人教版九年级上册 第21章 一元二次方程 单元检测卷 （含解析）

人教版九年级上册 第21章 一元二次方程 单元检测卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．y2+x﹣5＝0 B．ax2+bx+c＝0 C． D．x2+1＝0
2．将一元二次方程3x2﹣1＝2x化成一般形式后（二次项系数为正数），二次项系数和一次项系数分别是（　　）
A．3、﹣2 B．3、2 C．3、﹣1 D．3、1
3．用配方法解方程x2+4x﹣5＝0，下列配方正确的是（　　）
A．（x﹣2）2＝6 B．（x﹣2）2＝9 C．（x+2）2＝5 D．（x+2）2＝9
4．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，若4a﹣2b+c＝0，则该方程必有一个根是（　　）
A．x＝﹣2 B．x＝2 C． D．
5．一元二次方程x2+4x﹣8＝0的解是（　　）
A．x1＝2+2，x2＝2﹣2 B．x1＝2+2，x2＝2﹣2
C．x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2 D．x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2
6．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞且k≠1 B．k＞ C．k≥且k≠1 D．k≥
7．2023年4月23是第28个世界读书日，读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一，据统计，某书院对外开放的第一个月进书院600人次，进书院人次逐月增加，到第三个月末累计进书院2850人次，若进书院人次的月平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．600（1+2x）＝2850 B．600（1+x）2＝2850
C．600+600（1+x）+600（1+x）2＝2850 D．2850（1﹣x）2＝600
8．有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有196人患病，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（　　）人．
A．13 B．14 C．15 D．16
9．已知（a2+b2）2﹣8（a2+b2）﹣48＝0，则a2+b2的值为（　　）
A．12 B．4 C．﹣4 D．12或﹣4
10．关于x的方程x2﹣2mx+m2＝4的两个根x1，x2满足x1＝2x2+3，且x1＞x2，则m的值为（　　）
A．﹣3 B．1 C．3 D．9
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．关于x的方程﹣3x﹣2＝0是一元二次方程，则a＝　 　．
12．方程x（x﹣1）＝x的解为　 　．
13．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0没有实数根，则k的取值范围是 　 　．
14．参加足球联赛的每两个队之间都进行两次比赛，共要比赛72场，共有　 　个队参加比赛．
15．多项式a2﹣2ab+2b2﹣6b+27的最小值为　 　．
16．对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两根，则+的值为 　 　．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）解方程：
（1）x2+6x＝7（因式分解法）；
（2）2x2﹣3x＝2（配方法）．
18．（6分）解下列方程：
（1）x2﹣4x+2＝0；
（2）2x2﹣5x﹣1＝0．
19．（8分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣9x+18＝0的两个根是3和6，则方程x2﹣9x+18＝0就是“倍根方程”．
（1）若关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0是“倍根方程”，求k的值；
（2）若关于x的一元二次方程nx2﹣（3n+3m）x+8m＝0（n≠0）是“倍根方程”，求该方程的根．
20．（6分）如图所示，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（互相垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为570m2，道路应为多宽？
21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k+1＝0有两个实数根．
（1）试求k的取值范围；
（2）若，求k的值；
（3）若此方程的两个实数根为x1，x2，且满足|x1|+|x2|＝2，试求k的值．
22．（9分）2022年北京冬奥会吉祥物深受大家的喜欢．某特许零售店的冬奥会吉祥物销售量日益火爆．据统计，该店2022年1月的“冰墩墩”销量为1万件，2022年3月的“冰墩墩”销量为1.21万件．
（1）求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率；
（2）该零售店4月将采用提高售价的方法增加利润，根据市场调研得出结论：如果将进价80元的“冰墩墩”按每件100元出售，每天可销售500件，在此基础上售价每涨1元，那么每天的销售量就会减少10件，该零售店要想每天获得12000元的利润，且销量尽可能大，则每件商品的售价应该定为多少元？
23．（9分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．
（1）若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t的值？
（2）△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由．
人教版九年级上册 第21章 一元二次方程 单元检测卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【解答】解：A、y2+x﹣5＝0，是二元二次方程，故A不符合题意；
B、ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数且a≠0），是一元二次方程，故B不符合题意；
C、x2+＝1，不是一元二次方程，故C不符合题意；
D、x2+1＝0，是一元二次方程，故D符合题意；
故选：D．
2．【解答】解：∵3x2﹣1＝2x，
∴3x2﹣2x﹣1＝0，
∴二次项系数和一次项系数分别是3和﹣2，
故选：A．
3．【解答】解：x2+4x﹣5＝0，
移项：x2+4x＝5，
左右两边加上一次项系数一半的平方：x2+4x+4＝9，
化简：（x+2）2＝9．
故选：D．
4．【解答】解：由题意，一元二次方程ax2+bx+c＝0满足4a﹣2b+c＝0且a≠0，
∴当x＝﹣2时，代入方程ax2+bx+c＝0，有4a﹣2b+c＝0；
综上可知，方程必有一根为﹣2．
故选：A．
5．【解答】解：∵a＝1，b＝4，c＝﹣8，
∴Δ＝42﹣4×1×（﹣8）＝48＞0，
则x＝＝＝﹣2±2，
∴x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2，
故选：D．
6．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：k＞且k≠1，
∴k的取值范围是k＞且k≠1．
故选：A．
7．【解答】解：设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：
600+600（1+x）+600（1+x）2＝2850．
故选：C．
8．【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
依题意得1+x+x（1+x）＝196，
即（1+x）2＝196，
解方程得x1＝13，x2＝﹣15（舍去），
故选：A．
9．【解答】解：设a2+b2＝m，
则原方程化为：m2﹣8m﹣48＝0，
解得m＝﹣4（不符合题意，舍去）或m＝12，
∴a2+b2＝12，
故选：A．
10．【解答】解：∵x2﹣2mx+m2＝4，
∴（x﹣m+2）（x﹣m﹣2）＝0，
∴x﹣m+2＝0或x﹣m﹣2＝0，
∵x1＞x2，
∴x1＝m+2，x2＝m﹣2，
∵x1＝2x2+3，
∴m+2＝2（m﹣2）+3，
解得m＝3．
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．【解答】解：∵关于x的方程﹣3x﹣2＝0是一元二次方程，
∴a2﹣7＝2，
解得a＝±3，
∴a的值为±3．
故答案为：±3．
12．【解答】解：x（x﹣1）＝x，
x（x﹣1）﹣x＝0，
x（x﹣1﹣1）＝0，
x＝0，x﹣1﹣1＝0，
x1＝0，x2＝2．
故答案为：x1＝0，x2＝2．
13．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0没有实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＜0，k≠0，
解得：k＜﹣1．
故答案为：k＜﹣1．
14．【解答】解：设有x队参加比赛．
x（x﹣1）＝72，
（x﹣9）（x+8）＝0，
解得x＝9，x＝﹣8（不合题意，舍去）．
故答案为：9．
15．【解答】解：原式＝a2﹣2ab+b2+b2﹣6b+9+18
＝（a﹣b）2+（b﹣3）2+18
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣3）2≥0．
∴原式≥0+0+18．
∴原式≥18．
故答案为：18．
16．【解答】解：由题意得（x+2）*3＝0即为（x+2）2+6（x+2）﹣9＝0，
化简得x2+10x+7＝0，
∵m，n是该方程的两根，
∴m+n＝﹣10，mn＝7，
∴+＝＝，
故答案为：．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．【解答】解：（1）∵x2+6x＝7，
∴x2+6x﹣7＝0，
∴（x﹣1）（x+7）＝0，
∴x﹣1＝0或x+7＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣7；
（2）2x2﹣3x＝2，
x2﹣x＝1，
x2﹣x+（）2＝1+（）2，
（x﹣）2＝，
x﹣＝±，
∴x﹣＝或x﹣＝﹣，
解得x1＝2，x2＝﹣．
18．【解答】解：（1）∵x2﹣4x＝﹣2，
∴x2﹣4x+4＝﹣2+4，即 （x﹣2）2＝2，
∴x﹣2＝±，
∴x1＝2+，x2＝2﹣；
（2）∵a＝2，b＝﹣5，c＝﹣1，
∴Δ＝（﹣5）2﹣4×2×（﹣1）＝33＞0，
∴x＝，
即x1＝x2＝．
19．【解答】解：（1）设这个方程的两个根分别为a和2a，
则，
解得a＝2，
即这个方程的一个根为2，
将x＝2代入方程x2﹣6x+k＝0得：4﹣12+k＝0，
解得k＝8．
（2）设这个方程的两个根分别为β和2β，
由题意得：，
整理得：（m﹣n）2＝0，
∴m＝n，
将m＝n代入①得：，
解得β＝2，
∴2β＝2×2＝4，
所以该方程的根为x＝2或x＝4．
20．【解答】解：设道路宽为x米，
根据题意得：32×20﹣（32+20×2）x+2x2＝570，
解得：x1＝1，x2＝35．
∵35＞20，
∴x＝35舍去．
答：道路宽为1米．
21．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k+1＝0有两个实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2k）2﹣4×1×（k2+k+1）≥0，
解得：k≤﹣1；
（2）∵方程x2﹣2kx+k2+k+1＝0的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝2k，，
∵，
∴，
∴（2k）2﹣2（k2+k+1）＝10，
整理得：k2﹣k﹣6＝0，
解得：k＝3或者k＝﹣2，
∵根据（1）有k≤﹣1，
即k＝﹣2；
（3）由（2）可知：x1+x2＝2k，，
∵，
∴x1x2＞0，
∵|x1|+|x2|＝2，
∴，
∴，
∵x1x2＞0，
∴，
∴，
∴（2k）2＝4，
∴k＝±1，
∵根据（1）有k≤﹣1，
即k＝﹣1．
22．【解答】解：（1）设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为x，
由题意可得，1×（1+x）2＝1.21，
解得x1＝0.1，x2＝﹣2.1（舍去），
答：该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为10%．
（2）设每件商品的售价应该定为m元，
则每件商品的销售利润为（m﹣80）元，
每天的销售量为500﹣10（m﹣100）＝（1500﹣10m）件，
依题意可得（m﹣80）（1500﹣10m）＝12000，
解得m1＝110，m2＝120，
∵要使销量尽可能大，
∴m＝110，
答：每件商品的售价应该定为110元．
23．【解答】解：（1）∵S△PCQ＝t（8﹣2t），S△ABC＝×4×8＝16，
∴t（8﹣2t）＝16×，
整理得t2﹣4t+4＝0，
解得t＝2．
答：当t＝2s时△PCQ的面积为△ABC面积的；
（2）当S△PCQ＝S△ABC时，
t（8﹣2t）＝16×，
整理得t2﹣4t+8＝0，
Δ＝（﹣4）2﹣4×1×8＝﹣16＜0，
∴此方程没有实数根，
∴△PCQ的面积不可能是△ABC面积的一半．