人教版2023年九年级上册 第22章 二次函数 单元测试卷 （含解析）

人教版2023年九年级上册 第22章 二次函数 单元测试卷
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．下列函数中是二次函数的是（　　）
A．y＝﹣2x B．y＝﹣ C．y＝1﹣3x2 D．y＝x+3
2．下列具有二次函数关系的是（　　）
A．正方形的周长y与边长x
B．速度一定时，路程s与时间t
C．正方形的面积y与边长x
D．三角形的高一定时，面积y与底边长x
3．抛物线y＝（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（　　）
A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（2，1） D．（2，﹣1）
4．抛物线y＝x2+4x﹣5的对称轴为（　　）
A．y轴 B．x轴 C．直线x＝2 D．直线x＝﹣2
5．在同一坐标系中，一次函数y＝﹣mx+1与二次函数y＝x2+m的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
6．抛物线y＝x2+4x﹣c与x轴只有一个公共点，则c的值为（　　）
A．c＝4 B．c＝﹣4 C．c≤4 D．c≥﹣4
7．抛物线y＝2（x+1）2﹣4平移后，得到抛物线，y＝2x2，则平移方法是（　　）
A．先向左平移1个单位，再向上平移4个单位
B．先向左平移1个单位，再向7平移4个单位
C．先向右平移1个单位，再向上平移4个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移4个单位
8．抛物线y＝a（x﹣2）2+k的开口向上，点A（﹣1，y1），B（3，y2）是抛物线上两点，则y1，y2的大小关系是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法比较
9．已知二次函数y＝x2﹣4x+2，当﹣1≤x≤1时，y的最小值为（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．7
10．如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.5米，最高点C距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱AB＝1.5米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离AE为多少米（　　）
A．3.2 B．0.32 C．2.5 D．1.6
11．已知函数，使y＝a成立时x的值恰好只有3个，则a的值为（　　）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：
①abc＞0；②2a+b＝0；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若+bx1＝+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．③④⑤ D．②③⑤
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．如果函数y＝（m﹣3）x|m﹣1|+3x﹣1是二次函数，那么m的值为 　 　．
14．抛物线在y轴的右侧呈 　 　趋势（填“上升”或者“下降”）．
15．函数y＝kx2+x+1（k为常数）的图象与坐标轴有两个交点，则k的值为 　 　．
16．某学校航模组设计制作的火箭升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数关系式为h＝﹣t2+14t+3，当火箭升空到最高点时，距离地面 　 　m．
17．如图，已经二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象如图所示，直线l∥x轴，则当ax2+bx+c≥1时x的取值范围 　 　．
18．如图，函数的图象，若直线y＝x+m与该图象只有一个交点，则m的取值范围为 　 　．
三．解答题（共6小题，满分46分）
19．（6分）已知二次函数y＝﹣2x2+4x+6．
（1）求该函数图象的顶点坐标、对称轴和与x轴的交点的坐标．
（2）自变量x在什么范围内，y随x的增大而增大？在什么范围内，y随x的增大而减小？
20．（8分）用描点法画函数的图象是学习各类函数的基础，并能直观反映出两个变量之间的函数关系．请用描点法画函数的图象，并按照要求回答下列问题：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … 4.5 …
（1）在表格内填空；
（2）在所给坐标系内描点；
（3）用平滑曲线连线；
（4）由图象可知：当x＝4时，y＝　 　；当y＜2时，x的取值范围是 　 　．
21．（7分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B（2，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上有一点P，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，若△APQ是等腰直角三角形，求点P的坐标．
22．（7分）如图，是一块抛物线型板材，工人师傅以A为坐标原点，AB边所在直线为x轴，过A点作AB的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，根据测量得知AB边长为6分米，最高点C到AB的距离为6分米．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）工人师傅计划在抛物线型板材上截出一个正方形CDEF，要求D、F两点在抛物线上（D在F的左侧），点E在抛物线的对称轴上，工人师傅的计划能否实现？若能请你帮助工人师傅在抛物线上找出到点D的位置（即求出点D的坐标），若不能请说明理由．
23．（8分）农户销售某农产品，经市场调查发现：若售价为6元/千克，日销售量为40千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克．现设售价为x元/千克（x≥6且为正整数）．
（1）若某日销售量为24千克，求该日产品的单价；
（2）若政府将销售价格定为不超过18元/千克．设每日销售额为w元，求w关于x的函数表达式，并求w的最大值和最小值；
（3）市政府每日给农户补贴a元后（a为正整数），发现最大日收入（日收入＝销售额+政府补贴）还是不超过450元，并且只有5种不同的单价使日收入不少于440元，请直接写出所有符合题意的a的值．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P是直线AC上方抛物线上任意一点，过点P分别作y轴、x轴的平行线，交直线AC于点Q，R，求QR的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）中QR取得最大值的条件下，将该抛物线向右平移个3个单位，点B平移后的对应点为D，E为新抛物线对称轴上任意一点，在新抛物线上确定一点F，使得以点P，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点F的坐标．
人教版九年级上册 第22章 二次函数 单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．【解答】解：A、y＝﹣2x，是正比例函数，不合题意；
B、y＝﹣，是反比例函数，不合题意；
C、y＝1﹣3x2，是二次函数，符合题意；
D、y＝x+3，是一次函数，不合题意；
故选：C．
2．【解答】解：A、y＝4x，是一次函数，错误；
B、s＝vt，v一定，是一次函数，错误；
C、y＝x2，是二次函数，正确；
D、y＝hx，h一定，是一次函数，错误．
故选：C．
3．【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k），
∴抛物线y＝（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（2，﹣1），
故选：D．
4．【解答】解：由题意可得，y＝x2+4x﹣5的对称轴为：，
故选：D．
5．【解答】解：∵二次函数为y＝x2+m，
∴a＝1＞0，
∴二次函数的开口方向向上，
∴排除C选项．
∵一次函数y＝﹣mx+1，
∴b＝1＞0，
∵一次函数经过y轴正半轴，
∴排除A选项．
当m＞0时，则﹣m＜0，
一次函数经过一、二、四象限，
二次函数y＝x2+m经过y轴正半轴，
∴排除B选项．
当m＜0时，则﹣m＞0
一次函数经过一、二、三象限，
二次函数y＝x2+m经过y轴负半轴，
∴D选项符合题意．
故选：D．
6．【解答】解：∵抛物线y＝x2+4x﹣c与x轴只有一个公共点，
∴方程x2+4x﹣c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4×1 （﹣c）＝0，
∴c＝﹣4．
故选：B．
7．【解答】解：∵抛物线y＝2（x+1）2﹣4的顶点坐标为（﹣1，﹣4），
平移后抛物线y＝2x2的顶点坐标为（0，0），
∴平移方法为：向右平移1个单位，再向上平移4个单位．
故选：C．
8．【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣2）2+k的图象与性质，确定抛物线开口向上，对称轴为x＝2，
∴函数y＝a（x﹣2）2+k可取到最小值，
∴抛物线上的点离对称轴越近，对应的函数值越小，
∵点A（﹣1，y1），B（3，y2）是抛物线上两点，A（﹣1，y1）到对称轴距离为2﹣（﹣1）＝3，B（3，y2）到对称轴距离为3﹣2＝1，1＜3，
∴B（3，y2）到对称轴距离比A（﹣1，y1）到对称轴距离近，
∴y1＞y2，
故选：A．
9．【解答】解：由题意得：二次函数的对称轴为直线，
∵a＝1＞0，
∴当x＜2时，y随x的增大而减小，
∵﹣1≤x≤1，
∴当x＝1时，二次函数y＝x2﹣4x+2有最小值，即为：y＝12﹣4×1+2＝﹣1；
故选：C．
10．【解答】解：如图所示，以AE所在直线为x轴、AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
方法一：∵AB＝DE＝1.5m，
∴点B与点D关于对称轴对称，
∴AE＝2×1.6＝3.2（m）；
方法二：根据题意知，抛物线的顶点C的坐标为（1.6，2.5），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1.6）2+2.5，
将点B（0，1.5）代入得，2.56a+2.5＝1.5，
解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1.6）2+2.5，
当y＝1.5时，﹣（x﹣1.6）2+2.5＝1.5，
解得x＝0（舍）或x＝3.2，
所以茶几到灯柱的距离AE为3.2米，
故选：A．
11．【解答】解：函数的图象如图：
根据图象知道当y＝2时，对应成立的x值恰好有三个，
∴a＝2．
故选：D．
12．【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，所以②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线开口向下，
∴当x＝1时，y有最大值，
∴当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，
即当m≠1时，a+b＞am2+bm，所以③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）的左侧，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，
∴x＝﹣1时，y＜0，
即a﹣b+c＜0，所以④错误；
若+bx1＝+bx2，且x1≠x2，
即若+bx1+c＝+bx2+c，且x1≠x2，则x1+x2＝2．
∴x＝x1和x＝x2时，函数值相等，
∴x1﹣1＝1﹣x2，
∴x1+x2＝2，所以⑤正确．
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．【解答】解：∵函数y＝（m﹣3）x|m﹣1|+3x﹣1是二次函数，
∴|m﹣1|＝2，且m﹣3≠0，
解得：m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
14．【解答】解：∵中的a＝﹣＜0，b＝0，
∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，
∴y轴右侧部分下降，
故答案为：下降．
15．【解答】解：∵函数y＝kx2+x+1（k为常数）的图象与坐标轴有两个交点，
①二次函数图象与x轴有1个交点，
∴1﹣4k＝0，
∴k＝，
②一次函数图象与坐标轴有两个交点，
∴k＝0，
∴k的值为0或，
故答案为：0或．
16．【解答】解：由题意可得：h＝﹣t2+14t+3＝﹣（t2﹣14t）+3＝﹣（t﹣7）2+52，
∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，
当x＝7时，h取得最大值，当火箭升空到最高点时，距离地面52m．
故答案为：52．
17．【解答】解：由函数图象可知抛物线对称轴为直线x＝1，直线l与抛物线交于点（2.5，1），
∴直线l与抛物线的另一个交点坐标为（﹣0.5，1）．
∴当﹣0.5≤x≤2.5时，ax2+bx+c≥1，
故答案为：﹣0.5≤x≤2.5．
18．【解答】解：由题意，直线y＝x+m与函数y＝的图象恒相交，
①当m＞0时，直线y＝x+m与直线y＝﹣x（x＜0）恒相交，与抛物线y＝﹣x2+2x（x＞0）至少有一个交点时，即方程x+m＝﹣x2+2x（x＞0）有两个实数根，
∴x2﹣x+m＝0，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×m≥0，
解得：；
∴当时，直线y＝x+m与函数y＝的图象有两个或三个交点，
∴当时，直线y＝x+m与函数y＝的图象只有一个交点；
②当m≤0时，由图象可知，直线y＝x+m与函数y＝的图象只有一个交点，
综上，若直线y＝x+m与该图象只有一个交点，则m的取值范围为或m≤0．
故答案为：或m≤0．
三．解答题（共6小题，满分46分）
19．【解答】解：（1）∵y＝﹣2x2+4x+6＝﹣2（x﹣1）2+8，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，8），
取y＝0，则﹣2（x﹣1）2+8＝0，
解得x＝﹣1或x＝3，
∴抛物线与x轴的交点为（﹣1，0）和（3，0）；
（2）∵抛物线的二次项系数小于0，
∴抛物线的开口向下，
又∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1时，y随着x的增大而减小，
当x＜1时，y随着x的增大而增大．
20．【解答】解：（1）当x＝﹣2时，y＝×（﹣2）2＝2；
当x＝﹣1时，y＝×（﹣1）2＝0.5；
当x＝0时，y＝0；
当x＝1时，y＝×12＝0.5；
当x＝2时，y＝×22＝2；
当x＝3时，y＝×32＝4.5．
故答案为：2，0.5，0，0.5，2，4.5．
（2）描点如图．
（3）用平滑曲线连线如上图．
（4）由图象可知：
当x＝4时，y＝8；
当y＜2时，﹣2＜x＜2．
故答案为：8，﹣2＜x＜2．
21．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B（2，0）．
∴，
解得，，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2．
（2）如图，∵PQ⊥x轴于Q，
∴∠PQA＝90°，
∵△APQ是等腰直角三角形，
∴AQ＝PQ，
∵点P在抛物线y＝x2﹣x﹣2上，
∴设点Q的坐标为（m，0）则点P（m，m2﹣m﹣2），
∴AQ＝|m﹣（﹣1）|＝|m+1|，PQ＝|m2﹣m﹣2|，
∴|m+1|＝|m2﹣m﹣2|，
∴m+1＝m2﹣m﹣2或m+1＝﹣（m2﹣m﹣2），
即m2﹣2m﹣3＝0或m2＝1，
当m2﹣2m﹣3＝0时，
解得，m＝3或m＝﹣1（舍去），
此时P（3，4），
当m2＝1时，
解得，m＝1或m＝﹣1（舍去），
此时P（1，﹣2），
综上得，点P的坐标为P（3，4）或（1，2）．
22．【解答】解：（1）∵AB边长为6分米，最高点C到AB的距离为6分米．
∴点B的坐标为（6，0），
根据抛物线的对称性可知：顶点C的坐标为（3，6），
设这个抛物线的解析式为：y＝a（x﹣3）2+6，
将点（6，0）代入y＝a（x﹣3）2+6，得：0＝a（6﹣3）2+6，解得：，
∴抛物线的解析式为：，
（2）能够实现，点D的坐标为：（1.5，4.5）．
∵点D在抛物线上，
∴可设点D的坐标为，
连接DF交CE于点H，如图：
∵四边形CDEF为正方形，
∴HD＝HC，DF⊥CE，
∵CE为抛物线的对称轴，点C的坐标为（3，6），
∴点H的坐标为，
∴HD＝3﹣t，，
∴，
整理得：2t2﹣9t+9＝0，
解得：t＝1.5或t＝3（不合题意，舍去），
当t＝1.5时，，
∴点D的坐标为（1.5，4.5）．
23．【解答】解（1）售价为x元/千克（x≥6且为正整数），则提价（x﹣6）元，
故销售量为[40﹣2（x﹣6）]＝（52﹣2x）千克，
根据题意，得52﹣2x＝24，
解得x＝14，
故该日产品的单价为14元/千克．
（2）设售价为x元/千克（x≥6且为正整数），销售额为w元，则提价（x﹣6）元，
故销售量为[40﹣2（x﹣6）]＝（52﹣2x）千克，
∴w＝x（52﹣2x）＝﹣2x2+52x，
∴w＝﹣2（x﹣13）2+338，
∵6≤x≤18，且对称轴右侧，y随x的增大而减小，到对称轴距离越大，函数值越小，且13﹣6＝7，18﹣13＝5，
∴x＝13时，w取得最大值，且最大值为338元，
∴x＝6时，w取得最小值，且最小值为240元，
w＝﹣2x2+52x，w的最大338元，w的最小240元．
（3）由题意得：440≤﹣2x2+52x+a≤450，由二次函数的对称性可知x的取值为11，12，13，14，15，
∴x＝13时，w＝338元
∴x＝11或15时，w＝330元，
∴x＝12或14时，w＝336元，
且：440≤﹣2x2+52x+a≤450，
∴110≤a≤112，
∵a是正整数，
∴a的值为110或111或112．
24．【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，
∴，
解得：，
∴该抛物线的函数表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如图，PQ∥y轴，PR∥x轴，
在y＝﹣x2﹣2x+3中，令x＝0，得y＝3．
∴点C的坐标为（0，3），
∴OC＝3，
∵A（﹣3，0），
∴OA＝3，
∴OA＝OC，
∴△OAC为等腰直角三角形，
∴∠CAO＝45°．
设直线AC的表达式为y＝kx+m（k≠0），
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴，
解得：，
∴直线AC的表达式为y＝x+3，
∵PR∥x轴，
∴∠PRQ＝∠COA＝45°．
又∵PQ∥y轴，
∴△PQR为等腰直角三角形，
∴QR2＝PQ2+PR2＝2PQ2，
即．
设点P的坐标为（t，﹣t2﹣2t+3）（其中﹣3＜t＜0），则点Q（t，t+3），
∴PQ＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t＝﹣（t+）2+．
∵﹣1＜0，
∴当时，PQ有最大值．
∴QR的最大值为．
此时，点P的坐标为；
（3）由题意得：将抛物线y＝﹣x2﹣2x+3向右平移3个单位后的新抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）2+4＝﹣x2+4x，点B（1，0）平移后的对应点为D（4，0），
∵新抛物线y＝﹣（x﹣2）2+4的对称轴为直线x＝2，
∴设E（2，m），F（n，﹣n2+4n），
由（2）知P，
分情况讨论：
①当PF、DE为对角线时，则﹣+n＝2+4，
解得：n＝，
∴F1（，﹣）；
②当DF、EP为对角线时，n+4＝﹣+2，
解得：n＝﹣，
∴F2（﹣，﹣）；
③当EF、DP为对角线时，n+2＝﹣+4，
解得：n＝，
∴F3（，）；
综上所述，点F的坐标为：F1（，﹣），F2（﹣，﹣），F3（，）．