
∵BC＝5，AC＝3，
∴BD＝BC﹣CD＝BC﹣AC＝5﹣3＝2，
∵∠B＝∠BAD，
∴BD＝AD＝2，
∴AE＝AD＝1．
故选：A．
二．填空题（共4小题）
9．如图，△ABC中，AB＝4，AC＝2，D是BC的中点，若AD的长是整数，则AD＝ 2 ．
【答案】2．
【解答】解：如图，AB＝4，AC＝2，AD是BC上的中线，
延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE＝AC＝2，
在△ABE中，BE﹣AB＜AE＜AB+BE，
即2＜2AD＜6，
解得1＜AD＜3，
又∵AD是整数，
∴AD＝2，
故答案为：2．
10．已知△ABC与△DEF的三边对应相等，三个角也对应相等，则能判定△ABC与△DEF全等的方法有 4 种．
【答案】4．
【解答】解：根据全等三角形的判定方法，存在判定方法SSS、SAS、ASA、AAS，共4种．
故答案为：4．
11．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，线段PQ＝AB，点P、Q分别在AC和与AC垂直的射线AM上移动，当AP＝ 5cm或10cm 时，△ABC和△QPA全等．
【答案】5cm或10cm．
【解答】解：∵PQ＝AB，
∴根据三角形全等的判定方法HL可知，
①当P运动到AP＝BC时，△ABC≌△QPA，即AP＝BC＝5cm；
②当P运动到与C点重合时，△QAP≌△BCA，即AP＝AC＝10cm．
故答案为：5cm或10cm．
12．如图，在△ABC中，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，则以下三个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP中，正确的有 ①② ．
【答案】①②．
【解答】解：∵PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，
∴∠ARP＝∠ASP＝90°，
在Rt△APR和Rt△APS中，
，
∴Rt△APR≌Rt△APS（HL），
∴AS＝AR，∠1＝∠2，故①正确，
∵AQ＝PQ，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴PQ∥AR，故②正确，
在△BRP和△CSP中，只有一个角，一条边相等无法证明全等．故③错误，
故答案为：①②．
三．解答题（共10小题）
13．如图，AB∥DC，AB＝DC，AF＝DE，求证：△ABE≌△DCF．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵AB∥DC，
∴∠D＝∠A，
又AF＝DE，
∴AF+FE＝DE+EF，
即 AE＝DF，
在△CDF和△BAE中，
∴△ABE≌△DCF（SAS）
14．如图，AD、BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°，求证：AO＝BO．
【答案】证明过程见解析．
【解答】证明：在Rt△ABC与Rt△BAD中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
∴∠ABC＝∠BAD，
∴AO＝BO．
15．如图，已知△ADE≌△ACB，∠EAC＝10°，∠B＝25°，∠BAD＝120°，求∠DAE，∠C的度数．
【答案】∠DAE＝55°；∠C＝100°．
【解答】解：∵∠EAC＝10°，∠BAD＝120°，
∴∠DAE+∠CAB＝∠BAD﹣∠EAC＝110°．
∵△ADE≌△ACB，
∴∠DAE＝∠CAB＝110°÷2＝55°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠CAB＝100°．
16．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC、∠ACB的平分线分别交AC、AB于点D、E，CE、BD相交于点F，连接DE．
（1）若AC＝BC＝7，求DE的长；
（2）求证：BE+CD＝BC．
【答案】（1）；
（2）证明过程见解析．
【解答】解：（1）∵AC＝BC，∠A＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC＝AB，
又∵BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，
∴D、E分别是AC、AB的中点，
∴AD＝AC，AE＝AB，
∴AD＝AE，
∴△ADE为等边三角形，
∴DE＝AE＝；
（2）证明：在BC上截取BH＝BE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵BF＝BF
∴△EBF≌△HBF（SAS），
∴∠EFB＝∠HFB＝60°．
∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠ABD＝∠CBD，∠ACE＝∠BCE，
∴∠CBD+∠BCE＝60°，
∴∠BFE＝60°，
∴∠CFB＝120°，
∴∠CFH＝60°，
∴∠CFH＝∠CFD＝60°，
∵CF＝CF，
∴△CDF≌△CHF（ASA）．
∴CD＝CH，
∵CH+BH＝BC，
∴BE+CD＝BC．
17．如图，点B、F、C、E在一条直线上（点F，C之间不能直接测量），点A，D在直线l的异侧，测得AB＝DE，AB∥DE，AC∥DF．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若BE＝13m，BF＝4m，求FC的长度．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠ABC＝∠DEF，
∴AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）；
（2）解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
∴BF+FC＝EC+FC，
∴BF＝EC，
∵BE＝13m，BF＝4m，
∴FC＝13﹣4﹣4＝5m．
18．如图，CB为∠ACE的角平分线，F是线段CB上一点，CA＝CF，∠B＝∠E，延长EF与线段AC相交于点D．
（1）求证：AB＝FE；
（2）若ED⊥AC，AB∥CE，求∠A的度数．
【答案】（1）证明见解析；
（2）120°．
【解答】（1）证明：∵CB为∠ACE的角平分线，
∴∠ACB＝∠BCE，
在△ACB和△FCE中，
，
∴△ACB≌△FCE（AAS），
∴AB＝FE；
（2）解：∵AB∥CE，
∴∠ABC＝∠BCE，
∵∠BCE＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∵△ACB≌△FCE，
∴FE＝FC，
∴∠E＝∠FCE，
设∠FCE＝x，
则∠E＝x，∠ACB＝x，
∵ED⊥AC，
∴∠EDC＝90°，
∴3x+90°＝180°，
解得x＝30°，
∴∠ACB＝∠ABC＝30°，
∴∠A＝120°．
19．如图②，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD＝2.5m．乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC＝1.5m，点A到地面的距离AE＝1.5m，当他从A处摆动到A'处时，若A'B⊥AB，求A'到BD的距离．
【答案】A'到BD的距离是1m．
【解答】解：如图2，作A'F⊥BD，垂足为F．
∵AC⊥BD，
∴∠ACB＝∠A'FB＝90°；
在Rt△A'FB中，∠1+∠3＝90°；
又∵A'B⊥AB，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠2＝∠3；
在△ACB和△BFA'中，
，
∴△ACB≌△BFA'（AAS）；
∴A'F＝BC
∵AC∥DE且CD⊥AC，AE⊥DE，
∴CD＝AE＝1.5m；
∴BC＝BD﹣CD＝2.5﹣1.5＝1（m），
∴A'F＝1（m），
即A'到BD的距离是1m．
20．如图，在锐角△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AD上，DE＝DC，BE＝AC，点F为BC的中点，连接EF并延长至点M，使FM＝EF，连接CM．
（1）试说明：△BDE≌△ADC．
（2）试说明：AC⊥MC．
【答案】（1）见解析过程；
（2）见解析过程．
【解答】解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠BDE＝∠ADC＝90°，
在Rt△BDE与Rt△ADC中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△ADC（HL），
（2）∵F为BC中点，
∴BF＝CF，
在△BFE与△CFM中，
，
∴△BFE≌△CFM（SAS），
∴∠CBE＝∠BCM，BE＝MC，
∵Rt△BDE≌Rt△ADC，
∴∠CBE＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠BCM，
∵∠CAD+∠ACD＝90°，
∴∠BCM+∠ACD＝90°，
即∠ACM＝90°，
∴AC⊥MC．
21．如图1，l1∥l2，直线l3分别交直线l1，l2于点A，B，点C，D分别为直线l1，l2上的点，且AC＝BD，E，F是直线l3上不与点A，B重合的点，连接CE，DF．
（1）请在图1中画出一个你设计的图形，并添加一个适当的条件： AE＝BF ，使得△ACE与△BDF全等，并说明理由；
（2）如图2，连接AD，若AC＝AD，∠CAB＝55°，则∠ADB＝ 70° ．
【答案】（1）AE＝BF，
理由见解析；
（2）70°．
【解答】解：（1）添加一个适当的条件：AE＝BF，
理由：如图1，
∵l1∥l2，
∴∠CAE＝∠DBF，
在△ACE与△BDF中，
，
∴△ACE≌△BDF（SAS）；
故答案为：AE＝BF；
（2）如图2，连接BC，
∵l1∥l2，
即AC∥BD，
∵AC＝BD，
∴四边形ACBD是平行四边形，
∵AC＝AD，
∴四边形ACBD是菱形，
∴∠DAB＝∠CAB＝∠ABD＝55°，
∴∠ADB＝180°﹣55°﹣55°＝70°．
解法2：∵l1∥l2，
∴∠CAB＝∠ABD，∠CAD+∠BDA＝180°，
∵AC＝BD，AC＝AD，
∴BD＝AD，
∴∠DAB＝∠ABD，
∵∠CAB＝55°，
∴∠ABD＝∠BAD＝55°，
∴∠CAD＝110°，
∴∠ADB＝180°﹣110°＝70°，
故答案为：70°．
22．在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点，连接AD，BD，CD．
（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠BDC＝120°，探究∠BDA与∠CDA的关系，理由．
（2）如图2，若将（1）中的条件改为∠BAC+∠BDC＝180°，（1）中的结论是否成立，理由．
【答案】（1）∠BDA＝∠CDA；
（2）结论仍成立．
【解答】解：（1）∠BDA＝∠CDA，
理由是：∵在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝60°，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
过A作AE⊥BD于E，AF⊥DC于F，
∵AE⊥BD，AF⊥DC，
∴∠AED＝∠F＝90°，
∵∠BDC＝120°，
∴∠EAF＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°＝∠BAC，
即∠EAF﹣∠EAC＝∠BAC﹣∠EAC，
∴∠BAE＝∠CAF，
在△BAE和△CAF中
，
∴△BAE≌△CAF（AAS），
∴AE＝AF，
在Rt△ADE和Rt△ADF中
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴∠BDA＝∠CDA．
（2）结论还成立，
理由是：过A作AE⊥BD于E，AF⊥DC于F，
∵AE⊥BD，AF⊥DC，
∴∠AED＝∠F＝90°，
∵∠BDC＝120°，
∴∠EAF+∠BDC＝180°，
∵∠BAC+∠BDC＝180°，
∴∠EAF＝∠BAC，
∴∠EAF﹣∠EAC＝∠BAC﹣∠EAC，
∴∠BAE＝∠CAF，
在△BAE和△CAF中
，
∴△BAE≌△CAF（AAS），
∴AE＝AF，
在Rt△ADE和Rt△ADF中
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴∠BDA＝∠CDA，
即结论仍成立．