2019-2023高考数学真题分类汇编9 三角函数及解三角形（1）
一、选择题
1．（2023·全国乙卷）在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理
【解析】【解答】，由正弦定理可得，
，或（舍去），
又，，.
故选：C
【分析】先利用正弦定理边化角化简，再结合三角形内角和为求。
2．（2023·新高考Ⅱ卷） 已知为锐角， 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】由，
又∵为锐角 ，
故选：D
【分析】直接用二倍角公式求解。
3．（2022·浙江）为了得到函数 的图象，只要把函数 图象上所有的点（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】函数图象平移满足左加右减，，因此需要将函数图象向右平移个单位长度，可以得到的图象.
故答案为：D
【分析】由已知结合正弦函数图象的平移即可求解．
4．（2022·浙江）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】，则；，则，若可推出，充分性成立；反之不成立，必要性不成立，故充分部必要条件.
故答案为：A
【分析】利用同角三角函数间的基本关系，充要条件的定义判定即可．
5．（2022·全国甲卷）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图， 是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在 上， ．“会圆术”给出 的弧长的近似值s的计算公式： ．当 时， （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：如图，连接OC，
因为C是AB的中点，
所以OC⊥AB，
又CD⊥AB，所以O，C，D三点共线，
即OD=OA=OB=2 ，
又∠AOB=60° ，
所以AB=OA=OB=2，
则 ，
故 ，
所以 .
故选：B.
【分析】连接OC，分别求出AB，OC，CD，再根据题意的新定义即可得出答案.
6．（2023·全国甲卷）已知为函数向左平移个单位所得函数，则与的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】诱导公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】由题意得
作出和草图如下：
，
此时在直线上，当时，
，
此时在直线上，当时，
，
此时在直线上，当时，
由图形及分析可知和的交点个数为3.
故选：C
【分析】求出变换后的函数解析式，画图分析值域范围得出交点个数.
7．（2023·全国甲卷）“”是“”的（ ）
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】若，
∵，
此时，即，
∴当，此时不一定成立，充分性不成立；
反之，当，，此时，必要性成立；
故选：B.
【分析】利用同角三角基本关系可将 化简，结合条件的判断可得出答案.
8．（2023·天津卷）已知函数的一条对称轴为直线，一个周期为4，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】∵T=4，
∴，故C、D不符合题意，错误；
对A，其对称轴为 ，解得 ，
故此时对称轴为奇数，不满足对称轴直线，不符合题意，错误；
对B，其对称轴为 ，解得 ，
故此时对称轴为偶数，满足对称轴直线，符合题意；
故选：B.
【分析】由正余弦函数周期算法排除CD，再根据对称轴求法排除A检验B.
9．（2023·全国乙卷）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条对称轴，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】在区间单调递增，又和是的对称轴，，，解得，
，即，，
.
故选：D
【分析】分析题意根据单调性和对称轴求出，，再代入求解.
10．（2023·上海卷）设，函数在区间上的最小值为，在上的最小值为，当变化时，以下不可能的情形是（ ）.
A．且 B．且 C．且 D．且
【答案】D
【知识点】正弦函数的图象
【解析】【解答】①若，则在区间上的最小值为，在上的最小值为 ，排除A.
②若，则在区间上的最小值为，在上的最小值为 ，排除B.
③若，则在区间上的最小值为，在上的最小值为 ，排除C.
故选：D.
【分析】结合正弦函数正负性分界点利用排除法选择，为排除A选项，需选择 即；
为排除B选项，需选择，即；为排除C选项，需选择，即.
11．（2022·天津市）已知，关于该函数有下列四个说法：
①的最小正周期为；
②在上单调递增；
③当时，的取值范围为；
④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】函数的值域；函数单调性的判断与证明；含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】因为，所以的最小正周期为，①不正确；
令，而在上递增，所以在上单调递增，②正确；因为，，所以，③不正确；
由于，所以的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，④不正确．
故答案为：A．
【分析】利用已知条件结合正弦型函数的最小正周期公式、正弦型函数的图象判断单调性的方法、正弦型函数的图象在给定区间求值域的方法、正弦型函数的图象变换，进而找出正确说法的个数。
12．（2022·新高考Ⅱ卷）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】根据两角和的正弦、余弦公式化简已知式子得： ，
即： ，
即： ，
所以 ，
故答案为：C
【分析】由两角和差的正、余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.
13．（2022·全国甲卷）设函数 在区间 恰有三个极值点、两个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：依题意可得ω>0 ，因为x∈（0，π），所以 ，
要使函数在区间（0，π）恰有三个极值点、两个零点，又y=sinx， 的图象如下所示：
则，
解得 ，
即ω∈ ．
故选：C
【分析】由x的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式，解得即可．
14．（2022·全国甲卷）将函数 的图像向左平移 个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的图象与图象变化；正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：由题意知：曲线C为 ，
又曲线C关于y轴对称，则 ，
解得 ，
又ω>0，
故当k=0时，ω的最小值为 .
故选：C.
【分析】先由平移求出曲线C的解析式，再结合对称性得，即可求出ω的最小值.
15．（2022·北京）已知函数 ，则（ ）
A． 在 上单调递减
B． 在 上单调递增
C． 在 上单调递减
D． 在 上单调递增
【答案】C
【知识点】二倍角的余弦公式；余弦函数的性质
【解析】【解答】 ，选项A 中： ，此时 单调递增；选项B 中： ，此时 先递增后递减；选项C中： ，此时 单调递减；选项D 中： ，此时 先递减后递增.
故答案为：C
【分析】先根据余弦的二倍角公式化简 ，再逐项分析选项即可.
16．（2022·新高考Ⅰ卷）记函数 的最小正周期为T，若 则 的图像关于点 中心对称，则 （ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】A
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：由题意得，，
又 的图像关于点 中心对称，
则b=2，且，
所以，
则，
解得，
又，
则k=2，，
故，
故选：A
【分析】由正弦函数的图象与性质，先求得b，，再求得即可.
17．（2023·全国甲卷）函数的图象由的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】诱导公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】由题意得
作出和草图如下：
，
此时在直线上，当时，
，
此时在直线上，当时，
，
此时在直线上，当时，
由图形及分析可知和的交点个数为3.
故选：C
【分析】求出变换后的函数解析式，画图分析值域范围得出交点个数.
二、填空题
18．（2023·上海卷）已知，求 ；
【答案】
【知识点】二倍角的正切公式
【解析】【解答】∵，
∴.
故答案为：
【分析】代入正切二倍角公式即得答案.
19．（2021·北京）若点 与点 关于 轴对称，写出一个符合题意的 ．
【答案】 （满足 即可）
【知识点】诱导公式
【解析】【解答】解：由题意得，对比诱导公式sinα=sin(π-α)，cosα=-cos(π-α)得，
解得
当k=0时，
故答案为：
【分析】根据点的对称性，结合诱导公式求解即可.
20．（2023·北京卷）已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为 ， ．
【答案】；
【知识点】象限角、轴线角；终边相同的角
【解析】【解答】取，，满足 为第一象限角，且 ，但，
能说明p为假命题一组的值为，.
故答案为：；
【分析】举反例即可.
21．（2023·全国乙卷）若，则 ．
【答案】
【知识点】同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】，，，
，又，解得，，
.
故答案为：
【分析】根据同角三角函数关系进行求解和。
22．（2023·上海卷）在中，，求 ；
【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系；余弦定理
【解析】【解答】∵ 在中，
根据余弦定理，
在，∠A<，即，
∴
故答案为：
【分析】根据已知三角形三边可使用余弦定理求出∠A余弦值，利用同角三角函数关系进而得出答案.
23．（2023·新高考Ⅱ卷）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 .
【答案】
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】根据图象设，
，，
由图象可知，，，
不妨令
，解得，
，，即
或
又，，
故答案为：
【分析】结合图象和得，求出，再根据和确定，进而求解。
24．（2022·浙江）若 ，则 ， ．
【答案】；
【知识点】二倍角的余弦公式；诱导公式
【解析】【解答】∵，利用诱导公式可得，
变形可得，根据同角三角函数基本关系可得，
解得，，
．
故答案为：；
【分析】由诱导公式求出，再由同角三角函数关系式推导出sinα＝，最后根据余弦的二倍角公式即可求的值．
25．（2022·全国乙卷）记函数 的最小正周期为T，若 ， 为 的零点，则 的最小值为 ．
【答案】3
【知识点】余弦函数的性质
【解析】【解答】解： 函数 ，（ ， ）
的最小正周期为 ，因为 ，
又 ，所以 ，即 ，
又 为 的零点，所以 ，解得 ，
因为 ，所以当 时 .
故答案为：3
【分析】先表示周期 ，再根据 求出 ，最后根据 为函数的零点，即可求出 的取值，从而得解.
26．（2022·北京）若函数 的一个零点为 ，则 ； ．
【答案】1；
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦函数的性质
【解析】【解答】 ，解得 ； ，故 .
【分析】根据函数的零点为 ，代入解析式即可求出A的值；从而得到函数的解析式，利用两角差的正弦公式化简，再将 代入即可求得.
三、解答题
27．（2023·北京卷）设函数．
（1）若，求的值．
（2）已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．
条件①：；
条件②：；
条件③：在区间上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）因为
所以，
因为，所以.
（2）因为，
所以，所以的最大值为，最小值为.
若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在；
若选条件②：因为在上单调递增，且，
所以，所以，，
所以，
又因为，所以，
所以，
所以，因为，所以.
所以，；
若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得最小值，即.
以下与条件②相同．
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）代入，又 求解 的值 ；
（2） 若选择条件①不符合题意；
若选择条件②：由 在区间上单调递增，，知进而求出再代入解析式由和求的值 ；
若选择条件③ 由 在区间上单调递增，，在区间上单调递减知 ，进而求出再代入解析式由和求的值 。
28．（2023·全国甲卷）记的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若，求面积．
【答案】（1）由余弦定理知，又，
∴2bccosA=2cosA
.
（2）在三角形中有
由正弦定理知，
，即，
，即，
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】(1)由已知条件联想利用余弦定理化简即得答案。
(2)根据已知条件结合正弦定理将边统一化成角，结合内角和与和差角公式消去角C，整理即得，再结合面积公式求解。
29．（2023·全国乙卷）在中，已知，，.
（1）求；
（2）若D为BC上一点，且，求的面积.
【答案】（1）根据题意，由余弦定理得
∴
由正弦定理，得.
（2）如下图所示，由(1)得，，，
又∵ ，
∴，，
∴，解得，
由，解得，
∴，
【知识点】同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)由已知条件的两边及夹角可先使用余弦定理计算第三边，再根据正弦定理可得 ；
(2)根据题意结合草图分析，计算 的面积只需结合(1)及三角基本关系求AD边可得答案.
30．（2022·天津市）在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
【答案】（1）解：因为，即，而，代入得，解得：．
（2）解：由（1）可求出，而，所以，又，所以．
（3）解：因为，所以，故，又， 所以，，而，所以，
故．
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合余弦定理得出实数c的值。
（2）利用已知条件结合三角形中角的取值范围、同角三角函数基本关系式和正弦定理，进而得出角B的正弦值。
（3）利用已知条件结合三角函数值在各象限的符号得出角A的取值范围，再结合三角形中内角和为180度的性质，进而得出角B的取值范围，再利用同角三角函数基本关系式和二倍角的正弦公式和余弦公式、同角三角函数基本关系式、两角差的正弦公式，进而得出 的值。
31．（2022·全国乙卷）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知 ．
（1）若 ，求C；
（2）证明： .
【答案】（1）解：∵
且
∴
∵sinB＞0
∴
∴C=C-A（舍）或C+（C-A）=π
即：2C-A=π
又∵A+B+C=π，A=2B
∴C=
（2）证明：由 可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：
，故原等式成立．
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据题意可得， ，再结合三角形内角和定理即可解出；
（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得 ，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．
32．（2022·全国乙卷）记 的内角 的对边分别为 ，已知 ．
（1）证明： ；
（2）若 ，求 的周长．
【答案】（1）证明：因为 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
所以 ；
（2）解：因为 ，
由（1）得 ，
由余弦定理可得 ，
则 ，
所以 ，
故 ，
所以 ，
所以 的周长为 .
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；
（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出 ，从而可求得 ，即可得解.
33．（2022·新高考Ⅰ卷）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
（1）若 求B；
（2）求 的最小值.
【答案】（1）因为 ，
所以 ，
所以 ，
又因为 ，
，所以 ，故 .
（2）因为
所以
所以
由余弦定理
所以
当且仅当 ，即 时取得等号，
综上， 的最小值为 .
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；运用诱导公式化简求值；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）先由二倍角公式与两角和的余弦公式，化简得 ，再由诱导公式，结合三角形的内角和性质，得 ，可得B；
（2）由诱导公式求得 ， ，再结合余弦定理与三角恒等变换，化简得 ，并利用基本不等式求最值即可.
34．（2021·新高考Ⅱ卷）在 中，角A，B，C所对的边长分别为 ．
（1）若 ，求 的面积；
（2）是否存在正整数a，使得 为钝角三角形 若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）因为 ，则 ，则 ，故 ， ，
，所以， 为锐角，则 ，
因此， ；
（2）显然 ，若 为钝角三角形，则 为钝角，
由余弦定理可得 ，
解得 ，则 ，
由三角形三边关系可得 ，可得 ， ，故 .
【知识点】同角三角函数间的基本关系；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由正弦定理可得出2c=3a，结合已知条件求出a的值，进一步可求得b、c的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出sinB，再利用三角形的面积公式可求得结果；
（2）分析可知，角c为钝角，由cosC<0结合三角形三边关系可求得整数a的值.
1 / 12019-2023高考数学真题分类汇编9 三角函数及解三角形（1）
一、选择题
1．（2023·全国乙卷）在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·新高考Ⅱ卷） 已知为锐角， 则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·浙江）为了得到函数 的图象，只要把函数 图象上所有的点（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
4．（2022·浙江）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2022·全国甲卷）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图， 是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在 上， ．“会圆术”给出 的弧长的近似值s的计算公式： ．当 时， （ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全国甲卷）已知为函数向左平移个单位所得函数，则与的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2023·全国甲卷）“”是“”的（ ）
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
8．（2023·天津卷）已知函数的一条对称轴为直线，一个周期为4，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·全国乙卷）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条对称轴，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·上海卷）设，函数在区间上的最小值为，在上的最小值为，当变化时，以下不可能的情形是（ ）.
A．且 B．且 C．且 D．且
11．（2022·天津市）已知，关于该函数有下列四个说法：
①的最小正周期为；
②在上单调递增；
③当时，的取值范围为；
④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（2022·新高考Ⅱ卷）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
13．（2022·全国甲卷）设函数 在区间 恰有三个极值点、两个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．（2022·全国甲卷）将函数 的图像向左平移 个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
15．（2022·北京）已知函数 ，则（ ）
A． 在 上单调递减
B． 在 上单调递增
C． 在 上单调递减
D． 在 上单调递增
16．（2022·新高考Ⅰ卷）记函数 的最小正周期为T，若 则 的图像关于点 中心对称，则 （ ）
A．1 B． C． D．3
17．（2023·全国甲卷）函数的图象由的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
18．（2023·上海卷）已知，求 ；
19．（2021·北京）若点 与点 关于 轴对称，写出一个符合题意的 ．
20．（2023·北京卷）已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为 ， ．
21．（2023·全国乙卷）若，则 ．
22．（2023·上海卷）在中，，求 ；
23．（2023·新高考Ⅱ卷）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 .
24．（2022·浙江）若 ，则 ， ．
25．（2022·全国乙卷）记函数 的最小正周期为T，若 ， 为 的零点，则 的最小值为 ．
26．（2022·北京）若函数 的一个零点为 ，则 ； ．
三、解答题
27．（2023·北京卷）设函数．
（1）若，求的值．
（2）已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．
条件①：；
条件②：；
条件③：在区间上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
28．（2023·全国甲卷）记的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若，求面积．
29．（2023·全国乙卷）在中，已知，，.
（1）求；
（2）若D为BC上一点，且，求的面积.
30．（2022·天津市）在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
31．（2022·全国乙卷）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知 ．
（1）若 ，求C；
（2）证明： .
32．（2022·全国乙卷）记 的内角 的对边分别为 ，已知 ．
（1）证明： ；
（2）若 ，求 的周长．
33．（2022·新高考Ⅰ卷）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
（1）若 求B；
（2）求 的最小值.
34．（2021·新高考Ⅱ卷）在 中，角A，B，C所对的边长分别为 ．
（1）若 ，求 的面积；
（2）是否存在正整数a，使得 为钝角三角形 若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理
【解析】【解答】，由正弦定理可得，
，或（舍去），
又，，.
故选：C
【分析】先利用正弦定理边化角化简，再结合三角形内角和为求。
2．【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】由，
又∵为锐角 ，
故选：D
【分析】直接用二倍角公式求解。
3．【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】函数图象平移满足左加右减，，因此需要将函数图象向右平移个单位长度，可以得到的图象.
故答案为：D
【分析】由已知结合正弦函数图象的平移即可求解．
4．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】，则；，则，若可推出，充分性成立；反之不成立，必要性不成立，故充分部必要条件.
故答案为：A
【分析】利用同角三角函数间的基本关系，充要条件的定义判定即可．
5．【答案】B
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：如图，连接OC，
因为C是AB的中点，
所以OC⊥AB，
又CD⊥AB，所以O，C，D三点共线，
即OD=OA=OB=2 ，
又∠AOB=60° ，
所以AB=OA=OB=2，
则 ，
故 ，
所以 .
故选：B.
【分析】连接OC，分别求出AB，OC，CD，再根据题意的新定义即可得出答案.
6．【答案】C
【知识点】诱导公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】由题意得
作出和草图如下：
，
此时在直线上，当时，
，
此时在直线上，当时，
，
此时在直线上，当时，
由图形及分析可知和的交点个数为3.
故选：C
【分析】求出变换后的函数解析式，画图分析值域范围得出交点个数.
7．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】若，
∵，
此时，即，
∴当，此时不一定成立，充分性不成立；
反之，当，，此时，必要性成立；
故选：B.
【分析】利用同角三角基本关系可将 化简，结合条件的判断可得出答案.
8．【答案】B
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】∵T=4，
∴，故C、D不符合题意，错误；
对A，其对称轴为 ，解得 ，
故此时对称轴为奇数，不满足对称轴直线，不符合题意，错误；
对B，其对称轴为 ，解得 ，
故此时对称轴为偶数，满足对称轴直线，符合题意；
故选：B.
【分析】由正余弦函数周期算法排除CD，再根据对称轴求法排除A检验B.
9．【答案】D
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】在区间单调递增，又和是的对称轴，，，解得，
，即，，
.
故选：D
【分析】分析题意根据单调性和对称轴求出，，再代入求解.
10．【答案】D
【知识点】正弦函数的图象
【解析】【解答】①若，则在区间上的最小值为，在上的最小值为 ，排除A.
②若，则在区间上的最小值为，在上的最小值为 ，排除B.
③若，则在区间上的最小值为，在上的最小值为 ，排除C.
故选：D.
【分析】结合正弦函数正负性分界点利用排除法选择，为排除A选项，需选择 即；
为排除B选项，需选择，即；为排除C选项，需选择，即.
11．【答案】A
【知识点】函数的值域；函数单调性的判断与证明；含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】因为，所以的最小正周期为，①不正确；
令，而在上递增，所以在上单调递增，②正确；因为，，所以，③不正确；
由于，所以的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，④不正确．
故答案为：A．
【分析】利用已知条件结合正弦型函数的最小正周期公式、正弦型函数的图象判断单调性的方法、正弦型函数的图象在给定区间求值域的方法、正弦型函数的图象变换，进而找出正确说法的个数。
12．【答案】C
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】根据两角和的正弦、余弦公式化简已知式子得： ，
即： ，
即： ，
所以 ，
故答案为：C
【分析】由两角和差的正、余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.
13．【答案】C
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：依题意可得ω>0 ，因为x∈（0，π），所以 ，
要使函数在区间（0，π）恰有三个极值点、两个零点，又y=sinx， 的图象如下所示：
则，
解得 ，
即ω∈ ．
故选：C
【分析】由x的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式，解得即可．
14．【答案】C
【知识点】函数的图象与图象变化；正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：由题意知：曲线C为 ，
又曲线C关于y轴对称，则 ，
解得 ，
又ω>0，
故当k=0时，ω的最小值为 .
故选：C.
【分析】先由平移求出曲线C的解析式，再结合对称性得，即可求出ω的最小值.
15．【答案】C
【知识点】二倍角的余弦公式；余弦函数的性质
【解析】【解答】 ，选项A 中： ，此时 单调递增；选项B 中： ，此时 先递增后递减；选项C中： ，此时 单调递减；选项D 中： ，此时 先递减后递增.
故答案为：C
【分析】先根据余弦的二倍角公式化简 ，再逐项分析选项即可.
16．【答案】A
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：由题意得，，
又 的图像关于点 中心对称，
则b=2，且，
所以，
则，
解得，
又，
则k=2，，
故，
故选：A
【分析】由正弦函数的图象与性质，先求得b，，再求得即可.
17．【答案】C
【知识点】诱导公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】由题意得
作出和草图如下：
，
此时在直线上，当时，
，
此时在直线上，当时，
，
此时在直线上，当时，
由图形及分析可知和的交点个数为3.
故选：C
【分析】求出变换后的函数解析式，画图分析值域范围得出交点个数.
18．【答案】
【知识点】二倍角的正切公式
【解析】【解答】∵，
∴.
故答案为：
【分析】代入正切二倍角公式即得答案.
19．【答案】 （满足 即可）
【知识点】诱导公式
【解析】【解答】解：由题意得，对比诱导公式sinα=sin(π-α)，cosα=-cos(π-α)得，
解得
当k=0时，
故答案为：
【分析】根据点的对称性，结合诱导公式求解即可.
20．【答案】；
【知识点】象限角、轴线角；终边相同的角
【解析】【解答】取，，满足 为第一象限角，且 ，但，
能说明p为假命题一组的值为，.
故答案为：；
【分析】举反例即可.
21．【答案】
【知识点】同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】，，，
，又，解得，，
.
故答案为：
【分析】根据同角三角函数关系进行求解和。
22．【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系；余弦定理
【解析】【解答】∵ 在中，
根据余弦定理，
在，∠A<，即，
∴
故答案为：
【分析】根据已知三角形三边可使用余弦定理求出∠A余弦值，利用同角三角函数关系进而得出答案.
23．【答案】
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】根据图象设，
，，
由图象可知，，，
不妨令
，解得，
，，即
或
又，，
故答案为：
【分析】结合图象和得，求出，再根据和确定，进而求解。
24．【答案】；
【知识点】二倍角的余弦公式；诱导公式
【解析】【解答】∵，利用诱导公式可得，
变形可得，根据同角三角函数基本关系可得，
解得，，
．
故答案为：；
【分析】由诱导公式求出，再由同角三角函数关系式推导出sinα＝，最后根据余弦的二倍角公式即可求的值．
25．【答案】3
【知识点】余弦函数的性质
【解析】【解答】解： 函数 ，（ ， ）
的最小正周期为 ，因为 ，
又 ，所以 ，即 ，
又 为 的零点，所以 ，解得 ，
因为 ，所以当 时 .
故答案为：3
【分析】先表示周期 ，再根据 求出 ，最后根据 为函数的零点，即可求出 的取值，从而得解.
26．【答案】1；
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦函数的性质
【解析】【解答】 ，解得 ； ，故 .
【分析】根据函数的零点为 ，代入解析式即可求出A的值；从而得到函数的解析式，利用两角差的正弦公式化简，再将 代入即可求得.
27．【答案】（1）因为
所以，
因为，所以.
（2）因为，
所以，所以的最大值为，最小值为.
若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在；
若选条件②：因为在上单调递增，且，
所以，所以，，
所以，
又因为，所以，
所以，
所以，因为，所以.
所以，；
若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得最小值，即.
以下与条件②相同．
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）代入，又 求解 的值 ；
（2） 若选择条件①不符合题意；
若选择条件②：由 在区间上单调递增，，知进而求出再代入解析式由和求的值 ；
若选择条件③ 由 在区间上单调递增，，在区间上单调递减知 ，进而求出再代入解析式由和求的值 。
28．【答案】（1）由余弦定理知，又，
∴2bccosA=2cosA
.
（2）在三角形中有
由正弦定理知，
，即，
，即，
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】(1)由已知条件联想利用余弦定理化简即得答案。
(2)根据已知条件结合正弦定理将边统一化成角，结合内角和与和差角公式消去角C，整理即得，再结合面积公式求解。
29．【答案】（1）根据题意，由余弦定理得
∴
由正弦定理，得.
（2）如下图所示，由(1)得，，，
又∵ ，
∴，，
∴，解得，
由，解得，
∴，
【知识点】同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)由已知条件的两边及夹角可先使用余弦定理计算第三边，再根据正弦定理可得 ；
(2)根据题意结合草图分析，计算 的面积只需结合(1)及三角基本关系求AD边可得答案.
30．【答案】（1）解：因为，即，而，代入得，解得：．
（2）解：由（1）可求出，而，所以，又，所以．
（3）解：因为，所以，故，又， 所以，，而，所以，
故．
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合余弦定理得出实数c的值。
（2）利用已知条件结合三角形中角的取值范围、同角三角函数基本关系式和正弦定理，进而得出角B的正弦值。
（3）利用已知条件结合三角函数值在各象限的符号得出角A的取值范围，再结合三角形中内角和为180度的性质，进而得出角B的取值范围，再利用同角三角函数基本关系式和二倍角的正弦公式和余弦公式、同角三角函数基本关系式、两角差的正弦公式，进而得出 的值。
31．【答案】（1）解：∵
且
∴
∵sinB＞0
∴
∴C=C-A（舍）或C+（C-A）=π
即：2C-A=π
又∵A+B+C=π，A=2B
∴C=
（2）证明：由 可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：
，故原等式成立．
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据题意可得， ，再结合三角形内角和定理即可解出；
（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得 ，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．
32．【答案】（1）证明：因为 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
所以 ；
（2）解：因为 ，
由（1）得 ，
由余弦定理可得 ，
则 ，
所以 ，
故 ，
所以 ，
所以 的周长为 .
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；
（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出 ，从而可求得 ，即可得解.
33．【答案】（1）因为 ，
所以 ，
所以 ，
又因为 ，
，所以 ，故 .
（2）因为
所以
所以
由余弦定理
所以
当且仅当 ，即 时取得等号，
综上， 的最小值为 .
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；运用诱导公式化简求值；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）先由二倍角公式与两角和的余弦公式，化简得 ，再由诱导公式，结合三角形的内角和性质，得 ，可得B；
（2）由诱导公式求得 ， ，再结合余弦定理与三角恒等变换，化简得 ，并利用基本不等式求最值即可.
34．【答案】（1）因为 ，则 ，则 ，故 ， ，
，所以， 为锐角，则 ，
因此， ；
（2）显然 ，若 为钝角三角形，则 为钝角，
由余弦定理可得 ，
解得 ，则 ，
由三角形三边关系可得 ，可得 ， ，故 .
【知识点】同角三角函数间的基本关系；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由正弦定理可得出2c=3a，结合已知条件求出a的值，进一步可求得b、c的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出sinB，再利用三角形的面积公式可求得结果；
（2）分析可知，角c为钝角，由cosC<0结合三角形三边关系可求得整数a的值.
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