2019-2023高考数学真题分类汇编5 函数的单调性、奇偶性、周期性
一、选择题
1．（2021·全国甲卷）下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国乙卷）设函数f(x)= ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．f(x-1)-1 B．f(x-1)+1 C．f(x+1)-1 D．f(x+1)+1
3．（2023·北京卷）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国乙卷）已知是偶函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
5．（2023·新高考Ⅱ卷）若为偶函数，则a=（ ）
A．-1 B．0 C． D．-1
6．（2022·新高考Ⅱ卷）若函数 的定义域为R，且 ，则 （ ）
A．-3 B．-2 C．0 D．1
7．（2021·新高考Ⅱ卷）已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·全国乙卷）设函数 ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·全国甲卷）设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f（-x）．若 （ ）
A． B． C． D．
10．（2020·新课标Ⅱ·文）设函数 ,则 （ ）
A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增
B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增
D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
11．（2020·新课标Ⅱ·理）设函数 ，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在 单调递增
B．是奇函数，且在 单调递减
C．是偶函数，且在 单调递增
D．是奇函数，且在 单调递减
12．（2020·新课标Ⅰ·理）若 ，则（ ）
A． B． C． D．
13．（2020·新高考Ⅰ）若定义在R的奇函数f(x)在 单调递减，且f(2)=0，则满足 的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2019·全国Ⅱ卷文）设f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）= -1，则当x<0时，f（x）=（ ）
A． -1 B． +1 C．- -1 D．- +1
15．（2019·北京）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）
A． B．y=2-x C． D．
16．（2023·全国甲卷）已知函数．记，则（ ）
A． B． C． D．
17．（2021·全国甲卷）设函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当 时， .若 ,则 （ ）
A． B． C． D．
18．（2019·全国Ⅰ卷理）关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四个结论：
①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间 单调递增
③f(x)在[-π，π]有4个零点 ④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
二、填空题
19．（2021·新高考Ⅰ）已知函数f(x)= 是偶函数，则a=
20．（2020·江苏）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是 .
21．（2023·全国甲卷）若为偶函数，则 ．
22．（2023·全国甲卷）若为偶函数，则 ．
23．（2022·全国乙卷）若 是奇函数，则 ， ．
24．（2019·全国Ⅱ卷理）已知 是奇函数，且当 时， .若 ，则 .
25．（2019·北京）设函数f（x）=ex+ae-x（a为常数）。若f（x）为奇函数，则a= ：若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是 .
26．（2023·北京卷）设，函数，给出下列四个结论：
①在区间上单调递减；
②当时，存在最大值；
③设，则；
④设．若存在最小值，则a的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题
27．（2023·上海卷）函数
（1）当是，是否存在实数，使得为奇函数；
（2）函数的图像过点，且的图像与轴负半轴有两个交点，求实数的取值范围.
28．（2019·浙江）设a∈R，已知函数f(x)=
(Ⅰ)当a=1时，写出f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)对任意x≤2，不等式f(x)≥(a-1)x+2恒成立，求实数a的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】解：对于A，考察函数f(x)=kx，易知当x<0时，y=kx单调递减，故A错误；
对于B，考察函数f(x)=ax，易知当0
对于C，考察函数f(x)=x2，易知当x<0时，f(x)=x2单调递减，当x>0时，f(x)=x2单调递增，故C错误；
对于D，考察函数，易知f(x)=ax单调递增，故D正确.
故答案为：D
【分析】根据正比例函数，指数函数，二次函数，幂函数的单调性之间求解即可.
2．【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】因为 f(x)= ，所以函数的对称中心是(-1,-1)，所以函数f(x)向右平移1 个单位，再向上平移1个单位后关于（0，0）中心对称，而四个选项中只有B满足条件，
故答案为：B。
【分析】将 函数变形为f(x)= 后，判断。
3．【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】A、在区间上单调递增， 在区间上单调递减，A不符合题意；
B、在区间上单调递增， 在区间上单调递减，B不符合题意；
C、在区间上单调递减， 在区间上单调递增，C符合题意；
D、 ， ，， 在区间上不单调递增 ，D不符合题意。
故答案为：C
【分析】利用函数单调性判断选项.
4．【答案】D
【知识点】偶函数；函数的奇偶性
【解析】【解答】是偶函数，
恒成立，
不恒为0，
，解得.
当时定义域为关于原点对称，又满足，为偶函数。
故选：D
【分析】根据偶函数定义进行计算，再验证。
5．【答案】B
【知识点】偶函数
【解析】【解答】根据题意易得函数定义域为，即关于原点对称
为偶函数 ，
则有，即，解得。
检验：当时，有，
时为偶函数。
故选：B
【分析】根据偶函数性质在定义域范畴内代值即得答案。
6．【答案】A
【知识点】抽象函数及其应用；函数的周期性
【解析】【解答】因为 ，令 可得， ，所以 ，令 可得， ，即 ，所以函数 为偶函数，令 得， ，即有 ，从而可知 ， ，故 ，即 ，所以函数 一个周期为6．
因为 ， ， ， ， ，所以
一个周期内的 ．由于22除以6余4，
所以 ．
故答案为：A
【分析】根据题意赋值即可知函数 的一个周期为6，求出函数一个周期中的 的值，即可求解．
7．【答案】B
【知识点】奇函数；偶函数；函数的周期性
【解析】【解答】解：因为 为偶函数， 则有f(2+x)=f(2-x)，可得f(x+3)=f(1-x)，
又因为 为奇函数， 则有f(1-2x)=-f(2x-1)，可得f(1-x)=-f(x+1)，
所以f(x+3)=-f(x+1)=f(x-1)，即f(x)=f(x+4)
故函数f(x)的周期为T=4
又因为函数F(x)=f(2x+1)是奇函数，则F(0)=f(1)=0
故f(-1)=-f(1)=0
故答案为：B
【分析】推导出函数f(x)是以4为周期的周期函数，由已知条件得出f(1)=0，结合已知条件可得出结论.
8．【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】对于A：因为h(x)= f(x-1)-1,则h(-X)h(X),所以h(X)不是奇函数，故A不符合；
对于B：因为h(x)= f(x-1)+1,则h(-X)＝h(X),所以h(X)是奇函数，故B符合；
对于C：h(x)= f(x+1)－1,则h(-X)h(X)，所以C不符合； 对于D：h(x)= f(x+1)+1,则h(-X)≠h(X)，故D不符合.
故答案为：B.
【分析】设选项的各个函数是h(x),分别计算h(-x)，与h(x)比较，就可以得到正确选项是B。
9．【答案】C
【知识点】奇函数；奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】解：因为 f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f－x)，
所以
故答案为：C
【分析】根据奇函数的性质，结合题设中函数的性质求解即可.
10．【答案】A
【知识点】函数的定义域及其求法；函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】因为函数 定义域为 ，其关于原点对称，而 ，
所以函数 为奇函数．
又因为函数 在 上单调递增，在 上单调递增，
而 在 上单调递减，在 上单调递减，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递增．
故答案为：A．
【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为 ，利用定义可得出函数 为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．
11．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；复合函数的单调性；函数的奇偶性；对数函数的单调区间
【解析】【解答】由 得 定义域为 ，关于坐标原点对称，
又 ，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当 时， ，
在 上单调递增， 在 上单调递减，
在 上单调递增，排除B；
当 时， ，
在 上单调递减， 在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知： 在 上单调递减，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据奇偶性的定义可判断出 为奇函数，排除AC；当 时，利用函数单调性的性质可判断出 单调递增，排除B；当 时，利用复合函数单调性可判断出 单调递减，从而得到结果.
12．【答案】B
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】设 ，则 为增函数，因为
所以 ，
所以 ，所以 .
，
当 时， ，此时 ，有
当 时， ，此时 ，有 ，所以C、D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】设 ，利用作差法结合 的单调性即可得到答案.
13．【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】因为定义在R上的奇函数 在 上单调递减，且 ，
所以 在 上也是单调递减，且 ， ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以由 可得：
或 或
解得 或 ，
所以满足 的 的取值范围是 ，
故答案为：D.
【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
14．【答案】D
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】 【解答】由奇函数的定义f(-x)=-f(x),当x<0时，-x>0,即可得出f(-x)= =-f(x), ∴f(x)=- ，
故答案为：D
【分析】利用奇函数的定义整理化简即可得出结论。
15．【答案】A
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】A： 为幂函数， ，所以该函数在 上单调递增；
B:指数函数 ，其底数大于0小于1，故在 上单调递减；
C：对数函数 ，其底数大于0小于1，故在 上单调递减；
D：反比例函数 ，其k=1>0，故在 上单调递减；
故答案为：A.
【分析】根据幂函数、指数函数、对数函数及反比例函数的单调性逐一判断即可.
16．【答案】A
【知识点】奇函数与偶函数的性质；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】，
关于对称，
又在单调递增，在单调递增，在单调递减，
由复合函数可知在单调递增，在单调递减，
由关于对称得
，，
由在单调递增得
故选：A
【分析】对二次函数对称性分析得出复合函数单调性，利用对称性将c转化与a、b同一单调性，从而利用单调性比较函数值大小。
17．【答案】D
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的值
【解析】【解答】解：因为f(x+1)是奇函数，所以f(1)=0，即a+b=0，则b=-a，
又f(0)=f(-1+1)=f(-1+2)==f(1)=0，
由f(0)+f(3)=6得a=-2，
所以
故答案为：D
【分析】根据函数的奇偶性，利用函数的性质求解即可.
18．【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】 【解答】 函数f(x)=sin|x|+|sinx|，
所以函数 为偶函数，①对，
根据分段函数 的图象可知 ②③错，④对。
【分析】根据偶函数的定义结合分段函数的图象找出正确的选项。
19．【答案】1
【知识点】函数的奇偶性；奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】解：设 ，则题意可知函数g(x)为奇函数，则g(0)=a·20-2-0=a-1=0，故a=1
故答案为：1
【分析】根据函数的奇偶性的判定，结合奇函数的性质求解即可.
20．【答案】-4
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的值
【解析】【解答】 ，因为 为奇函数，所以
故答案为：-4
【分析】先求 ，再根据奇函数求
21．【答案】2
【知识点】偶函数
【解析】【解答】，
∵为偶函数
为使为偶函数，只需为偶函数，
，即
故答案为：2
【分析】先利用诱导公式化简，由三角函数部分为偶函数，故只需二次函数部分为偶函数，从而得出的值。
22．【答案】2
【知识点】偶函数
【解析】【解答】，
∵为偶函数
为使为偶函数，只需为偶函数，
，即
故答案为：2
【分析】先利用诱导公式化简，由三角函数部分为偶函数，故只需二次函数部分为偶函数，从而得出的值。
23．【答案】；
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】因为函数 为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由 可得， ，所以 ，解得： ，即函数的定义域为 ，再由 可得， ．即 ，在定义域内满足 ，符合题意．
故答案为： ；
【分析】根据奇函数的定义即可求解．
24．【答案】–3
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】 【解答】∵x>0,∴-x<0∴f(-x)=-f(x)，f(x)=-f(-x)= ,由已知 ，代入数值可得 ,
, ∴a=-3.
故答案为：-3
【分析】利用奇函数的定义求出当x>0的函数解析式，把已知条件的等式代入结合指数的运算性质即可出a的值即可。
25．【答案】-1；a≤0
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】 【解答】解：若函数为奇函数，则f（0）=0，代入的1+a=0，
所以a=-1；
若函数f（x）在R上单调递增，则 在R上为常函数或单调递增，所以 ；
故答案为a=-1； .
【分析】根据奇函数在x=0有定义，则f（0）=0，代入求解即可；
根据函数的单调性，结合指数函数的性质，即可求出a的取值范围.
26．【答案】②③
【知识点】函数单调性的判断与证明；反证法的应用；平面内两点间距离公式的应用
【解析】【解答】 ，当 时，，图像是一条取不到右端点的单调递增的射线；
当时，，图像是在轴上方的圆心为，半径为的半圆；
当时，，图像是一条取不到左端点的单调递减的曲线；
对于①，取， 的图像如下，
当时，即，f(x)单调递增，①错误：
对于②，当时，有当时，；
当时，取得最大值为；
当时，
综上： 取得最大值，②正确；
对于③，由图知，
当，趋于时， 的距离最小，，其中且接近于，，③正确；
对于④，取， 的图像如下，
由图知，取得最小值为原点到的距离减去圆的半径，且点在上，点在，上，
直线的斜率为，直线的方程为，联立，解得，在上，可以取得最小值，此时，④错误。
故答案为：②③
【分析】画出 图形逐一分析个结论。①取， 根据图象即可判断；②分、、三段函数分析判断即可；③根据图象即可判断；④取，根据图象即可判断.
27．【答案】（1）当a=0时，此时 ，
∴的定义域为，
∴，
若此时为奇函数 ，则，
即，故不存在实数c使得为奇函数.
（2）由函数的图像过点，∴，解得c=1，
令，则 ，则
∵的图像与轴负半轴有两个交点
∴方程在x轴负半轴有两个解.
∴，解得
又∵，此时，解得
综上所述：a的取值范围为
【知识点】奇函数；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】(1)由奇函数定义先得出定义域，计算是否为0即可判断；
(2)有函数交点分析转化成方程根的分析问题，即分析分子二次函数部分的根分布情况及考虑分母不为0情况即得答案.
28．【答案】解:(I)当a=1时，f(x)=
所以，f(x)的单调递增区间是(1，+∞)．
(Ⅱ)若x≤0，ax2+(2a-4)x+2≥(a-1)x+2，
于是ax2+(a-3)x≥0在x∈(-∞，0]上恒成立
则a=0或
得0≤a≤3．
若x>0，f(x)= +a+|x=1|=
当0即 -x+a+1≥(a-1)x+2，
a(x-1) ≤
得a≥
所以，a≥-1．
当x=1时，a∈R．
当1即 +x+a-1≥(a-1)x+2，
≥a(x-1)
得a≤ =2-
所以，a≤1．
综上所述，0≤a≤1
【知识点】函数的单调性及单调区间；二元一次不等式组
【解析】【分析】（1）把a=1代入到不等式组，结合各个函数的单调性即可得出该函数的单调增区间。
（2）对x分情况讨论得出不同情况下的a的取值范围，再把各种情况并起来即可。
1 / 12019-2023高考数学真题分类汇编5 函数的单调性、奇偶性、周期性
一、选择题
1．（2021·全国甲卷）下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】解：对于A，考察函数f(x)=kx，易知当x<0时，y=kx单调递减，故A错误；
对于B，考察函数f(x)=ax，易知当0对于C，考察函数f(x)=x2，易知当x<0时，f(x)=x2单调递减，当x>0时，f(x)=x2单调递增，故C错误；
对于D，考察函数，易知f(x)=ax单调递增，故D正确.
故答案为：D
【分析】根据正比例函数，指数函数，二次函数，幂函数的单调性之间求解即可.
2．（2021·全国乙卷）设函数f(x)= ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．f(x-1)-1 B．f(x-1)+1 C．f(x+1)-1 D．f(x+1)+1
【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】因为 f(x)= ，所以函数的对称中心是(-1,-1)，所以函数f(x)向右平移1 个单位，再向上平移1个单位后关于（0，0）中心对称，而四个选项中只有B满足条件，
故答案为：B。
【分析】将 函数变形为f(x)= 后，判断。
3．（2023·北京卷）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】A、在区间上单调递增， 在区间上单调递减，A不符合题意；
B、在区间上单调递增， 在区间上单调递减，B不符合题意；
C、在区间上单调递减， 在区间上单调递增，C符合题意；
D、 ， ，， 在区间上不单调递增 ，D不符合题意。
故答案为：C
【分析】利用函数单调性判断选项.
4．（2023·全国乙卷）已知是偶函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【知识点】偶函数；函数的奇偶性
【解析】【解答】是偶函数，
恒成立，
不恒为0，
，解得.
当时定义域为关于原点对称，又满足，为偶函数。
故选：D
【分析】根据偶函数定义进行计算，再验证。
5．（2023·新高考Ⅱ卷）若为偶函数，则a=（ ）
A．-1 B．0 C． D．-1
【答案】B
【知识点】偶函数
【解析】【解答】根据题意易得函数定义域为，即关于原点对称
为偶函数 ，
则有，即，解得。
检验：当时，有，
时为偶函数。
故选：B
【分析】根据偶函数性质在定义域范畴内代值即得答案。
6．（2022·新高考Ⅱ卷）若函数 的定义域为R，且 ，则 （ ）
A．-3 B．-2 C．0 D．1
【答案】A
【知识点】抽象函数及其应用；函数的周期性
【解析】【解答】因为 ，令 可得， ，所以 ，令 可得， ，即 ，所以函数 为偶函数，令 得， ，即有 ，从而可知 ， ，故 ，即 ，所以函数 一个周期为6．
因为 ， ， ， ， ，所以
一个周期内的 ．由于22除以6余4，
所以 ．
故答案为：A
【分析】根据题意赋值即可知函数 的一个周期为6，求出函数一个周期中的 的值，即可求解．
7．（2021·新高考Ⅱ卷）已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】奇函数；偶函数；函数的周期性
【解析】【解答】解：因为 为偶函数， 则有f(2+x)=f(2-x)，可得f(x+3)=f(1-x)，
又因为 为奇函数， 则有f(1-2x)=-f(2x-1)，可得f(1-x)=-f(x+1)，
所以f(x+3)=-f(x+1)=f(x-1)，即f(x)=f(x+4)
故函数f(x)的周期为T=4
又因为函数F(x)=f(2x+1)是奇函数，则F(0)=f(1)=0
故f(-1)=-f(1)=0
故答案为：B
【分析】推导出函数f(x)是以4为周期的周期函数，由已知条件得出f(1)=0，结合已知条件可得出结论.
8．（2021·全国乙卷）设函数 ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】对于A：因为h(x)= f(x-1)-1,则h(-X)h(X),所以h(X)不是奇函数，故A不符合；
对于B：因为h(x)= f(x-1)+1,则h(-X)＝h(X),所以h(X)是奇函数，故B符合；
对于C：h(x)= f(x+1)－1,则h(-X)h(X)，所以C不符合； 对于D：h(x)= f(x+1)+1,则h(-X)≠h(X)，故D不符合.
故答案为：B.
【分析】设选项的各个函数是h(x),分别计算h(-x)，与h(x)比较，就可以得到正确选项是B。
9．（2021·全国甲卷）设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f（-x）．若 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】奇函数；奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】解：因为 f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f－x)，
所以
故答案为：C
【分析】根据奇函数的性质，结合题设中函数的性质求解即可.
10．（2020·新课标Ⅱ·文）设函数 ,则 （ ）
A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增
B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增
D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
【答案】A
【知识点】函数的定义域及其求法；函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】因为函数 定义域为 ，其关于原点对称，而 ，
所以函数 为奇函数．
又因为函数 在 上单调递增，在 上单调递增，
而 在 上单调递减，在 上单调递减，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递增．
故答案为：A．
【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为 ，利用定义可得出函数 为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．
11．（2020·新课标Ⅱ·理）设函数 ，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在 单调递增
B．是奇函数，且在 单调递减
C．是偶函数，且在 单调递增
D．是奇函数，且在 单调递减
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；复合函数的单调性；函数的奇偶性；对数函数的单调区间
【解析】【解答】由 得 定义域为 ，关于坐标原点对称，
又 ，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当 时， ，
在 上单调递增， 在 上单调递减，
在 上单调递增，排除B；
当 时， ，
在 上单调递减， 在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知： 在 上单调递减，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据奇偶性的定义可判断出 为奇函数，排除AC；当 时，利用函数单调性的性质可判断出 单调递增，排除B；当 时，利用复合函数单调性可判断出 单调递减，从而得到结果.
12．（2020·新课标Ⅰ·理）若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】设 ，则 为增函数，因为
所以 ，
所以 ，所以 .
，
当 时， ，此时 ，有
当 时， ，此时 ，有 ，所以C、D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】设 ，利用作差法结合 的单调性即可得到答案.
13．（2020·新高考Ⅰ）若定义在R的奇函数f(x)在 单调递减，且f(2)=0，则满足 的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】因为定义在R上的奇函数 在 上单调递减，且 ，
所以 在 上也是单调递减，且 ， ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以由 可得：
或 或
解得 或 ，
所以满足 的 的取值范围是 ，
故答案为：D.
【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
14．（2019·全国Ⅱ卷文）设f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）= -1，则当x<0时，f（x）=（ ）
A． -1 B． +1 C．- -1 D．- +1
【答案】D
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】 【解答】由奇函数的定义f(-x)=-f(x),当x<0时，-x>0,即可得出f(-x)= =-f(x), ∴f(x)=- ，
故答案为：D
【分析】利用奇函数的定义整理化简即可得出结论。
15．（2019·北京）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）
A． B．y=2-x C． D．
【答案】A
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】A： 为幂函数， ，所以该函数在 上单调递增；
B:指数函数 ，其底数大于0小于1，故在 上单调递减；
C：对数函数 ，其底数大于0小于1，故在 上单调递减；
D：反比例函数 ，其k=1>0，故在 上单调递减；
故答案为：A.
【分析】根据幂函数、指数函数、对数函数及反比例函数的单调性逐一判断即可.
16．（2023·全国甲卷）已知函数．记，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】奇函数与偶函数的性质；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】，
关于对称，
又在单调递增，在单调递增，在单调递减，
由复合函数可知在单调递增，在单调递减，
由关于对称得
，，
由在单调递增得
故选：A
【分析】对二次函数对称性分析得出复合函数单调性，利用对称性将c转化与a、b同一单调性，从而利用单调性比较函数值大小。
17．（2021·全国甲卷）设函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当 时， .若 ,则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的值
【解析】【解答】解：因为f(x+1)是奇函数，所以f(1)=0，即a+b=0，则b=-a，
又f(0)=f(-1+1)=f(-1+2)==f(1)=0，
由f(0)+f(3)=6得a=-2，
所以
故答案为：D
【分析】根据函数的奇偶性，利用函数的性质求解即可.
18．（2019·全国Ⅰ卷理）关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四个结论：
①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间 单调递增
③f(x)在[-π，π]有4个零点 ④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】 【解答】 函数f(x)=sin|x|+|sinx|，
所以函数 为偶函数，①对，
根据分段函数 的图象可知 ②③错，④对。
【分析】根据偶函数的定义结合分段函数的图象找出正确的选项。
二、填空题
19．（2021·新高考Ⅰ）已知函数f(x)= 是偶函数，则a=
【答案】1
【知识点】函数的奇偶性；奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】解：设 ，则题意可知函数g(x)为奇函数，则g(0)=a·20-2-0=a-1=0，故a=1
故答案为：1
【分析】根据函数的奇偶性的判定，结合奇函数的性质求解即可.
20．（2020·江苏）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是 .
【答案】-4
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的值
【解析】【解答】 ，因为 为奇函数，所以
故答案为：-4
【分析】先求 ，再根据奇函数求
21．（2023·全国甲卷）若为偶函数，则 ．
【答案】2
【知识点】偶函数
【解析】【解答】，
∵为偶函数
为使为偶函数，只需为偶函数，
，即
故答案为：2
【分析】先利用诱导公式化简，由三角函数部分为偶函数，故只需二次函数部分为偶函数，从而得出的值。
22．（2023·全国甲卷）若为偶函数，则 ．
【答案】2
【知识点】偶函数
【解析】【解答】，
∵为偶函数
为使为偶函数，只需为偶函数，
，即
故答案为：2
【分析】先利用诱导公式化简，由三角函数部分为偶函数，故只需二次函数部分为偶函数，从而得出的值。
23．（2022·全国乙卷）若 是奇函数，则 ， ．
【答案】；
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】因为函数 为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由 可得， ，所以 ，解得： ，即函数的定义域为 ，再由 可得， ．即 ，在定义域内满足 ，符合题意．
故答案为： ；
【分析】根据奇函数的定义即可求解．
24．（2019·全国Ⅱ卷理）已知 是奇函数，且当 时， .若 ，则 .
【答案】–3
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】 【解答】∵x>0,∴-x<0∴f(-x)=-f(x)，f(x)=-f(-x)= ,由已知 ，代入数值可得 ,
, ∴a=-3.
故答案为：-3
【分析】利用奇函数的定义求出当x>0的函数解析式，把已知条件的等式代入结合指数的运算性质即可出a的值即可。
25．（2019·北京）设函数f（x）=ex+ae-x（a为常数）。若f（x）为奇函数，则a= ：若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是 .
【答案】-1；a≤0
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】 【解答】解：若函数为奇函数，则f（0）=0，代入的1+a=0，
所以a=-1；
若函数f（x）在R上单调递增，则 在R上为常函数或单调递增，所以 ；
故答案为a=-1； .
【分析】根据奇函数在x=0有定义，则f（0）=0，代入求解即可；
根据函数的单调性，结合指数函数的性质，即可求出a的取值范围.
26．（2023·北京卷）设，函数，给出下列四个结论：
①在区间上单调递减；
②当时，存在最大值；
③设，则；
④设．若存在最小值，则a的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】②③
【知识点】函数单调性的判断与证明；反证法的应用；平面内两点间距离公式的应用
【解析】【解答】 ，当 时，，图像是一条取不到右端点的单调递增的射线；
当时，，图像是在轴上方的圆心为，半径为的半圆；
当时，，图像是一条取不到左端点的单调递减的曲线；
对于①，取， 的图像如下，
当时，即，f(x)单调递增，①错误：
对于②，当时，有当时，；
当时，取得最大值为；
当时，
综上： 取得最大值，②正确；
对于③，由图知，
当，趋于时， 的距离最小，，其中且接近于，，③正确；
对于④，取， 的图像如下，
由图知，取得最小值为原点到的距离减去圆的半径，且点在上，点在，上，
直线的斜率为，直线的方程为，联立，解得，在上，可以取得最小值，此时，④错误。
故答案为：②③
【分析】画出 图形逐一分析个结论。①取， 根据图象即可判断；②分、、三段函数分析判断即可；③根据图象即可判断；④取，根据图象即可判断.
三、解答题
27．（2023·上海卷）函数
（1）当是，是否存在实数，使得为奇函数；
（2）函数的图像过点，且的图像与轴负半轴有两个交点，求实数的取值范围.
【答案】（1）当a=0时，此时 ，
∴的定义域为，
∴，
若此时为奇函数 ，则，
即，故不存在实数c使得为奇函数.
（2）由函数的图像过点，∴，解得c=1，
令，则 ，则
∵的图像与轴负半轴有两个交点
∴方程在x轴负半轴有两个解.
∴，解得
又∵，此时，解得
综上所述：a的取值范围为
【知识点】奇函数；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】(1)由奇函数定义先得出定义域，计算是否为0即可判断；
(2)有函数交点分析转化成方程根的分析问题，即分析分子二次函数部分的根分布情况及考虑分母不为0情况即得答案.
28．（2019·浙江）设a∈R，已知函数f(x)=
(Ⅰ)当a=1时，写出f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)对任意x≤2，不等式f(x)≥(a-1)x+2恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】解:(I)当a=1时，f(x)=
所以，f(x)的单调递增区间是(1，+∞)．
(Ⅱ)若x≤0，ax2+(2a-4)x+2≥(a-1)x+2，
于是ax2+(a-3)x≥0在x∈(-∞，0]上恒成立
则a=0或
得0≤a≤3．
若x>0，f(x)= +a+|x=1|=
当0即 -x+a+1≥(a-1)x+2，
a(x-1) ≤
得a≥
所以，a≥-1．
当x=1时，a∈R．
当1即 +x+a-1≥(a-1)x+2，
≥a(x-1)
得a≤ =2-
所以，a≤1．
综上所述，0≤a≤1
【知识点】函数的单调性及单调区间；二元一次不等式组
【解析】【分析】（1）把a=1代入到不等式组，结合各个函数的单调性即可得出该函数的单调增区间。
（2）对x分情况讨论得出不同情况下的a的取值范围，再把各种情况并起来即可。
1 / 1