2019-2023高考数学真题分类汇编10 函数的定义
一、选择题
1．（2021·天津）若 ，则 （ ）
A．-1 B． C．1 D．
【答案】C
【知识点】指数式与对数式的互化；换底公式的应用
【解析】【解答】解：由 得a=log210，b=log510，
则
故答案为：C
【分析】根据指数式与对数式的互化，结合换底公式求解即可.
2．（2019·上海）下列函数中，值域为 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】解： ， 的值域为 ，故 错
， 的定义域为 ，值域也是 ，故 正确．
， 的值域为 ，故 错
， 的值域为 ，故 错．
故答案为： ．
【分析】利用函数图象和定义域求函数值域的方法求出满足值域要求的函数。
3．（2022·浙江学考）函数 的定义域是（ ）
A． B． C．R D．
【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】 ，
，
即函数 的定义域为 。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合分式函数求定义域的方法，进而得出函数 的定义域。
4．（2021·全国乙卷）下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的最大（小）值；指数函数的概念与表示；对数函数的图象与性质；基本不等式
【解析】【解答】对于A：因为y=(x+1)2+3,则ymin=3; 故A不符合题意；
对于B：因为，设t=|sinx|( ),则y=g(t)=由双沟函数知，
函数y＝g(t)=是减函数，所以ymin=g(1)=5，所以B选项不符合；
对于C：因为 当且仅当时“＝”成立，
即ymin=4，故C选项正确；
对于D：当时，<0，故D选项不符合，
故答案为：C.
【分析】A,用配方法求出干净函数的最小值，判断不符合；B.换元利用双沟函数的单调性，求出最小值，判断不适合；C.变形后用基本不等式计算出最小值，判断符合；D 举反列说明其不符合。
二、填空题
5．（2022·北京）函数 的定义域是 ．
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】依题意 ，解得 .
【分析】根据分式和根式成立的条件建立不等式关系进行求解即可.
6．（2020·北京）函数 的定义域是 ．
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】由题意得 ，
故答案为：
【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.
7．（2019·江苏）函数 的定义域是 .
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】 函数 ，
要使函数有意义，则
函数的定义域为
【分析】利用根式函数求定义域的方法结合一元二次不等式求解集的方法求出函数的定义域。
8．（2021·浙江）已知 ，函数 若 ，则 .
【答案】2
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】 因为,所以 所以 ，故 ，
故答案为：2.
【分析】分段函数求函数值。
9．（2019·北京）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒。为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元。每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为 。
【答案】130；15
【知识点】函数的值
【解析】 【解答】①草莓和西瓜各一盒，总价60+80=140元，
140>120，故顾客可少付10元，此时需要支付140-10=130元；
②要保证每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则最低消费满足条件即可，
根据题意，买草莓两盒，消费最低，此时消费120元，
故实际付款（120-x）元，此时李明得到 ，
故 ，解得 ；
故最大值为15.
故答案为①130；②15.
【分析】①根据已知，直接计算即可；
②根据题意，要保证每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则最低消费满足条件即可，因此选最低消费求解，即可求出相应的最大值.
三、解答题
10．（2023·全国甲卷）已知．
（1）解不等式
（2）若与坐标轴围成的面积为2，求a．
【答案】（1）依题意去绝对值得
①当时， 由，即 ，解得，∵a>0，∴此时
②当时，由，即，解得，∵a>0，∴此时
综上的解集是；
（2）令，解得或，
当时，
∵a>0，此时，且，故其函数图象大致为
，，，
，解得.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；含绝对值不等式的解法
【解析】【分析】 (1)根据和分段去绝对值求解不等式；
(2)结合a>0分析画出草图利用面积建立等量关系求出a.
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一、选择题
1．（2021·天津）若 ，则 （ ）
A．-1 B． C．1 D．
2．（2019·上海）下列函数中，值域为 的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·浙江学考）函数 的定义域是（ ）
A． B． C．R D．
4．（2021·全国乙卷）下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
5．（2022·北京）函数 的定义域是 ．
6．（2020·北京）函数 的定义域是 ．
7．（2019·江苏）函数 的定义域是 .
8．（2021·浙江）已知 ，函数 若 ，则 .
9．（2019·北京）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒。为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元。每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为 。
三、解答题
10．（2023·全国甲卷）已知．
（1）解不等式
（2）若与坐标轴围成的面积为2，求a．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】指数式与对数式的互化；换底公式的应用
【解析】【解答】解：由 得a=log210，b=log510，
则
故答案为：C
【分析】根据指数式与对数式的互化，结合换底公式求解即可.
2．【答案】B
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】解： ， 的值域为 ，故 错
， 的定义域为 ，值域也是 ，故 正确．
， 的值域为 ，故 错
， 的值域为 ，故 错．
故答案为： ．
【分析】利用函数图象和定义域求函数值域的方法求出满足值域要求的函数。
3．【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】 ，
，
即函数 的定义域为 。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合分式函数求定义域的方法，进而得出函数 的定义域。
4．【答案】C
【知识点】函数的最大（小）值；指数函数的概念与表示；对数函数的图象与性质；基本不等式
【解析】【解答】对于A：因为y=(x+1)2+3,则ymin=3; 故A不符合题意；
对于B：因为，设t=|sinx|( ),则y=g(t)=由双沟函数知，
函数y＝g(t)=是减函数，所以ymin=g(1)=5，所以B选项不符合；
对于C：因为 当且仅当时“＝”成立，
即ymin=4，故C选项正确；
对于D：当时，<0，故D选项不符合，
故答案为：C.
【分析】A,用配方法求出干净函数的最小值，判断不符合；B.换元利用双沟函数的单调性，求出最小值，判断不适合；C.变形后用基本不等式计算出最小值，判断符合；D 举反列说明其不符合。
5．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】依题意 ，解得 .
【分析】根据分式和根式成立的条件建立不等式关系进行求解即可.
6．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】由题意得 ，
故答案为：
【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.
7．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】 函数 ，
要使函数有意义，则
函数的定义域为
【分析】利用根式函数求定义域的方法结合一元二次不等式求解集的方法求出函数的定义域。
8．【答案】2
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】 因为,所以 所以 ，故 ，
故答案为：2.
【分析】分段函数求函数值。
9．【答案】130；15
【知识点】函数的值
【解析】 【解答】①草莓和西瓜各一盒，总价60+80=140元，
140>120，故顾客可少付10元，此时需要支付140-10=130元；
②要保证每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则最低消费满足条件即可，
根据题意，买草莓两盒，消费最低，此时消费120元，
故实际付款（120-x）元，此时李明得到 ，
故 ，解得 ；
故最大值为15.
故答案为①130；②15.
【分析】①根据已知，直接计算即可；
②根据题意，要保证每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则最低消费满足条件即可，因此选最低消费求解，即可求出相应的最大值.
10．【答案】（1）依题意去绝对值得
①当时， 由，即 ，解得，∵a>0，∴此时
②当时，由，即，解得，∵a>0，∴此时
综上的解集是；
（2）令，解得或，
当时，
∵a>0，此时，且，故其函数图象大致为
，，，
，解得.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；含绝对值不等式的解法
【解析】【分析】 (1)根据和分段去绝对值求解不等式；
(2)结合a>0分析画出草图利用面积建立等量关系求出a.
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