2019-2023高考数学真题分类汇编9 三角函数及解三角形（3）

2019-2023高考数学真题分类汇编9 三角函数及解三角形（3）
一、单选题
1．（2020·新课标Ⅱ·理）若α为第四象限角，则（　　）
A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0
2．（2020·新课标Ⅰ·理）已知 ，且 ，则 （　　）
A． B． C． D．
3．（2020·新课标Ⅰ·理）设函数 在 的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（　　）
A． B． C． D．
4．（2020·天津）已知函数 ．给出下列结论：
① 的最小正周期为 ；② 是 的最大值；③把函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度，可得到函数 的图象．其中所有正确结论的序号是（　　）
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
5．（2020·北京）已知 ，则“存在 使得 ”是“ ”的（　　）．
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2019·天津）已知函数 是奇函数，且 的最小正周期为 ，将 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 .若 ，则 （　　）
A．-2 B．- C． D．2
7．（2019·天津）已知函数 是奇函数，将 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为 .若 的最小正周期为 ，且 ，则 （　　）
A． B． C． D．
8．（2019·全国Ⅲ卷理）设函数f（x）=sin（ωx+ ）（ω>0），已如f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点，下述四个结论：①f（x）在（0，2π）有且仅有3个极大值点②f（x）在（0，2π）有且仅有2个极小值点③f（x）在（0， ）单调递增④ω的取值范围[ ， ）其中所有正确结论的编号是（　　）
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
9．（2019·全国Ⅱ卷文）若 ， 是函数f（x）= sinωx（ω>0） 两个相邻的极值点，则ω（　　）
A．2 B． C．1 D．
10．（2019·全国Ⅱ卷理）下列函数中，以 为周期且在区间( ， )单调递增的是（　　）
A．f(x)=│cos2x│ B．f(x)=│sin 2x│
C．f(x)=cos│x│ D．f(x)= sin│x│
11．（2019·全国Ⅱ卷理）已知α∈(0, )，2sin2α=cos2α+1，则sinα=（　　）
A． B． C． D．
12．（2019·北京）如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（　　）
A．4β+4cosβ B．4β+4sinβ C．2β+2cosβ D．2β+2sinβ
13．（2019·浙江）cos2 -sin2 =（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
14．（2021·新高考Ⅰ）已知O为坐标原点，点P1(cosα,sinα),P2(cosβ，-sinβ),P3(cos(α+β),sin(α+β))，A(1，0),则（　　）
A．| = B． =
C． = D．
15．（2020·新高考Ⅰ）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （　　）
A． B．
C． D．
三、填空题
16．（2020·新高考Ⅰ）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC= ， ，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为　 　cm2．
17．（2020·江苏）将函数y= 的图象向右平移 个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是　 　.
18．（2020·北京）若函数 的最大值为2，则常数 的一个取值为　 　．
19．（2019·江苏）已知 ，则 的值是　 　.
20．（2019·北京）函数f（x）=sin22x的最小正周期是　 　.
21．（2019·全国Ⅰ卷文）函数f(x)=sin(2x+ )-3cosx的最小值为　 　.
四、解答题
22．（2019·浙江）设函数f（x）=sinx，x R。
（1）已知θ∈[0，2π），函数f（x+θ）是偶函数，求θ的值
（2）求函数y=[f（x+） ]2+[f（x+ ）]2的值域
23．（2019·天津）在 中，内角 所对的边分别为 .已知 ， .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的值.
24．（2019·北京）在△ABC中，a=3，b-c=2，cosB=- .
（I）求b，c的值：
（II）求sin（B+C）的值.
25．（2019·北京）在△ABC中，a=3，b-c=2，cosB=- .
（I）求b，c的值；
（II）求sin（B-C）的值.
26．（2019·浙江）已知函数f(x)=sinx+sin( -x)
(Ⅰ)求f(0)的值；
(Ⅱ)求函数f(x)的最小正周期；
(Ⅲ)当x∈[0， ]时，求函数f(x)的最小值
27．（2020·新课标Ⅱ·理）已知函数f(x)=sin2xsin2x.
（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；
（2）证明： ；
（3）设n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤ .
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】当 时， ，B不符合题意；
当 时， ，A不符合题意；
由 在第四象限可得： ，则 ，C不符合题意，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可.
2．【答案】A
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】 ，得 ，
即 ，解得 或 （舍去），
又 .
故答案为：A.
【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于 的一元二次方程，求解得出 ，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.
3．【答案】C
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】由图可得：函数图象过点 ，
将它代入函数 可得：
又 是函数 图象与 轴负半轴的第一个交点，
所以 ，解得：
所以函数 的最小正周期为
故答案为：C
【分析】由图可得：函数图象过点 ，即可得到 ，结合 是函数 图象与x轴负半轴的第一个交点即可得到 ，即可求得 ，再利用三角函数周期公式即可得解.
4．【答案】B
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】因为 ，所以周期 ，故①正确；
，故②不正确；
将函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度，得到 的图象，
故③正确.
故答案为：B.
【分析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.
5．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；诱导公式
【解析】【解答】(1)当存在 使得 时，
若 为偶数，则 ；
若 为奇数，则 ；(2)当 时， 或 ， ，即 或 ，
亦即存在 使得 ．
所以，“存在 使得 ”是“ ”的充要条件.
故答案为：C.
【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.
6．【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】 【解答】由函数 是奇函数，得 ，即 得
由 的最小正周期为 ，得 ，
将 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得
由 得 即
故
故答案为：C
【分析】由奇函数得 ，即 得 ,由周期求出ω，再根据函数 的图象变换规律，得出 ，再代入 求出A的值，进而得出 的值。
7．【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】 【解答】由函数 是奇函数，得 ，即 得
由 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为 .若 的最小正周期为 ，
得 的最小正周期为 ，
故
由 得 即
故
故答案为：C
【分析】由奇函数得 ，即 得 ,由 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为 的最小正周期为 ，
得 的最小正周期为 ，求出ω，进而得出 ， ，再代入 求出A的值，进而得出 。
8．【答案】D
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】 【解答】解：由已知画出函数的大致图象，如图：
由图可知 在（ ）有且仅有3个极大值点，故①正确； 在E，F之间，靠近点E，有且仅有2个极小值点，靠近点F，有且仅有3个极小值点，故②错误；令 =0，可得E，F的横坐标分别为 ，则 ，解得 的取值范围是[ )，故④正确；由④可取 的最大值 ，得到函数在 单调递增，即 在（ ）单调递增，故③正确，
故答案为：D.
【分析】由已知画出函数的大致图象，利用图象得到①正确，②错误，再利用函数 的性质得到③④正确，即可得结论.
9．【答案】A
【知识点】含三角函数的复合函数的周期
【解析】 【解答】∵x1= ，x2= ，是函数f(x)= ( >0)两个相邻的极值点，∴函数的半个周期为 , ∴ .
故答案为：A
【分析】根据题意首先求出函数的周期再由正弦函数的周期公式代入数值求出即可。
10．【答案】A
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的单调性
【解析】 【解答】因为f（x）=sinx，f（x）=cosx的周期为2π，则f（x）=|cosx|， 的周期为π，故C项，D项错误。
y=│sin2x│图象如图1，可知y=│sin2x│在( ， )上单调递减，故B项错误。
图1
y=│cos2x│图象如图2，可知y=│cos2x│在( ， )上单调递增，故A项正确。
图2
故答案为：A
【分析】根据题中的四个函数结合正弦函数与余弦函数的图象逐一分析即可得出结论。
11．【答案】B
【知识点】三角函数中的恒等变换应用
【解析】【解答】由二倍角的正弦和余弦公式整理化简原式2sin2α=cos2α+1，4sinαcosα=2cos2α，可得到 ，代入到 ,
∵a∈（0， ）
∴ ,
∴ .
故答案为：B
【分析】利用二倍角的正弦和余弦公式整理化简原式即可求出 ，再由同角三角函数的关系式求出 ，结合角的取值范围可判断出 的符号为正，从而求出结果。
12．【答案】B
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】设圆心为O，根据 可知AB所对圆心角
故扇形 的面积为 ，由题意，要使阴影部分面积最大，则P到AB的距离最大，此时PO与AB垂直，
故阴影部分面积最大值
而 ，
，
故阴影部分面积最大值
故答案为：B.
【分析】根据圆周角得到圆心角，由题意，要使阴影部分面积最大，则P到AB的距离最大，此时PO与AB垂直，结合三角函数的定义，表示相应三角形的面积，即可求出阴影部分面积的最大值.
13．【答案】A
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：由余弦的二倍角公式.
故答案为：A
【分析】利用余弦的二倍角公式代入数值求出即可。
14．【答案】A,C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】解：，故A正确；
因为，故B错误；
因为，
，
所以
故C正确；
因为，
，
所以D错误
故答案为：AC.
【分析】根据向量的数量积，及向量的求模直接求解即可.
15．【答案】B,C
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；诱导公式
【解析】【解答】由函数图象可知： ，则 ，所以不选A，
当 时， ，
解得： ，
即函数的解析式为：
.
而
故答案为：BC.
【分析】首先利用周期确定 的值，然后确定 的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.
16．【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】设 ，由题意 ， ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 与圆弧 相切于A点，所以 ，
即 为等腰直角三角形；
在直角 中， ， ，
因为 ，所以 ，
解得 ；
等腰直角 的面积为 ；
扇形 的面积 ，
所以阴影部分的面积为 .
故答案为： .
【分析】利用 求出圆弧 所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形 的面积，求出直角 的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得.
17．【答案】
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】
当 时
故答案为：
【分析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果.
18．【答案】 （ 均可）
【知识点】两角和与差的正弦公式；积化和差公式
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，解得 ，故可取 .
故答案为： （ 均可）.
【分析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得 ，可得 ，即可解出.
19．【答案】
【知识点】三角函数的化简求值
【解析】【解答】
【分析】利用两角和的正切公式结合已知条件求出角 的正切值，再利用角 的正弦值和余弦值与角 的正切值的关系式结合角 的正切值的取值范围求出角 的正弦值和余弦值与角 的正切值，再用角 的正切值结合两角和的正弦公式求出 的值。
20．【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的周期
【解析】 【解答】解： ，
所以最小正周期 .
故答案为： .
【分析】根据余弦的二倍角公式，结合正弦函数的周期性即可求出相应的最小正周期.
21．【答案】-4
【知识点】三角函数中的恒等变换应用
【解析】 【解答】
利用诱导公式和二倍角的余弦公式得： 利用换元法，令
当 时，
【分析】利用诱导公式和二倍角的余弦公式化简将函数转化为二次函数，再利用二次函数求最值的方法求出函数的最小值。
22．【答案】（1）因为 是偶函数，所以，对任意实数x都有 ，
即 ，
故 ，
所以 ．
又 ，因此 或 ．
（2）
．
因此，函数的值域是 ．
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性求出余弦值，即可确定角的大小；
（2）根据余弦的二倍角公式，结合辅助角公式及余弦函数的有界性，即可求出函数的值域.
23．【答案】解：在 中，由正弦定理 ，得 ，又由 ，得 ，即 .又因为 ，得到 ， .由余弦定理可得 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 ，从而 ， ，故
【知识点】简单的三角恒等变换；正弦定理；余弦定理
【解析】 【分析】（Ⅰ）利用正余弦定理即可求得
（Ⅱ）利用 ，求得 ，进而根据二倍角公式求出 ， ，再利用两角和的正弦即可求得答案。
本题考查同角三角函数的基本关系式、两角和的公式、倍角公式、正余弦定理等知识。
24．【答案】解：（I）根据余弦定理 ，
故 ，
解得c=5，b=7；
（II）根据 ，得 ，
根据正弦定理， ，
得 ，解得 ，所以 ，
所以 .
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（I）根据余弦定理，解方程即可求出c和b；
（II）根据同角三角函数的平方关系，求出sinB，结合正弦定理，求出sinC和cosC，即可依据两角和的正弦公式，求出sin（B+C）.
25．【答案】 解：（I）根据余弦定理 ，
故 ，
解得c=5，B=7；
（II）根据 ，得 ，
根据正弦定理， ，
得 ，解得 ，所以 ，
所以 .
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】 【分析】（I）根据余弦定理，解方程即可求出c和b；
（II）根据同角三角函数的平方关系，求出sinB，结合正弦定理，求出sinC和cosC，即可依据两角和的正弦公式，求出sin（B-C）.
26．【答案】解：(Ⅰ)f(0)=sin =
（Ⅱ）f(x)=sinx+ cosx - sinx
= sinx+ cosx
=sin(x+ )
所以，函数f(x)的最小正周期为2π
(Ⅲ)由已知0≤x≤
得 ≤x+ ≤
所以，当x= 时，函数f(x)=sin(x+ )的最小值为
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦函数的性质
【解析】【分析】(1)代入数值即可求出结果。
（2）利用两角和差的正弦公式整理化简，把原函数化为正弦型函数，再利用最小正周期的公式即可求出结果。
（3）首先由已知的角的取值范围即可求出 ≤x+ ≤ ，再结合正弦函数的图象与性质即可求出最小值。
27．【答案】（1）解：由函数的解析式可得： ，则：
，
在 上的根为： ，
当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增.
（2）解：注意到 ，
故函数 是周期为 的函数，
结合(1)的结论，计算可得： ，
， ，
据此可得： ， ，
即 .
（3）解：结合(2)的结论有：
.
【知识点】函数的周期性；利用导数研究函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；反证法与放缩法
【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原函数的单调性即可；(2)首先确定函数的周期性，然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的不等式；(3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得 ，然后结合(2)的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式.
1 / 12019-2023高考数学真题分类汇编9 三角函数及解三角形（3）
一、单选题
1．（2020·新课标Ⅱ·理）若α为第四象限角，则（　　）
A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0
【答案】D
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】当 时， ，B不符合题意；
当 时， ，A不符合题意；
由 在第四象限可得： ，则 ，C不符合题意，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可.
2．（2020·新课标Ⅰ·理）已知 ，且 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】 ，得 ，
即 ，解得 或 （舍去），
又 .
故答案为：A.
【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于 的一元二次方程，求解得出 ，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.
3．（2020·新课标Ⅰ·理）设函数 在 的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】由图可得：函数图象过点 ，
将它代入函数 可得：
又 是函数 图象与 轴负半轴的第一个交点，
所以 ，解得：
所以函数 的最小正周期为
故答案为：C
【分析】由图可得：函数图象过点 ，即可得到 ，结合 是函数 图象与x轴负半轴的第一个交点即可得到 ，即可求得 ，再利用三角函数周期公式即可得解.
4．（2020·天津）已知函数 ．给出下列结论：
① 的最小正周期为 ；② 是 的最大值；③把函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度，可得到函数 的图象．其中所有正确结论的序号是（　　）
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】因为 ，所以周期 ，故①正确；
，故②不正确；
将函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度，得到 的图象，
故③正确.
故答案为：B.
【分析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.
5．（2020·北京）已知 ，则“存在 使得 ”是“ ”的（　　）．
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；诱导公式
【解析】【解答】(1)当存在 使得 时，
若 为偶数，则 ；
若 为奇数，则 ；(2)当 时， 或 ， ，即 或 ，
亦即存在 使得 ．
所以，“存在 使得 ”是“ ”的充要条件.
故答案为：C.
【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.
6．（2019·天津）已知函数 是奇函数，且 的最小正周期为 ，将 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 .若 ，则 （　　）
A．-2 B．- C． D．2
【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】 【解答】由函数 是奇函数，得 ，即 得
由 的最小正周期为 ，得 ，
将 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得
由 得 即
故
故答案为：C
【分析】由奇函数得 ，即 得 ,由周期求出ω，再根据函数 的图象变换规律，得出 ，再代入 求出A的值，进而得出 的值。
7．（2019·天津）已知函数 是奇函数，将 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为 .若 的最小正周期为 ，且 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】 【解答】由函数 是奇函数，得 ，即 得
由 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为 .若 的最小正周期为 ，
得 的最小正周期为 ，
故
由 得 即
故
故答案为：C
【分析】由奇函数得 ，即 得 ,由 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为 的最小正周期为 ，
得 的最小正周期为 ，求出ω，进而得出 ， ，再代入 求出A的值，进而得出 。
8．（2019·全国Ⅲ卷理）设函数f（x）=sin（ωx+ ）（ω>0），已如f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点，下述四个结论：①f（x）在（0，2π）有且仅有3个极大值点②f（x）在（0，2π）有且仅有2个极小值点③f（x）在（0， ）单调递增④ω的取值范围[ ， ）其中所有正确结论的编号是（　　）
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
【答案】D
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】 【解答】解：由已知画出函数的大致图象，如图：
由图可知 在（ ）有且仅有3个极大值点，故①正确； 在E，F之间，靠近点E，有且仅有2个极小值点，靠近点F，有且仅有3个极小值点，故②错误；令 =0，可得E，F的横坐标分别为 ，则 ，解得 的取值范围是[ )，故④正确；由④可取 的最大值 ，得到函数在 单调递增，即 在（ ）单调递增，故③正确，
故答案为：D.
【分析】由已知画出函数的大致图象，利用图象得到①正确，②错误，再利用函数 的性质得到③④正确，即可得结论.
9．（2019·全国Ⅱ卷文）若 ， 是函数f（x）= sinωx（ω>0） 两个相邻的极值点，则ω（　　）
A．2 B． C．1 D．
【答案】A
【知识点】含三角函数的复合函数的周期
【解析】 【解答】∵x1= ，x2= ，是函数f(x)= ( >0)两个相邻的极值点，∴函数的半个周期为 , ∴ .
故答案为：A
【分析】根据题意首先求出函数的周期再由正弦函数的周期公式代入数值求出即可。
10．（2019·全国Ⅱ卷理）下列函数中，以 为周期且在区间( ， )单调递增的是（　　）
A．f(x)=│cos2x│ B．f(x)=│sin 2x│
C．f(x)=cos│x│ D．f(x)= sin│x│
【答案】A
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的单调性
【解析】 【解答】因为f（x）=sinx，f（x）=cosx的周期为2π，则f（x）=|cosx|， 的周期为π，故C项，D项错误。
y=│sin2x│图象如图1，可知y=│sin2x│在( ， )上单调递减，故B项错误。
图1
y=│cos2x│图象如图2，可知y=│cos2x│在( ， )上单调递增，故A项正确。
图2
故答案为：A
【分析】根据题中的四个函数结合正弦函数与余弦函数的图象逐一分析即可得出结论。
11．（2019·全国Ⅱ卷理）已知α∈(0, )，2sin2α=cos2α+1，则sinα=（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角函数中的恒等变换应用
【解析】【解答】由二倍角的正弦和余弦公式整理化简原式2sin2α=cos2α+1，4sinαcosα=2cos2α，可得到 ，代入到 ,
∵a∈（0， ）
∴ ,
∴ .
故答案为：B
【分析】利用二倍角的正弦和余弦公式整理化简原式即可求出 ，再由同角三角函数的关系式求出 ，结合角的取值范围可判断出 的符号为正，从而求出结果。
12．（2019·北京）如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（　　）
A．4β+4cosβ B．4β+4sinβ C．2β+2cosβ D．2β+2sinβ
【答案】B
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】设圆心为O，根据 可知AB所对圆心角
故扇形 的面积为 ，由题意，要使阴影部分面积最大，则P到AB的距离最大，此时PO与AB垂直，
故阴影部分面积最大值
而 ，
，
故阴影部分面积最大值
故答案为：B.
【分析】根据圆周角得到圆心角，由题意，要使阴影部分面积最大，则P到AB的距离最大，此时PO与AB垂直，结合三角函数的定义，表示相应三角形的面积，即可求出阴影部分面积的最大值.
13．（2019·浙江）cos2 -sin2 =（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：由余弦的二倍角公式.
故答案为：A
【分析】利用余弦的二倍角公式代入数值求出即可。
二、多选题
14．（2021·新高考Ⅰ）已知O为坐标原点，点P1(cosα,sinα),P2(cosβ，-sinβ),P3(cos(α+β),sin(α+β))，A(1，0),则（　　）
A．| = B． =
C． = D．
【答案】A,C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】解：，故A正确；
因为，故B错误；
因为，
，
所以
故C正确；
因为，
，
所以D错误
故答案为：AC.
【分析】根据向量的数量积，及向量的求模直接求解即可.
15．（2020·新高考Ⅰ）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （　　）
A． B．
C． D．
【答案】B,C
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；诱导公式
【解析】【解答】由函数图象可知： ，则 ，所以不选A，
当 时， ，
解得： ，
即函数的解析式为：
.
而
故答案为：BC.
【分析】首先利用周期确定 的值，然后确定 的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.
三、填空题
16．（2020·新高考Ⅰ）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC= ， ，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为　 　cm2．
【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】设 ，由题意 ， ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 与圆弧 相切于A点，所以 ，
即 为等腰直角三角形；
在直角 中， ， ，
因为 ，所以 ，
解得 ；
等腰直角 的面积为 ；
扇形 的面积 ，
所以阴影部分的面积为 .
故答案为： .
【分析】利用 求出圆弧 所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形 的面积，求出直角 的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得.
17．（2020·江苏）将函数y= 的图象向右平移 个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是　 　.
【答案】
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】
当 时
故答案为：
【分析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果.
18．（2020·北京）若函数 的最大值为2，则常数 的一个取值为　 　．
【答案】 （ 均可）
【知识点】两角和与差的正弦公式；积化和差公式
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，解得 ，故可取 .
故答案为： （ 均可）.
【分析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得 ，可得 ，即可解出.
19．（2019·江苏）已知 ，则 的值是　 　.
【答案】
【知识点】三角函数的化简求值
【解析】【解答】
【分析】利用两角和的正切公式结合已知条件求出角 的正切值，再利用角 的正弦值和余弦值与角 的正切值的关系式结合角 的正切值的取值范围求出角 的正弦值和余弦值与角 的正切值，再用角 的正切值结合两角和的正弦公式求出 的值。
20．（2019·北京）函数f（x）=sin22x的最小正周期是　 　.
【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的周期
【解析】 【解答】解： ，
所以最小正周期 .
故答案为： .
【分析】根据余弦的二倍角公式，结合正弦函数的周期性即可求出相应的最小正周期.
21．（2019·全国Ⅰ卷文）函数f(x)=sin(2x+ )-3cosx的最小值为　 　.
【答案】-4
【知识点】三角函数中的恒等变换应用
【解析】 【解答】
利用诱导公式和二倍角的余弦公式得： 利用换元法，令
当 时，
【分析】利用诱导公式和二倍角的余弦公式化简将函数转化为二次函数，再利用二次函数求最值的方法求出函数的最小值。
四、解答题
22．（2019·浙江）设函数f（x）=sinx，x R。
（1）已知θ∈[0，2π），函数f（x+θ）是偶函数，求θ的值
（2）求函数y=[f（x+） ]2+[f（x+ ）]2的值域
【答案】（1）因为 是偶函数，所以，对任意实数x都有 ，
即 ，
故 ，
所以 ．
又 ，因此 或 ．
（2）
．
因此，函数的值域是 ．
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性求出余弦值，即可确定角的大小；
（2）根据余弦的二倍角公式，结合辅助角公式及余弦函数的有界性，即可求出函数的值域.
23．（2019·天津）在 中，内角 所对的边分别为 .已知 ， .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的值.
【答案】解：在 中，由正弦定理 ，得 ，又由 ，得 ，即 .又因为 ，得到 ， .由余弦定理可得 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 ，从而 ， ，故
【知识点】简单的三角恒等变换；正弦定理；余弦定理
【解析】 【分析】（Ⅰ）利用正余弦定理即可求得
（Ⅱ）利用 ，求得 ，进而根据二倍角公式求出 ， ，再利用两角和的正弦即可求得答案。
本题考查同角三角函数的基本关系式、两角和的公式、倍角公式、正余弦定理等知识。
24．（2019·北京）在△ABC中，a=3，b-c=2，cosB=- .
（I）求b，c的值：
（II）求sin（B+C）的值.
【答案】解：（I）根据余弦定理 ，
故 ，
解得c=5，b=7；
（II）根据 ，得 ，
根据正弦定理， ，
得 ，解得 ，所以 ，
所以 .
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（I）根据余弦定理，解方程即可求出c和b；
（II）根据同角三角函数的平方关系，求出sinB，结合正弦定理，求出sinC和cosC，即可依据两角和的正弦公式，求出sin（B+C）.
25．（2019·北京）在△ABC中，a=3，b-c=2，cosB=- .
（I）求b，c的值；
（II）求sin（B-C）的值.
【答案】 解：（I）根据余弦定理 ，
故 ，
解得c=5，B=7；
（II）根据 ，得 ，
根据正弦定理， ，
得 ，解得 ，所以 ，
所以 .
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】 【分析】（I）根据余弦定理，解方程即可求出c和b；
（II）根据同角三角函数的平方关系，求出sinB，结合正弦定理，求出sinC和cosC，即可依据两角和的正弦公式，求出sin（B-C）.
26．（2019·浙江）已知函数f(x)=sinx+sin( -x)
(Ⅰ)求f(0)的值；
(Ⅱ)求函数f(x)的最小正周期；
(Ⅲ)当x∈[0， ]时，求函数f(x)的最小值
【答案】解：(Ⅰ)f(0)=sin =
（Ⅱ）f(x)=sinx+ cosx - sinx
= sinx+ cosx
=sin(x+ )
所以，函数f(x)的最小正周期为2π
(Ⅲ)由已知0≤x≤
得 ≤x+ ≤
所以，当x= 时，函数f(x)=sin(x+ )的最小值为
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦函数的性质
【解析】【分析】(1)代入数值即可求出结果。
（2）利用两角和差的正弦公式整理化简，把原函数化为正弦型函数，再利用最小正周期的公式即可求出结果。
（3）首先由已知的角的取值范围即可求出 ≤x+ ≤ ，再结合正弦函数的图象与性质即可求出最小值。
27．（2020·新课标Ⅱ·理）已知函数f(x)=sin2xsin2x.
（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；
（2）证明： ；
（3）设n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤ .
【答案】（1）解：由函数的解析式可得： ，则：
，
在 上的根为： ，
当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增.
（2）解：注意到 ，
故函数 是周期为 的函数，
结合(1)的结论，计算可得： ，
， ，
据此可得： ， ，
即 .
（3）解：结合(2)的结论有：
.
【知识点】函数的周期性；利用导数研究函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；反证法与放缩法
【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原函数的单调性即可；(2)首先确定函数的周期性，然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的不等式；(3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得 ，然后结合(2)的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式.
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