【精品解析】2019-2023高考数学真题分类汇编8 指数型、对数型、幂函数型函数及抽象函数

2019-2023高考数学真题分类汇编8 指数型、对数型、幂函数型函数及抽象函数
一、选择题
1．（2022·浙江）已知 ，则 （　　）
A．25 B．5 C． D．
2．（2021·新高考Ⅱ卷）已知 ，则下列判断正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2021·全国甲卷）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记数法的数据V满足L=5+lgV。已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记数法的数据约为（　　）（ ≈1.259）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
4．（2021·天津）设 ，则a，b，c的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
5．（2020·新课标Ⅰ·文）设 ，则 （　　）
A． B． C． D．
6．（2019·浙江）函数f(x)=loga(4-x)(a>0，且a≠1)的定义域是（　　）
A．(0，4) B．（4，+∞）
C．（-∞，4） D．（-∞，4）∪（4，+∞）
7．（2023·天津卷）若，则的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
8．（2022·天津市）化简的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
9．（2022·天津市）已知，，，则（　　）
A． B． C． D．
10．（2022·全国甲卷）函数 在区间 的图像大致为（　　）
A．
B．
C．
D．
11．（2022·全国乙卷）已知函数 的定义域均为R，且 ．若 的图像关于直线 对称， ，则 （　　）
A．-21 B．-22 C．-23 D．-24
12．（2022·北京）已知函数 ，则对任意实数 ，有（　　）
A． B．
C． D．
13．（2021·全国乙卷）设 ， ， ，则（　　）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b
14．（2020·新课标Ⅲ·文）设a=log32，b=log53，c= ，则（　　）
A．a15．（2020·新课标Ⅲ·理）已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（　　）
A．a16．（2020·新课标Ⅱ·理）若 ，则（　　）
A． B．
C． D．
17．（2019·天津）已知 ，则 的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
18．（2019·天津）已知函数 若关于 的方程 恰有两个互异的实数解，则 的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
19．（2019·天津）已知 ， ， ，则 的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
20．（2019·全国Ⅱ卷理）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 点的轨道运行． 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R， 点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：
.设 ，由于 的值很小，因此在近似计算中 ，则r的近似值为（　　）
A． B． C． D．
21．（2019·全国Ⅱ卷理）若a>b，则（　　）
A．ln(a b)>0 B．3a<3b
C．a3 b3>0 D．│a│>│b│
22．（2019·北京）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。两颗星的星等与亮度满足m2-m1= ，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1，2）.已知太阳的星等是-26.7，天狼星的星等是-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（　　）
A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10-10.1
23．（2022·全国甲卷）已知 ，则（　　）
A． B． C． D．
24．（2019·全国Ⅱ卷理）设函数 的定义域为R，满足 ，且当 时， .若对任意 ，都有 ，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
25．（2023·北京卷）已知函数，则　 　．
26．（2021·新高考Ⅱ卷）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 　 　．
① ；②当 时， ；③ 是奇函数．
27．（2020·江苏）如图是一个算法流程图，若输出y的值为-2，则输入x的值是　 　.
28．（2019·上海）函数 的反函数为　 　．
29．（2023·上海卷）已知，则的值域是　 　 ；
30．（2022·浙江）已知函数 则 　 　；若当 时， ，则 的最大值是　 　．
31．（2022·北京）设函数 ，若 存在最小值，则 的一个取值为　 　； 的最大值为　 　．
32．（2021·新高考Ⅱ卷）已知函数 ，函数 的图象在点 和点 的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则 取值范围是　 　．
三、解答题
33．（2019·上海）改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年 年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比．
年份 卫生总费用（亿元） 个人现金卫生支出 社会卫生支出 政府卫生支出
绝对数（亿元） 占卫生总费用比重 绝对数（亿元） 占卫生总费用比重 绝对数（亿元） 占卫生总费用比重
2012 28119.00 9656.32 34.34 10030.70 35.67 8431.98 29.99
2013 31668.95 10729.34 33.88 11393.79 35.98 9545.81 30.14
2014 35312.40 11295.41 31.99 13437.75 38.05 10579.23 29.96
2015 40974.64 11992.65 29.27 16506.71 40.29 12475.28 30.45
（数据来源于国家统计年鉴）
（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：
（2）设 表示1978年，第 年卫生总费用与年份 之间拟合函数 研究函数 的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】将转化为指数，得到.再结合指数的运算性质，，因此，所以.
故答案为：C
【分析】直接利用指数、对数的运算性质求解即可．
2．【答案】C
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：，即a故答案为：C
【分析】根据对数函数的单调性可比较a、b与c的大小关系，由此可得出结论.
3．【答案】C
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：由题意得，将L=4.9代入l=5+lgV，得lgV=-0.1=，
所以
故答案为：C
【分析】根据对数的运算法则，结合对数式与指数式的互化求解即可.
4．【答案】D
【知识点】指数函数的概念与表示；对数函数的值域与最值
【解析】【解答】解：∵log20.3∵，∴b>1
∵0<0.403<0.40=1，∴0∴a故答案为：D
【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出a，c，b的范围即可求解.
5．【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】由 可得 ，所以 ，
所以有 ，
故答案为：B.
【分析】首先根据题中所给的式子，结合对数的运算法则，得到 ，即 ，进而求得 ，得到结果.
6．【答案】C
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：根据题意真数大于零可得4-x>0,即可得出x<4.
故答案为：C
【分析】由真数大于零解出关于x的不等式即可求出函数的定义域。
7．【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】由指数函数在R上单调递增，
故，即，
由幂函数在上单调递增，
故，即，
∴，
故选：D.
【分析】由a、b同一底数结构可利用指数函数单调性比较大小，结合特殊值1即可得出答案.
8．【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式的应用
【解析】【解答】原式
，
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合对数的运算法则和换底公式化简求值。
9．【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为，故.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合指数函数的单调性和对数函数的单调性，从而比较出a，b，c的大小。
10．【答案】A
【知识点】指数函数的图象与性质；余弦函数的图象
【解析】【解答】解：由题意得，f(-x)=(3-x-3x)cos(-x)=-(3x-3-x)cosx=-f(x)，又
所以f(x)为奇函数，排除BD；
又当时，3x-3-x>0，cosx>0，所以f(x)>0，排除C.
故选：A.
【分析】由函数的奇偶性排除BD，结合指数函数、三角函数的性质逐项排除C，即可得解.
11．【答案】D
【知识点】抽象函数及其应用；函数的应用
【解析】【解答】因为 的图像关于直线 对称，所以 ，
由 ，得 ，即 ，
因为 ，所以 ，
代入得 ，即 ，
所以 ，
.
因为 ，所以 ，即 ，所以 .
因为 ，所以 ，又因为 ，
联立得， ，所以 的图像关于点 中心对称，
因为函数 的定义域为R，所以
因为 ，所以 .
所以 .
故选：D
【分析】根据对称性和已知条件得到 代入 得到 ，从而得到 ， ，然后根据条件得到 的值，再由题意得到 从而得到 的值即可求解.
12．【答案】C
【知识点】函数的应用
【解析】【解答】由 ，可得 ，所以 .
故答案为：C
【分析】根据函数 的解析式求得 的解析式，从而可得选项.
13．【答案】B
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】构造函数f(x)=ln(1+x)-，则b-c=f(0.02)，则当x>0时，,
所以f/(x)<0,所以f(x)在单调递减，所以f(0.02)再构造函数则而, 当
所以所以g(x)在（0，2）上单调递增，所以所以b故答案为：B
【分析】本题就在于构造恰当的函数，利用导数研究函数的单调性，从而解题。
14．【答案】A
【知识点】指数函数单调性的应用；对数的性质与运算法则；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为 ， ，
所以 .
故答案为：A
【分析】分别将a,b改写为 ， ，再利用单调性比较即可.
15．【答案】A
【知识点】指数函数单调性的应用；对数的性质与运算法则；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由题意可知 、 、 ， ， ；
由 ，得 ，由 ，得 ， ，可得 ；
由 ，得 ，由 ，得 ， ，可得 .
综上所述， .
故答案为：A.
【分析】由题意可得a、b、 ，利用作商法以及基本不等式可得出a、b的大小关系，由 ，得 ，结合 可得出 ，由 ，得 ，结合 ，可得出 ，综合可得出a、b,c的大小关系.
16．【答案】A
【知识点】指数函数单调性的应用
【解析】【解答】由 得： ，
令 ，
为 上的增函数， 为 上的减函数， 为R上的增函数，
，
， ， ，则A符合题意，B不符合题意；
与 的大小不确定，CD无法确定.
故答案为：A.
【分析】将不等式变为 ，根据 的单调性知 ，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.
17．【答案】A
【知识点】指数函数单调性的应用；对数函数的单调性与特殊点
【解析】 【解答】 ， ， 且
故
故答案为：A
【分析】利用对数和指数的运算性质，找出中间特殊值，确定 的大小关系即可。
18．【答案】D
【知识点】分段函数的应用
【解析】 【解答】令
∵方程 恰有两个互异的实数解
即 与 仅有两个交点。
当 过 时，即 ，解得 ；
当 过 时，即 ，解得 ；
当 ， 与 有两个交点，满足题意；
另外当 与 相切时也符合，此时 即
解得
综上所述 的取值范围为
故答案为：D
【分析】本题考查数形结合的思想应用及分段函数的应用，同时考查了函数与方程的关系应用。
19．【答案】A
【知识点】指数函数单调性的应用；对数函数的单调性与特殊点
【解析】 【解答】 且 ， ，
故
故答案为：A
【分析】利用对数和指数的运算性质，找出中间特殊值，确定 的大小关系即可。
20．【答案】D
【知识点】根式与有理数指数幂的互化
【解析】 【解答】根据题意可得 ,等号两边同时乘以 ，可得 , ,由已知 代入可得 ， = = 由题中给出的 ，
∴ , , .
故答案为：D
【分析】利用已知的代数式整理化简即可得出结果。
21．【答案】C
【知识点】指数函数单调性的应用
【解析】 【解答】A项，因为a>b,所以a-b>0,但不能确定是否满足a-b>1,当0故答案为：C
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性逐一判断即可得出结果。
22．【答案】A
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解：设太阳的亮度为 ，天狼星的亮度为 ，
根据题意 ，
故 ，
所以 ；
故答案为：A.
【分析】根据已知，结合指数式与对数式的转化即可求出相应的比值.
23．【答案】A
【知识点】指数函数单调性的应用；指数式与对数式的互化；换底公式的应用；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：由9m=10可得，
而，
所以 ，
即m>lg11，
所以a=10m-11>10lg11-11=0．
又，
所以 ，
即log89>m ，
所以 ．
综上，a>0>b ．
故选：A
【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m=log910>1 ，再利用基本不等式，换底公式可得 m>lg11，log89>m ，然后由指数函数的单调性即可解出．
24．【答案】B
【知识点】函数最值的应用
【解析】 【解答】由f(x+1)=2f(x)知，f(x+t)= ， ，即f(x)= ， ，
当 时， ，此时 ，
当-1时， ，若 ， ，则 ，
当 时， ，令 ，解得 或 ，
由于 时， ，则 。
故答案为：B
【分析】首先根据已知条件求出函数f(x)的解析式，对x分情况讨论得出每个范围内的f(x)的取值范围，并把几种情况并起来即可得出m的取值范围即可。
25．【答案】1
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】 ，.
故答案为：1
【分析】将代入函数解析式计算求解 。
26．【答案】 答案不唯一
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：取f(x)=x2，则f(x1x2)=x12x22=f(x1)f(x2)，满足①；
当x>0时，f'(x)=2x>0，满足②；
f'(x)=2x的定义域为R，且f'(-x)=2(-x)=-f'(x)，故f'(x)=2x是奇函数，满足③.
故答案为：f(x)=x2（x∈R）
【分析】根据幂函数的性质直接求解即可.
27．【答案】-3
【知识点】指数函数的图象与性质；程序框图
【解析】【解答】由于 ，所以 ，解得 .
故答案为：-3
【分析】根据指数函数的性质，判断出 ，由此求得x的值.
28．【答案】
【知识点】互为反函数的两个函数之间的关系
【解析】【解答】解：由 得 ，
故答案为
【分析】利用反函数的定义求出函数 的反函数。
29．【答案】
【知识点】指数函数的图象与性质；分段函数的应用
【解析】【解答】当即
故，即
故答案为：
【分析】由指数函数易得x>0的值域，结合x≤0可得分段函数值域.
30．【答案】；
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】∵函数∴
∴
作出函数f（x）的图象如图：
当，解得，由 ，可知，则 的最大值是
故答案为：；
【分析】直接由分段函数解析式求；画出函数f（x）的图象，数形结合得答案．
31．【答案】0（答案不唯一）；1
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】由题意知，函数的最值与函数的单调性相关，故考虑0，2为分界点研究函数的性质，当 时， ，该段的值域为 ，故整个函数没有最小值；当 时， 该段的值域为 ，而 的值域为 ，故此时函数 的值域为 ，即存在最小值0，故第一个空可填写0；当 时， ，该段的值域为 ，而 的值域为 ，若存在最小值，则需满足 ，于是可得 ；当 时， ，该段的值域为 ，而 的值域为 ，若存在最小值，则需满足 ，此时不等式无解.综上， 的最大值为1.
【分析】根据题意考虑0，2为分界点研究函数的单调性和最值，分 、 、 、 四种情况讨论函数 的值域结合函数存在最小值列关于 的不等关系从而求解 的取值范围.
32．【答案】
【知识点】导数的几何意义；直线的点斜式方程；平面内两点间距离公式的应用
【解析】【解答】解：由题意得，则，
所以点A(x1,1-ex1)，点B(x2,ex2-1)，KAM=-ex1，KBN=ex2
所以-ex1·ex2=-1，x1+x2=0， 所以AM：y-1+ex1=-ex1(x-x1)，
所以，
同理
所以
故答案为：（0,1）
【分析】根据导数的几何意义可得x1+x2=0，结合直线方程及两点间距离公式求解即可.
33．【答案】（1）解：由表格数据可知个人现金支出占比逐渐减少，社会支出占比逐渐增多．
（2）解： 是减函数，且 ，
在 上单调递增，
令 ，解得 ，
当 时，我国卫生总费用超过12万亿，
预测我国到2028年我国卫生总费用首次超过12万亿．
【知识点】根据实际问题选择函数类型；随机抽样和样本估计总体的实际应用；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）利用实际问题的已知条件，用统计的方法结合 2012年 年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比表得出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势。
（2）利用实际问题的已知条件找出合适的函数模型，利用函数的单调性求出复合函数的单调性，再利用复合函数的单调性求出满足要求的函数中的自变量的取值范围，从而预测出实际问题中我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．
1 / 12019-2023高考数学真题分类汇编8 指数型、对数型、幂函数型函数及抽象函数
一、选择题
1．（2022·浙江）已知 ，则 （　　）
A．25 B．5 C． D．
【答案】C
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】将转化为指数，得到.再结合指数的运算性质，，因此，所以.
故答案为：C
【分析】直接利用指数、对数的运算性质求解即可．
2．（2021·新高考Ⅱ卷）已知 ，则下列判断正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：，即a故答案为：C
【分析】根据对数函数的单调性可比较a、b与c的大小关系，由此可得出结论.
3．（2021·全国甲卷）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记数法的数据V满足L=5+lgV。已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记数法的数据约为（　　）（ ≈1.259）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
【答案】C
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：由题意得，将L=4.9代入l=5+lgV，得lgV=-0.1=，
所以
故答案为：C
【分析】根据对数的运算法则，结合对数式与指数式的互化求解即可.
4．（2021·天津）设 ，则a，b，c的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】指数函数的概念与表示；对数函数的值域与最值
【解析】【解答】解：∵log20.3∵，∴b>1
∵0<0.403<0.40=1，∴0∴a故答案为：D
【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出a，c，b的范围即可求解.
5．（2020·新课标Ⅰ·文）设 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】由 可得 ，所以 ，
所以有 ，
故答案为：B.
【分析】首先根据题中所给的式子，结合对数的运算法则，得到 ，即 ，进而求得 ，得到结果.
6．（2019·浙江）函数f(x)=loga(4-x)(a>0，且a≠1)的定义域是（　　）
A．(0，4) B．（4，+∞）
C．（-∞，4） D．（-∞，4）∪（4，+∞）
【答案】C
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：根据题意真数大于零可得4-x>0,即可得出x<4.
故答案为：C
【分析】由真数大于零解出关于x的不等式即可求出函数的定义域。
7．（2023·天津卷）若，则的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】由指数函数在R上单调递增，
故，即，
由幂函数在上单调递增，
故，即，
∴，
故选：D.
【分析】由a、b同一底数结构可利用指数函数单调性比较大小，结合特殊值1即可得出答案.
8．（2022·天津市）化简的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式的应用
【解析】【解答】原式
，
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合对数的运算法则和换底公式化简求值。
9．（2022·天津市）已知，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为，故.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合指数函数的单调性和对数函数的单调性，从而比较出a，b，c的大小。
10．（2022·全国甲卷）函数 在区间 的图像大致为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】指数函数的图象与性质；余弦函数的图象
【解析】【解答】解：由题意得，f(-x)=(3-x-3x)cos(-x)=-(3x-3-x)cosx=-f(x)，又
所以f(x)为奇函数，排除BD；
又当时，3x-3-x>0，cosx>0，所以f(x)>0，排除C.
故选：A.
【分析】由函数的奇偶性排除BD，结合指数函数、三角函数的性质逐项排除C，即可得解.
11．（2022·全国乙卷）已知函数 的定义域均为R，且 ．若 的图像关于直线 对称， ，则 （　　）
A．-21 B．-22 C．-23 D．-24
【答案】D
【知识点】抽象函数及其应用；函数的应用
【解析】【解答】因为 的图像关于直线 对称，所以 ，
由 ，得 ，即 ，
因为 ，所以 ，
代入得 ，即 ，
所以 ，
.
因为 ，所以 ，即 ，所以 .
因为 ，所以 ，又因为 ，
联立得， ，所以 的图像关于点 中心对称，
因为函数 的定义域为R，所以
因为 ，所以 .
所以 .
故选：D
【分析】根据对称性和已知条件得到 代入 得到 ，从而得到 ， ，然后根据条件得到 的值，再由题意得到 从而得到 的值即可求解.
12．（2022·北京）已知函数 ，则对任意实数 ，有（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的应用
【解析】【解答】由 ，可得 ，所以 .
故答案为：C
【分析】根据函数 的解析式求得 的解析式，从而可得选项.
13．（2021·全国乙卷）设 ， ， ，则（　　）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b
【答案】B
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】构造函数f(x)=ln(1+x)-，则b-c=f(0.02)，则当x>0时，,
所以f/(x)<0,所以f(x)在单调递减，所以f(0.02)再构造函数则而, 当
所以所以g(x)在（0，2）上单调递增，所以所以b故答案为：B
【分析】本题就在于构造恰当的函数，利用导数研究函数的单调性，从而解题。
14．（2020·新课标Ⅲ·文）设a=log32，b=log53，c= ，则（　　）
A．a【答案】A
【知识点】指数函数单调性的应用；对数的性质与运算法则；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为 ， ，
所以 .
故答案为：A
【分析】分别将a,b改写为 ， ，再利用单调性比较即可.
15．（2020·新课标Ⅲ·理）已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（　　）
A．a【答案】A
【知识点】指数函数单调性的应用；对数的性质与运算法则；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由题意可知 、 、 ， ， ；
由 ，得 ，由 ，得 ， ，可得 ；
由 ，得 ，由 ，得 ， ，可得 .
综上所述， .
故答案为：A.
【分析】由题意可得a、b、 ，利用作商法以及基本不等式可得出a、b的大小关系，由 ，得 ，结合 可得出 ，由 ，得 ，结合 ，可得出 ，综合可得出a、b,c的大小关系.
16．（2020·新课标Ⅱ·理）若 ，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】指数函数单调性的应用
【解析】【解答】由 得： ，
令 ，
为 上的增函数， 为 上的减函数， 为R上的增函数，
，
， ， ，则A符合题意，B不符合题意；
与 的大小不确定，CD无法确定.
故答案为：A.
【分析】将不等式变为 ，根据 的单调性知 ，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.
17．（2019·天津）已知 ，则 的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】指数函数单调性的应用；对数函数的单调性与特殊点
【解析】 【解答】 ， ， 且
故
故答案为：A
【分析】利用对数和指数的运算性质，找出中间特殊值，确定 的大小关系即可。
18．（2019·天津）已知函数 若关于 的方程 恰有两个互异的实数解，则 的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】分段函数的应用
【解析】 【解答】令
∵方程 恰有两个互异的实数解
即 与 仅有两个交点。
当 过 时，即 ，解得 ；
当 过 时，即 ，解得 ；
当 ， 与 有两个交点，满足题意；
另外当 与 相切时也符合，此时 即
解得
综上所述 的取值范围为
故答案为：D
【分析】本题考查数形结合的思想应用及分段函数的应用，同时考查了函数与方程的关系应用。
19．（2019·天津）已知 ， ， ，则 的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】指数函数单调性的应用；对数函数的单调性与特殊点
【解析】 【解答】 且 ， ，
故
故答案为：A
【分析】利用对数和指数的运算性质，找出中间特殊值，确定 的大小关系即可。
20．（2019·全国Ⅱ卷理）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 点的轨道运行． 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R， 点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：
.设 ，由于 的值很小，因此在近似计算中 ，则r的近似值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】根式与有理数指数幂的互化
【解析】 【解答】根据题意可得 ,等号两边同时乘以 ，可得 , ,由已知 代入可得 ， = = 由题中给出的 ，
∴ , , .
故答案为：D
【分析】利用已知的代数式整理化简即可得出结果。
21．（2019·全国Ⅱ卷理）若a>b，则（　　）
A．ln(a b)>0 B．3a<3b
C．a3 b3>0 D．│a│>│b│
【答案】C
【知识点】指数函数单调性的应用
【解析】 【解答】A项，因为a>b,所以a-b>0,但不能确定是否满足a-b>1,当0故答案为：C
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性逐一判断即可得出结果。
22．（2019·北京）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。两颗星的星等与亮度满足m2-m1= ，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1，2）.已知太阳的星等是-26.7，天狼星的星等是-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（　　）
A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10-10.1
【答案】A
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解：设太阳的亮度为 ，天狼星的亮度为 ，
根据题意 ，
故 ，
所以 ；
故答案为：A.
【分析】根据已知，结合指数式与对数式的转化即可求出相应的比值.
23．（2022·全国甲卷）已知 ，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】指数函数单调性的应用；指数式与对数式的互化；换底公式的应用；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：由9m=10可得，
而，
所以 ，
即m>lg11，
所以a=10m-11>10lg11-11=0．
又，
所以 ，
即log89>m ，
所以 ．
综上，a>0>b ．
故选：A
【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m=log910>1 ，再利用基本不等式，换底公式可得 m>lg11，log89>m ，然后由指数函数的单调性即可解出．
24．（2019·全国Ⅱ卷理）设函数 的定义域为R，满足 ，且当 时， .若对任意 ，都有 ，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数最值的应用
【解析】 【解答】由f(x+1)=2f(x)知，f(x+t)= ， ，即f(x)= ， ，
当 时， ，此时 ，
当-1时， ，若 ， ，则 ，
当 时， ，令 ，解得 或 ，
由于 时， ，则 。
故答案为：B
【分析】首先根据已知条件求出函数f(x)的解析式，对x分情况讨论得出每个范围内的f(x)的取值范围，并把几种情况并起来即可得出m的取值范围即可。
二、填空题
25．（2023·北京卷）已知函数，则　 　．
【答案】1
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】 ，.
故答案为：1
【分析】将代入函数解析式计算求解 。
26．（2021·新高考Ⅱ卷）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 　 　．
① ；②当 时， ；③ 是奇函数．
【答案】 答案不唯一
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：取f(x)=x2，则f(x1x2)=x12x22=f(x1)f(x2)，满足①；
当x>0时，f'(x)=2x>0，满足②；
f'(x)=2x的定义域为R，且f'(-x)=2(-x)=-f'(x)，故f'(x)=2x是奇函数，满足③.
故答案为：f(x)=x2（x∈R）
【分析】根据幂函数的性质直接求解即可.
27．（2020·江苏）如图是一个算法流程图，若输出y的值为-2，则输入x的值是　 　.
【答案】-3
【知识点】指数函数的图象与性质；程序框图
【解析】【解答】由于 ，所以 ，解得 .
故答案为：-3
【分析】根据指数函数的性质，判断出 ，由此求得x的值.
28．（2019·上海）函数 的反函数为　 　．
【答案】
【知识点】互为反函数的两个函数之间的关系
【解析】【解答】解：由 得 ，
故答案为
【分析】利用反函数的定义求出函数 的反函数。
29．（2023·上海卷）已知，则的值域是　 　 ；
【答案】
【知识点】指数函数的图象与性质；分段函数的应用
【解析】【解答】当即
故，即
故答案为：
【分析】由指数函数易得x>0的值域，结合x≤0可得分段函数值域.
30．（2022·浙江）已知函数 则 　 　；若当 时， ，则 的最大值是　 　．
【答案】；
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】∵函数∴
∴
作出函数f（x）的图象如图：
当，解得，由 ，可知，则 的最大值是
故答案为：；
【分析】直接由分段函数解析式求；画出函数f（x）的图象，数形结合得答案．
31．（2022·北京）设函数 ，若 存在最小值，则 的一个取值为　 　； 的最大值为　 　．
【答案】0（答案不唯一）；1
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】由题意知，函数的最值与函数的单调性相关，故考虑0，2为分界点研究函数的性质，当 时， ，该段的值域为 ，故整个函数没有最小值；当 时， 该段的值域为 ，而 的值域为 ，故此时函数 的值域为 ，即存在最小值0，故第一个空可填写0；当 时， ，该段的值域为 ，而 的值域为 ，若存在最小值，则需满足 ，于是可得 ；当 时， ，该段的值域为 ，而 的值域为 ，若存在最小值，则需满足 ，此时不等式无解.综上， 的最大值为1.
【分析】根据题意考虑0，2为分界点研究函数的单调性和最值，分 、 、 、 四种情况讨论函数 的值域结合函数存在最小值列关于 的不等关系从而求解 的取值范围.
32．（2021·新高考Ⅱ卷）已知函数 ，函数 的图象在点 和点 的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则 取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】导数的几何意义；直线的点斜式方程；平面内两点间距离公式的应用
【解析】【解答】解：由题意得，则，
所以点A(x1,1-ex1)，点B(x2,ex2-1)，KAM=-ex1，KBN=ex2
所以-ex1·ex2=-1，x1+x2=0， 所以AM：y-1+ex1=-ex1(x-x1)，
所以，
同理
所以
故答案为：（0,1）
【分析】根据导数的几何意义可得x1+x2=0，结合直线方程及两点间距离公式求解即可.
三、解答题
33．（2019·上海）改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年 年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比．
年份 卫生总费用（亿元） 个人现金卫生支出 社会卫生支出 政府卫生支出
绝对数（亿元） 占卫生总费用比重 绝对数（亿元） 占卫生总费用比重 绝对数（亿元） 占卫生总费用比重
2012 28119.00 9656.32 34.34 10030.70 35.67 8431.98 29.99
2013 31668.95 10729.34 33.88 11393.79 35.98 9545.81 30.14
2014 35312.40 11295.41 31.99 13437.75 38.05 10579.23 29.96
2015 40974.64 11992.65 29.27 16506.71 40.29 12475.28 30.45
（数据来源于国家统计年鉴）
（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：
（2）设 表示1978年，第 年卫生总费用与年份 之间拟合函数 研究函数 的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．
【答案】（1）解：由表格数据可知个人现金支出占比逐渐减少，社会支出占比逐渐增多．
（2）解： 是减函数，且 ，
在 上单调递增，
令 ，解得 ，
当 时，我国卫生总费用超过12万亿，
预测我国到2028年我国卫生总费用首次超过12万亿．
【知识点】根据实际问题选择函数类型；随机抽样和样本估计总体的实际应用；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）利用实际问题的已知条件，用统计的方法结合 2012年 年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比表得出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势。
（2）利用实际问题的已知条件找出合适的函数模型，利用函数的单调性求出复合函数的单调性，再利用复合函数的单调性求出满足要求的函数中的自变量的取值范围，从而预测出实际问题中我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．
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