2019-2023高考数学真题分类汇编6 函数的导数及其应用2

2019-2023高考数学真题分类汇编6 函数的导数及其应用2
一、填空题
1．（2022·新高考Ⅰ卷）若曲线 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是　 　.
2．（2021·全国甲卷）曲线 在点（-1，-3）处的切线方程为　 　。
3．（2020·新课标Ⅲ·文）设函数 ．若 ，则a=　 　．
4．（2019·全国Ⅰ卷理）曲线y=3(x2+x)ex在点(0，0)处的切线方程为　 　.
二、选择题
5．（2020·新课标Ⅰ·理）函数 的图像在点 处的切线方程为（　　）
A． B． C． D．
6．（2022·新高考Ⅰ卷）设 则（　　）
A． B． C． D．
7．（2022·安康模拟）若函数有两个极值点，则实数的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2021·新高考Ⅰ）若过点（a,b)可以作曲线y=ex的两条切线，则（　　）
A．eb9．（2019·全国Ⅲ卷理）已知曲线y=aex+xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则（　　）
A．a=e，b=-1 B．a=e，b=1 C．a=e-1，b=1 D．a=e-1，b=-1
三、解答题
10．（2021·北京）已知函数 ．
（1）若 ，求 在 处切线方程；
（2）若函数 在 处取得极值，求 的单调区间，以及最大值和最小值．
11．（2020·江苏）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上、桥AB与MN平行， 为铅垂线( 在AB上).经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离 (米)与D到 的距离a(米)之间满足关系式 ；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离 (米)与F到 的距离b(米)之间满足关系式 .已知点B到 的距离为40米.
（1）求桥AB的长度；
（2）计划在谷底两侧建造平行于 的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价 (万元)(k>0).问 为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低
12．（2020·北京）已知函数 ．
（Ⅰ）求曲线 的斜率等于 的切线方程；
（Ⅱ）设曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ，求 的最小值．
13．（2019·江苏）设函数 、 为f（x）的导函数．
（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；
（2）若a≠b，b=c，且f（x）和 的零点均在集合 中，求f（x）的极小值；
（3）若 ，且f（x）的极大值为M，求证:M≤ ．
14．（2022·新高考Ⅰ卷）已知函数 和 有相同的最小值.
（1）求a；
（2）证明：存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
15．（2021·新高考Ⅱ卷）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明： 有一个零点
① ；
② ．
16．（2021·浙江）设a，b为实数，且 ，函数
(注： 是自然对数的底数)
（1）求函数 的单调区间；
（2）若对任意 ，函数 有两个不同的零点，求a的取值范围；
（3）当 时，证明：对任意 ，函数 有两个不同的零点 ，满足 .
17．（2021·全国乙卷）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）求曲线 过坐标原点的切线与曲线 的公共点的坐标.
18．（2021·全国甲卷）设函数 ，其中a>0．
（1）讨论f(x)的单调性；
（2）若y＝f(x)的图像与x轴没有公共点，求a的取值范围．
19．（2021·全国甲卷）已知a＞0且a≠1，函数f（x）= （x＞0），
（1）当a=2时，求f（x）的单调区间；
（2）若曲线y= f（x）与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围.
20．（2021·全国乙卷）设函数f（x）=ln（a-x），已知x=0是函数y=xf（x）的极值点。
（1）求a；
（2）设函数g（x）= ，证明：g（x）＜1.
答案解析部分
1．【答案】a＞0或a＜-4
【知识点】导数的几何意义；一元二次方程的解集
【解析】【解答】解：易得曲线不过原点，设切点为(x0，(x0+a)ex0)，则切线斜率为f(x0)=(x0+a+1)ex0 ，
可得切线方程为y-(x0+a)ex0=(x0+a+1)ex0(x-x0)，又切线过原点，
可得-(x0+a)ex0=-x0(x0+a+1)ex0，化简得 (※)，
又切线有两条， 即方程※有两不等实根，由判别式△=a2+4a>0，得a<-4或a>0.
故答案为：a<-4或a>0.
【分析】由导数的几何意义，求得切线方程，再结合切线过原点，易得方程有两不等实根，由△>0求解即可.
2．【答案】5x-y+2=0
【知识点】导数的几何意义；直线的点斜式方程
【解析】【解答】解：由题意得，所以在点（-1，-3）处的切线斜率k=5，故切线方程为y+3=5(x+1)，即5x-y+2=0
故答案为：5x-y+2=0
【分析】根据导数的几何意义，结合直线的点斜式方程求解即可.
3．【答案】1
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】由函数的解析式可得： ，
则： ，据此可得： ，
整理可得： ，解得： .
故答案为：1.
【分析】由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a的方程，解方程即可确定实数a的值
4．【答案】y=3x
【知识点】导数的几何意义
【解析】 【解答】设曲线y=3(x2+x)ex在点(0，0)处的切线方程为：
因为曲线y=3(x2+x)ex ，
【分析】利用求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用点斜式求出曲线y=3(x2+x)ex在点(0，0)处的切线方程。
5．【答案】B
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】 ， ， ， ，
因此，所求切线的方程为 ，即 .
故答案为：B.
【分析】求得函数 的导数 ，计算出 和 的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.
6．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：令a=xex，，c=-ln(1-x)，
则lna-lnb=x+lnx-[lnx-ln(1-x)]=x+ln(1-x)，
令y=x+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，
则，
所以y≤0，
所以lna≤lnb，
所以b>a，
a-c=xex+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，
令y=xex+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，
，
令k(x)=，
所以k'(x)=(1-2x-x2)ex>0，
所以k(x)>k(0)>0，
所以y'>0，
所以a-c>0，
所以a>c，
综上可得，c故选：C
【分析】分别构造函数y=x+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，y=xex+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，根据导数判断函数的单调性，再运用作差法比较大小即可得解.
7．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】由
，得
.
因为函数
有两个极值点，
所以
有两个不同的解，
即
有两个不同的解转化为
与
的图象有两个交点；
设
，则
，
令
，即
，解得
当
时，
；
当
时，
；
所以
在
上单调递增，在
上单调递减.
分别作出函数
与
的图象，如图所示
由图可知，0
，解得
.
所以实数
的取值范围为
.
故答案为：D.
【分析】先求函数
的导函数，函数
由两个极值点，即导函数
有两个不同的解，转化为
与
的图象有两个交点；设
，利用导数判断函数的单调性画出简单图形即可求得实数a的取值范围.
8．【答案】D
【知识点】极限及其运算；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由题意易知，当x趋近于-∞时，切线为y=0，当x趋近于+∞时，切线为x=+∞，因此切线的交点必位于第一象限，且在曲线y=ex的下方.
故答案为：D
【分析】利用极限，结合图象求解即可.
9．【答案】D
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】 【解答】解：依题意，点（1，ae）在已知曲线 上，
∵ ，∴切线的斜率 ，∵切线方程为y=2x+b，
∴ ，解得 ，即 ，
故答案为：D.
【分析】由已知可得点（1，ae）在曲线 上，求导并代入x=1得到切线斜率的表达式，利用切线的斜率和点（1，ae）在切线上列式，解得 即可得结果.
10．【答案】（1）当 时， ，则 ， ， ，
此时，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ；
（2）因为 ，则 ，
由题意可得 ，解得 ，
故 ， ，列表如下：
-1 4
+ 0 - 0 +
增 极大值 减 极小值 增
所以，函数 的增区间为 、 ，单调递减区间为 .
当 时， ；当 时， .
所以， ， .
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；
（2）根据导数研究函数的极值求得a值，再利用导数研究函数的单调性以及最值即可.
11．【答案】（1）解：由题意得
米
（2）解：设总造价为 万元， ，设 ，
(0舍去)
当 时， ；当 时， ，因此当 时， 取最小值，
答：当 米时，桥墩CD与EF的总造价最低.
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；平面内两点间的距离公式
【解析】【分析】（1）根据A,B高度一致列方程求得结果；（2）根据题意列总造价的函数关系式，利用导数求最值，即得结果.
12．【答案】解：（Ⅰ）因为 ，所以 ，
设切点为 ，则 ，即 ，所以切点为 ，
由点斜式可得切线方程为： ，即 .
（Ⅱ）显然 ，
因为 在点 处的切线方程为： ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 ，
不妨设 时，结果一样 ，
则 ，
所以
，
由 ，得 ，由 ，得 ，
所以 在 上递减，在 上递增，
所以 时， 取得极小值，
也是最小值为 .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；（Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.
13．【答案】（1）解：因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ，解得
（2）解：因为 ，
所以 ，
从而 ．令 ，得 或 ．
因为 ，都在集合 中，且 ，
所以 ．
此时 ， ．
令 ，得 或 ．列表如下：
1
+ 0 – 0 +
极大值 极小值
所以 的极小值为
（3）解：因为 ，所以 ，
．
因为 ，所以 ，
则 有2个不同的零点，设为 ．
由 ，得 ．
列表如下：
+ 0 – 0 +
极大值 极小值
所以 的极大值 ．
解法一：
．因此 ．
解法二：
因为 ，所以 ．
当 时， ．
令 ，则 ．
令 ，得 ．列表如下：
+ 0 –
极大值
所以当 时， 取得极大值，且是最大值，故 ．
所以当 时， ，因此
【知识点】利用导数研究函数的极值；不等式的证明
【解析】 【分析】利用已知条件a=b=c，f（4）=8，求出 的值。（1）利用求导的方法判断函数的单调性，再结合a≠b，b=c，且f（x）和 的零点均在集合 中，从而求出函数的极值。（2）利用两种方法证出M≤ ，第一种方法是利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，再利用均值不等式求最值的方法结 ，
且f（x）的极大值为M，从而证出M≤ ；第二种方法利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，从而求出函数的最值从而证出当 时 ，因此 。
14．【答案】（1）因为 ，所以 ，
若 ，则 恒成立，
所以 在 上单调递增，无最小值，不满足；
若 ，令f’（x）＞0 x＞lna，令f’（x）＜0 x＜lna，
所以 ，
因为 ，定义域 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
依题有 ，即 ，
令 ，则 恒成立
所以 在 上单调递增，又因为 ，
有唯一解 ，
综上，
（2）由(1)易知 在 上单调递减，在 上单调递增， 在 上单调递减，在 上单调递增，
存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，
设三个不同交点的横坐标分别为 ，不妨设 ，
显然有 ，
则肯定有 ，
注意 的结构，易知 ，
所以有 ，所以有 ，而由 在 上单调递减，
知 ，同理 ，
所以 ，
又由 ，
故 ，
所以存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
【知识点】指数式与对数式的互化；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用；等差数列概念与表示
【解析】【分析】（1）对a分 ， 两种情况，利用导数研究函数f(x)的单调性，并求得 ，同理可得 ，根据题意列式，构造函数 ，并利用导数h’(a)，可得函数h(x)的单调性，并易得h(1)=0，从而求得a；
（2）由(1)易得函数f(x)，g(x)的单调性，不妨设 ，同时根据 ，可得 ， ，从而得 ，再由对数运算可证 ，结论得证.
15．【答案】（1）由函数的解析式可得： ，
当 时，若 ，则 单调递减，
若 ，则 单调递增；
当 时，若 ，则 单调递增，
若 ，则 单调递减，
若 ，则 单调递增；
当 时， 在 上单调递增；
当 时，若 ，则 单调递增，
若 ，则 单调递减，
若 ，则 单调递增；
（2）若选择条件①：
由于 ，故 ，则 ，
而 ，
而函数在区间 上单调递增，故函数在区间 上有一个零点.
，
由于 ， ，故 ，
结合函数的单调性可知函数在区间 上没有零点.
综上可得，题中的结论成立.
若选择条件②：
由于 ，故 ，则 ，
当 时， ， ，
而函数在区间 上单调递增，故函数在区间 上有一个零点.
当 时，构造函数 ，则 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
注意到 ，故 恒成立，从而有： ，此时：
，
当 时， ，
取 ，则 ，
即： ，
而函数在区间 上单调递增，故函数在区间 上有一个零点.
，
由于 ， ，故 ，
结合函数的单调性可知函数在区间 上没有零点.
综上可得，题中的结论成立.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可；
(2)由题意结合(1)中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论.
16．【答案】（1）解： ，
①若 ，则 ，所以 在 上单调递增；
②若 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增.
综上可得， 时， 在 上单调递增；
时，函数的单调减区间为 ，单调增区间为
（2）解： 有2个不同零点 有2个不同解 有2个不同的解，
令 ，则 ，
记 ，
记 ，
又 ，所以 时， 时， ，
则 在 单调递减， 单调递增， ，
.
即实数 的取值范围是
（3）解： 有2个不同零点，则 ，故函数的零点一定为正数.
由(2)可知有2个不同零点，记较大者为 ，较小者为 ，
，
注意到函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
故 ，又由 知 ，
，
要证 ，只需 ，
且关于 的函数 在 上单调递增，
所以只需证 ，
只需证 ，
只需证 ，
，只需证 在 时为正，
由于 ，故函数 单调递增，
又 ，故 在 时为正，
从而题中的不等式得证.
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先对函数求导，对b的值分类讨论，研究导数的正负，从而确定函数的单调区间；
（2）将问题转化为 有两个不同解 有2个不同的解，通过换元，构造函数，进一步利用导数研究相关函数的单调性，通过解属地等式，得到a的取值范围；
（3）当 有2个不同零点，则 零点一定是正值，设出二正根，构造函数，研究相关函数的单调性，通过一系列不等式推导出结论。
17．【答案】（1）由函数的解析式可得： ，
导函数的判别式 ，
当 时， 在R上单调递增，
当 时， 的解为： ，
当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增；
综上可得：当 时， 在R上单调递增，
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）由题意可得： ， ，
则切线方程为： ，
切线过坐标原点，则： ，
整理可得： ，即： ，
解得： ，则 ，
∴该过原点的切线方程为，
联立，即，解得或.
即曲线 过坐标原点的切线与曲线 的公共点的坐标为 或 .
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）先对函数求导，通过分类讨论a的取值，确定导数的符号，来确定函数的单调区间；
（2）先设切点坐标横坐标x0，通过求导求出切线的斜率，写出切线的方程，再利用切线过原点的条件，就可以得到x0的值，进一步得到公共点坐标。
18．【答案】（1）函数的定义域为 ，
又 ，
因为 ，故 ，
当 时， ；当 时， ；
所以 的减区间为 ，增区间为 .
（2）因为 且 的图与 轴没有公共点，
所以 的图象在 轴的上方，
由（1）中函数的单调性可得 ，
故 即 .
【知识点】函数单调性的性质；函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【分析】（1）先明确函数的定义域，先对函数求导，然后根据a的取值，讨论导数年的正负，来确定函数的单调区间；
（2）首先注意到 且 的图与 轴没有公共点这一特点，表明 的图象在 轴的上方，求函数f(x)的最小值，只要最小值大于0即可， 解不等式，即可得到结果。
19．【答案】（1）当 时， ，
令 得 ，当 时， ，当 时， ，
∴函数 在 上单调递增； 上单调递减；
（2） ，设函数 ，
则 ，令 ，得 ，
在 内 ， 单调递增；
在 上 ， 单调递减；
，
又 ，当 趋近于 时， 趋近于0，
所以曲线 与直线 有且仅有两个交点，即曲线 与直线 有两个交点的充分必要条件是 ，这即是 ，
所以 的取值范围是 .
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）当ａ＝2时，函数 用导数研究其单调性；
（2）首先将问题转化为方程有两个解的问题，进一步转化为函数与函数有两听问题，然后利用导数研究相关函数的单调性及函数的最大值，进而得到结果。
20．【答案】（1）[xf(x)]′=x′f(x)+xf′(x)
当x=0时，[xf(x)]′=f(0)=lna=0，所以a=1
（2）由f(x)=ln(1-x)，得x＜1
当0＜x＜1时，f(x)=ln(1-x)＜0，xf(x)＜0；当x＜0时，f(x)=ln(1-x)＞0，xf(x)＜0
故即证x+f(x)＞xf(x)，x+ln(1-x)-xln(1-x)＞0
令1-x=t(t＞0且t≠1)，x=1-t，即证1-t+lnt-(1-t)lnt＞0
令f(t)=1-t+lnt-(1-t)lnt，
则f′(t)=-1- -[(-1)lnt+ ]=-1+ +lnt- =lnt
所以f(t)在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故f(t)＞f（1）=0，得证。
【知识点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）先对函数 y=xf（x）求导： [xf(x)]′=x′f(x)+xf′(x)，因为x=0是方程的根，代入求得a值。
（2）首先由（1）写出函数f(x),并求其定义域，将问题转化为证明 x+f(x)＞xf(x)，即证：x+ln(1-x)-xln(1-x)＞0 ，然后通过换元，构造函数，用导数研究相关函数的单调性，从而证明命题成立。
1 / 12019-2023高考数学真题分类汇编6 函数的导数及其应用2
一、填空题
1．（2022·新高考Ⅰ卷）若曲线 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是　 　.
【答案】a＞0或a＜-4
【知识点】导数的几何意义；一元二次方程的解集
【解析】【解答】解：易得曲线不过原点，设切点为(x0，(x0+a)ex0)，则切线斜率为f(x0)=(x0+a+1)ex0 ，
可得切线方程为y-(x0+a)ex0=(x0+a+1)ex0(x-x0)，又切线过原点，
可得-(x0+a)ex0=-x0(x0+a+1)ex0，化简得 (※)，
又切线有两条， 即方程※有两不等实根，由判别式△=a2+4a>0，得a<-4或a>0.
故答案为：a<-4或a>0.
【分析】由导数的几何意义，求得切线方程，再结合切线过原点，易得方程有两不等实根，由△>0求解即可.
2．（2021·全国甲卷）曲线 在点（-1，-3）处的切线方程为　 　。
【答案】5x-y+2=0
【知识点】导数的几何意义；直线的点斜式方程
【解析】【解答】解：由题意得，所以在点（-1，-3）处的切线斜率k=5，故切线方程为y+3=5(x+1)，即5x-y+2=0
故答案为：5x-y+2=0
【分析】根据导数的几何意义，结合直线的点斜式方程求解即可.
3．（2020·新课标Ⅲ·文）设函数 ．若 ，则a=　 　．
【答案】1
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】由函数的解析式可得： ，
则： ，据此可得： ，
整理可得： ，解得： .
故答案为：1.
【分析】由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a的方程，解方程即可确定实数a的值
4．（2019·全国Ⅰ卷理）曲线y=3(x2+x)ex在点(0，0)处的切线方程为　 　.
【答案】y=3x
【知识点】导数的几何意义
【解析】 【解答】设曲线y=3(x2+x)ex在点(0，0)处的切线方程为：
因为曲线y=3(x2+x)ex ，
【分析】利用求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用点斜式求出曲线y=3(x2+x)ex在点(0，0)处的切线方程。
二、选择题
5．（2020·新课标Ⅰ·理）函数 的图像在点 处的切线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】 ， ， ， ，
因此，所求切线的方程为 ，即 .
故答案为：B.
【分析】求得函数 的导数 ，计算出 和 的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.
6．（2022·新高考Ⅰ卷）设 则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：令a=xex，，c=-ln(1-x)，
则lna-lnb=x+lnx-[lnx-ln(1-x)]=x+ln(1-x)，
令y=x+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，
则，
所以y≤0，
所以lna≤lnb，
所以b>a，
a-c=xex+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，
令y=xex+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，
，
令k(x)=，
所以k'(x)=(1-2x-x2)ex>0，
所以k(x)>k(0)>0，
所以y'>0，
所以a-c>0，
所以a>c，
综上可得，c故选：C
【分析】分别构造函数y=x+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，y=xex+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，根据导数判断函数的单调性，再运用作差法比较大小即可得解.
7．（2022·安康模拟）若函数有两个极值点，则实数的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】由
，得
.
因为函数
有两个极值点，
所以
有两个不同的解，
即
有两个不同的解转化为
与
的图象有两个交点；
设
，则
，
令
，即
，解得
当
时，
；
当
时，
；
所以
在
上单调递增，在
上单调递减.
分别作出函数
与
的图象，如图所示
由图可知，0
，解得
.
所以实数
的取值范围为
.
故答案为：D.
【分析】先求函数
的导函数，函数
由两个极值点，即导函数
有两个不同的解，转化为
与
的图象有两个交点；设
，利用导数判断函数的单调性画出简单图形即可求得实数a的取值范围.
8．（2021·新高考Ⅰ）若过点（a,b)可以作曲线y=ex的两条切线，则（　　）
A．eb【答案】D
【知识点】极限及其运算；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由题意易知，当x趋近于-∞时，切线为y=0，当x趋近于+∞时，切线为x=+∞，因此切线的交点必位于第一象限，且在曲线y=ex的下方.
故答案为：D
【分析】利用极限，结合图象求解即可.
9．（2019·全国Ⅲ卷理）已知曲线y=aex+xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则（　　）
A．a=e，b=-1 B．a=e，b=1 C．a=e-1，b=1 D．a=e-1，b=-1
【答案】D
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】 【解答】解：依题意，点（1，ae）在已知曲线 上，
∵ ，∴切线的斜率 ，∵切线方程为y=2x+b，
∴ ，解得 ，即 ，
故答案为：D.
【分析】由已知可得点（1，ae）在曲线 上，求导并代入x=1得到切线斜率的表达式，利用切线的斜率和点（1，ae）在切线上列式，解得 即可得结果.
三、解答题
10．（2021·北京）已知函数 ．
（1）若 ，求 在 处切线方程；
（2）若函数 在 处取得极值，求 的单调区间，以及最大值和最小值．
【答案】（1）当 时， ，则 ， ， ，
此时，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ；
（2）因为 ，则 ，
由题意可得 ，解得 ，
故 ， ，列表如下：
-1 4
+ 0 - 0 +
增 极大值 减 极小值 增
所以，函数 的增区间为 、 ，单调递减区间为 .
当 时， ；当 时， .
所以， ， .
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；
（2）根据导数研究函数的极值求得a值，再利用导数研究函数的单调性以及最值即可.
11．（2020·江苏）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上、桥AB与MN平行， 为铅垂线( 在AB上).经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离 (米)与D到 的距离a(米)之间满足关系式 ；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离 (米)与F到 的距离b(米)之间满足关系式 .已知点B到 的距离为40米.
（1）求桥AB的长度；
（2）计划在谷底两侧建造平行于 的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价 (万元)(k>0).问 为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低
【答案】（1）解：由题意得
米
（2）解：设总造价为 万元， ，设 ，
(0舍去)
当 时， ；当 时， ，因此当 时， 取最小值，
答：当 米时，桥墩CD与EF的总造价最低.
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；平面内两点间的距离公式
【解析】【分析】（1）根据A,B高度一致列方程求得结果；（2）根据题意列总造价的函数关系式，利用导数求最值，即得结果.
12．（2020·北京）已知函数 ．
（Ⅰ）求曲线 的斜率等于 的切线方程；
（Ⅱ）设曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ，求 的最小值．
【答案】解：（Ⅰ）因为 ，所以 ，
设切点为 ，则 ，即 ，所以切点为 ，
由点斜式可得切线方程为： ，即 .
（Ⅱ）显然 ，
因为 在点 处的切线方程为： ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 ，
不妨设 时，结果一样 ，
则 ，
所以
，
由 ，得 ，由 ，得 ，
所以 在 上递减，在 上递增，
所以 时， 取得极小值，
也是最小值为 .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；（Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.
13．（2019·江苏）设函数 、 为f（x）的导函数．
（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；
（2）若a≠b，b=c，且f（x）和 的零点均在集合 中，求f（x）的极小值；
（3）若 ，且f（x）的极大值为M，求证:M≤ ．
【答案】（1）解：因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ，解得
（2）解：因为 ，
所以 ，
从而 ．令 ，得 或 ．
因为 ，都在集合 中，且 ，
所以 ．
此时 ， ．
令 ，得 或 ．列表如下：
1
+ 0 – 0 +
极大值 极小值
所以 的极小值为
（3）解：因为 ，所以 ，
．
因为 ，所以 ，
则 有2个不同的零点，设为 ．
由 ，得 ．
列表如下：
+ 0 – 0 +
极大值 极小值
所以 的极大值 ．
解法一：
．因此 ．
解法二：
因为 ，所以 ．
当 时， ．
令 ，则 ．
令 ，得 ．列表如下：
+ 0 –
极大值
所以当 时， 取得极大值，且是最大值，故 ．
所以当 时， ，因此
【知识点】利用导数研究函数的极值；不等式的证明
【解析】 【分析】利用已知条件a=b=c，f（4）=8，求出 的值。（1）利用求导的方法判断函数的单调性，再结合a≠b，b=c，且f（x）和 的零点均在集合 中，从而求出函数的极值。（2）利用两种方法证出M≤ ，第一种方法是利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，再利用均值不等式求最值的方法结 ，
且f（x）的极大值为M，从而证出M≤ ；第二种方法利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，从而求出函数的最值从而证出当 时 ，因此 。
14．（2022·新高考Ⅰ卷）已知函数 和 有相同的最小值.
（1）求a；
（2）证明：存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
【答案】（1）因为 ，所以 ，
若 ，则 恒成立，
所以 在 上单调递增，无最小值，不满足；
若 ，令f’（x）＞0 x＞lna，令f’（x）＜0 x＜lna，
所以 ，
因为 ，定义域 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
依题有 ，即 ，
令 ，则 恒成立
所以 在 上单调递增，又因为 ，
有唯一解 ，
综上，
（2）由(1)易知 在 上单调递减，在 上单调递增， 在 上单调递减，在 上单调递增，
存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，
设三个不同交点的横坐标分别为 ，不妨设 ，
显然有 ，
则肯定有 ，
注意 的结构，易知 ，
所以有 ，所以有 ，而由 在 上单调递减，
知 ，同理 ，
所以 ，
又由 ，
故 ，
所以存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
【知识点】指数式与对数式的互化；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用；等差数列概念与表示
【解析】【分析】（1）对a分 ， 两种情况，利用导数研究函数f(x)的单调性，并求得 ，同理可得 ，根据题意列式，构造函数 ，并利用导数h’(a)，可得函数h(x)的单调性，并易得h(1)=0，从而求得a；
（2）由(1)易得函数f(x)，g(x)的单调性，不妨设 ，同时根据 ，可得 ， ，从而得 ，再由对数运算可证 ，结论得证.
15．（2021·新高考Ⅱ卷）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明： 有一个零点
① ；
② ．
【答案】（1）由函数的解析式可得： ，
当 时，若 ，则 单调递减，
若 ，则 单调递增；
当 时，若 ，则 单调递增，
若 ，则 单调递减，
若 ，则 单调递增；
当 时， 在 上单调递增；
当 时，若 ，则 单调递增，
若 ，则 单调递减，
若 ，则 单调递增；
（2）若选择条件①：
由于 ，故 ，则 ，
而 ，
而函数在区间 上单调递增，故函数在区间 上有一个零点.
，
由于 ， ，故 ，
结合函数的单调性可知函数在区间 上没有零点.
综上可得，题中的结论成立.
若选择条件②：
由于 ，故 ，则 ，
当 时， ， ，
而函数在区间 上单调递增，故函数在区间 上有一个零点.
当 时，构造函数 ，则 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
注意到 ，故 恒成立，从而有： ，此时：
，
当 时， ，
取 ，则 ，
即： ，
而函数在区间 上单调递增，故函数在区间 上有一个零点.
，
由于 ， ，故 ，
结合函数的单调性可知函数在区间 上没有零点.
综上可得，题中的结论成立.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可；
(2)由题意结合(1)中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论.
16．（2021·浙江）设a，b为实数，且 ，函数
(注： 是自然对数的底数)
（1）求函数 的单调区间；
（2）若对任意 ，函数 有两个不同的零点，求a的取值范围；
（3）当 时，证明：对任意 ，函数 有两个不同的零点 ，满足 .
【答案】（1）解： ，
①若 ，则 ，所以 在 上单调递增；
②若 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增.
综上可得， 时， 在 上单调递增；
时，函数的单调减区间为 ，单调增区间为
（2）解： 有2个不同零点 有2个不同解 有2个不同的解，
令 ，则 ，
记 ，
记 ，
又 ，所以 时， 时， ，
则 在 单调递减， 单调递增， ，
.
即实数 的取值范围是
（3）解： 有2个不同零点，则 ，故函数的零点一定为正数.
由(2)可知有2个不同零点，记较大者为 ，较小者为 ，
，
注意到函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
故 ，又由 知 ，
，
要证 ，只需 ，
且关于 的函数 在 上单调递增，
所以只需证 ，
只需证 ，
只需证 ，
，只需证 在 时为正，
由于 ，故函数 单调递增，
又 ，故 在 时为正，
从而题中的不等式得证.
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先对函数求导，对b的值分类讨论，研究导数的正负，从而确定函数的单调区间；
（2）将问题转化为 有两个不同解 有2个不同的解，通过换元，构造函数，进一步利用导数研究相关函数的单调性，通过解属地等式，得到a的取值范围；
（3）当 有2个不同零点，则 零点一定是正值，设出二正根，构造函数，研究相关函数的单调性，通过一系列不等式推导出结论。
17．（2021·全国乙卷）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）求曲线 过坐标原点的切线与曲线 的公共点的坐标.
【答案】（1）由函数的解析式可得： ，
导函数的判别式 ，
当 时， 在R上单调递增，
当 时， 的解为： ，
当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增；
综上可得：当 时， 在R上单调递增，
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）由题意可得： ， ，
则切线方程为： ，
切线过坐标原点，则： ，
整理可得： ，即： ，
解得： ，则 ，
∴该过原点的切线方程为，
联立，即，解得或.
即曲线 过坐标原点的切线与曲线 的公共点的坐标为 或 .
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）先对函数求导，通过分类讨论a的取值，确定导数的符号，来确定函数的单调区间；
（2）先设切点坐标横坐标x0，通过求导求出切线的斜率，写出切线的方程，再利用切线过原点的条件，就可以得到x0的值，进一步得到公共点坐标。
18．（2021·全国甲卷）设函数 ，其中a>0．
（1）讨论f(x)的单调性；
（2）若y＝f(x)的图像与x轴没有公共点，求a的取值范围．
【答案】（1）函数的定义域为 ，
又 ，
因为 ，故 ，
当 时， ；当 时， ；
所以 的减区间为 ，增区间为 .
（2）因为 且 的图与 轴没有公共点，
所以 的图象在 轴的上方，
由（1）中函数的单调性可得 ，
故 即 .
【知识点】函数单调性的性质；函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【分析】（1）先明确函数的定义域，先对函数求导，然后根据a的取值，讨论导数年的正负，来确定函数的单调区间；
（2）首先注意到 且 的图与 轴没有公共点这一特点，表明 的图象在 轴的上方，求函数f(x)的最小值，只要最小值大于0即可， 解不等式，即可得到结果。
19．（2021·全国甲卷）已知a＞0且a≠1，函数f（x）= （x＞0），
（1）当a=2时，求f（x）的单调区间；
（2）若曲线y= f（x）与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围.
【答案】（1）当 时， ，
令 得 ，当 时， ，当 时， ，
∴函数 在 上单调递增； 上单调递减；
（2） ，设函数 ，
则 ，令 ，得 ，
在 内 ， 单调递增；
在 上 ， 单调递减；
，
又 ，当 趋近于 时， 趋近于0，
所以曲线 与直线 有且仅有两个交点，即曲线 与直线 有两个交点的充分必要条件是 ，这即是 ，
所以 的取值范围是 .
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）当ａ＝2时，函数 用导数研究其单调性；
（2）首先将问题转化为方程有两个解的问题，进一步转化为函数与函数有两听问题，然后利用导数研究相关函数的单调性及函数的最大值，进而得到结果。
20．（2021·全国乙卷）设函数f（x）=ln（a-x），已知x=0是函数y=xf（x）的极值点。
（1）求a；
（2）设函数g（x）= ，证明：g（x）＜1.
【答案】（1）[xf(x)]′=x′f(x)+xf′(x)
当x=0时，[xf(x)]′=f(0)=lna=0，所以a=1
（2）由f(x)=ln(1-x)，得x＜1
当0＜x＜1时，f(x)=ln(1-x)＜0，xf(x)＜0；当x＜0时，f(x)=ln(1-x)＞0，xf(x)＜0
故即证x+f(x)＞xf(x)，x+ln(1-x)-xln(1-x)＞0
令1-x=t(t＞0且t≠1)，x=1-t，即证1-t+lnt-(1-t)lnt＞0
令f(t)=1-t+lnt-(1-t)lnt，
则f′(t)=-1- -[(-1)lnt+ ]=-1+ +lnt- =lnt
所以f(t)在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故f(t)＞f（1）=0，得证。
【知识点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）先对函数 y=xf（x）求导： [xf(x)]′=x′f(x)+xf′(x)，因为x=0是方程的根，代入求得a值。
（2）首先由（1）写出函数f(x),并求其定义域，将问题转化为证明 x+f(x)＞xf(x)，即证：x+ln(1-x)-xln(1-x)＞0 ，然后通过换元，构造函数，用导数研究相关函数的单调性，从而证明命题成立。
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