【精品解析】2019-2023高考数学真题分类汇编6 函数的导数及其应用（3）

2019-2023高考数学真题分类汇编6 函数的导数及其应用（3）
一、填空题
1．（2021·新高考Ⅰ）函数f(x) =|2x-l|-2lnx的最小值为　 　
2．（2020·新课标Ⅰ·文）曲线 的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为　 　.
3．（2019·江苏）在平面直角坐标系 中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是　 　.
4．（2019·天津）曲线 在点 处的切线方程为　 　.
二、解答题
5．（2020·新课标Ⅱ·文）已知函数f（x）=2lnx+1．
（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；
（2）设a>0时，讨论函数g（x）= 的单调性．
6．（2020·新课标Ⅰ·文）已知函数 .
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）若 有两个零点，求a的取值范围.
7．（2020·新课标Ⅰ·理）已知函数 .
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥ x3+1，求a的取值范围.
8．（2020·新高考Ⅰ）已知函数 ．
（1）当 时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．
9．（2020·天津）已知函数 ， 为 的导函数．
（Ⅰ）当 时，
（i）求曲线 在点 处的切线方程；
（ii）求函数 的单调区间和极值；
（Ⅱ）当 时，求证：对任意的 ，且 ，有 ．
10．（2020·江苏）已知关于x的函数 与 在区间D上恒有 ．
（1）若 ，求h(x)的表达式；
（2）若 ，求k的取值范围；
（3）若 求证： ．
11．（2020·浙江）已知1＜a≤2，函数f（x）＝ex﹣x﹣a，其中e＝2.71828…为自然对数的底数．
（Ⅰ）证明：函数y＝f（x）在 （0，+∞）上有唯一零点；
（Ⅱ）记x0为函数y＝f（x）在 （0，+∞）上的零点，证明：
（ⅰ） ≤x0≤ ；
（ⅱ）x0f（ ）≥（e﹣1）（a﹣1）a．
12．（2019·浙江）已知实数a≠0，设函数f（x）=alnx+ .x>0
（1）当a=- 时，求函数f（x）的单调区间
（2）对任意x∈[ ，+∞）均有f（x）≤ ，求a的取值范围
13．（2019·天津）设函数 ，其中 .
（Ⅰ）若 ，讨论 的单调性；
（Ⅱ）若 ，
（i）证明 恰有两个零点
（ii）设 为 的极值点， 为 的零点，且 ，证明 .
14．（2019·天津）设函数 为 的导函数.
（Ⅰ）求 的单调区间；
（Ⅱ）当 时，证明 ；
（Ⅲ）设 为函数 在区间 内的零点，其中 ，证明 .
15．（2019·全国Ⅲ卷文）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）当016．（2019·全国Ⅲ卷理）已知函数f（x）=2x3-ax2+b.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）是否存在a，b，使得f（x）在区间[0，1]的最小值为-1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由。
17．（2019·全国Ⅱ卷文）已知函数 ，证明：
（1） 存在唯一的极值点；
（2） 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
18．（2019·全国Ⅱ卷理）已知函数 .
（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；
（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=ln x 在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线 的切线.
19．（2019·北京）已知函数f（x）= x3-x2+x.
（I）求曲线y=f（x）的斜率为1的切线方程；
（II）当x∈[-2，4]时，求证：x-6≤f（x）≤x；
（IlI）设F（x）=|f（x）-（x+a）|（a∈R），记F（x）在区间[-2，4]上的最大值为M（a）. 当M（a）最小时，求a的值.
20．（2019·全国Ⅰ卷文）已知函数f(x)=2sinx-xcosx-x，f‘(x)为f(x)的导数。
（1）证明：f'(x)在区间(0, π)存在唯一零点；
（2）若x [0,π]时，f(x)≥ax，求a的取值范围。
21．（2019·全国Ⅰ卷理）已知函数f(x)=sinx-ln(1+x)，f’(x)为f(x)的导数。证明：
（1）f’(x)在区间(-1， )存在唯一极大值点；
（2）f(x)有且仅有2个零点。
答案解析部分
1．【答案】1
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；分段函数的应用
【解析】【解答】解：①当时，f（x）=2x-1-2lnx，则，
当x>1时，f'(x)>0，当时，f'(x)<0，所以f（x）min=f（1）=1；
②当时，f（x）=1-2x-2lnx，则，
此时函数f（x）=1-2x-2lnx在上为减函数，则f（x）min=，
综上，f（x）min=1
故答案为：1
【分析】根据分段函数的定义，分别利用导数研究函数的单调性与最值，并比较即可求解
2．【答案】y=2x
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】设切线的切点坐标为 ，
，所以切点坐标为 ，
所求的切线方程为 ，即 .
故答案为： .
【分析】设切线的切点坐标为 ，对函数求导，利用 ，求出 ，代入曲线方程求出 ，得到切线的点斜式方程，化简即可.
3．【答案】
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】 【解答】 点A在曲线y=lnx，x>0上， 设点
利用点斜式方程表示曲线在切点A处的切线方程为：
则
切线经过点（-e，-1)，
点A的坐标是
【分析】利用点A在曲线y=lnx上设出切点A的坐标，再利用求导的方法求出曲线在切点A处的切线斜率，再利用点斜式求出曲线在切点A处的切线方程，再利用切线经过点（-e，-1)，从而求出切点的横坐标，再利用切点的横坐标代入曲线方程求出切点的纵坐标，从而求出切点A的坐标。
4．【答案】
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】 【解答】函数 的导数为 ， ，及切线斜率
所以切线方程为 ：
即
故答案为：
【分析】本题考查函数在某点处的切线方程的求法，函数导数与切线斜率的关系，属于导数的应用。
5．【答案】（1）解：函数 的定义域为：
，
设 ，则有 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
所以当 时，函数 有最大值，
即 ，
要想不等式 在 上恒成立，
只需 ；
（2）解： 且
因此 ，设 ，
则有 ，
当 时， ，所以 ， 单调递减，因此有 ，即
，所以 单调递减；
当 时， ，所以 ， 单调递增，因此有 ，即 ，所以 单调递减，
所以函数 在区间 和 上单调递减，没有递增区间.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）不等式 转化为 ，构造新函数，利用导数求出新函数的最大值，进而进行求解即可；（2）对函数 求导，把导函数 的分子构成一个新函数 ，再求导得到 ，根据 的正负，判断 的单调性，进而确定 的正负性，最后求出函数 的单调性.
6．【答案】（1）解：当 时， ， ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以 的减区间为 ，增区间为 ；
（2）解：若 有两个零点，即 有两个解，
从方程可知， 不成立，即 有两个解，
令 ，则有 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 或 ，
所以函数 在 和 上单调递减，在 上单调递增，
且当 时， ，
而 时， ，当 时， ，
所以当 有两个解时，有 ，
所以满足条件的 的取值范围是： .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）将 代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区间和减区间；（2）若 有两个零点，即 有两个解，将其转化为 有两个解，令 ，求导研究函数图象的走向，从而求得结果.
7．【答案】（1）解：当 时， ， ，
由于 ，故 单调递增，注意到 ，故：
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增.
（2）解：由 得， ，其中 ，
①.当x=0时，不等式为： ，显然成立，符合题意；
②.当 时，分离参数a得， ，
记 ， ，
令 ，
则 ， ，
故 单调递增， ，
故函数 单调递增， ，
由 可得： 恒成立，
故当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
因此， ,
综上可得，实数a的取值范围是 .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.(2)首先讨论x=0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a的取值范围.
8．【答案】（1）解： ， ， .
，∴切点坐标为(1，1+e)，
∴函数f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 ，即 ，
切线与坐标轴交点坐标分别为 ，
∴所求三角形面积为 ；
（2）解：解法一： ，
，且 .
设 ，则
∴g(x)在 上单调递增，即 在 上单调递增，
当 时， ，∴ ，∴ 成立.
当 时， ， ， ，
∴存在唯一 ，使得 ，且当 时 ，当 时 ， ， ，
因此
>1，
∴∴ 恒成立；
当 时， ∴ 不是恒成立.
综上所述，实数a的取值范围是[1，+∞).
解法二： 等价于
，
令 ，上述不等式等价于 ，
显然 为单调增函数，∴又等价于 ，即 ，
令 ，则
在 上h’(x)>0，h(x)单调递增；在(1，+∞)上h’(x)<0，h(x)单调递减，
∴ ，
，∴a的取值范围是[1，+∞).
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，求出与坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果；（2）解法一：利用导数研究，得到函数 得导函数 的单调递增，当a=1时由 得 ，符合题意；当a>1时，可证 ，从而 存在零点 ，使得 ，得到 ，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得 恒成立；当 时，研究 .即可得到不符合题意.综合可得a的取值范围.解法二：利用指数对数的运算可将 转化为，令 ，上述不等式等价于 ，注意到 的单调性，进一步等价转化为 ，令 ，利用导数求得 ，进而根据不等式恒成立的意义得到关于a的对数不等式，解得a的取值范围.
9．【答案】解：(Ⅰ) (i) 当k=6时， ， .可得 ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
(ii) 依题意， .
从而可得 ，
整理可得： ，
令 ，解得 .
当x变化时， 的变化情况如下表：
单调递减 极小值 单调递增
所以，函数g(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)；
g(x)的极小值为g(1)=1，无极大值.
（Ⅱ）证明：由 ，得 .
对任意的 ，且 ，令 ，则
. ①
令 .
当x>1时， ，
由此可得 在 单调递增，所以当t>1时， ，即 .
因为 ， ， ，
所以
. ②
由(Ⅰ)(ii)可知，当 时， ，即 ，
故 ③
由①②③可得 .
所以，当 时，任意的 ，且 ，有
.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(Ⅰ) (i)首先求得导函数的解析式，然后结合导数的几何意义求解切线方程即可；(ii)首先求得 的解析式，然后利用导函数与原函数的关系讨论函数的单调性和函数的极值即可；（Ⅱ）首先确定导函数的解析式，然后令 ，将原问题转化为与 有关的函数，然后构造新函数，利用新函数的性质即可证得题中的结论.
10．【答案】（1）解：由题设有 对任意的 恒成立.
令 ，则 ，所以 .
因此 即 对任意的 恒成立，
所以 ，因此 .
故 .
（2）解：令 ， .
又 .
若 ，则 在 上递增，在 上递减，则 ，即 ，不符合题意.
当 时， ，符合题意.
当 时， 在 上递减，在 上递增，则 ，
即 ，符合题意.
综上所述， .
由
当 ，即 时， 在 为增函数，
因为 ，
故存在 ，使 ，不符合题意.
当 ，即 时， ，符合题意.
当 ，即 时，则需 ，解得 .
综上所述， 的取值范围是 .
（3）解：因为 对任意 恒成立，
对任意 恒成立，
等价于 对任意 恒成立.
故 对任意 恒成立.
令 ，
当 ， ，
此时 ，
当 ， ，
但 对任意的 恒成立.
等价于 对任意的 恒成立.
的两根为 ，
则 ，
所以 .
令 ，则 .
构造函数 ， ，
所以 时， ， 递减， .
所以 ，即 .
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求得 与 的公共点，并求得过该点的公切线方程，由此求得 的表达式.（2）先由 ，求得 的一个取值范围，再由 ，求得 的另一个取值范围，从而求得 的取值范围.（3）先由 ，求得 的取值范围，由方程 的两个根，求得 的表达式，利用导数证得不等式成立.
11．【答案】证明：（Ⅰ）∵f（x）＝ex﹣x﹣a＝0（x＞0），∴f′（x）＝ex﹣1＞0恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∵1＜a≤2，∴f（2）＝e2﹣2﹣a≥e2﹣4＞0，又f（0）＝1﹣a＜0，
∴函数y＝f（x）在 （0，+∞）上有唯一零点．
（Ⅱ）（i）∵f（x）单调增，1＜a≤2，设x0的最大值为t，则ct＝2+t，
∴f（1）＝c﹣1﹣2＜0，则t＞1，
右边：由于x≥0时，ex≥1+x+ ，且 ﹣x0﹣a＝0，
则a≥1+ ，∴ ．
左边：要证明 ≥a﹣1＝ ，只需证明 ，
记h（x）＝ex﹣1﹣x﹣x2（0≤x≤t），则h′（x）＝ex﹣1﹣2x，
h“（x）＝ex﹣2，∴h′（x）在（0，ln2）上单调减，在（ln2，+∞）上单调增，
∴h′（x）＝ex﹣1﹣2x≤max{h′（0），h′（t）}＝0，
∴h（x）在0≤x≤t时单调减，h（x）＝ex﹣1﹣x﹣x2≤h（0）＝0，
∴ ≤x0≤ ．
（ii）要证明x0f（e ）≥（e﹣1）（a﹣1）a，只需证x0f（x0+a）≥（e﹣1）（a﹣1）a，
只需证 ﹣ ≥（e﹣1）a ，
∵ex≥1+x+ ，∴只需证1+ （ ）2﹣a≥（e﹣1）a ，
只需证 ﹣2（e﹣2）a ≥0，即证 ﹣ ≥2（e﹣2），
∵ ＝ + ∈（2，+∞），
∴ ≥ ＝ ，
∴x0f（e ）≥（e﹣1）（a﹣1）a．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；分析法的思考过程、特点及应用
【解析】【分析】（Ⅰ）推导出x＞0时，f′（x）＝ex﹣1＞0恒成立，f（0）＝＜0，f（2）＞0，由此能证明函数y＝f（x）在 （0，+∞）上有唯一零点．（Ⅱ）（i）由f（x）单调增，1＜a≤2，设x0的最大值为t，则ct＝2+t，f（1）＝c﹣1﹣2＜0，则t＞1，推导出 ．要证明 ≥a﹣1＝ ，只需证明 ，记h（x）＝ex﹣1﹣x﹣x2（0≤x≤t），则h′（x）＝ex﹣1﹣2x，利用导数性质能证明 ≤x0≤ ．（ii）要证明x0f（e ）≥（e﹣1）（a﹣1）a，只需证明x0f（x0+a）≥（e﹣1）（a﹣1）a，只需证 ﹣ ≥2（e﹣2），由此能证明x0f（e ）≥（e﹣1）（a﹣1）a．
12．【答案】（1）当 时， ．
，
所以，函数 的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+ ）．
（2）由 ，得 ．
当 时， 等价于 ．
令 ，则 ．
设 ，则
．
（i）当 时， ，则
．
记 ，则
.
故
　 1
　 　 0 +
单调递减 极小值 单调递增
所以， ．
因此， ．
（ii）当 时， ．
令 ，则 ，
故 在 上单调递增，所以 ．
由（i）得 ．
所以， ．
因此 ．
由（i）（ii）得对任意 ， ，
即对任意 ，均有 ．
综上所述，所求a的取值范围是 ．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）将a=-代入，求导数，结合导数确定函数的单调性即可；
（2）采用换元法，构造函数，求导数，结合导数确定函数的单调性，求出函数的最值，即可求出不等式成立时相应的实数a的取值范围.
13．【答案】解：（Ⅰ）解：由已知， 的定义域为 ，且
因此当 时， ，从而 ，所以 在 内单调递增.
（Ⅱ）证明：（i）由（Ⅰ）知 .令 ，由 ，
可知 在 内单调递减，又 ，且
.
故 在 内有唯一解，从而 在 内有唯一解，不妨设为 ，则 .当 时， ，所以 在 内单调递增；当 时， ，所以 在 内单调递减，因此 是 的唯一极值点.
令 ，则当 时， ，故 在 内单调递减，从而当 时， ，所以 .从而
，
又因为 ，所以 在 内有唯零点.又 在 内有唯一零点1，从而， ）在 内恰有两个零点.
（ii）由题意， 即 ，从而 ，即 .因为当 时， ，又 ，故 ，两边取对数，得 ，于是
，
整理得 .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；不等式的证明；函数零点存在定理
【解析】 【分析】（Ⅰ）根据题意，由函数的解析式求出导函数，通过当 时，判断 ，得到函数的单调性；
（Ⅱ）（ⅰ）求导，分析导函数可得函数 的单调性和极值点，再根据极值点的取值范围分析函数在不同区间的正负，即可得函数 的零点个数。
（ⅱ）根据 为 的极值点， 为 的零点可列出等式，化简整理得 ，由（ⅰ）可得 ，两边取对数，即可得 ，整理即可得。
14．【答案】解：（Ⅰ）由已知，有 .因此，当 时，有 ，得 ，则 单调递减；当 时，有 ，得 ，则 单调递增.
所以， 的单调递增区间为 的单调递减区间为 .
（Ⅱ）证明：记 .依题意及（Ⅰ），有 ，从而 .当 时， ，故
.
因此， 在区间 上单调递减，进而 .
所以，当 时， .
（Ⅲ）证明：依题意， ，即 .记 ，则 ，且 .
由 及（Ⅰ），得 .由（Ⅱ）知，当 时， ，所以 在 上为减函数，因此 .又由（Ⅱ）知， ，故
.
所以，
【知识点】利用导数研究函数的单调性；不等式的证明；反证法与放缩法
【解析】 【分析】本题主要考导数的计算、不等式证明及导数在研究函数中的应用。
（Ⅰ）对函数 求导可求出 的单调递增区间和单调递减区间；
（Ⅱ）先构造函数 ，再对（Ⅰ） 求导，找出 的单调递减区间，结论得以证明；
（Ⅲ）由已知条件 得出 ，进而得出 ， ，结合（Ⅱ） 在 为减函数，即可得到 ，再由（Ⅱ）可知 ，利用单调性即可证得结论。
15．【答案】（1）解： ． 令 ，得x=0或 . 若a>0，则当 时， ；当 时， ．故 在 单调递增，在 单调递减；
若a=0， 在 单调递增；
若a<0，则当 时， ；当 时， ．故 在 单调递增，在 单调递减.
（2）当 时，由（1）知， 在 单调递减，在 单调递增，所以 在[0,1]的最小值为 ，最大值为 或 .于是
，
所以
当 时，可知 单调递减，所以 的取值范围是 .
当 时， 单调递减，所以 的取值范围是 .
综上， 的取值范围是 .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】 【分析】（1）先求导，令 ，得x=0或 ，分三种情况讨论a，即可求出函数 的单调区间；（2）分三种情况讨论a，利用（1）中函数 单调性，分别求出函数 的最值，即可求出 的取值范围.
16．【答案】（1）解： ． 令 ，得x=0或 . 若a>0，则当 时， ；当 时， ．故 在 单调递增，在 单调递减；
若a=0， 在 单调递增；
若a<0，则当 时， ；当 时， ．故 在 单调递增，在 单调递减.
（2）满足题设条件的a，b存在.
（i）当a≤0时，由（1）知， 在[0，1]单调递增，所以 在区间[0，l]的最小值为 ，最大值为 .此时a，b满足题设条件当且仅当 ， ，即a=0， ．
（ii）当a≥3时，由（1）知， 在[0，1]单调递减，所以 在区间[0，1]的最大值为 ，最小值为 ．此时a，b满足题设条件当且仅当 ，b=1，即a=4，b=1．
（iii）当0若 ，b=1，则 ，与0若 ， ，则 或 或a=0，与0综上，当且仅当a=0， 或a=4，b=1时， 在[0，1]的最小值为–1，最大值为1．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】 【分析】（1）先求导，令 ，得x=0或 ，分三种情况讨论a，即可求出函数 的单调区间；（2）先判断满足题设条件的a，b存在，再分三种情况讨论a，利用（1）中函数 单调性分别求出a，b的值进行判断，即可得结论.
17．【答案】（1）解： 的定义域为（0，+ ）.
.
因为 单调递增， 单调递减，所以 单调递增，又 ，
，故存在唯一 ，使得 .
又当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增.
因此， 存在唯一的极值点.
（2）由（1）知 ，又 ，所以 在 内存在唯一根 .
由 得 .
又 ，故 是 在 的唯一根.
综上， 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】 【分析】（1）首先求出原函数的导函数，再由导函数的性质研究出原函数的单调性以及极值的情况结论即可得证。（2）利用根与方程的关系即可得证。
18．【答案】（1）解： f（x）的定义域为（0，1），（1，+∞）单调递增． 因为f（e）= ， ，
所以f（x）在（1，+∞）有唯一零点x1，即f（x1）=0．
又 ， ，
故f（x）在（0，1）有唯一零点 ．
综上，f（x）有且仅有两个零点．
（2）因为 ，故点B（–lnx0， ）在曲线y=ex上． 由题设知 ，即 ， 故直线AB的斜率 ．
曲线y=ex在点 处切线的斜率是 ，曲线 在点 处切线的斜率也是 ，
所以曲线 在点 处的切线也是曲线y=ex的切线．
【知识点】导数的几何意义；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）对函数f(x)解析式求导，判断导函数的正负来判断函数f(x)的单调性，由于定义域为（0，1），（1，+∞），取特殊值f(e)，f(e2)可证在在(0,1)上函数f(x)必存在唯一零点，又 ，则在（1，+∞）上函数f(x)也存在唯一零点。由此此题即解出。（2）求出曲线y=lnx在A（x0，lnx0） 的切线表达式，根据两个切线斜率相等的条件进而求出y=ex的切线表达式，最后由已知条件化简两个表达式，即证得是同一条切线。
19．【答案】 解（I） ，令 ，
则 ，
因为 ，
故斜率为1的直线为y=x或 ，
整理得，斜率为1的直线方程为x-y=0或 ；
（II）构造函数g（x）=f（x）-x+6，
则 ，令 ，则 ，
故g（x）在[-2,0]上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，故g（x）的最小值为g（-2）或 ，
而g（-2）=0， ，故 ，
所以 ，故在[-2,4]上， ；
构造函数h（x）=f（x）-x，
则 ，令 ，则 ，
故h（x）在[-2,0]上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，故h（x）的最大值为h（0）或h（4），
因为h（0）=0，h（4）=0，
所以 ，故在[-2,4]上， ，
综上在[-2,4]上， ；
（Ⅲ）令 ，
则 ，令 ，则 ，
故 （x）在[-2,0]上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 （x）的最小值为 （-2）=-6-a或 ，
最大值为 （0）=-a或 （4）=12-a，
故 其最大值 ，
故当a=3时，M（a）有最小值9.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】 【分析】（I）求导数，根据导数的几何意义，结合斜率为1，求出切点坐标，利用点斜式，即可求出相应的切线方程；
（II）构造函数，要证 ，只需要证在[-2,4]上 和 即可，求导数，利用导数确定函数单调性，求出函数极值即可证明；
（Ⅲ）求导数，利用导数确定函数单调性，求出函数的最值，确定M（a）的表达式，即可求出M（a）取最小值时相应的a值.
20．【答案】（1） 设 ，则 .
当 时， ；当 时， ，所以 在 单调递增，在 单调递减.
又 ，故 在 存在唯一零点.
所以 在 存在唯一零点.
（2）由题设知 ，可得a≤0.由（1）知， 在 只有一个零点，设为 ，且当 时， ；当 时， ，所以 在 单调递增，在 单调递减.又 ，所以，当 时， .又当 时，ax≤0，故 .
因此，a的取值范围是 .
【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】 【分析】（1）利用求导的方法判断函数的单调性，再利用零点存在性定理证出函数 在区间(0, π)存在唯一零点。（2）由题设知 ，可得a≤0.
由（1）知， 在 只有一个零点，
利用求导的方法判断函数的单调性，再利用零点存在性定理求出 的取值范围。
21．【答案】（1） 证明：
存在 使
＋ 0 －
极大值
所以 在区间 存在唯一极大值点。
（2）证明：
存在
⒈当 时， 递减，又
⒉当 时，
⒊当 时，
⒋当 时，
综上所述， 有且仅有2个零点。
【知识点】利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断
【解析】【分析】（1）对函数两次求导，用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，从而证出 在区间 存在唯一极大值点。（2）用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，再利用零点存在性定理证出 有且仅有2个零点.
1 / 12019-2023高考数学真题分类汇编6 函数的导数及其应用（3）
一、填空题
1．（2021·新高考Ⅰ）函数f(x) =|2x-l|-2lnx的最小值为　 　
【答案】1
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；分段函数的应用
【解析】【解答】解：①当时，f（x）=2x-1-2lnx，则，
当x>1时，f'(x)>0，当时，f'(x)<0，所以f（x）min=f（1）=1；
②当时，f（x）=1-2x-2lnx，则，
此时函数f（x）=1-2x-2lnx在上为减函数，则f（x）min=，
综上，f（x）min=1
故答案为：1
【分析】根据分段函数的定义，分别利用导数研究函数的单调性与最值，并比较即可求解
2．（2020·新课标Ⅰ·文）曲线 的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为　 　.
【答案】y=2x
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】设切线的切点坐标为 ，
，所以切点坐标为 ，
所求的切线方程为 ，即 .
故答案为： .
【分析】设切线的切点坐标为 ，对函数求导，利用 ，求出 ，代入曲线方程求出 ，得到切线的点斜式方程，化简即可.
3．（2019·江苏）在平面直角坐标系 中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是　 　.
【答案】
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】 【解答】 点A在曲线y=lnx，x>0上， 设点
利用点斜式方程表示曲线在切点A处的切线方程为：
则
切线经过点（-e，-1)，
点A的坐标是
【分析】利用点A在曲线y=lnx上设出切点A的坐标，再利用求导的方法求出曲线在切点A处的切线斜率，再利用点斜式求出曲线在切点A处的切线方程，再利用切线经过点（-e，-1)，从而求出切点的横坐标，再利用切点的横坐标代入曲线方程求出切点的纵坐标，从而求出切点A的坐标。
4．（2019·天津）曲线 在点 处的切线方程为　 　.
【答案】
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】 【解答】函数 的导数为 ， ，及切线斜率
所以切线方程为 ：
即
故答案为：
【分析】本题考查函数在某点处的切线方程的求法，函数导数与切线斜率的关系，属于导数的应用。
二、解答题
5．（2020·新课标Ⅱ·文）已知函数f（x）=2lnx+1．
（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；
（2）设a>0时，讨论函数g（x）= 的单调性．
【答案】（1）解：函数 的定义域为：
，
设 ，则有 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
所以当 时，函数 有最大值，
即 ，
要想不等式 在 上恒成立，
只需 ；
（2）解： 且
因此 ，设 ，
则有 ，
当 时， ，所以 ， 单调递减，因此有 ，即
，所以 单调递减；
当 时， ，所以 ， 单调递增，因此有 ，即 ，所以 单调递减，
所以函数 在区间 和 上单调递减，没有递增区间.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）不等式 转化为 ，构造新函数，利用导数求出新函数的最大值，进而进行求解即可；（2）对函数 求导，把导函数 的分子构成一个新函数 ，再求导得到 ，根据 的正负，判断 的单调性，进而确定 的正负性，最后求出函数 的单调性.
6．（2020·新课标Ⅰ·文）已知函数 .
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）若 有两个零点，求a的取值范围.
【答案】（1）解：当 时， ， ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以 的减区间为 ，增区间为 ；
（2）解：若 有两个零点，即 有两个解，
从方程可知， 不成立，即 有两个解，
令 ，则有 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 或 ，
所以函数 在 和 上单调递减，在 上单调递增，
且当 时， ，
而 时， ，当 时， ，
所以当 有两个解时，有 ，
所以满足条件的 的取值范围是： .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）将 代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区间和减区间；（2）若 有两个零点，即 有两个解，将其转化为 有两个解，令 ，求导研究函数图象的走向，从而求得结果.
7．（2020·新课标Ⅰ·理）已知函数 .
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥ x3+1，求a的取值范围.
【答案】（1）解：当 时， ， ，
由于 ，故 单调递增，注意到 ，故：
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增.
（2）解：由 得， ，其中 ，
①.当x=0时，不等式为： ，显然成立，符合题意；
②.当 时，分离参数a得， ，
记 ， ，
令 ，
则 ， ，
故 单调递增， ，
故函数 单调递增， ，
由 可得： 恒成立，
故当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
因此， ,
综上可得，实数a的取值范围是 .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.(2)首先讨论x=0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a的取值范围.
8．（2020·新高考Ⅰ）已知函数 ．
（1）当 时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．
【答案】（1）解： ， ， .
，∴切点坐标为(1，1+e)，
∴函数f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 ，即 ，
切线与坐标轴交点坐标分别为 ，
∴所求三角形面积为 ；
（2）解：解法一： ，
，且 .
设 ，则
∴g(x)在 上单调递增，即 在 上单调递增，
当 时， ，∴ ，∴ 成立.
当 时， ， ， ，
∴存在唯一 ，使得 ，且当 时 ，当 时 ， ， ，
因此
>1，
∴∴ 恒成立；
当 时， ∴ 不是恒成立.
综上所述，实数a的取值范围是[1，+∞).
解法二： 等价于
，
令 ，上述不等式等价于 ，
显然 为单调增函数，∴又等价于 ，即 ，
令 ，则
在 上h’(x)>0，h(x)单调递增；在(1，+∞)上h’(x)<0，h(x)单调递减，
∴ ，
，∴a的取值范围是[1，+∞).
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，求出与坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果；（2）解法一：利用导数研究，得到函数 得导函数 的单调递增，当a=1时由 得 ，符合题意；当a>1时，可证 ，从而 存在零点 ，使得 ，得到 ，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得 恒成立；当 时，研究 .即可得到不符合题意.综合可得a的取值范围.解法二：利用指数对数的运算可将 转化为，令 ，上述不等式等价于 ，注意到 的单调性，进一步等价转化为 ，令 ，利用导数求得 ，进而根据不等式恒成立的意义得到关于a的对数不等式，解得a的取值范围.
9．（2020·天津）已知函数 ， 为 的导函数．
（Ⅰ）当 时，
（i）求曲线 在点 处的切线方程；
（ii）求函数 的单调区间和极值；
（Ⅱ）当 时，求证：对任意的 ，且 ，有 ．
【答案】解：(Ⅰ) (i) 当k=6时， ， .可得 ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
(ii) 依题意， .
从而可得 ，
整理可得： ，
令 ，解得 .
当x变化时， 的变化情况如下表：
单调递减 极小值 单调递增
所以，函数g(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)；
g(x)的极小值为g(1)=1，无极大值.
（Ⅱ）证明：由 ，得 .
对任意的 ，且 ，令 ，则
. ①
令 .
当x>1时， ，
由此可得 在 单调递增，所以当t>1时， ，即 .
因为 ， ， ，
所以
. ②
由(Ⅰ)(ii)可知，当 时， ，即 ，
故 ③
由①②③可得 .
所以，当 时，任意的 ，且 ，有
.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(Ⅰ) (i)首先求得导函数的解析式，然后结合导数的几何意义求解切线方程即可；(ii)首先求得 的解析式，然后利用导函数与原函数的关系讨论函数的单调性和函数的极值即可；（Ⅱ）首先确定导函数的解析式，然后令 ，将原问题转化为与 有关的函数，然后构造新函数，利用新函数的性质即可证得题中的结论.
10．（2020·江苏）已知关于x的函数 与 在区间D上恒有 ．
（1）若 ，求h(x)的表达式；
（2）若 ，求k的取值范围；
（3）若 求证： ．
【答案】（1）解：由题设有 对任意的 恒成立.
令 ，则 ，所以 .
因此 即 对任意的 恒成立，
所以 ，因此 .
故 .
（2）解：令 ， .
又 .
若 ，则 在 上递增，在 上递减，则 ，即 ，不符合题意.
当 时， ，符合题意.
当 时， 在 上递减，在 上递增，则 ，
即 ，符合题意.
综上所述， .
由
当 ，即 时， 在 为增函数，
因为 ，
故存在 ，使 ，不符合题意.
当 ，即 时， ，符合题意.
当 ，即 时，则需 ，解得 .
综上所述， 的取值范围是 .
（3）解：因为 对任意 恒成立，
对任意 恒成立，
等价于 对任意 恒成立.
故 对任意 恒成立.
令 ，
当 ， ，
此时 ，
当 ， ，
但 对任意的 恒成立.
等价于 对任意的 恒成立.
的两根为 ，
则 ，
所以 .
令 ，则 .
构造函数 ， ，
所以 时， ， 递减， .
所以 ，即 .
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求得 与 的公共点，并求得过该点的公切线方程，由此求得 的表达式.（2）先由 ，求得 的一个取值范围，再由 ，求得 的另一个取值范围，从而求得 的取值范围.（3）先由 ，求得 的取值范围，由方程 的两个根，求得 的表达式，利用导数证得不等式成立.
11．（2020·浙江）已知1＜a≤2，函数f（x）＝ex﹣x﹣a，其中e＝2.71828…为自然对数的底数．
（Ⅰ）证明：函数y＝f（x）在 （0，+∞）上有唯一零点；
（Ⅱ）记x0为函数y＝f（x）在 （0，+∞）上的零点，证明：
（ⅰ） ≤x0≤ ；
（ⅱ）x0f（ ）≥（e﹣1）（a﹣1）a．
【答案】证明：（Ⅰ）∵f（x）＝ex﹣x﹣a＝0（x＞0），∴f′（x）＝ex﹣1＞0恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∵1＜a≤2，∴f（2）＝e2﹣2﹣a≥e2﹣4＞0，又f（0）＝1﹣a＜0，
∴函数y＝f（x）在 （0，+∞）上有唯一零点．
（Ⅱ）（i）∵f（x）单调增，1＜a≤2，设x0的最大值为t，则ct＝2+t，
∴f（1）＝c﹣1﹣2＜0，则t＞1，
右边：由于x≥0时，ex≥1+x+ ，且 ﹣x0﹣a＝0，
则a≥1+ ，∴ ．
左边：要证明 ≥a﹣1＝ ，只需证明 ，
记h（x）＝ex﹣1﹣x﹣x2（0≤x≤t），则h′（x）＝ex﹣1﹣2x，
h“（x）＝ex﹣2，∴h′（x）在（0，ln2）上单调减，在（ln2，+∞）上单调增，
∴h′（x）＝ex﹣1﹣2x≤max{h′（0），h′（t）}＝0，
∴h（x）在0≤x≤t时单调减，h（x）＝ex﹣1﹣x﹣x2≤h（0）＝0，
∴ ≤x0≤ ．
（ii）要证明x0f（e ）≥（e﹣1）（a﹣1）a，只需证x0f（x0+a）≥（e﹣1）（a﹣1）a，
只需证 ﹣ ≥（e﹣1）a ，
∵ex≥1+x+ ，∴只需证1+ （ ）2﹣a≥（e﹣1）a ，
只需证 ﹣2（e﹣2）a ≥0，即证 ﹣ ≥2（e﹣2），
∵ ＝ + ∈（2，+∞），
∴ ≥ ＝ ，
∴x0f（e ）≥（e﹣1）（a﹣1）a．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；分析法的思考过程、特点及应用
【解析】【分析】（Ⅰ）推导出x＞0时，f′（x）＝ex﹣1＞0恒成立，f（0）＝＜0，f（2）＞0，由此能证明函数y＝f（x）在 （0，+∞）上有唯一零点．（Ⅱ）（i）由f（x）单调增，1＜a≤2，设x0的最大值为t，则ct＝2+t，f（1）＝c﹣1﹣2＜0，则t＞1，推导出 ．要证明 ≥a﹣1＝ ，只需证明 ，记h（x）＝ex﹣1﹣x﹣x2（0≤x≤t），则h′（x）＝ex﹣1﹣2x，利用导数性质能证明 ≤x0≤ ．（ii）要证明x0f（e ）≥（e﹣1）（a﹣1）a，只需证明x0f（x0+a）≥（e﹣1）（a﹣1）a，只需证 ﹣ ≥2（e﹣2），由此能证明x0f（e ）≥（e﹣1）（a﹣1）a．
12．（2019·浙江）已知实数a≠0，设函数f（x）=alnx+ .x>0
（1）当a=- 时，求函数f（x）的单调区间
（2）对任意x∈[ ，+∞）均有f（x）≤ ，求a的取值范围
【答案】（1）当 时， ．
，
所以，函数 的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+ ）．
（2）由 ，得 ．
当 时， 等价于 ．
令 ，则 ．
设 ，则
．
（i）当 时， ，则
．
记 ，则
.
故
　 1
　 　 0 +
单调递减 极小值 单调递增
所以， ．
因此， ．
（ii）当 时， ．
令 ，则 ，
故 在 上单调递增，所以 ．
由（i）得 ．
所以， ．
因此 ．
由（i）（ii）得对任意 ， ，
即对任意 ，均有 ．
综上所述，所求a的取值范围是 ．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）将a=-代入，求导数，结合导数确定函数的单调性即可；
（2）采用换元法，构造函数，求导数，结合导数确定函数的单调性，求出函数的最值，即可求出不等式成立时相应的实数a的取值范围.
13．（2019·天津）设函数 ，其中 .
（Ⅰ）若 ，讨论 的单调性；
（Ⅱ）若 ，
（i）证明 恰有两个零点
（ii）设 为 的极值点， 为 的零点，且 ，证明 .
【答案】解：（Ⅰ）解：由已知， 的定义域为 ，且
因此当 时， ，从而 ，所以 在 内单调递增.
（Ⅱ）证明：（i）由（Ⅰ）知 .令 ，由 ，
可知 在 内单调递减，又 ，且
.
故 在 内有唯一解，从而 在 内有唯一解，不妨设为 ，则 .当 时， ，所以 在 内单调递增；当 时， ，所以 在 内单调递减，因此 是 的唯一极值点.
令 ，则当 时， ，故 在 内单调递减，从而当 时， ，所以 .从而
，
又因为 ，所以 在 内有唯零点.又 在 内有唯一零点1，从而， ）在 内恰有两个零点.
（ii）由题意， 即 ，从而 ，即 .因为当 时， ，又 ，故 ，两边取对数，得 ，于是
，
整理得 .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；不等式的证明；函数零点存在定理
【解析】 【分析】（Ⅰ）根据题意，由函数的解析式求出导函数，通过当 时，判断 ，得到函数的单调性；
（Ⅱ）（ⅰ）求导，分析导函数可得函数 的单调性和极值点，再根据极值点的取值范围分析函数在不同区间的正负，即可得函数 的零点个数。
（ⅱ）根据 为 的极值点， 为 的零点可列出等式，化简整理得 ，由（ⅰ）可得 ，两边取对数，即可得 ，整理即可得。
14．（2019·天津）设函数 为 的导函数.
（Ⅰ）求 的单调区间；
（Ⅱ）当 时，证明 ；
（Ⅲ）设 为函数 在区间 内的零点，其中 ，证明 .
【答案】解：（Ⅰ）由已知，有 .因此，当 时，有 ，得 ，则 单调递减；当 时，有 ，得 ，则 单调递增.
所以， 的单调递增区间为 的单调递减区间为 .
（Ⅱ）证明：记 .依题意及（Ⅰ），有 ，从而 .当 时， ，故
.
因此， 在区间 上单调递减，进而 .
所以，当 时， .
（Ⅲ）证明：依题意， ，即 .记 ，则 ，且 .
由 及（Ⅰ），得 .由（Ⅱ）知，当 时， ，所以 在 上为减函数，因此 .又由（Ⅱ）知， ，故
.
所以，
【知识点】利用导数研究函数的单调性；不等式的证明；反证法与放缩法
【解析】 【分析】本题主要考导数的计算、不等式证明及导数在研究函数中的应用。
（Ⅰ）对函数 求导可求出 的单调递增区间和单调递减区间；
（Ⅱ）先构造函数 ，再对（Ⅰ） 求导，找出 的单调递减区间，结论得以证明；
（Ⅲ）由已知条件 得出 ，进而得出 ， ，结合（Ⅱ） 在 为减函数，即可得到 ，再由（Ⅱ）可知 ，利用单调性即可证得结论。
15．（2019·全国Ⅲ卷文）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）当0【答案】（1）解： ． 令 ，得x=0或 . 若a>0，则当 时， ；当 时， ．故 在 单调递增，在 单调递减；
若a=0， 在 单调递增；
若a<0，则当 时， ；当 时， ．故 在 单调递增，在 单调递减.
（2）当 时，由（1）知， 在 单调递减，在 单调递增，所以 在[0,1]的最小值为 ，最大值为 或 .于是
，
所以
当 时，可知 单调递减，所以 的取值范围是 .
当 时， 单调递减，所以 的取值范围是 .
综上， 的取值范围是 .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】 【分析】（1）先求导，令 ，得x=0或 ，分三种情况讨论a，即可求出函数 的单调区间；（2）分三种情况讨论a，利用（1）中函数 单调性，分别求出函数 的最值，即可求出 的取值范围.
16．（2019·全国Ⅲ卷理）已知函数f（x）=2x3-ax2+b.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）是否存在a，b，使得f（x）在区间[0，1]的最小值为-1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由。
【答案】（1）解： ． 令 ，得x=0或 . 若a>0，则当 时， ；当 时， ．故 在 单调递增，在 单调递减；
若a=0， 在 单调递增；
若a<0，则当 时， ；当 时， ．故 在 单调递增，在 单调递减.
（2）满足题设条件的a，b存在.
（i）当a≤0时，由（1）知， 在[0，1]单调递增，所以 在区间[0，l]的最小值为 ，最大值为 .此时a，b满足题设条件当且仅当 ， ，即a=0， ．
（ii）当a≥3时，由（1）知， 在[0，1]单调递减，所以 在区间[0，1]的最大值为 ，最小值为 ．此时a，b满足题设条件当且仅当 ，b=1，即a=4，b=1．
（iii）当0若 ，b=1，则 ，与0若 ， ，则 或 或a=0，与0综上，当且仅当a=0， 或a=4，b=1时， 在[0，1]的最小值为–1，最大值为1．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】 【分析】（1）先求导，令 ，得x=0或 ，分三种情况讨论a，即可求出函数 的单调区间；（2）先判断满足题设条件的a，b存在，再分三种情况讨论a，利用（1）中函数 单调性分别求出a，b的值进行判断，即可得结论.
17．（2019·全国Ⅱ卷文）已知函数 ，证明：
（1） 存在唯一的极值点；
（2） 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
【答案】（1）解： 的定义域为（0，+ ）.
.
因为 单调递增， 单调递减，所以 单调递增，又 ，
，故存在唯一 ，使得 .
又当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增.
因此， 存在唯一的极值点.
（2）由（1）知 ，又 ，所以 在 内存在唯一根 .
由 得 .
又 ，故 是 在 的唯一根.
综上， 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】 【分析】（1）首先求出原函数的导函数，再由导函数的性质研究出原函数的单调性以及极值的情况结论即可得证。（2）利用根与方程的关系即可得证。
18．（2019·全国Ⅱ卷理）已知函数 .
（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；
（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=ln x 在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线 的切线.
【答案】（1）解： f（x）的定义域为（0，1），（1，+∞）单调递增． 因为f（e）= ， ，
所以f（x）在（1，+∞）有唯一零点x1，即f（x1）=0．
又 ， ，
故f（x）在（0，1）有唯一零点 ．
综上，f（x）有且仅有两个零点．
（2）因为 ，故点B（–lnx0， ）在曲线y=ex上． 由题设知 ，即 ， 故直线AB的斜率 ．
曲线y=ex在点 处切线的斜率是 ，曲线 在点 处切线的斜率也是 ，
所以曲线 在点 处的切线也是曲线y=ex的切线．
【知识点】导数的几何意义；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）对函数f(x)解析式求导，判断导函数的正负来判断函数f(x)的单调性，由于定义域为（0，1），（1，+∞），取特殊值f(e)，f(e2)可证在在(0,1)上函数f(x)必存在唯一零点，又 ，则在（1，+∞）上函数f(x)也存在唯一零点。由此此题即解出。（2）求出曲线y=lnx在A（x0，lnx0） 的切线表达式，根据两个切线斜率相等的条件进而求出y=ex的切线表达式，最后由已知条件化简两个表达式，即证得是同一条切线。
19．（2019·北京）已知函数f（x）= x3-x2+x.
（I）求曲线y=f（x）的斜率为1的切线方程；
（II）当x∈[-2，4]时，求证：x-6≤f（x）≤x；
（IlI）设F（x）=|f（x）-（x+a）|（a∈R），记F（x）在区间[-2，4]上的最大值为M（a）. 当M（a）最小时，求a的值.
【答案】 解（I） ，令 ，
则 ，
因为 ，
故斜率为1的直线为y=x或 ，
整理得，斜率为1的直线方程为x-y=0或 ；
（II）构造函数g（x）=f（x）-x+6，
则 ，令 ，则 ，
故g（x）在[-2,0]上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，故g（x）的最小值为g（-2）或 ，
而g（-2）=0， ，故 ，
所以 ，故在[-2,4]上， ；
构造函数h（x）=f（x）-x，
则 ，令 ，则 ，
故h（x）在[-2,0]上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，故h（x）的最大值为h（0）或h（4），
因为h（0）=0，h（4）=0，
所以 ，故在[-2,4]上， ，
综上在[-2,4]上， ；
（Ⅲ）令 ，
则 ，令 ，则 ，
故 （x）在[-2,0]上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 （x）的最小值为 （-2）=-6-a或 ，
最大值为 （0）=-a或 （4）=12-a，
故 其最大值 ，
故当a=3时，M（a）有最小值9.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】 【分析】（I）求导数，根据导数的几何意义，结合斜率为1，求出切点坐标，利用点斜式，即可求出相应的切线方程；
（II）构造函数，要证 ，只需要证在[-2,4]上 和 即可，求导数，利用导数确定函数单调性，求出函数极值即可证明；
（Ⅲ）求导数，利用导数确定函数单调性，求出函数的最值，确定M（a）的表达式，即可求出M（a）取最小值时相应的a值.
20．（2019·全国Ⅰ卷文）已知函数f(x)=2sinx-xcosx-x，f‘(x)为f(x)的导数。
（1）证明：f'(x)在区间(0, π)存在唯一零点；
（2）若x [0,π]时，f(x)≥ax，求a的取值范围。
【答案】（1） 设 ，则 .
当 时， ；当 时， ，所以 在 单调递增，在 单调递减.
又 ，故 在 存在唯一零点.
所以 在 存在唯一零点.
（2）由题设知 ，可得a≤0.由（1）知， 在 只有一个零点，设为 ，且当 时， ；当 时， ，所以 在 单调递增，在 单调递减.又 ，所以，当 时， .又当 时，ax≤0，故 .
因此，a的取值范围是 .
【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】 【分析】（1）利用求导的方法判断函数的单调性，再利用零点存在性定理证出函数 在区间(0, π)存在唯一零点。（2）由题设知 ，可得a≤0.
由（1）知， 在 只有一个零点，
利用求导的方法判断函数的单调性，再利用零点存在性定理求出 的取值范围。
21．（2019·全国Ⅰ卷理）已知函数f(x)=sinx-ln(1+x)，f’(x)为f(x)的导数。证明：
（1）f’(x)在区间(-1， )存在唯一极大值点；
（2）f(x)有且仅有2个零点。
【答案】（1） 证明：
存在 使
＋ 0 －
极大值
所以 在区间 存在唯一极大值点。
（2）证明：
存在
⒈当 时， 递减，又
⒉当 时，
⒊当 时，
⒋当 时，
综上所述， 有且仅有2个零点。
【知识点】利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断
【解析】【分析】（1）对函数两次求导，用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，从而证出 在区间 存在唯一极大值点。（2）用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，再利用零点存在性定理证出 有且仅有2个零点.
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