2019-2023高考数学真题分类汇编4 复数提高运算
一、填空题
1．（2019·上海）设 为虚数单位， ，则 的值为
【答案】
【知识点】复数代数形式的加减运算；复数的模
【解析】【解答】解：由 ，得 ，即 ，
．
故答案为： ．
【分析】利用复数的加减法的运算法则求出复数z，再利用复数z的实部和虚部求出复数的模。
2．（2019·天津） 是虚数单位，则 的值为 .
【答案】
【知识点】复数的模
【解析】 【解答】
故答案为：
【分析】本题考查复数的除法运算，分子分母同乘以分母的共轭复数，再利用复数求模即可得出答案。
3．（2019·浙江）复数 （i为虚数单位），则|z|=
【答案】
【知识点】复数的模
【解析】 【解答】解： ，故|z| ；
故答案为 .
【分析】根据复数的除法运算求出z，即可得到|z|.
4．（2023·天津卷）已知是虚数单位，化简的结果为 ．
【答案】/
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 .
故答案填：/
【分析】由复数乘除运算化简得出答案.
5．（2023·上海卷）已知当，则 ；
【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】∵
∴
∴.
故答案为： .
【分析】由复数乘法运算化简，将化简后的实部与虚部代入公式即得答案.
6．（2020·新课标Ⅱ·理）设复数 ， 满足 ， ，则 = .
【答案】
【知识点】复数相等的充要条件；复数的模
【解析】【解答】 ，可设 ， ，
，
，两式平方作和得： ，
化简得：
.
故答案为： .
【分析】令 ， ，根据复数的相等可求得 ，代入复数模长的公式中即可得到结果.
二、选择题
7．（2021·全国甲卷）已知 ，则z=（ ）
A．-1- i B．-1+ i C．- +i D．- -i
【答案】B
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为：B
【分析】根据复数的运算法则直接求解即可.
8．（2021·全国乙卷）设2（z+ ）+3(z- )=4+6i，则z=（ ）.
A．1-2i B．1+2i C．1+i D．1-i
【答案】C
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】设所以a=b=1，所以z＝1+i。
故答案为：C
【分析】先设z的代数式，代入运算后由复数相等的条件，即可求得结果。
9．（2021·新高考Ⅰ）已知z=2-i，则( =（ ）
A．6-2i B．4-2i C．6+2i D．4+2i
【答案】C
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为：C
【分析】根据复数的运算，结合共轭复数的定义求解即可.
10．（2020·新课标Ⅲ·文）若 ，则z=（ ）
A．1–i B．1+i C．–i D．i
【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为 ，所以 .
故答案为：D
【分析】先利用除法运算求得 ，再利用共轭复数的概念得到z即可.
11．（2020·新课标Ⅲ·理）复数 的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为 ，
所以复数 的虚部为 .
故答案为：D.
【分析】利用复数的除法运算求出z即可.
12．（2020·新课标Ⅱ·文）（1–i）4=（ ）
A．–4 B．4 C．–4i D．4i
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 .
故答案为：A.
【分析】根据指数幂的运算性质，结合复数的乘方运算性质进行求解即可.
13．（2020·新课标Ⅰ·文）若 ，则 （ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】C
【知识点】复数的模
【解析】【解答】因为 ，所以 ．
故答案为：C．
【分析】先根据 将 化简，再根据向量的模的计算公式即可求出．
14．（2020·新课标Ⅰ·理）若z=1+i，则|z2–2z|=（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】由题意可得： ，则 .
故 .
故答案为：D.
【分析】由题意首先求得 的值，然后计算其模即可.
15．（2020·新高考Ⅰ） （ ）
A．1 B． 1 C．i D． i
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】
故答案为：D
【分析】根据复数除法法则进行计算.
16．（2020·北京）在复平面内，复数z对应的点的坐标是 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由题意得 ， .
故答案为：B.
【分析】先根据复数几何意义得z，再根据复数乘法法则得结果.
17．（2020·浙江）已知a∈R，若a﹣1+（a﹣2）i（i为虚数单位）是实数，则a＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：a∈R，若a﹣1+（a﹣2）i（i为虚数单位）是实数，
可得a﹣2＝0，解得a＝2．
故答案为：C．
【分析】利用复数的虚部为0，求解即可．
18．（2019·全国Ⅰ卷理）设复数z满足 ，z在复平面内对应的点为(x，y)，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】 【解答】设复数为
复数z在复平面内对应的点为(x，y)，
故答案为：C
【分析】利用复数的加减运算法则求出复数 再利用复数 的实部和虚部表示复数 的模，再利用复数 的几何意义表示出复数z在复平面内对应的点的轨迹方程。
19．（2019·全国Ⅰ卷文）设z= ，则|z|=（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】C
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】 【解答】
故答案为：C
【分析】利用复数的混合运算法则求出复数z，再利用复数的实部和虚部求出复数的模。
20．（2019·北京）已知复数z=2+i，则 =（ ）
A． B． C．3 D．5
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】根据 ，得 ，
所以 ，
故答案为：D.
【分析】根据z得到其共轭，结合复数的乘法运算即可求解.
21．（2019·全国Ⅱ卷理）设z=-3+2i，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】根据题意首先求出复数z的共轭复数 ,则 的共轭复数所对应的点为（-3，-2）,进而得到所对于的点在第三象限。
故答案为：C
【分析】首先求出该复数的共轭复数，然后取出其共轭复数所对应的点的坐标，从而即可判断出该点位于第三象限。
22．（2019·全国Ⅱ卷文）设z=i（2+i），则 =（ ）
A．1+2i B．-1+2i C．1-2i D．-1-2i
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】 【解答】首先求出 则 ，
故答案为：D
【分析】根据题意整理原式，再结合共轭复数的定义求出即可。
23．（2019·全国Ⅲ卷理）若z（1+i）=2i，则z=（ ）
A．-1-i B．-1+i C．1-i D．1+i
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：∵ ，则 ，
故答案为：D.
【分析】利用复数的乘除运算，即可求出复数z的代数式.
24．（2023·全国甲卷）若复数，则（ ）
A．-1 B．0· C．1 D．2
【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】∵， ，
∴，解得a=1.
故选：C.
【分析】由复数乘法运算，等式化简后将实部与虚部一一对应列出方程即得答案.
1 / 12019-2023高考数学真题分类汇编4 复数提高运算
一、填空题
1．（2019·上海）设 为虚数单位， ，则 的值为
2．（2019·天津） 是虚数单位，则 的值为 .
3．（2019·浙江）复数 （i为虚数单位），则|z|=
4．（2023·天津卷）已知是虚数单位，化简的结果为 ．
5．（2023·上海卷）已知当，则 ；
6．（2020·新课标Ⅱ·理）设复数 ， 满足 ， ，则 = .
二、选择题
7．（2021·全国甲卷）已知 ，则z=（ ）
A．-1- i B．-1+ i C．- +i D．- -i
8．（2021·全国乙卷）设2（z+ ）+3(z- )=4+6i，则z=（ ）.
A．1-2i B．1+2i C．1+i D．1-i
9．（2021·新高考Ⅰ）已知z=2-i，则( =（ ）
A．6-2i B．4-2i C．6+2i D．4+2i
10．（2020·新课标Ⅲ·文）若 ，则z=（ ）
A．1–i B．1+i C．–i D．i
11．（2020·新课标Ⅲ·理）复数 的虚部是（ ）
A． B． C． D．
12．（2020·新课标Ⅱ·文）（1–i）4=（ ）
A．–4 B．4 C．–4i D．4i
13．（2020·新课标Ⅰ·文）若 ，则 （ ）
A．0 B．1 C． D．2
14．（2020·新课标Ⅰ·理）若z=1+i，则|z2–2z|=（ ）
A．0 B．1 C． D．2
15．（2020·新高考Ⅰ） （ ）
A．1 B． 1 C．i D． i
16．（2020·北京）在复平面内，复数z对应的点的坐标是 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
17．（2020·浙江）已知a∈R，若a﹣1+（a﹣2）i（i为虚数单位）是实数，则a＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
18．（2019·全国Ⅰ卷理）设复数z满足 ，z在复平面内对应的点为(x，y)，则（ ）
A． B．
C． D．
19．（2019·全国Ⅰ卷文）设z= ，则|z|=（ ）
A．2 B． C． D．1
20．（2019·北京）已知复数z=2+i，则 =（ ）
A． B． C．3 D．5
21．（2019·全国Ⅱ卷理）设z=-3+2i，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
22．（2019·全国Ⅱ卷文）设z=i（2+i），则 =（ ）
A．1+2i B．-1+2i C．1-2i D．-1-2i
23．（2019·全国Ⅲ卷理）若z（1+i）=2i，则z=（ ）
A．-1-i B．-1+i C．1-i D．1+i
24．（2023·全国甲卷）若复数，则（ ）
A．-1 B．0· C．1 D．2
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】复数代数形式的加减运算；复数的模
【解析】【解答】解：由 ，得 ，即 ，
．
故答案为： ．
【分析】利用复数的加减法的运算法则求出复数z，再利用复数z的实部和虚部求出复数的模。
2．【答案】
【知识点】复数的模
【解析】 【解答】
故答案为：
【分析】本题考查复数的除法运算，分子分母同乘以分母的共轭复数，再利用复数求模即可得出答案。
3．【答案】
【知识点】复数的模
【解析】 【解答】解： ，故|z| ；
故答案为 .
【分析】根据复数的除法运算求出z，即可得到|z|.
4．【答案】/
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 .
故答案填：/
【分析】由复数乘除运算化简得出答案.
5．【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】∵
∴
∴.
故答案为： .
【分析】由复数乘法运算化简，将化简后的实部与虚部代入公式即得答案.
6．【答案】
【知识点】复数相等的充要条件；复数的模
【解析】【解答】 ，可设 ， ，
，
，两式平方作和得： ，
化简得：
.
故答案为： .
【分析】令 ， ，根据复数的相等可求得 ，代入复数模长的公式中即可得到结果.
7．【答案】B
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为：B
【分析】根据复数的运算法则直接求解即可.
8．【答案】C
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】设所以a=b=1，所以z＝1+i。
故答案为：C
【分析】先设z的代数式，代入运算后由复数相等的条件，即可求得结果。
9．【答案】C
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为：C
【分析】根据复数的运算，结合共轭复数的定义求解即可.
10．【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为 ，所以 .
故答案为：D
【分析】先利用除法运算求得 ，再利用共轭复数的概念得到z即可.
11．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为 ，
所以复数 的虚部为 .
故答案为：D.
【分析】利用复数的除法运算求出z即可.
12．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 .
故答案为：A.
【分析】根据指数幂的运算性质，结合复数的乘方运算性质进行求解即可.
13．【答案】C
【知识点】复数的模
【解析】【解答】因为 ，所以 ．
故答案为：C．
【分析】先根据 将 化简，再根据向量的模的计算公式即可求出．
14．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】由题意可得： ，则 .
故 .
故答案为：D.
【分析】由题意首先求得 的值，然后计算其模即可.
15．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】
故答案为：D
【分析】根据复数除法法则进行计算.
16．【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由题意得 ， .
故答案为：B.
【分析】先根据复数几何意义得z，再根据复数乘法法则得结果.
17．【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：a∈R，若a﹣1+（a﹣2）i（i为虚数单位）是实数，
可得a﹣2＝0，解得a＝2．
故答案为：C．
【分析】利用复数的虚部为0，求解即可．
18．【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】 【解答】设复数为
复数z在复平面内对应的点为(x，y)，
故答案为：C
【分析】利用复数的加减运算法则求出复数 再利用复数 的实部和虚部表示复数 的模，再利用复数 的几何意义表示出复数z在复平面内对应的点的轨迹方程。
19．【答案】C
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】 【解答】
故答案为：C
【分析】利用复数的混合运算法则求出复数z，再利用复数的实部和虚部求出复数的模。
20．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】根据 ，得 ，
所以 ，
故答案为：D.
【分析】根据z得到其共轭，结合复数的乘法运算即可求解.
21．【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】根据题意首先求出复数z的共轭复数 ,则 的共轭复数所对应的点为（-3，-2）,进而得到所对于的点在第三象限。
故答案为：C
【分析】首先求出该复数的共轭复数，然后取出其共轭复数所对应的点的坐标，从而即可判断出该点位于第三象限。
22．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】 【解答】首先求出 则 ，
故答案为：D
【分析】根据题意整理原式，再结合共轭复数的定义求出即可。
23．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：∵ ，则 ，
故答案为：D.
【分析】利用复数的乘除运算，即可求出复数z的代数式.
24．【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】∵， ，
∴，解得a=1.
故选：C.
【分析】由复数乘法运算，等式化简后将实部与虚部一一对应列出方程即得答案.
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