2. 6有理数的乘法与除法 讲义（无答案） 2023-2024学年苏科版数学七年级上册

2.6有理数的乘法与除法
教学目的 掌握有理数乘法的法则和运算律； 掌握有理数除法的法则和运算律； 掌握有理数乘除法混合运算的运算律重点难点有理数乘除法的符号判定； 有理数乘除法的简便运算
知识梳理
【知识点一】有理数的乘法 乘法法则： （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数同0相乘，都得0． 有理数的乘法的符号法则： （1）如果两个数的积为正数，那么这两个数同正或贡负； （2）如果两个数的积为负数，那么这两个数一正一负； （3）如果两个数的积为0，那么这两个数中至少一个数为0. 注意事项： （1）不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘． （2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-5与-3的乘积，应列为(-5)×(-3)，不应该写成-5×-3． 有理数的乘法运算律： （1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba． （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等． 即：abc＝(ab)c＝a(bc)． （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac． 【知识点二】有理数的除法 倒数： 乘积是1的两个数互为倒数． 要点： (1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是，-2和是互相依存的； (2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数； (3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数； (4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)． 有理数除法法则： 法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即. 法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0. 要点： （1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些． （2）因为0没有倒数，所以0不能当除数． （3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值．
典型例题讲解
【例1】下列算式中，积为负数的是（　　） A．0×（﹣5） B．（﹣2）×（﹣）×（﹣） C．（﹣1.5）×（﹣2） D．4×（﹣0.5）×（﹣10） 【例2】计算： （2） （3） （4） （5） （6） 【例3】阅读下列材料：计算50÷（﹣+）． 解法一：原式＝50÷﹣50÷+50÷＝50×3﹣50×4+50×12＝550． 解法二：原式＝50÷（﹣+）＝50÷＝50×6＝300． 解法三：原式的倒数为（﹣+）÷50 ＝（﹣+）×＝×﹣×+×＝． 故原式＝300． 上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法　　是错误的．请你选择合适的解法解答下列问题： 计算：（﹣）÷（﹣+﹣） 【例4】利用运算律作简便运算，写出计算结果． (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)
举一反三
【考点一】有理数的乘法 【变式1】计算17最简便的方法是（ ） A． B． C． D． 【变式2】已知a＝（﹣12）×（﹣23）×（﹣34）×（﹣45），b＝（﹣123）×（﹣234）×（﹣345），判断下列叙述何者正确？（　　） A．a，b皆为正数 B．a，b皆为负数 C．a为正数，b为负数 D．a为负数，b为正数 【变式3】计算： (1)（﹣85）×（﹣25）×（﹣4） （2）（﹣99）×999 （3） （4） 【变式4】 学习有理数的乘法后，老师给同学们一道这样的题目：计算，看谁算的又快又对． 小瑞很快给出了他的解法：原式＝． 小晨经过思考后也给出了他的解法： 原式＝ ＝39×（﹣5）+　 　（ 　 　） ＝﹣195+　 　 ＝　 　． （1）请补全小晨的解题过程，并在括号里写出他用了什么运算原理？ （2）你还有不同于小瑞、小晨的解法吗？ （3）用你认为最合适的方法计算：． 【考点二】有理数的除法 【变式1】计算（﹣12）÷3的结果等于（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣9 D．9 【变式2】化简的结果是（　　） A．2 B．﹣2 C． D． 【变式3】计算： (1)﹣ (2) （3） （4） 【变式4】小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： （1）从中取出2张卡片，如何抽取能使这2张卡片上的数字乘积最大，并说明理由； （2）从中取出2张卡片，如何抽取能使这2张卡片上的数字相除的商最小，并说明理由． 【考点三】有理数乘除法的混合运算 【变式1】计算：32÷（﹣4）×的结果是（　　） A．﹣16 B．16 C．﹣2 D．﹣ 【变式2】下列结论错误的是（ ） A.若异号，则＜0，＜0 B.若同号，则＞0，＞0 C. D. 【变式3】 计算： （1）（-23）÷（-3）× （2）1.25÷（-0.5）÷（-2） （3）（+1）÷（-）÷（-）×（-）
小试牛刀
1.计算（ ） A．2 B． C． D． 2.的倒数是（ ） A． B．2023 C． D． 3.在数轴上，实数a，b对应的点的位置如图所示，且这两个点关于原点对称，下列结论中，正确的是（ ） A． B． C． D． 4.如果三个非零有理数的积为正数，则下列结论：①这三个数同号；②若其中一个数是正数，则另外两个数同号；③若其中一个数是负数，则另外两个数同号；④若其中一个数是负数，则另外两个数异号．其中必定成立的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5.已知的是a，减去7.25的差是b，则a与b的关系是（　　） A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．a≠b 6.下列结论：①一个数和它的倒数相等，则这个数是±1和0；②若﹣1＜m＜0，则；③若a+b＜0，且，则|a+2b|＝﹣a﹣2b；④若m是有理数，则|m|+m是非负数；⑤若c＜0＜a＜b，则（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＞0；其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7.在数、1、、5、中任取两个数相乘，其中最大的积是______，最小的积是______；8.任取三个数相乘，其中最大的积是______，最小的积是______． 9.的相反数是______，的倒数是______． 10.从数，1，，任取两个数相乘，所得的结果最小的是______． 11.计算：=______． 12.直接写出计算结果：（﹣8）×（﹣2020）×（﹣0.125）＝________． 13.计算： （1） (2) (4) (5) (6) 14.阅读下面的解题过程： 计算：（﹣）÷（﹣+﹣） 方法一：原式＝（﹣）÷[（+）﹣（+）]＝（﹣）÷（﹣）＝﹣×3＝﹣ 方法二：原式的倒数为（﹣+﹣）÷（﹣）＝（﹣+﹣）×（﹣30）＝﹣20+3﹣5+12＝﹣10 故原式＝﹣ 通过阅读以上解题过程，你认为哪种方法更简单，选择合适的方法计算下题： （﹣）÷（﹣+﹣）． 15.学习了有理数的运算后，薛老师给同学们出了这样一道题目：计算：，看谁算得又对又快两名同学给出的解法如下： 小强：原式 小莉：原式 （1）对于以上两种解法，你认为谁的解法最好？理由是什么？对你有何启发？ （2）此题还有其他解法吗？如果有，用另外的方法把它解出来？