河南省郑州市高新区创启学校2023-2024学年北师大版八年级上学期开学考试数学试卷（含解析）

2023-2024 学年八年级（上）开学数学试卷
时间：90 分钟 分值：100 分
一、选择题（每题 3 分，共 10 小题）
1 0.456 3 ．有下列各数： ， 2 ，（﹣π）
0，3.14，0.80108，0.1010010001…（相邻两个 1之间 0
1
的个数逐次加 1）， 4 ， ，其中是无理数的有（ ）
2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．PM2.5是大气压中直径小于或等于0.000025的颗粒物，0.000025用科学计数法表示为（ ）
A．0.25 10 5 B．0.25 10 6 C． 2.5 10 5 D． 2.5 10 6
3．下列运算结果正确的是（ ）
3
A．m2 m2 2m4 B． a2 a3 a5 C． mn2 mn6 D．m6 m2 m3
4．下列选项中，过点 P画 AB的垂线CD，三角板放法正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，△ABC中，AB>AC，∠CAD为△ABC的外角，观察图中尺规作图的痕迹，则下列
结论错误的是（ ）
第 5题图 第 6题图 第 7题图 第 10题图
A．∠DAE=∠B B．∠EAC=∠C C．AE∥BC D．∠DAE=∠EAC
6．如图，把一张长方形纸片 ABCD沿 EF折叠后，点 A落在 CD边上的点 A'处，点 B落在
点 B'处，若∠1＝115°，则图中∠2的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
7．如图，AB//CD，BP和 CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点 P，且与 AB垂直．若点
P到 BC的距离是 4，则 AD的长为 （ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
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8．甲乙两地相距300km，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，两车同时
出发,中途不停留．各自到达目的地后停止，已知货车的速度为 40km/h．轿车的速度为
60km/h．设货车行驶时间为 x（小时），两车间距离为 y（千米），则下列图象中可以反映变
量 y与 x之间关系的是（ ）
A． B． C． D．
9．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60 ，则等腰三角形的底角度数为（ ）
A．15 B．30 C．15 或75 D．30 或150
10．如图，已知长方形 ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm，点 E为 AD的中点．若点 P在线
段 AB上以 2cm/s的速度由点 A向点 B运动．同时，点 Q在线段 BC上由点 C向点 B运动，
若 AEP与 BPQ全等，则点 Q的运动速度是（ ）
8 8 2
A．2或 B．6或 C．2或 6 D．1或
3 3 3
二、填空题（每题 3 分，共 5小题）
11．81的平方根是 ．
12．已知 a，b 2，c是三角形的三边长，且满足 a 12 b 5 c 13 0 ，则该三角形的
形状是 ．
13．将一个完全平方式展开后得到 4x2﹣mx+121，则 m的值为 ．
14．七巧板是我们祖先的一项伟大创造，被兴为“东方魔板”．在一次“美术制作”活动课上，
小明用边长为 4cm的正方形纸片制作了如图所示的七巧板（如图 1），并设计了一幅作品“我
跑步，我快乐”创作画（如图 2），则创作画中阴影部分的面积是 cm2．
第 14题图 第 15题图
15．如图，在 ABC中， AB AC，直线MN垂直平分 AB，点D为BC的中点，点 E为线
段MN上一动点，若 BC 4，等腰 ABC面积为 12，则△BDE的周长的最小值为 ．
三、解答题（共 55 分）
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16．（10分）解答题
(1) 4计算： 1 (1.7

)0 ( 2) 2 ；
2
(2)先化简，再求值：m m 2n (m 1) 2 2m 1，其中m ，n 2022．
2022
17．（7分）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1，△ABC的顶点都在
正方形网格的格点（网格线的交点）上．
（1）请在如图所示的网格平面内作出△ABC关于直线 l对称的△DEF（点 A，B，C的对应
点为点 D，E，F）．
（2）求出△DEF的面积．
18．（7分）如图，一个均匀的转盘被平均分成 10等份，分别标有 1，2，3，4，5，6，7，8，
9，10这 10个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．
两人参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则猜数的人获
胜，否则转动转盘的人获胜．猜数的规则从下面两种中选一种：
①猜“是 3的倍数”或“不是 3的倍数”；
②猜“是大于 6的数”或“不是大于 6的数”．
如果轮到你猜数，那么为了尽可能获胜，你将选择哪一种猜数方法？怎样猜？请说明理由．
第 18题图 第 19题图
19．（8分）如图，将长方形 ABCD沿着对角线 BD折叠，使点 C落在C 处， BC 交 AD于
点 E．
（1）试判断△BDE的形状，并说明理由；
（2）若 AB＝4，AD＝8，求△BDE的面积．
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20．（7分）已知动点 P以每秒 2cm的速度沿如图甲所示的边框按 B C D E F A
的路径移动，其中 A B C E F 90 ，相应的 ABP的面积S关于时间 t的函数
图象如图乙所示，若 AB 6cm，试回答下列问题：
（1）如图甲 BC _______cm；EF ________cm．
（2）如图乙，图中的a ________，b _______．
（3）在上述运动过程中， ABP面积的最大值是________cm2 ．
2 2
21．（7分）先阅读，再解答：由 5 3 5 3 5 3 2可以看出，两个含有
二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行
二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：
1 3 2
3 2
3 2 3 2 3 2 ，请完成下列问题：
(1) 2 1的有理化因式是______；
3
(2)化去式子分母中的根号： ______．（直接写结果）
3 6
1 1 1
(3)利用你发现的规律计算下列式子的值：( )( 2021 1)．
2 1 3 2 2021 2020
22．（9分）如图 1，点 C为线段 AB上任意一点（不与点 A、B重合），分别以 AC、BC为
一腰在 AB的同侧作等腰△ACD和△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝30°，连
接 AE交 CD于点 M，连接 BD交 CE于点 N，AE与 BD交于点 P，连接 CP．
（1）线段 AE与 DB的数量关系为 ；请直接写出∠APD＝ ；
（2）将△BCE绕点 C旋转到如图 2所示的位置，其他条件不变，探究线段 AE与 DB的数
量关系，并说明理由；求出此时∠APD的度数；
（3）在（2）的条件下求证：∠APC＝∠BPC．
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参考答案：
1．C
【来源】辽宁省朝阳市双塔区第一中学 2019-2020学年八年级上学期期中数学试题
【分析】根据无理数是无限不循环小数，即可得出答案.
3
【详解】解： 2 ，0.101 001 000 1… 1 0 1
1
（相邻两个 之间 的个数逐次加 ）， 是无理数，
2
0.456，（﹣π）0=1，3.14，0.80108， 4 2是有理数，
所以无理数共有 3个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查无理数的概念，掌握无理数的概念是解题的关键．
2．C
【来源】福建省漳州市北斗中学 2022-2023学年七年级下学期期中考试数学试题
【分析】绝对值小于 1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a 10 n ，与较大数
的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面
的 0的个数所决定．
【详解】解：将数据0.000025用科学记数法表示为 2.5 10 5，
故选：C．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a 10 n，其中1 | a | 10， n为
由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0的个数所决定．
3．B
【来源】山西省晋中市 2022-2023学年七年级下学期期末数学试题
【分析】根据同底数幂乘除法计算法则，幂的乘方和合并同类项等计算法则求解即可．
【详解】解：A、m2 m2 2m2 ，原式计算错误，不符合题意；
B、 a2 a3 a2 3 a5，原式计算正确，符合题意；
C、 mn2 3 m3n6 ，原式计算错误，不符合题意；
D、m6 m2 m6 2 m4 ，原式计算错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方和合并同类项，熟知相关计算法则
是解题的关键．
4．C
1
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【来源】专题 2.1两条直线的位置关系（知识解读）-2022-2023学年七年级数学下册《同步
考点解读·专题训练》（北师大版）
【分析】根据画垂线的方法进行判断即可．
【详解】解：∵三角板有一个角是直角，
∴三角板的一条直角边与直线 AB重合，
∵过点 P作直线 AB的垂线，
∴三角板的另一条直角边过点 P，
∴符合上述条件的图形只有选项 C．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了用三角板画垂线，解题的关键是熟练掌握用三角板画垂线的方法．
5．D
【来源】2017年初中毕业升学考试（广西四市卷）数学（带解析）
【详解】解：根据图中尺规作图的痕迹，可得∠DAE=∠B，故 A选项正确，
∴AE∥BC，故 C选项正确，
∴∠EAC=∠C，故 B选项正确，
∵AB＞AC，∴∠C＞∠B，∴∠CAE＞∠DAE，故 D选项错误，
故选 D．
【点睛】本题考查作图—复杂作图；平行线的判定与性质；三角形的外角性质．
6．A
【来源】辽宁省锦州市太和区 2019-2020学年七年级下学期期末数学试题
【分析】由邻补角概念和翻折变换性质得出∠EFB'=∠1=115°，∠EFC=65°，据此知
∠CFB'=50°，结合∠B=∠B'=90°，可得∠FMB'=90°-∠CFB'，从而得出答案．
【详解】解：如图，
∵∠1=115°，
2
{#{QQABDYiQgggAABJAARgCEQEwCgCQkACCCAgOABAIoAABCQFABAA=}#}
∴∠EFB'=∠1=115°，∠EFC=65°，
∴∠CFB'=50°，
又∵∠B=∠B'=90°，
∴∠2=∠FMB'=90°-∠CFB'=40°，
故选：A．
【点睛】本题主要考查翻折变换的性质，解题的关键是掌握翻折变换的对应边、对应角相等
的性质及直角三角形两锐角互余、对顶角相等的性质．
7．A
【来源】福建省福州市平潭城南学校 2020-2021学年八年级上学期第一次阶段性测试数学试
题
【分析】过点 P作PE BC于 E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得 PA PE，
PD PE，那么 PE PA PD，又点 P到 BC的距离是 4，进而求出 AD 8．
【详解】解：过点 P作 PE BC于 E，
AB / /CD，PA AB，
PD CD，
BP和CP分别平分 ABC和 DCB，
PA PE ， PD PE，
PE PA PD，
PA PD AD，
PE 4，
AD 2PE 8．
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作辅助线是
解题的关键．
8．C
【来源】山东省济南市章丘区 2022-2023学年七年级下学期期末数学试题
3
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【分析】根据题意可求得货车从甲地开往乙地所需的时间，当 x 3时，可求出货车行驶的
路程，
轿车行驶的路程，即可得，当 x 5时，可求出货车行驶的路程，轿车行驶的路程即可得．
【详解】解：货车从甲地开往乙地所需的时间：300 40 7.5（小时），
当 x 3时，货车行驶的路程：3 40 120（千米），
轿车行驶的路程：3 60 180（千米），
120+180=300（千米），
则当 x 3时，两车相遇，两车距离为 0千米，
当 x 5时，货车行驶的路程：5 40 200（千米），
轿车行驶的路程：5 60 300（千米），轿车已到达甲地，
则两车相距 200千米，
故选：C．
【点睛】本题考查了函数的图象，解题的关键是理解题意．
9．C
【来源】山西省临县第四中学校 2022--2023学年八年级上学期数学期末测试题
【分析】本题要分情况讨论．当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种
情况．
【详解】解：①当为锐角三角形时，如图 1，
∵ ABD 60 ， BD AC，
A 90 ABD 30 ，
ABC是等腰三角形，
C ABC 1 180 30 75
2
∴三角形的底角为75 ；
②当为钝角三角形时，如图 2，
4
{#{QQABDYiQgggAABJAARgCEQEwCgCQkACCCAgOABAIoAABCQFABAA=}#}
∵ ABD 60 ， BD AC，
BAC 90 ABD 150 ，
ABC是等腰三角形，
C 1 ABC 180 150 15
2
∴三角形的底角为15 ；
∴三角形的底角为15 或75 ；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，三角形的外角，做题时，
考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键．
10．B
【来源】江苏省苏州市昆山市、张家港市等四市 2020-2021学年七年级下学期期末数学试题
【分析】设 Q运动的速度为 x cm/s，则根据△AEP与△BQP得出 AP=BP、AE=BQ或 AP=BQ，
AE=BP，从而可列出方程组，解出即可得出答案．
【详解】解：∵长方形 ABCD，
∴∠A=∠B=90°，
∵点 E为 AD的中点，AD=8cm，
∴AE=4cm，
设点 Q的运动速度为 x cm/s，
①经过 y秒后，△AEP≌△BQP，则 AP=BP，AE=BQ，
2y 6 2y
，
4 8 xy
x 8
3
解得： ，
y 3
2
5
{#{QQABDYiQgggAABJAARgCEQEwCgCQkACCCAgOABAIoAABCQFABAA=}#}
8
即点 Q的运动速度 cm/s时，能使两三角形全等．
3
②经过 y秒后，△AEP≌△BPQ，则 AP=BQ，AE=BP，
2y 8 xy

4
，
6 2y
x 6
解得： y 1，
即点 Q的运动速度 6cm/s时，能使两三角形全等．
8
综上所述，点 Q的运动速度 或 6cm/s时能使两三角形全等．
3
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，涉及了动点的问题使本题的难度加大了，解答
此类题目时，要注意将动点的运用时间 t和速度的乘积当作线段的长度来看待，这样就能利
用几何知识解答代数问题了．
11． 9
【来源】广东省佛山市惠景中学 2019-2020学年八年级上学期第二次月考数学试题
【分析】根据平方根的意义求解．
【详解】解：∵ ( 9)2 81，
∴81的平方根是 9，即 81 9；
故答案为： 9，
【点睛】本题考查了求一个数的平方根与立方根，掌握两者的含义是关键．
12．直角三角形
【来源】辽宁省大连市庄河市第七初级中学 2022-2023学年八年级下学期第一次月考数学试
题
【分析】根据绝对值、完全平方数和算术平方根的非负性，可求解出 a、b、c的值，再根据
勾股定理的逆定理判断即可．
【详解】解：由题意得： a 12 0，b 5 0，c 13 0，
解得：a 12，b 5，c 13，
∵122 52 132 ，
∴三角形为直角三角形．
6
{#{QQABDYiQgggAABJAARgCEQEwCgCQkACCCAgOABAIoAABCQFABAA=}#}
故答案为：直角三角形．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质和勾股定理的逆定理，运用非负数的性质求出 a、b、
c的值是解题的关键．
13．±44
【来源】山东省青岛市市南区 2017-2018学年北师大版七年级第二学期期末数学试卷（，）
【分析】根据完全平方公式即可求出答案.
【详解】解：因为（2x 11）2=4x2±44x+121
∴m= 44，故答案为 44
【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型.
14．5
【来源】2023年江西省宜春市高安市中考二模数学试题
1 1 2 2
【分析】先求出最小的等腰直角三角形的面积 4 1 cm ，最大的等腰直角三角形
8 2
的面积为 4cm2，再根据阴影部分的组成求出相应的面积即可求解．
1 1 2 2
【详解】解：最小的等腰直角三角形的面积 4 1 cm ，最大的等腰直角三角形的
8 2
1 2
面积为 4 4cm2 ，
4
∴阴影部分的面积为 4 1 5 cm2 ．
故答案为：5
【点睛】本题主要考查了图形的剪拼、七巧板，解题的关键是求出最小的等腰直角三角形的
面积，学会利用分割法求阴影部分的面积．
15．8
【来源】河南省平顶山市宝丰县 2022-2023学年七年级下学期期末数学试题
【分析】连接 AD、AE，利用垂直平分线的性质得到 AE BE，再利用两点之间线段最短得
到BE DE的和的最小值为 AD的长，根据 ABC的面积计算出 AD的长，从而求出△BDE的
周长的最小值．
【详解】解：连接 AD、AE，
7
{#{QQABDYiQgggAABJAARgCEQEwCgCQkACCCAgOABAIoAABCQFABAA=}#}
，
直线MN垂直平分 AB，
AE BE ，
点D为BC的中点， AB AC， BC 4，
BD 1 BC 2，AD BC ，
2
△BDE的周长 BD DE BE BD DE AE 2 AD，
当 E在 AD上时，△BDE的周长的最小，
S 1 1△ABC BC AD 4 AD 12，2 2
AD 6，
△BDE的周长的最小值为：2 6 8，
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、两点
之间线段最短，熟练掌握轴对称的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、两点
之间线段最短是解题的关键．
1
16．(1)
4
(2)2mn 1；-3
【来源】安徽省宿州市埇桥区宿城一中 2021-2022学年七年级下学期末数学试卷
【分析】 1 先化简各式，然后再进行计算即可解答；
2 先去括号，再合并同类项，然后把m， n的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
4 0 2
【详解】（1）解： 1 (1.7 ) ( 2)
2
1
1 1
4
8
{#{QQABDYiQgggAABJAARgCEQEwCgCQkACCCAgOABAIoAABCQFABAA=}#}
1

4
（2）解：m m 2n (m 1) 2 2m
m2 2mn (m2 2m 1) 2m
m2 2mn m2 2m 1 2m
2mn 1①
1
再把m ，n 2022代入①得：
2022
2 1 ( 2022) 1 3
2022
【点睛】本题考查了整式的混合运算，化简求值，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进
行计算是解题的关键．
17．（1）见解析；（2）5.5
【来源】陕西省西安市莲湖区 2020-2021学年七年级下学期期末数学试题
【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出 A，B，C的对应点 D，E，F即可．
（2）利用分割法把三角形面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可．
【详解】解：（1）如图，△DEF即为所求．
1 1 1
（2）S△DEF＝3×4﹣ ×1×4﹣ ×1×3﹣ ×3×2＝5.5．2 2 2
【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解
题的关键．
18．选择①，猜“不是 3的倍数”，理由见解析
【来源】河南省郑州市金水区实验中学 2022-2023学年七年级下学期期末数学试题
【分析】根据规则可能出现的结果数有 10种，分别算出“是 3的倍数”的概率、“不是 3的倍
9
{#{QQABDYiQgggAABJAARgCEQEwCgCQkACCCAgOABAIoAABCQFABAA=}#}
数”的概率、“是大于 6的数”的概率、“不是大于 6的数”的概率，比较大小选择概率大的即
可．
【详解】解： ①共有“1、2、3、4、5、6、7、8、9、10”10种等可能出现的结果数，
“是 3的倍数”的有“3、6、9”3种，
“不是 3的倍数”的有“1、2、4、5、7、8、10”7种，
“是 3的倍数”的概率 3 10 100% 30%，
“不是 3的倍数”的概率 7 10 100% 70%，
②共有“1、2、3、4、5、6、7、8、9、10”10种等可能出现的结果数，
“是大于 6的数”的有“7、8、9、10”4种，
“不是大于 6的数”的有“1、2、3、4、5、6”6种，
“是大于 6的数”的概率 4 10 100% 40%，
“不是大于 6的数”的概率 6 10 100% 60%，
70% 60% 40% 30%，
选择①，猜“不是 3的倍数”，最可能获胜．
【点睛】本题考查了概率的计算，根据规则计算概率是解题的关键．
19．（1） △BDE是等腰三角形；（2）10
【来源】2015-2016学年山东省商河县胡集中学八年级上学期期中考试数学试卷（带解析）
【分析】（1）由折叠可知，∠CBD=∠EBD，再由 AD BC，得到∠CBD=∠EDB，即可得到
∠EBD=∠EDB，于是得到 BE=DE，等腰三角形即可证明；
（2）设 DE=x，则 BE=x，AE=8﹣x，在 Rt△ABE中，由勾股定理求出 x的值，再由三角形
的面积公式求出面积的值．
【详解】解：（1）△BDE是等腰三角形．
由折叠可知，∠CBD=∠EBD，
∵AD BC，
∴∠CBD=∠EDB，
∴∠EBD=∠EDB，
∴BE=DE，
即△BDE是等腰三角形；
（2）设 DE=x，则 BE=x，AE=8﹣x，
在 Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+AE2=BE2即 42+（8﹣x）2=x2，
10
{#{QQABDYiQgggAABJAARgCEQEwCgCQkACCCAgOABAIoAABCQFABAA=}#}
解得：x=5，
1
所以 S△BDE= 2 DE×AB=
1
2 ×5×4=10．
【点睛】本题主要考查翻折变换的知识点，解答本题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定与
勾股定理的知识，此题难度不大．
20．（1）8；2（2）24；17（3）42
【来源】陕西省西安市碑林区铁一中学 2017-2018学年七年级下学期期中数学试题
【分析】（1）根据函数图形可判断出 BC、EF的长度；
（2）根据三角形的面积计算公式，进行求解；
（3）点 P移动到点 E时面积达到最大值．根据三角形的面积公式进行计算．
【详解】（1）已知当 P在 BC上时，以 AB为底的三角形的高在不断增大，到达点 C时，开
始不变，由第二个图得，
P在 BC上移动了 4秒，那么 BC＝4×2＝8cm．
在 CD上移动了 2秒，CD＝2×2＝4cm，
在 DE上移动了 3秒，DE＝3×2＝6cm，而 AB＝6cm，
那么 EF＝AB CD＝2cm，
故答案是：8；2；
（2）由图得，a是点 P运行 4秒时△ABP的面积，
1
∴S△ABP＝ 2 ×6×8＝24
b为点 P走完全程的时间为：t＝9＋1＋7＝17s
∴a＝24 b＝17；
故答案是：24；17；
（3）∵点 P移动到点 E时面积达到最大值 a，
∴S 1＝ 2 AB （BC＋DE），
∵AB＝6cm，BC＝8cm，DE＝6cm，
S 1∴ ＝ 2 ×6×（8＋6）＝42（cm
2）．
故答案是：42．
【点睛】此题考查了动点问题的函数图象，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得
出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
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21．(1) 2 1
(2)3 6
(3)2020
【来源】期末押题预测卷（2）-【帮课堂】2022-2023学年八年级数学下册同步精品讲义（人
教版）
【分析】（1）通过平方差公式直接求解即可；
（2）通过平方差公式将分母有理化后化简求解；
（3）将两个数化为分数形式后直接比较分母大小即可；
（4）直接将每个分数分母有理化然后进行二次根式的混合运算即可．
【详解】（1）解： 2 1的有理化因式是 2 1，
故答案为： 2 1；
3 3 3 6
（2）∵ 3 6
3 6 3 6 ，3 6
故答案为：3 6；
1
（3）∵ 2021 2020，
2021 2020
1
2020 2019 ，
2020 2019
而 2021 2020 2020 2019，
1 1
∴ ，
2021 2020 2020 2019
∴ 2021 2020 2020 2019，
故答案为： ；
（4）原式 2 1 3 2 2021 2020 2021 1
2021 1 2021 1
2021 1
2020．
【点睛】本题考查了分母有理化和二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根
式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目
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特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
22．（1）AE＝BD，30°；（2）结论：AE＝BD，∠APD＝30°．理由见解析；（3）见解析.
【来源】山东省济南市历下区 2017-2018学年北师大版七年级第二学期期末数学试卷
【分析】（1）只要证明△ACE≌△DCB，即可解决问题；
（2）只要证明△ACE≌△DCB，即可解决问题；
（3）如图 2-1中，分别过 C作 CH⊥AE，垂足为 H，过点 C作 CG⊥BD，垂足为 G，利用
面积法证明 CG=CH，再利用角平分线的判定定理证明∠DPC=∠EPC即可解决问题；
【详解】（1）解：如图 1中，
∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，
∴∠ACE＝∠DCB，
又∵CA＝CD，CE＝CB，
∴△ACE≌△DCB．
∴AE＝BD，∴CAE＝∠CDB，
∵∠AMC＝∠DMP，
∴∠APD＝∠ACD＝30°，
故答案为 AE＝BD，30°
（2）如图 2中，结论：AE＝BD，∠APD＝30°．
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理由：∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，
∴∠ACE＝∠DCB，
又∵CA＝CD，CE＝CB，
∴△ACE≌△DCB．
∴AE＝BD，∴CAE＝∠CDB，
∵∠AMP＝∠DMC，
∴∠APD＝∠ACD＝30°．
（3）如图 2﹣1中，分别过 C作 CH⊥AE，垂足为 H，过点 C作 CG⊥BD，垂足为 G，
∵△ACE≌△DCB．
∴AE＝BD，
∵S△ACE＝S△DCB
∴CH＝CG，
∴∠DPC＝∠EPC
∵∠APD＝∠BPE，
∴∠APC＝∠BPC．
【点睛】本题考查几何变换综合题、旋转变换、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定
定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，学会利用
面积法证明高相等，属于中考压轴题．
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