江西省新余市重点中学2023-2024学年高一开学考试数学试题（含解析）

2023-2024高一数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题有且只有一个正确答案共40分）
1. 不等式解集在数轴上表示正确的是（ ）
A B.
C. D.
2. 一次函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
3. 如图为甲、乙、丙、丁四名射击运动员在赛前的某次射击选拔赛中，各射击10次成绩的折线图和表示平均数的水平线，经过计算，四人成绩的方差关系为：，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
4. 设集合均为全集的非空子集，且，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知集合，且，则实数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 0或3 D.
6. 已知集合，，若，则实数a的所有可能取值构成的集合为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知命题：，，若命题是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8. “”是“且”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
二、多选题（本大题共4小题，共20分．全部选对的得5分：部分选对的2分，有选错的得0分）
9. 以下四个选项表述正确的有（ ）
A. B.
C. D.
10. 若长度分别是的三条线段能组成一个三角形，则的值可以是（ ）
A. B. C. D.
11. 抛物线的顶点坐标为，其大致图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 若方程有两个根，且；则
D. 若方程有四个根，则这四个根的和为4
12. 已知是同时满足下列条件的集合：①；②若，则；③且，则．下列结论中正确的有（ ）
A. B.
C. 若，则 D. 若，则
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 已知集合，集合，则集合的真子集的个数为__________（填写数字）
14. 关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且，则的值是_______．
15. 设集合，其中为实数，令，，若中的所有元素之和为6，中的所有元素之积为_________．
16. 如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点为线段的中点，点分别为线段上的动点，当值最小时，点的坐标为_______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．17题10分，其它题均为12分）
17 （1）先化简，再求值：，其中；
（2）已知，求的值.
18. 设全集，集合，集合．
（1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围；
（2）若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围．
19. 已知某工厂有两条不同生产线和生产同一种产品各万件，为保证质量，现从各自生产的产品中分别随机抽取件，进行品质鉴定，鉴定成绩的记录如下：
：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
该产品质量评价标准规定：若鉴定成绩为，当时，产品质量等级为优秀：当时，产品质量等级为良好；当时，产品质量等级为合格．
（1）生产线件产品的鉴定成绩的中位数为_______；生产线件产品的鉴定成绩的众数为_______；
（2）从等级为优秀的样本中随机抽取两件，求抽取的两件产品中至少一件是生产线生产的概率；
（3）已知每件产品的成本为元，质量等级为良好、合格的产品的售价分别为元/件，元/件，要使该工厂的销售利润不低于万元，则质量等级为优秀的产品如何定价？
20. 已知集合或，．
（1）若，求的取值范围；
（2）若，且，求的取值范围．
21. 记关于x的方程的解集为M，其中．
（1）求M恰有3个元素的充要条件；
（2）在（1）的条件下，试求：以M中的元素为边长的三角形恰好为直角三角形的充要条件．
22. 如图：已知抛物线与轴交于点，与轴分别交于点、点，直线与抛物线相交于点、点，已知点坐标是，点是抛物线上一动点．
（1）的值；
（2）当点位于直线上方何处时，面积最大？最大面积是多少？
（3）点是直线上一动点，是否存在点、点使得四边形恰好为平行四边形？若存在，求出此时点、点的坐标
1. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式，即可得出合适的选项.
【详解】解不等式，可得，故不等式的解集在数轴上表示正确的是A选项.
故选：A.
2. 一次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由一次函数的图象过一二四象限可知，再判断一次函数、反比例函数的图象所在象限可得答案.
【详解】由一次函数的图象过一二四象限，可知，
所以一次函数的图象过一三四象限，
反比例函数的图象在一三象限.
故选：C.
3. 如图为甲、乙、丙、丁四名射击运动员在赛前的某次射击选拔赛中，各射击10次成绩的折线图和表示平均数的水平线，经过计算，四人成绩的方差关系为：，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【答案】A
【解析】
【分析】利用平均数和方差的意义进行判断即可.
【详解】由折线统计图可知，甲、丙的平均数的水平线高于乙、丁的平均数水平线，
即甲、丙的成绩相对较好；
显然，比较甲、丙的折线图可知，甲的成绩相对于平均成绩的波动幅度小于丙的成绩相对于平均成绩的波动幅度，
即甲的成绩更稳定；
所以这四人中甲的成绩好又发挥稳定.
故选：A
4. 设集合均为全集的非空子集，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据交集的性质，可得，由包含关系，可得并集结果，结合交并补的混合运算，可得答案.
【详解】因为，所以，则，
.
故选：A.
5. 已知集合，且，则实数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 0或3 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据得或，求出后验证集合中元素的互异性可得结果.
【详解】因为且，
所以或，
①若，此时，不满足互异性；
②若，解得或3，
当时不满足互异性，当时，符合题意.
综上所述，.
故选：B
6. 已知集合，，若，则实数a的所有可能取值构成的集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可知，对集合B分等于空集和不等于空集两种情况讨论，分别求出符合题意的a的值即可．
【详解】集合，
∵，∴，
①当时，，符合题意，
②当时，，，
则有或，解得：或，
综上所述，实数a的所有可能的取值组成的集合为
故选：D
7. 已知命题：，，若命题是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据原命题为假可知其否定为真，由一元二次方程无根可构造不等式求得结果.
【详解】若命题为假命题，则其否定，为真命题，
，解得：.
故选：B.
8. “”是“且”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】当，此时满足，但且不成立，所以充分性不成立；
反之：若且，可得成立，所以必要性成立，
所以“”是“且”必要不充分条件.
故选：B.
二、多选题（本大题共4小题，共20分．全部选对的得5分：部分选对的2分，有选错的得0分）
9. 以下四个选项表述正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由元素与集合的关系判断AD；由空集的规定与真子集概念判断B；由子集的概念判断C.
【详解】对选项A，由不是的元素，故A错误；
对选项B，由规定：空集是任何集合的子集，则且存在，故 ，B正确；
对选项C，由子集概念，中的任意一个元素都是的元素，则，C正确；
对选项D，由不是的元素，D错误.
故选：BC.
10. 若长度分别是的三条线段能组成一个三角形，则的值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】由三角形三边关系可直接得到可能的取值.
【详解】由三角形三边关系知：，即，可能的取值为.
故选：CD.
11. 抛物线的顶点坐标为，其大致图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 若方程有两个根，且；则
D. 若方程有四个根，则这四个根的和为4
【答案】CD
【解析】
【分析】根据抛物线图象确定参数符号来判断选项A，由顶点坐标可得、，进而判断选项B；由有两个根和，且，由图象即可判断选项C；讨论，结合图象对称性或根与系数关系求四个根和，可判断选项D.
【详解】选项A，抛物线的开口向上，则，
对称轴在轴的右侧，，则，
又图象交轴的正半轴，则，
，A错误；
选项B，抛物线的顶点坐标，
，，
，，
，B错误；
选项C，由以上可知，抛物线的解析式为，即，
抛物线交轴于，，开口向下，其图象即已知图形，
若方程有两个根和，且，
由图象可知，，C正确；
选项D，若方程有四个根，
则方程与各有两根.
设方程的两根分别为和，则，可得，
设方程的两根分别为和，则，可得，
所以这四个根的和为，D正确，
故选：CD.
12. 已知是同时满足下列条件的集合：①；②若，则；③且，则．下列结论中正确的有（ ）
A. B.
C. 若，则 D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】由，利用条件②和③判断选项AB；得，根据，由②得到，再根据，利用②判断选项C；根据，，利用②得到，再由③得到，，进而再由②判断.
【详解】因为，由②得，，，由③得，故A正确，B错误；
因为，由②得，所以，故C正确；
因为，，由②得，由③得，，由②得，由③得，由②得，故D正确；
故选：ACD
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 已知集合，集合，则集合的真子集的个数为__________（填写数字）
【答案】
【解析】
【分析】求出两个集合的并集，再根据列举法和真子集的定义可求出结果.
【详解】因为，，
所以，
所以集合的真子集为：，，，，，,,,,,,,,,.
所以集合真子集的个数为个.
故答案为：
14. 关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且，则的值是_______．
【答案】
【解析】
【分析】利用韦达定理和已知等式可构造方程求得可能的取值，代回方程验证方程是否有两个实根即可确定结果.
【详解】由题意知：，，，
即，解得：或；
当时，一元二次方程为，，方程有两个不等实根，满足题意；
当时，一元二次方程为，，方程无解，不合题意；
综上所述：.
故答案：.
15. 设集合，其中为实数，令，，若中的所有元素之和为6，中的所有元素之积为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据中的元素的和为6可得的元素，从而可求中的元素，从而可得各元素的积，注意分类讨论.
【详解】因为，而，故，
所以，
若，则或（舍），此时，
故中的所有元素之积为.
若，则，这与或，
这与中的所有元素之和为6矛盾.
若，则或（舍），此时，
这与中的所有元素之和为6矛盾.
若，则，则，
即，无解.
故答案为：.
【点睛】思路点睛：对于集合中元素的确定问题，注意利用元素的互异性、确定性和无序性来分类讨论.
16. 如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点为线段的中点，点分别为线段上的动点，当值最小时，点的坐标为_______．
【答案】
【解析】
【分析】求出点关于原点的对称点，当时，取得最小值，结合方程可求得交点的坐标.
详解】由题意知：，，则，
点关于坐标原点的对称点为，
则当，且交于点时，取得最小值；
易得直线的方程为，
由得：，.
故答案为：.
四、解答题（本大题共6小题，共70分．17题10分，其它题均为12分）
17. （1）先化简，再求值：，其中；
（2）已知，求的值.
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】（1）利用幂的运算法则化简，把值代入即可求解；
（2）利用完全和平方公式和整式的化简求值即可.
【详解】（1）
，
将代入得；
（2）
，
因为，所以，所以.
18. 设全集，集合，集合．
（1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围；
（2）若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用集合的包含关系列出不等式求解作答.
（2）将问题转化为，再分空集和非空集合讨论求解作答.
【小问1详解】
由“”是“”的充分不必要条件，得 ，
又，，
因此或，解得，
所以实数的取值范围为.
【小问2详解】
命题“，则”是真命题，则有，
当时，，解得，符合题意，因此；
当时，而，
则，无解，
所以实数的取值范围.
19. 已知某工厂有两条不同生产线和生产同一种产品各万件，为保证质量，现从各自生产的产品中分别随机抽取件，进行品质鉴定，鉴定成绩的记录如下：
：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
该产品的质量评价标准规定：若鉴定成绩为，当时，产品质量等级为优秀：当时，产品质量等级为良好；当时，产品质量等级为合格．
（1）生产线件产品的鉴定成绩的中位数为_______；生产线件产品的鉴定成绩的众数为_______；
（2）从等级为优秀的样本中随机抽取两件，求抽取的两件产品中至少一件是生产线生产的概率；
（3）已知每件产品的成本为元，质量等级为良好、合格的产品的售价分别为元/件，元/件，要使该工厂的销售利润不低于万元，则质量等级为优秀的产品如何定价？
【答案】（1）；
（2）
（3）质量等级为优秀的产品定价应不低于元/件
【解析】
【分析】（1）根据中位数和众数定义可直接得到结果；
（2）列举出所有可能的情况和满足题意的情况，结合概率的求法可得结果；
（3）根据样本中的比例可得优秀、良好和合格的产品数，利用利润可构造不等式，从而确定优秀产品的定价.
【小问1详解】
由中位数定义知：生产线件产品的鉴定成绩的中位数为；
由众数定义知：生产线件产品的鉴定成绩的众数为.
【小问2详解】
由题意知：等级为优秀的样本共有件，其中生产线件，记为；生产线件，记为，
则从中抽取件，所有可能的结果有，，，，，，，，，，共种情况；
其中至少一件是生产线生产的情况有，，，，，，，共种情况，
所求概率.
【小问3详解】
由样本数据知：生产线质量等级为优秀、良好和合格的产品数量之比为；生产线质量等级为优秀、良好和合格的产品数量之比为；
该工厂生产质量等级为优秀的产品共万件；良好的产品共万件；合格的产品共万件；
设优秀产品的定价为元，
则，解得：，
即质量等级为优秀的产品定价应不低于元/件.
20. 已知集合或，．
（1）若，求的取值范围；
（2）若，且，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据并集结果可得，分别讨论和的情况即可求得结果；
（2）由交集结果可知，分别讨论、和，根据可构造不等式求得结果
【小问1详解】
由题意知：；
，；
①当，即时，满足，此时；
②当时，若，则，解得：；
综上所述：的取值范围为.
【小问2详解】
，，，即，解得：，，；
①当，即时，，
，解得：；
②当，即时，，
，解得：；
③当，即时，，不合题意；
综上所述：的取值范围为.
21. 记关于x的方程的解集为M，其中．
（1）求M恰有3个元素的充要条件；
（2）在（1）的条件下，试求：以M中的元素为边长的三角形恰好为直角三角形的充要条件．
【答案】（1）；
（2）为所求的充要条件．
【解析】
【分析】（1）等价于或，，M恰有3个元素，即得解；
（2）先考虑必要性，得到；再考虑充分性，即得解.
【小问1详解】
原方程等价于或，
所以或，
由于，
所以当时，M恰有3个元素，即．
【小问2详解】
必要性：由（1）知，两个方程或，
两个方程的三个根分别为，
若它们是直角三角形的三边，则，
解得．
充分性：若，可解得，以6，8，10为边长的三角形恰为直角三角形．
所以为所求的充要条件．
22. 如图：已知抛物线与轴交于点，与轴分别交于点、点，直线与抛物线相交于点、点，已知点坐标是，点是抛物线上一动点．
（1）的值；
（2）当点位于直线上方何处时，面积最大？最大面积是多少？
（3）点是直线上一动点，是否存在点、点使得四边形恰好为平行四边形？若存在，求出此时点、点的坐标．
【答案】（1）；
（2）当时，面积最大，最大面积是
（3）存在，，
【解析】
【分析】（1）根据坐标即可求得的值；
（2）平行于的抛物线的切线与抛物线相切于点时，面积最大，假设切线方程，与抛物线方程联立可求得切线方程，进而得到点坐标；作，根据直线方程可求得点坐标，进而得到，代入三角形面积公式即可；
（3）假设存在满足题意的点，根据可求得点坐标，由可求得点坐标，从而得到结论.
【小问1详解】
点在轴上，且在直线上，，
又在抛物线上，；
在抛物线上，，即.
【小问2详解】
如图所示，平行于的抛物线的切线与抛物线相切于点时，面积最大，作，垂足为，
设切线方程为：，
由得：，，解得：，
切线方程为，
由得：，即，
设所在直线方程为，则，解得：，
由得：，即，
，又
.
【小问3详解】
假设存在满足题意的点，点，使得四边形为平行四边形，如下图所示，
四边形为平行四边形，，，
可设直线方程为：，
由得：，解得：或，；
直线方程为，直线方程可设为，，解得：，
即直线方程为：，
由得：，即，
存在点，，使得四边形为平行四边形