2019-2023高考数学真题分类汇编11 线性规划
一、选择题
1．（2022·浙江）若实数x，y满足约束条件 则 的最大值是（ ）
A．20 B．18 C．13 D．6
2．（2021·浙江）若实数x，y满足约束条件 ，则 的最小值是（ ）
A．-2 B． C． D．
3．（2021·全国乙卷）若x，y满足约束条件 ,则z=3x+y的最小值为（ ）
A．18 B．10 C．6 D．4
4．（2019·天津）设变量 满足约束条件 则目标函数 的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
5．（2019·北京）若x，y满足|x|≤1-y，且y≥-1.则3x+y的最大值为（ ）
A．-7 B．1 C．5 D．7
6．（2022·全国乙卷）若x，y满足约束条件 则的最大值是（ ）
A． B．4 C．8 D．12
7．（2020·浙江）若实数x，y满足约束条件 ，则z＝x+2y的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，4] B．[4，+∞）
C．[5，+∞） D．（﹣∞，+∞）
8．（2019·浙江）若实数x，y满足约束条件 ，则z=3x+2y的最大值是（ ）
A．-1 B．1 C．10 D．12
9．（2019·浙江）若实数x，y满足不等式组 ，则2x+y的最小值是（ ）
A．3 B． C．0 D．-3
二、填空题
10．（2019·北京）若x，y满足 .则y-x的最小值为 ，最大值为 .
11．（2023·全国甲卷）设x，y满足约束条件，设，则z的最大值为 ．
12．（2023·全国甲卷）若x，y满足约束条件，则的最大值为 ．
13．（2023·全国乙卷）若x，y满足约束条件，则的最大值为 .
14．（2020·新课标Ⅲ·理）若x，y满足约束条件 ，则z=3x+2y的最大值为 ．
15．（2020·新课标Ⅱ·文）若x，y满足约束条件 则 的最大值是 ．
16．（2020·新课标Ⅰ·理）若x，y满足约束条件 则z=x+7y的最大值为 .
17．（2019·全国Ⅱ卷文）若变量x，y满足约束条件 ，则，z=3x-y的最大值是 。
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】根据约束条件 画出可行域，
可知过点时取到最大值18.
故答案为：B
【分析】先作出不等式组表示的平面区域，然后结合图象求解即可．
2．【答案】B
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】画出满足约束条件 的可行域，
如下图所示：
将目标函数 化为 ，由 ，解得 ，即 ，
当直线 过 点时，
取得最小值为 .
故答案为：B.
【分析】先画出可行域，然后由目标函数，作出直线 ，当直线过 点时，得到最优解，从而计算出结果。
3．【答案】C
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】作出线性约束的可行域（如图阴影部分所示区域），
当直线 z=3x+y经过点（1，3）时，z取得最小值。此时zmin=3x1+3=6.
故答案为：C
【分析】先作出可行域，再通过目标函数以及可行域，确定最优解，进一步得到答案。
4．【答案】C
【知识点】简单线性规划的应用
【解析】 【解答】作出不等式对应的平面区域，由 得 ，平移直线 ，可知当直线 经过直线 与 的交点时，直线 的截距最大，此时 最大
由 解得
此时直线 与 的交点为
此时 的最大值为
故答案为：C
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可得出 的最大值。
5．【答案】C
【知识点】简单线性规划
【解析】 【解答】根据题意，x、y满足 ，
作出可行域及目标函数相应的直线，
平移该直线，可知在经过（2,-1）时取最大值5.
故答案为：C.
【分析】作出可行域和目标函数相应的直线，平移该直线，即可求出相应的最大值.
6．【答案】C
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】由题意作出可行域（阴影部分所示），目标函数 转化为 ，
上下平移直线 ，可知当直线过点 时，直线截距最小，z最大，
所以 .
故选：C
【分析】作出可行域，数形结合即可得解.
7．【答案】B
【知识点】简单线性规划的应用
【解析】【解答】解：画出实数x，y满足约束条件 所示的平面区域，如图：
将目标函数变形为﹣ x+ ＝y，
则z表示直线在y轴上截距，截距越大，z越大，
当目标函数过点A（2，1）时，截距最小为z＝2+2＝4，随着目标函数向上移动截距越来越大，
故目标函数z＝2x+y的取值范围是[4，+∞）．
故答案为：B．
【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象判断目标函数z＝x+2y的取值范围．
8．【答案】C
【知识点】简单线性规划的应用
【解析】 【解答】作出可行域和目标函数相应的直线，
平移该直线，可知当过（2,2）时，目标函数取最大值10.
故答案为：C.
【分析】作出可行域和目标函数相应的直线，平移该直线，即可求出相应的最大值.
9．【答案】D
【知识点】二元一次不等式（组）与平面区域；简单线性规划的应用
【解析】【解答】解：由已知首先画出不等式组所表示的平面区域
构造目标函数z=2x+y,当该函数经过点B时在y轴上的截距最小，由解得,即可求出点B的坐标为（-1，-1），把点的坐标代入到直线的方程求出z=2×(-1）+（-1）=-3.
故答案为：D
【分析】作出不等式组所对应的平面区域，求出点A、B的坐标，再构造目标函数结合其几何意义代入点B的坐标即可求出目标函数的最小值。
10．【答案】-3；1
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】作出可行域及目标函数相应的直线，平移该直线，可知在经过（2,-1）时取最小值-3，过（2，3）时取最大值1.
故答案为-3；1.
【分析】作出可行域和目标函数相应的直线，平移该直线，即可求出相应的最大值和最小值.
11．【答案】15
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】由得，
故当直线：截距最大时，取得最大值，
根据题意画出可行域如上图，易得当直线过点A时，取得最大值，
联立，解得，即
故答案为：15
【分析】利用约束条件画出可行域，由目标函数分析求截距最大值。
12．【答案】15
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】由得，
故当直线：截距最大时，取得最大值，
根据题意画出可行域如上图，易得当直线过点A时，取得最大值，
联立，解得，即
故答案为：15
【分析】利用约束条件画出可行域，由目标函数分析求截距最大值。
13．【答案】8
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】根据题意作出满足不等式组表示的平面可行域，如下图：
由，得，表示直线在y轴上的截距，
∴截距越小越大，
由上图可只当直线经过点C时最大，
由解得即，此时.
故答案为：8
【分析】找出满足题意的可行域，对目标函数分析结合一次函数分析得出的最大值。
14．【答案】7
【知识点】二元一次不等式（组）与平面区域
【解析】【解答】不等式组所表示的可行域如图
因为 ，所以 ，易知截距 越大，则z越大，
平移直线 ，当 经过A点时截距最大，此时z最大，
由 ，得 ， ，
所以 .
故答案为：7.
【分析】作出可行域，利用截距的几何意义解决.
15．【答案】8
【知识点】简单线性规划的应用
【解析】【解答】不等式组表示的平面区域为下图所示：
平移直线 ，当直线经过点A时，直线 在纵轴上的截距最大，
此时点 的坐标是方程组 的解，解得： ，
因此 的最大值为： .
故答案为： .
【分析】在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域，然后平移直线 ，在平面区域内找到一点使得直线 在纵轴上的截距最大，求出点的坐标代入目标函数中即可.
16．【答案】1
【知识点】简单线性规划的应用
【解析】【解答】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
目标函数 即： ，
其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，
联立直线方程： ，可得点A的坐标为： ，
据此可知目标函数的最大值为： .
故答案为：1．
【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值.
17．【答案】9
【知识点】简单线性规划
【解析】 【解答】根据题意做出满足已知条件的线性区域内如图所示：
将目标函数转化为直线3x-y-z=0,则z的最大值即为直线在y轴上的截距，所以当直线过点（3,0）时该直在y轴上的截距最大，代入数值求出z的值z=3 3-0=9.
故答案为：9
【分析】首先求出不等式表示平面区域，求出三条直线的交点坐标，再把目标函数转化为直线的一般式，z的最大值即为该直线的在y轴上的截距最大值，把（3,0）代入求出结果即可。
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一、选择题
1．（2022·浙江）若实数x，y满足约束条件 则 的最大值是（ ）
A．20 B．18 C．13 D．6
【答案】B
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】根据约束条件 画出可行域，
可知过点时取到最大值18.
故答案为：B
【分析】先作出不等式组表示的平面区域，然后结合图象求解即可．
2．（2021·浙江）若实数x，y满足约束条件 ，则 的最小值是（ ）
A．-2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】画出满足约束条件 的可行域，
如下图所示：
将目标函数 化为 ，由 ，解得 ，即 ，
当直线 过 点时，
取得最小值为 .
故答案为：B.
【分析】先画出可行域，然后由目标函数，作出直线 ，当直线过 点时，得到最优解，从而计算出结果。
3．（2021·全国乙卷）若x，y满足约束条件 ,则z=3x+y的最小值为（ ）
A．18 B．10 C．6 D．4
【答案】C
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】作出线性约束的可行域（如图阴影部分所示区域），
当直线 z=3x+y经过点（1，3）时，z取得最小值。此时zmin=3x1+3=6.
故答案为：C
【分析】先作出可行域，再通过目标函数以及可行域，确定最优解，进一步得到答案。
4．（2019·天津）设变量 满足约束条件 则目标函数 的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】简单线性规划的应用
【解析】 【解答】作出不等式对应的平面区域，由 得 ，平移直线 ，可知当直线 经过直线 与 的交点时，直线 的截距最大，此时 最大
由 解得
此时直线 与 的交点为
此时 的最大值为
故答案为：C
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可得出 的最大值。
5．（2019·北京）若x，y满足|x|≤1-y，且y≥-1.则3x+y的最大值为（ ）
A．-7 B．1 C．5 D．7
【答案】C
【知识点】简单线性规划
【解析】 【解答】根据题意，x、y满足 ，
作出可行域及目标函数相应的直线，
平移该直线，可知在经过（2,-1）时取最大值5.
故答案为：C.
【分析】作出可行域和目标函数相应的直线，平移该直线，即可求出相应的最大值.
6．（2022·全国乙卷）若x，y满足约束条件 则的最大值是（ ）
A． B．4 C．8 D．12
【答案】C
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】由题意作出可行域（阴影部分所示），目标函数 转化为 ，
上下平移直线 ，可知当直线过点 时，直线截距最小，z最大，
所以 .
故选：C
【分析】作出可行域，数形结合即可得解.
7．（2020·浙江）若实数x，y满足约束条件 ，则z＝x+2y的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，4] B．[4，+∞）
C．[5，+∞） D．（﹣∞，+∞）
【答案】B
【知识点】简单线性规划的应用
【解析】【解答】解：画出实数x，y满足约束条件 所示的平面区域，如图：
将目标函数变形为﹣ x+ ＝y，
则z表示直线在y轴上截距，截距越大，z越大，
当目标函数过点A（2，1）时，截距最小为z＝2+2＝4，随着目标函数向上移动截距越来越大，
故目标函数z＝2x+y的取值范围是[4，+∞）．
故答案为：B．
【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象判断目标函数z＝x+2y的取值范围．
8．（2019·浙江）若实数x，y满足约束条件 ，则z=3x+2y的最大值是（ ）
A．-1 B．1 C．10 D．12
【答案】C
【知识点】简单线性规划的应用
【解析】 【解答】作出可行域和目标函数相应的直线，
平移该直线，可知当过（2,2）时，目标函数取最大值10.
故答案为：C.
【分析】作出可行域和目标函数相应的直线，平移该直线，即可求出相应的最大值.
9．（2019·浙江）若实数x，y满足不等式组 ，则2x+y的最小值是（ ）
A．3 B． C．0 D．-3
【答案】D
【知识点】二元一次不等式（组）与平面区域；简单线性规划的应用
【解析】【解答】解：由已知首先画出不等式组所表示的平面区域
构造目标函数z=2x+y,当该函数经过点B时在y轴上的截距最小，由解得,即可求出点B的坐标为（-1，-1），把点的坐标代入到直线的方程求出z=2×(-1）+（-1）=-3.
故答案为：D
【分析】作出不等式组所对应的平面区域，求出点A、B的坐标，再构造目标函数结合其几何意义代入点B的坐标即可求出目标函数的最小值。
二、填空题
10．（2019·北京）若x，y满足 .则y-x的最小值为 ，最大值为 .
【答案】-3；1
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】作出可行域及目标函数相应的直线，平移该直线，可知在经过（2,-1）时取最小值-3，过（2，3）时取最大值1.
故答案为-3；1.
【分析】作出可行域和目标函数相应的直线，平移该直线，即可求出相应的最大值和最小值.
11．（2023·全国甲卷）设x，y满足约束条件，设，则z的最大值为 ．
【答案】15
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】由得，
故当直线：截距最大时，取得最大值，
根据题意画出可行域如上图，易得当直线过点A时，取得最大值，
联立，解得，即
故答案为：15
【分析】利用约束条件画出可行域，由目标函数分析求截距最大值。
12．（2023·全国甲卷）若x，y满足约束条件，则的最大值为 ．
【答案】15
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】由得，
故当直线：截距最大时，取得最大值，
根据题意画出可行域如上图，易得当直线过点A时，取得最大值，
联立，解得，即
故答案为：15
【分析】利用约束条件画出可行域，由目标函数分析求截距最大值。
13．（2023·全国乙卷）若x，y满足约束条件，则的最大值为 .
【答案】8
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】根据题意作出满足不等式组表示的平面可行域，如下图：
由，得，表示直线在y轴上的截距，
∴截距越小越大，
由上图可只当直线经过点C时最大，
由解得即，此时.
故答案为：8
【分析】找出满足题意的可行域，对目标函数分析结合一次函数分析得出的最大值。
14．（2020·新课标Ⅲ·理）若x，y满足约束条件 ，则z=3x+2y的最大值为 ．
【答案】7
【知识点】二元一次不等式（组）与平面区域
【解析】【解答】不等式组所表示的可行域如图
因为 ，所以 ，易知截距 越大，则z越大，
平移直线 ，当 经过A点时截距最大，此时z最大，
由 ，得 ， ，
所以 .
故答案为：7.
【分析】作出可行域，利用截距的几何意义解决.
15．（2020·新课标Ⅱ·文）若x，y满足约束条件 则 的最大值是 ．
【答案】8
【知识点】简单线性规划的应用
【解析】【解答】不等式组表示的平面区域为下图所示：
平移直线 ，当直线经过点A时，直线 在纵轴上的截距最大，
此时点 的坐标是方程组 的解，解得： ，
因此 的最大值为： .
故答案为： .
【分析】在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域，然后平移直线 ，在平面区域内找到一点使得直线 在纵轴上的截距最大，求出点的坐标代入目标函数中即可.
16．（2020·新课标Ⅰ·理）若x，y满足约束条件 则z=x+7y的最大值为 .
【答案】1
【知识点】简单线性规划的应用
【解析】【解答】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
目标函数 即： ，
其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，
联立直线方程： ，可得点A的坐标为： ，
据此可知目标函数的最大值为： .
故答案为：1．
【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值.
17．（2019·全国Ⅱ卷文）若变量x，y满足约束条件 ，则，z=3x-y的最大值是 。
【答案】9
【知识点】简单线性规划
【解析】 【解答】根据题意做出满足已知条件的线性区域内如图所示：
将目标函数转化为直线3x-y-z=0,则z的最大值即为直线在y轴上的截距，所以当直线过点（3,0）时该直在y轴上的截距最大，代入数值求出z的值z=3 3-0=9.
故答案为：9
【分析】首先求出不等式表示平面区域，求出三条直线的交点坐标，再把目标函数转化为直线的一般式，z的最大值即为该直线的在y轴上的截距最大值，把（3,0）代入求出结果即可。
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