【精品解析】2019-2023高考数学真题分类汇编7 函数图像和函数零点

2019-2023高考数学真题分类汇编7 函数图像和函数零点
一、选择题
1．（2023·全国乙卷）函数存在3个零点，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的零点
【解析】【解答】由题意得
有三个零点，
有极大值和极小值且异号，.
令，解得，，
，解得
故选：B
【分析】有三个零点转化为的极大值和极小值异号，进而转化为有两个根且，。
2．（2022·全国乙卷）如图是下列四个函数中的某个函数在区间 的大致图像，则该函数是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】设 ，则 ，故排除B；
设 ，当 时， ，
所以 ，故排除C；
设 ，则 ，故排除D.
故选：A
【分析】由函数图象的特征结合函数的性质逐项排除即可.
3．（2022·北京）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献，如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与 和 的关系，其中 表示温度，单位是 ； 表示压强，单位是bar，下列结论中正确的是（　　）
A．当 ， 时，二氧化碳处于液态
B．当 ， 时，二氧化碳处于气态
C．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
D．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
【答案】D
【知识点】函数的图象；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】A选项： ， ，由图易知处于固态；
B选项： ， ，由图易知处于液态；
C选项： ， ，由图易知处于固态；
D选项： ， ，由图易知处于超临界状态.
故答案为：D
【分析】根据选项所给P的值分别计算 ，结合T的值以及图象逐个判断即可.
4．（2020·天津）已知函数 若函数 恰有4个零点，则k的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的图象；根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】注意到 ，所以要使 恰有4个零点，只需方程 恰有3个实根
即可，
令 ，即 与 的图象有 个不同交点.
因为 ，
当 时，此时 ，如图1， 与 有 个不同交点，不满足题意；
当 时，如图2，此时 与 恒有 个不同交点，满足题意；
当 时，如图3，当 与 相切时，联立方程得 ，
令 得 ，解得 （负值舍去），所以 .
综上， 的取值范围为 .
故答案为：D.
【分析】由 ，结合已知，将问题转化为 与 有3个不同交点，分 三种情况，数形结合讨论即可得到答案.
5．（2020·北京）已知函数 ，则不等式 的解集是（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的图象；其他不等式的解法
【解析】【解答】因为 ，所以 等价于 ，
在同一直角坐标系中作出 和 的图象如图：
两函数图象的交点坐标为 ，
不等式 的解为 或 .
所以不等式 的解集为： .
故答案为：D.
【分析】作出函数 和 的图象，观察图象可得结果.
6．（2020·浙江）已知a，b∈R且ab≠0，若（x﹣a）（x﹣b）（x﹣2a﹣b）≥0在x≥0上恒成立，则（　　）
A．a＜0 B．a＞0 C．b＜0 D．b＞0
【答案】C
【知识点】函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：设f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣2a﹣b），可得f（x）的图象与x轴有三个交点，
即f（x）有三个零点a，b，2a+b且f（0）＝﹣ab（2a+b），
由题意知，f（0）≥0恒成立，则ab（2a+b）≤0，a＜0，b＜0，
可得2a+b＜0，ab（2a+b）≤0恒成立，排除B，D；
我们考虑零点重合的情况，即中间和右边的零点重合，左边的零点在负半轴上．
则有a＝b或a＝2a+b或b＝b+2a三种情况，此时a＝b＜0显然成立；
若b＝b+2a，则a＝0不成立；
若a＝2a+b，即a+b＝0，可得b＜0，a＞0且a和2a+b都在正半轴上，符合题意，
综上b＜0恒成立．
故答案为：C．
【分析】设f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣2a﹣b），求得f（x）的零点，根据f（0）≥0恒成立，讨论a，b的符号，结合三次函数的图象，即可得到结论．
7．（2019·浙江）在同一直角坐标系中，函数y= ，y=loga(x+ ），（a>0且a≠1）的图像可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】当a>1时，y= 的底数大于0小于1，故过（0,1）单调递减；
y=loga(x+ ）过（ ，0）单调递增，没有符合条件的图象；
当0y=loga(x+ ）过（ ，0）单调递减；
故答案为：D.
【分析】对a的取值分类讨论，结合指数函数和对数函数的特点，确定函数的图象即可.
8．（2019·浙江）设a，b∈R，函数f（x）= ，若函数y=f（x）-ax-b恰有3个零点，则（　　）
A．a＜-1，b＜0 B．a＜-1，b>0
C． a＞-1，b＞0 D．a>-1，b>0
【答案】C
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】当x<0时，y=f(x) -ax-b=x-ax-b= ( 1-a ) x-b=0，得x=； y=f(x) -ax-b，最多一个零点；
当x≥0时，y=f(x)-ax-b=x3-(a+1)x2+ax-ax-b=x3- (a+1 )x2-b ,
y'=x2- (a+1 )x，
当a+1≤0 ，即a≤-1时，y'≥0 ，y=f(x) -ax-b在[0 , +∞)上递增，y=f(x) -ax-b最多一个零点.不合题意；
当a+1>0，即a>-1时，令y' > 0得x∈[a+1 , +∞) ，函数递增，令y' <0得x∈[0 , a+1 ) ,函数递减；函数最多有2个零点；
根据题意函数y=f(x) -ax-b恰有3个零点 函数y=f(x) -ax-b在(-∞，0)上有一个零点，在[0 , +∞)上有2个零点，
如图：
得，且，
解得：b<0，1-a>0， b>-( a+1 )3.
∴-( a+1 )3故答案为：C
【分析】本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想及数形结合思想的考查.研究函数方程的方法较为灵活，通常需要结合函数的图象加以分析.
9．（2019·全国Ⅲ卷文）函数 在[0，2π]的零点个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】 【解答】解：令 ，得 ，
则函数 在[0，2π]的零点个数，转化为两个函数 和 的交点问题，
分别画出两个函数的图象，如图：
由图可知两个函数有3个交点，即该函数在[0，2π]的零点个数为3个，
故答案为：B.
【分析】令 ，把函数 在[0，2π]的零点个数，转化为两个函数 和 的交点问题，分别画出两个函数的图象，利用函数图象即可得到零点的个数.
10．（2019·全国Ⅲ卷理）函数 ，在[-6,6]的图像大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】 【解答】解：∵ ，∴此函数是奇函数，排除选项C；
又∵当x=4时， ，排除选项A，D，
故答案为：B.
【分析】先利用函数的奇偶性排除选项C，再把x=4代入求值，利用特值法排除选项A，D，即可判断得到函数的大致图象.
11．（2019·全国Ⅰ卷理）函数f(x)= 在[- ， ]。的图像大致为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】函数的图象
【解析】 【解答】 函数
利用奇函数的定义，得出函数f(x)为奇函数，
∴排除A
∴排除B，C
故答案为：D
【分析】利用函数的奇偶性和特殊的函数值排除错误的选项，从而选出正确的函数图象。
12．（2021·天津）设 ，函数 ，若 在区间 内恰有6个零点，则a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D． .
【答案】A
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：∵x2-2(a+1)x+a2+5=0最多有2个根，
∴cos(2πx-2πa)=0至少有4个根，
由，得
由得
(1)当x当时，f(x)有5个零点，即；
当时，f(x)有6个零点，即；
(2)当x≥a时，f(x)=x2-2(a+1)x+a2+5
=4(a+1)2-4(a2+5)=8(a-2)
当a<2时， <0，f(x)无零点；
当a=2时， =0，f(x)有1个零点；
当a>2时，令f(a)=a2-2(a+1)a+a2+5=-2a+5≥0，则，此时f(x)有2个零点；
所以若时，f(x)有1个零点；
综上，要是f(x)在[0，+∞)上有6个零点，则应满足
或或
则a的取值范围是
【分析】由x2-2(a+1)x+a2+5=0最多有2个根，可得cos(2πx-2πa)=0至少有4个根，再结合分类讨论思想，根据x13．（2019·哈尔滨模拟）若函数 与 图像的交点为 ， ，…， ，则 （　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：设函数 ，
的定义域为R，
因为 ，
所以 为偶函数，
因为 是增函数，
故当 时， ，
所以当 时， 为增函数，
由奇偶性可知，当 时， 为减函数，
故函数 关于 对称，当 时， 为增函数，
当 时， 为减函数，
函数 是关于 对称的，
作出两个函数的图象，如图所示，
两个函数的交点有两个，设它们的横坐标分别为 ，
由对称性可得 ，即 ，
故答案为：A。
【分析】对函数 的性质进行研究，可得出 关于 对称，且当 时，函数 单调递增，当 时，函数 单调递减，函数 关于 对称，故可得两个函数的交点有两个，且关于 对称，故可得结果。
二、填空题
14．（2019·江苏）设 是定义在R上的两个周期函数， 的周期为4， 的周期为2，且 是奇函数.当 时， ， ，其中k>0.若在区间(0，9]上，关于x的方程 有8个不同的实数根，则k的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】 当 时， ，又 是奇函数，
时，则
函数 在 上的图象为两个分别以 为圆心，半径为1的圆的上半部分和以 为圆心，半径为1的圆的下半部分拼接而成，再利用函数 的周期为4，画出函数 在区间(0，9]上的图象。
再根据函数
画出函数g（x）图象，由两段一次函数构成，
再利用函数 的周期为2，画出函数 在区间(0，9]上的图象。
在区间(0，9]上，关于x的方程 有8个不同的实数根，则
又 在区间 上，x轴下方的线段 与函数 有2个交点，
在x轴上方 的周期图象与 有6个交点，
易得该 的周期图象经过(-2，0)，其一临界值分别为经过(1，1)，其二临界值为与半圆相切；
当经过(1，1)时，，
当与半圆相切，即到(1，0)的距离为1，
∴，解得（负值舍去）；
k的取值范围是 。
【分析】利用奇函数的定义结合已知条件求出分段函数 的解析式，结合周期性画出两函数图象，将方程根转换成函数交点问题，结合图象分析满足条件的临界情况即可求出k的取值范围。
15．（2023·天津卷）若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】令 ，
①当时，
即，整理得，
a)若是函数零点，则，解得；
b)若，此时，即方程只有一个解x=-1，
c)若，方程整理得
i)此时若是函数零点，则，解得；
ii)若，即，且成立，此时方程为重根，
同理②当时，
即，整理得，
a)若是函数零点，则，解得；
b)若，此时，与矛盾，
c)若，方程整理得
i)此时若是函数零点，则，解得；
ii)若，即，则与矛盾，
综上，
(1)当时，此时使得成立，是函数零点；使得也是函数零点，
即当时，函数零点分别是，；
(2)当，，时，函数零点分别是-1，；
(3)当时，函数零点是(-1)，此时不满足题意，舍去；
(4)当时，函数零点分别是-1，此时不满足题意，舍去；
(5)当时，函数零点分别是1，-1；
∴当函数有且仅有两个零点时，；
故答案填：
【分析】令将零点转化成方程根问题，不妨先分类与去绝对值得到含参一元二次方程，对根的情况分析且检验是否满足分类前提得出零点存在时参数a的取值，对以上参数a分类整理即可得出答案.
16．（2022·天津市）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为　 　.
【答案】
【知识点】函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理
【解析】【解答】设，，由可得.
要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则，
解得或.
①当时，，作出函数、的图象如下图所示：
此时函数只有两个零点，不合乎题意；
②当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
所以，，解得；
③当时，，作出函数、的图象如下图所示：
由图可知，函数的零点个数为，合乎题意；
④当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
可得，解得，此时.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【分析】设，，由可得x的值，要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，再结合函数的零点与方程的根的等价关系，再结合判别式法得出实数a的取值范围。
①当时，，作出函数、的图象，再利用函数的零点与两函数的图象的交点的横坐标的等价关系，得出此时函数只有两个零点，不合乎题意；
②当时，设函数的两个零点分别为、，要使得函数至少有个零点，则，所以，进而得出实数a的取值范围；
③当时，，作出函数、的图象，由图结合函数的零点与两函数的图象的交点的横坐标的等价关系可知，函数的零点个数为，合乎题意；
④当时，设函数的两个零点分别为、，要使得函数至少有个零点，则，可得，从而得出实数a的取值范围，再结合并集的运算法则得出实数的取值范围。
17．（2021·北京）已知函数 ，给出下列四个结论：
①若 ，则 有两个零点；
② ，使得 有一个零点；
③ ，使得 有三个零点；
④ ，使得 有三个零点．
以上正确结论得序号是　 　．
【答案】①②④
【知识点】函数的零点
【解析】【解答】解：令|lgx|- kx-2=0，即y= |lgx|与y= kx+ 2有几个交点，原函数就有几个零点，
①当k= 0时，如图1画出函数图象，f(x)=|lgx|-2，解得x=100或，所以有两个零点，故①项正确；
②当k<0时，y= kx+2过点(0，2)，如图2画出两个函数的图象，，使得两函数存在两个交点，故②项正确；
③当k<0时，y= kx+2过点(0，2)，如图3画出两个函数的图象，不存在k<0时，使得两函数存在三个交点，故③项错误；
④当k>0时，y= kx+2过点(0，2)，如图4画出两个函数的图象，，使得两函数存在三个交点，故④项正确.
故答案为：①②④
【分析】根据函数的零点的几何性质，运用数形结合思想求解即可.
三、解答题
18．（2020·新课标Ⅰ·理）已知函数 ．
（1）画出 的图像；
（2）求不等式 的解集．
【答案】（1）解：因为 ，作出图象，如图所示：
（2）解：将函数 的图象向左平移1个单位，可得函数 的图象，如图所示：
由 ，解得 ．
所以不等式的解集为 ．
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象
【解析】【分析】（1）根据分段讨论法，即可写出函数 的解析式，作出图象；（2）作出函数 的图象，根据图象即可解出．
1 / 12019-2023高考数学真题分类汇编7 函数图像和函数零点
一、选择题
1．（2023·全国乙卷）函数存在3个零点，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．（2022·全国乙卷）如图是下列四个函数中的某个函数在区间 的大致图像，则该函数是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2022·北京）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献，如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与 和 的关系，其中 表示温度，单位是 ； 表示压强，单位是bar，下列结论中正确的是（　　）
A．当 ， 时，二氧化碳处于液态
B．当 ， 时，二氧化碳处于气态
C．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
D．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
4．（2020·天津）已知函数 若函数 恰有4个零点，则k的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2020·北京）已知函数 ，则不等式 的解集是（　　）．
A． B．
C． D．
6．（2020·浙江）已知a，b∈R且ab≠0，若（x﹣a）（x﹣b）（x﹣2a﹣b）≥0在x≥0上恒成立，则（　　）
A．a＜0 B．a＞0 C．b＜0 D．b＞0
7．（2019·浙江）在同一直角坐标系中，函数y= ，y=loga(x+ ），（a>0且a≠1）的图像可能是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2019·浙江）设a，b∈R，函数f（x）= ，若函数y=f（x）-ax-b恰有3个零点，则（　　）
A．a＜-1，b＜0 B．a＜-1，b>0
C． a＞-1，b＞0 D．a>-1，b>0
9．（2019·全国Ⅲ卷文）函数 在[0，2π]的零点个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．（2019·全国Ⅲ卷理）函数 ，在[-6,6]的图像大致为（　　）
A． B．
C． D．
11．（2019·全国Ⅰ卷理）函数f(x)= 在[- ， ]。的图像大致为（　　）
A．
B．
C．
D．
12．（2021·天津）设 ，函数 ，若 在区间 内恰有6个零点，则a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D． .
13．（2019·哈尔滨模拟）若函数 与 图像的交点为 ， ，…， ，则 （　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、填空题
14．（2019·江苏）设 是定义在R上的两个周期函数， 的周期为4， 的周期为2，且 是奇函数.当 时， ， ，其中k>0.若在区间(0，9]上，关于x的方程 有8个不同的实数根，则k的取值范围是　 　.
15．（2023·天津卷）若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为　 　．
16．（2022·天津市）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为　 　.
17．（2021·北京）已知函数 ，给出下列四个结论：
①若 ，则 有两个零点；
② ，使得 有一个零点；
③ ，使得 有三个零点；
④ ，使得 有三个零点．
以上正确结论得序号是　 　．
三、解答题
18．（2020·新课标Ⅰ·理）已知函数 ．
（1）画出 的图像；
（2）求不等式 的解集．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】函数的零点
【解析】【解答】由题意得
有三个零点，
有极大值和极小值且异号，.
令，解得，，
，解得
故选：B
【分析】有三个零点转化为的极大值和极小值异号，进而转化为有两个根且，。
2．【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】设 ，则 ，故排除B；
设 ，当 时， ，
所以 ，故排除C；
设 ，则 ，故排除D.
故选：A
【分析】由函数图象的特征结合函数的性质逐项排除即可.
3．【答案】D
【知识点】函数的图象；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】A选项： ， ，由图易知处于固态；
B选项： ， ，由图易知处于液态；
C选项： ， ，由图易知处于固态；
D选项： ， ，由图易知处于超临界状态.
故答案为：D
【分析】根据选项所给P的值分别计算 ，结合T的值以及图象逐个判断即可.
4．【答案】D
【知识点】函数的图象；根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】注意到 ，所以要使 恰有4个零点，只需方程 恰有3个实根
即可，
令 ，即 与 的图象有 个不同交点.
因为 ，
当 时，此时 ，如图1， 与 有 个不同交点，不满足题意；
当 时，如图2，此时 与 恒有 个不同交点，满足题意；
当 时，如图3，当 与 相切时，联立方程得 ，
令 得 ，解得 （负值舍去），所以 .
综上， 的取值范围为 .
故答案为：D.
【分析】由 ，结合已知，将问题转化为 与 有3个不同交点，分 三种情况，数形结合讨论即可得到答案.
5．【答案】D
【知识点】函数的图象；其他不等式的解法
【解析】【解答】因为 ，所以 等价于 ，
在同一直角坐标系中作出 和 的图象如图：
两函数图象的交点坐标为 ，
不等式 的解为 或 .
所以不等式 的解集为： .
故答案为：D.
【分析】作出函数 和 的图象，观察图象可得结果.
6．【答案】C
【知识点】函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：设f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣2a﹣b），可得f（x）的图象与x轴有三个交点，
即f（x）有三个零点a，b，2a+b且f（0）＝﹣ab（2a+b），
由题意知，f（0）≥0恒成立，则ab（2a+b）≤0，a＜0，b＜0，
可得2a+b＜0，ab（2a+b）≤0恒成立，排除B，D；
我们考虑零点重合的情况，即中间和右边的零点重合，左边的零点在负半轴上．
则有a＝b或a＝2a+b或b＝b+2a三种情况，此时a＝b＜0显然成立；
若b＝b+2a，则a＝0不成立；
若a＝2a+b，即a+b＝0，可得b＜0，a＞0且a和2a+b都在正半轴上，符合题意，
综上b＜0恒成立．
故答案为：C．
【分析】设f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣2a﹣b），求得f（x）的零点，根据f（0）≥0恒成立，讨论a，b的符号，结合三次函数的图象，即可得到结论．
7．【答案】D
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】当a>1时，y= 的底数大于0小于1，故过（0,1）单调递减；
y=loga(x+ ）过（ ，0）单调递增，没有符合条件的图象；
当0y=loga(x+ ）过（ ，0）单调递减；
故答案为：D.
【分析】对a的取值分类讨论，结合指数函数和对数函数的特点，确定函数的图象即可.
8．【答案】C
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】当x<0时，y=f(x) -ax-b=x-ax-b= ( 1-a ) x-b=0，得x=； y=f(x) -ax-b，最多一个零点；
当x≥0时，y=f(x)-ax-b=x3-(a+1)x2+ax-ax-b=x3- (a+1 )x2-b ,
y'=x2- (a+1 )x，
当a+1≤0 ，即a≤-1时，y'≥0 ，y=f(x) -ax-b在[0 , +∞)上递增，y=f(x) -ax-b最多一个零点.不合题意；
当a+1>0，即a>-1时，令y' > 0得x∈[a+1 , +∞) ，函数递增，令y' <0得x∈[0 , a+1 ) ,函数递减；函数最多有2个零点；
根据题意函数y=f(x) -ax-b恰有3个零点 函数y=f(x) -ax-b在(-∞，0)上有一个零点，在[0 , +∞)上有2个零点，
如图：
得，且，
解得：b<0，1-a>0， b>-( a+1 )3.
∴-( a+1 )3故答案为：C
【分析】本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想及数形结合思想的考查.研究函数方程的方法较为灵活，通常需要结合函数的图象加以分析.
9．【答案】B
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】 【解答】解：令 ，得 ，
则函数 在[0，2π]的零点个数，转化为两个函数 和 的交点问题，
分别画出两个函数的图象，如图：
由图可知两个函数有3个交点，即该函数在[0，2π]的零点个数为3个，
故答案为：B.
【分析】令 ，把函数 在[0，2π]的零点个数，转化为两个函数 和 的交点问题，分别画出两个函数的图象，利用函数图象即可得到零点的个数.
10．【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】 【解答】解：∵ ，∴此函数是奇函数，排除选项C；
又∵当x=4时， ，排除选项A，D，
故答案为：B.
【分析】先利用函数的奇偶性排除选项C，再把x=4代入求值，利用特值法排除选项A，D，即可判断得到函数的大致图象.
11．【答案】D
【知识点】函数的图象
【解析】 【解答】 函数
利用奇函数的定义，得出函数f(x)为奇函数，
∴排除A
∴排除B，C
故答案为：D
【分析】利用函数的奇偶性和特殊的函数值排除错误的选项，从而选出正确的函数图象。
12．【答案】A
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：∵x2-2(a+1)x+a2+5=0最多有2个根，
∴cos(2πx-2πa)=0至少有4个根，
由，得
由得
(1)当x当时，f(x)有5个零点，即；
当时，f(x)有6个零点，即；
(2)当x≥a时，f(x)=x2-2(a+1)x+a2+5
=4(a+1)2-4(a2+5)=8(a-2)
当a<2时， <0，f(x)无零点；
当a=2时， =0，f(x)有1个零点；
当a>2时，令f(a)=a2-2(a+1)a+a2+5=-2a+5≥0，则，此时f(x)有2个零点；
所以若时，f(x)有1个零点；
综上，要是f(x)在[0，+∞)上有6个零点，则应满足
或或
则a的取值范围是
【分析】由x2-2(a+1)x+a2+5=0最多有2个根，可得cos(2πx-2πa)=0至少有4个根，再结合分类讨论思想，根据x13．【答案】A
【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：设函数 ，
的定义域为R，
因为 ，
所以 为偶函数，
因为 是增函数，
故当 时， ，
所以当 时， 为增函数，
由奇偶性可知，当 时， 为减函数，
故函数 关于 对称，当 时， 为增函数，
当 时， 为减函数，
函数 是关于 对称的，
作出两个函数的图象，如图所示，
两个函数的交点有两个，设它们的横坐标分别为 ，
由对称性可得 ，即 ，
故答案为：A。
【分析】对函数 的性质进行研究，可得出 关于 对称，且当 时，函数 单调递增，当 时，函数 单调递减，函数 关于 对称，故可得两个函数的交点有两个，且关于 对称，故可得结果。
14．【答案】
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】 当 时， ，又 是奇函数，
时，则
函数 在 上的图象为两个分别以 为圆心，半径为1的圆的上半部分和以 为圆心，半径为1的圆的下半部分拼接而成，再利用函数 的周期为4，画出函数 在区间(0，9]上的图象。
再根据函数
画出函数g（x）图象，由两段一次函数构成，
再利用函数 的周期为2，画出函数 在区间(0，9]上的图象。
在区间(0，9]上，关于x的方程 有8个不同的实数根，则
又 在区间 上，x轴下方的线段 与函数 有2个交点，
在x轴上方 的周期图象与 有6个交点，
易得该 的周期图象经过(-2，0)，其一临界值分别为经过(1，1)，其二临界值为与半圆相切；
当经过(1，1)时，，
当与半圆相切，即到(1，0)的距离为1，
∴，解得（负值舍去）；
k的取值范围是 。
【分析】利用奇函数的定义结合已知条件求出分段函数 的解析式，结合周期性画出两函数图象，将方程根转换成函数交点问题，结合图象分析满足条件的临界情况即可求出k的取值范围。
15．【答案】
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】令 ，
①当时，
即，整理得，
a)若是函数零点，则，解得；
b)若，此时，即方程只有一个解x=-1，
c)若，方程整理得
i)此时若是函数零点，则，解得；
ii)若，即，且成立，此时方程为重根，
同理②当时，
即，整理得，
a)若是函数零点，则，解得；
b)若，此时，与矛盾，
c)若，方程整理得
i)此时若是函数零点，则，解得；
ii)若，即，则与矛盾，
综上，
(1)当时，此时使得成立，是函数零点；使得也是函数零点，
即当时，函数零点分别是，；
(2)当，，时，函数零点分别是-1，；
(3)当时，函数零点是(-1)，此时不满足题意，舍去；
(4)当时，函数零点分别是-1，此时不满足题意，舍去；
(5)当时，函数零点分别是1，-1；
∴当函数有且仅有两个零点时，；
故答案填：
【分析】令将零点转化成方程根问题，不妨先分类与去绝对值得到含参一元二次方程，对根的情况分析且检验是否满足分类前提得出零点存在时参数a的取值，对以上参数a分类整理即可得出答案.
16．【答案】
【知识点】函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理
【解析】【解答】设，，由可得.
要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则，
解得或.
①当时，，作出函数、的图象如下图所示：
此时函数只有两个零点，不合乎题意；
②当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
所以，，解得；
③当时，，作出函数、的图象如下图所示：
由图可知，函数的零点个数为，合乎题意；
④当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
可得，解得，此时.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【分析】设，，由可得x的值，要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，再结合函数的零点与方程的根的等价关系，再结合判别式法得出实数a的取值范围。
①当时，，作出函数、的图象，再利用函数的零点与两函数的图象的交点的横坐标的等价关系，得出此时函数只有两个零点，不合乎题意；
②当时，设函数的两个零点分别为、，要使得函数至少有个零点，则，所以，进而得出实数a的取值范围；
③当时，，作出函数、的图象，由图结合函数的零点与两函数的图象的交点的横坐标的等价关系可知，函数的零点个数为，合乎题意；
④当时，设函数的两个零点分别为、，要使得函数至少有个零点，则，可得，从而得出实数a的取值范围，再结合并集的运算法则得出实数的取值范围。
17．【答案】①②④
【知识点】函数的零点
【解析】【解答】解：令|lgx|- kx-2=0，即y= |lgx|与y= kx+ 2有几个交点，原函数就有几个零点，
①当k= 0时，如图1画出函数图象，f(x)=|lgx|-2，解得x=100或，所以有两个零点，故①项正确；
②当k<0时，y= kx+2过点(0，2)，如图2画出两个函数的图象，，使得两函数存在两个交点，故②项正确；
③当k<0时，y= kx+2过点(0，2)，如图3画出两个函数的图象，不存在k<0时，使得两函数存在三个交点，故③项错误；
④当k>0时，y= kx+2过点(0，2)，如图4画出两个函数的图象，，使得两函数存在三个交点，故④项正确.
故答案为：①②④
【分析】根据函数的零点的几何性质，运用数形结合思想求解即可.
18．【答案】（1）解：因为 ，作出图象，如图所示：
（2）解：将函数 的图象向左平移1个单位，可得函数 的图象，如图所示：
由 ，解得 ．
所以不等式的解集为 ．
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象
【解析】【分析】（1）根据分段讨论法，即可写出函数 的解析式，作出图象；（2）作出函数 的图象，根据图象即可解出．
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